2020屆北京各區(qū)高三二模數學分類匯編-函數與導數(含答案)

/23(ii)由(匚)可矢口f(x)=2sinx-xcosx,f'(x)=cosx+xsinx.設g(x)=f'(x)，則g'(x)=xcosx.n令g'(x)=0,又xG(0,n)，得x=.2TOC\o"1-5"\h\znn當xG(0，T時，g'(x)>0；當xG(三,n)時，g'(x)<0,22nn所以g(x)在(0,—)內單調遞增，在(牙,n)內單調遞減.22又g(0)=1，g(|)=2，g(n)=-1，nn因此，當xG(0,-］時，g(x)>g(0)>0，即f'(x)>0，此時f(x)在區(qū)間(0,-］上無極值點；22當xG(一,n)時，g(x)=0有唯一解x，即f'(x)=0有唯一解x，200且易知當xG(Z,x)時，f'(x)>0,當xG(xn)時，f'(x)<0，200n故此時f(x)在區(qū)間(|,n)內有唯一極大值點x.2TOC\o"1-5"\h\z綜上可知，函數f(x)在區(qū)間(0,n)內有唯一極值點.10分(II)因為f'(x)=cosx+xsinx-a，設h(x)=f'(x)，則h'(x)=xcosx.nnn令h'(x)=0，又xG(0,n)，得x=.且當xG(0,—)時，h'(x)>0；當xgF,n)時，h'(x)<0,222nn所以f'(x)在(0,-)內單調遞增，在(-,n)內單調遞減.22當aW1時，f'(0)=1—a>0，f'()=—a>0，f'(冗)=—1—a.22當f'(冗)=—1—a>0，即a<—1時，f'(x)>0.此時函數f(x)在(0,n)內單調遞增，f(x)>f(0)=0；當f'(冗)=—1—a<0，即一1<a<1時，因為f'(0)=1—a>0，f'(-)=-—a>0，nn所以，在(0,2)內f(x)>0恒成立，而在區(qū)間(2,n)內f'(x)有且只有一個零點，記為X，22貝y函數f(x)在(0,X)內單調遞增，在(X,n)內單調遞減.11又因為f(0)=0，f(兀)=(1—a)K>0，所以此時f(x)>0.TOC\o"1-5"\h\z由(1)(2)可知，當a<1時，對任意xg(0,n)，總有f(x)>0.15分34．(本小題滿分15分)解：(I)由煮舟=妙血疋，得廣(工)=口也工+口，2分則/dm.所以曲線?=在點處的切線為s-1)4分將點32)代入切線方程，得左=1.5分(II)由題意，得乳舄=刃"，廣⑴=血+1.令廣〔兀)=。，得乳=-7分e隨著兀變化，廣(Q與冗門的變化情況如下表所示:兀(巧(g+8)0+極小值/所以函數盤門在卩丄)上單調遞減，在(L+巧上單調遞增.9分ee所以函數存在極小值，且極小值為/(-)=--；函數了〔門不存在極大值.ee10分TOC\o"1-5"\h\zV2TK2(III)“y(R二〒-等價于“工由工-飛亠—11分eeee由(II),得蝕=血啟-1(當且僅當"1時等號成立)?①ee

1五21x所以血一尹產丁尹故只要證明尹。即可（需驗證等號不同時成立）?12分設烈力土-合，工€〔乩+坷，貝y才（花）=孚.13分因為當ke（Q1）時，宵（工*￥期；當兀E（l,+co）時，宵所以函數且〔門在（山1）上單調遞減，在1+3）上單調遞增.所以gW^g（O=0（當且僅當兀"時等號成立）?②因為①②兩個不等式中的等號不同時成立，所以當xe（0,+8）時，/（或〉15分（本小題滿分14分）解：（1）當位時,.1分.2分所以曲線尸了⑴在點W）處的切線方程為5T二0.4分（II）定義域為尺因為/(“=￡—厲衛(wèi)eR當"°時，了⑴"恒成立.所以函數在e上單調遞增..5分當位C°時，了〔X）n°恒成立.所以函數在e+03）上單調遞增..6分

③當詛沁③當詛沁時，令廣帥二0,貝yK=_品或左=.7分所以當時，代一石或“需;當了⑴cO時，一程“罷所以函數尸了⑴在（一叫一血）和?眄上單調遞增綜上可知，當詛三°時，函數》=冷在（呦，十°°）上單調遞增；當"0時，函數，二/㈤在（兩一庖和（血+冏上單調遞增在（-石，石）上單調遞減.（III）法一：由（II）可知，（1）當區(qū)￡°時，函數廠畑在皿嚴）上單調遞增；所以當迂（°很）時，AhW>A°）=^-?io分?io分⑵當小o時，函數尸"力在（-氓-拓）和〔五+眄上單調遞增在（—騙忌上單調遞減.①當0<Vs<1，即0<盤蘭1時，-卩-咋0.所以當龍氏（工2）時,函數"如在上單調遞減，，血2〕上單調遞增九3打雨）

所以.11分②當1vJ7<2，即1弋口c4時,由上可知人C）=皿廠所以.11分②當1vJ7<2，即1弋口c4時,由上可知人C）=皿廠貳一護+1）,因為呂"）=2-五沁,所以小工）在①4）上單調遞增.UQ>烈1)=|>0所以3所以所以.13分③當罷王2，即時,-11-d|=1-acO因為函數戸一了㈤在（乂血、上單調遞減,所以當心0②時,QAn?=/0=--^>l-^綜上可知，當雄（°⑵時了㈤:>-|1-門|時,.14分(III)法二:因為了⑴-〔-|1-叫）二克對+|1-。|,

①當時，因為xe(0,2),所以—伽蘭—X./(x)+|1-斜+1-尬二+1>—x5-^+1所以10分②當詛>1②當詛>1時,』/—IIIrr->,1=—A5-ffy+2t3-l=-2?H-l3(2-a)-1TOC\o"1-5"\h\z了㈤+|1-們于E+吃-133因為雄(0⑵,所以a〔2-x)2(2-；0./(x)+|1-lj|=—j;3+￡j(2-y)-l>—z3+(2-x)-1=-a^-^+1

所以..11分”或2二+?-工+1因為gV>?-l=Cx+l)C^-l),所以當了㈤時，1或兀>1,當艸小時，一1"燈..12分所以武匕)在(°’D上單調遞減，在⑴習上單調遞增.13分呂血(亦二烈1)二;>o所以所以當心⑴時，”"-|1-糾..14分(本小題共15分)x+1解：(1)因為f(x)=，定義域R,exx所以f'(x)一—.ex令f'(x)=0，解得x=0.X3O?0)0(0t+m)/w+0f(x)極大:值、隨x的變化，f'(x)和f(x)的情況如下:由表可知函數f(x)在x=0時取得極大值f(0)=1，無極小值.5分(II)令g(x)=f(x)+-x2—1=A+丄x2—1(x〉0),2ex2x1ex—1g(x)=Fx=x(1)=x().exexex由x〉0得ex—1〉0，于是g'(x)>0,故函數g(x)是［0,+g)上的增函數.1所以當xg(0，+g)時，g(x)〉g(0)=0，即f(x)>——x2+19分211(III)當a<—時，由(II)知f(x)〉—x2+1>ax2+1，滿足題意.22令h(x)=f(x)—ax2—1=xF1—ax2—1，exh'(x)=ex1—2ax=—x(—+2a).ex當—-<a<0時，若xg(0,ln(-丄)),22ah'(x)<0，則h(x)在［0，n(-扌)］上是減函數.所以xg(0,ln(-丄))時，h(x)<h(0)=0，不合題意.2a當a>0時h'(x)<0，則h(x)在(0,+g)上是減函數,所以h(x)<h(0)=0，不合題意.綜上所述，實數a的取值范圍(-]215分(本小題15分)n解：(1)由sinx-1，得xH-—+2kn(kgZ)2所以f(x)的定義域為{x|x豐-n+2kn(kgZ)}2cos0(H)f(0)-帀+e0-2-sinx(1+sinx)-cos2x1f'(x)-+ex--+ex1+sinx(1+sinx)2(nx豐一2)+2kn(kgZ)f'(0)二0所以，曲線f(x)在點(0，f(0))處的切線方程為y-21(III)法一：由f'(x)-—+ex，1+sinx令g(x)--廠1—+ex'則g'(x)-(1cosx)+ex1+sinx(1+sinx)2當nn時，g'(x)>0，則g(x)在nn上單調遞增,xg(一2邁)(一丹時，g(0)-0所以當n時，f\x)<0，f(x)單調遞減,xg(-2,0)當mn.時，f，(x)>0，f(x)單調遞增,xg(0,~)f(x)的極小值為f(0)=2時，所以，當nn時，f(x)三2xg(—,—)22法二：法二：f'(x)=一+ex1+sinx當X二0時，f'(0)—1+e0二01+sin0當xe(-2,0)時，sinxw(一1'0)'1+sinXw(°」)，亠e(1,+Q宀e(-。-]),21+sinx1+sinxexe(e-：,1)，所以當xe(-上,0)時，廣(x)<0，f(x)單調遞減'2當xe(0,^)時，sinxG(0，1)，1+sinxe(1,2),--^e(|,1),1^e(-1,-1),21+sinx21+sinx2exe(1,e：)，所以當xe(0二時，廣⑴>0，f(x)單調遞增'(‘2丿f(x)的極小值為f(0)=2所以，當nnXG(一勺込38.(本小題滿分14分)(I)解：當詛二1時,孑(町=丸一血也,所以，因此上二/U)二又因為了(1)二1,所以切點為〔1」).所以切線方程為》二1.(II)解：也(t)=x—盤In兀+比蘭，0f-a1十口(;r十1}(x-a所以血(工因為a>0，所以a+1>0.(1)當區(qū)+1<0，即區(qū)<一1時因為a