用樣本估計(jì)總體1幻燈片

1.5.1用樣本估計(jì)總體問題提出

從前面的分析可以知道，當(dāng)研究一個(gè)對(duì)象時(shí)，如果能得到他們的全部數(shù)據(jù)（可以看作是總體），我們就可以直接從中分析總體的各種信息.如人口普查得到的數(shù)據(jù)較為全面，從中可以很好地反映對(duì)象的重要信息.但是，在實(shí)際問題中，總體的信息往往不能全部得到，因此我們需要進(jìn)行抽樣調(diào)查，從總體中抽取一部分作為樣本，并用樣本的各種信息來估計(jì)總體的情況，包括它的分布和基本數(shù)字特征.估計(jì)總體的分布例

1895年，在英國倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土。經(jīng)考證，頭蓋骨的主人死于1665～1666年之間的大瘟疫。人類學(xué)家分別測(cè)量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示（單位：mm）：

146141139140145141142131142140144140138139147139141137141132140140141143134146134142133149140140143143149136141143143141138136138144136145143137142146140148140140139139144138146153148152143140141145148139136141140139158135132148142145145121129143148138149146141142144137153148144138150148138145145142143143148141145141

請(qǐng)你估計(jì)在1665~1666年之間，英國男性頭蓋骨寬度的分布情況.頻數(shù)分布表與頻率分布表寬度/mm頻數(shù)頻率12110.00912910.00913110.00913220.01913310.00913420.01913510.00913640.03813730.028寬度/mm頻數(shù)頻率13870.06613970.066140120.113141120.11314270.066143100.09414450.04714580.07514650.047寬度/mm頻數(shù)頻率14710.00914880.07514930.02815010.00915220.01915310.00915810.009

從表格中，我們就能估計(jì)出總體大致的分布情況了，如在1665~1666年之間，英國男性頭蓋骨寬度主要在136~149mm之間，135mm以下以及150mm以上所占的比率相對(duì)較小等.

但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象，為了得到更為直觀的信息，我們可以再將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組：0.060.080.100.020.040145寬度/㎜150135140160130125120155fi△xi0.00180.00180.00180.00760.04160.01140.04720.086801020304050145寬度/㎜150135140160130125120155頻數(shù)11164222546頻率分布直方圖頻數(shù)分布直方圖

觀察上圖，你能知道：（1）頭蓋骨的寬度位于哪個(gè)區(qū)間的數(shù)據(jù)最多？（2）頭蓋骨的寬度在140～145mm的頻率約是多少？（3）頭蓋骨的寬度小于140mm的頻率約是多少？（4）頭蓋骨的寬度在137～142mm的頻率約是多少？140~14543.4%28.3%0.208×3/5＋0.434×2/5＝0.2984，即29.84%抽象概括

從以上的作圖過程中我們知道：在上圖中，每個(gè)小矩形的寬度為（分組的寬度），高為fi/Δxi

，小矩形的面積恰為相應(yīng)的頻率fi，通常我們稱這樣的圖形為頻率分布直方圖.從圖中可以得到，頭蓋骨的寬度落在各個(gè)寬度區(qū)間內(nèi)的頻率的大?。ㄈ纾簩挾仍?40~145mm之間的頭蓋骨所占的頻率為43.4%，寬度在137~142mm之間的頭蓋骨所占的頻率為29.8%等），這個(gè)頻率的值就是該寬度區(qū)間所對(duì)應(yīng)的頻率直方圖的面積.圖中所有小矩形的面積之和，也就是頭蓋骨的寬度落在各個(gè)寬度區(qū)間內(nèi)的頻率之和，等于1.

另外，當(dāng)樣本量較大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率，因此，我們就可以用樣本的頻率分布直方圖來估計(jì)總體在任意區(qū)間內(nèi)取值的概率，也即總體的分布情況.0.060.080.100.020.040145寬度/mm150135140160130125120155fi△xi0.00180.00180.00180.00760.04160.01140.04720.0868115165頻率折線圖頻率折線圖思考交流

（1）在上面的例題中，如果只用前面的50個(gè)數(shù)據(jù)來估計(jì)1665~1666年之間英國男性頭蓋骨寬度的分布情況，你會(huì)得到怎樣的結(jié)果？與例題中得到的估計(jì)有哪些不同？（2）假設(shè)在原挖掘出土地的附近，又新挖掘出了100款死于同時(shí)期的男性頭蓋骨。用兩次得到的所有數(shù)據(jù)來估計(jì)1665~1666年之間，英國男性頭蓋骨寬度的分布情況，得到的結(jié)果又會(huì)有哪些不同？抽象概括

在上面的例子中，雖然我們是用樣本數(shù)據(jù)的頻率分布來估計(jì)總體的分布，與真正的總體分布是有差別的，但是當(dāng)樣本量不斷增大時(shí)，樣本中落在每個(gè)區(qū)間內(nèi)的樣本數(shù)的頻率會(huì)越來越穩(wěn)定于總體在相應(yīng)區(qū)間內(nèi)取值的概率.也就是說，一般地，樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確.抽象概括

另外，隨著樣本量的增大，所劃分的區(qū)間數(shù)也可以隨之增多，而每個(gè)區(qū)間的長度則會(huì)相應(yīng)隨之減小.如上面的例題中，若樣本量增大，每個(gè)區(qū)間的長度可以由原來的5mm減小為4mm或3mm

，相應(yīng)的頻率折線圖就會(huì)越來越接近于一條光滑曲線.

當(dāng)然，樣本容量越大，工作量也就越大.所以，在實(shí)際問題當(dāng)中，我們一般都要根據(jù)不同的情況選擇適當(dāng)?shù)臉颖?課內(nèi)練習(xí)

一位植物學(xué)家想要研究某類植物生長1年之后的高度，他隨機(jī)抽取了60株此類植物，測(cè)得它們生長1年之后的高度如下所示（單位：㎝）：

738491687283755887414861657292687343577880598442676964735165638290546376616866785581947945677098767272918675765069695674（1）完成下表:高度分組（Δi）頻數(shù)（ni）頻率（fi）fi/Δxi40~50cm50~60cm60~70cm70~80cm80~90cm90~100cm581617860.0830.1330.2670.2830.1330.1000.00830.01330.02670.02830.01330.01000.0150.020.030.0050.010高度/㎜50fi△xi0.025403060708090100110（2）頻率分布直方圖0.0150.020.030.0050.010高度/㎜50fi△xi0.025403060708090100110（2）頻率折線圖超過50%的此類植物在生長1年之后的高度在60~80cm之間，50cm以下及90cm以上所占的比例相對(duì)較小.90100110120130140分?jǐn)?shù)頻率0.450.050.151、某市高三數(shù)學(xué)抽樣考試中，對(duì)90分以上（含90分）的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布圖如圖，若130～140分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為90人；則90～100分?jǐn)?shù)段的人數(shù)為：

；8102、一個(gè)容量為20的樣本數(shù)據(jù).分組后.組距與頻數(shù)如下：(0,20]2;(20,30]3,(30,40]4;(40,50]5;(50,60]4;(60,70]2。則樣本在(－∞,50]上的頻率為：

，7/1024002700300033003600390