多項(xiàng)式的分解式

多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式在求最大公因式中的應(yīng)用***(吉首大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，湖南吉首，416000)摘要:由于一個(gè)多項(xiàng)式可以分解成若干個(gè)不可約多項(xiàng)式的乘積，若已知兩個(gè)多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)分解式，那么就很容易得到兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式.關(guān)鍵詞:最大公因式；標(biāo)準(zhǔn)分解式Theapplicationofthestandardpolynomialingreatestcommonfactor***(Collegeofmathematicsandcomputerscience,JishouUniversity,JishouHunan416000)Abstract:Becauseofapolynomialcanbedecomposedintoanumberofirreduciblepolynomialsoftheproduct,ifthetwopolynomialsareknowntothestandarddecompositionoftype,thenitiseasytoobtainthegreatestcommonfactoroftwopolynomials.Keywords:greatestcommonfactor,thestandardfactorization正文1引言：由高等代數(shù)與解析幾何書(shū)中，我們可以看到多項(xiàng)式的最大公因式的另一種表示方法：.設(shè)f(x),g(x)eK[x],且在數(shù)域K上有以下分解式：f(x)=cpr1(x)pr2(x)p’s(x),r>0,i=12??.s.12s1g(x)=cpt1(x)pt2(x)…pt、(x),t>0,1=12???s.12s1則(f(x),g(x))=p血卜)pmin確}…pminL，t」其中P(x),p(x)???p(X)為首項(xiàng)系12s'、12s數(shù)為一的不可約多項(xiàng)式.書(shū)中只是將這個(gè)結(jié)論及其證明板書(shū)了出來(lái)，但對(duì)其的應(yīng)用卻只字未提，所以我寫(xiě)此文主要想介紹一下它的應(yīng)用.一?預(yù)備定理：多項(xiàng)式的最大公因式：設(shè)f(x),g(x)eK[x],如果多項(xiàng)式d(x)eK[x],且具有以下兩個(gè)性質(zhì)：(!)d(x)為f(x)與g(x)的公因式；(2)f(x)與g(x)的公因式均為d(x)的公因式.則稱(chēng)d(x)為f(x)與g(x)的一個(gè)最大公因式.同時(shí)我們約定，用：(f(x),g(x))來(lái)表示首項(xiàng)系數(shù)為1的那個(gè)最大公因式，且當(dāng)f(x)=g(x)=0時(shí)，規(guī)定(0,0)=0.多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)因式分解式：對(duì)任意多項(xiàng)式f(x)eKL],它在數(shù)域K上有以下分解式：f(x)=cpri(x)pr2(x)…PL(x),r>0,i=12??.s.

12s1其中pi(x),p2(x)-^Ps(x)為數(shù)域K上首一的不可約多項(xiàng)式.2.主要方法的證明與應(yīng)用2.1命題1.設(shè)f(x),g(x)K[x],且在數(shù)域K上有以下分解式：f(x)=Cpr1(x)pr2(x)prs(X),r>0,1=12^8.TOC\o"1-5"\h\z12S1g(x)=Cpt1(x)pt2(x)…pt、(x),t>0,i=12???s.12s1貝U(f(x),g(x))=pmin{r1，t1)(x)pmin々,『(x)…pmin%,t)(x),其中12s'、p(x),p(x).p(x)為首項(xiàng)系數(shù)為一的不可約多項(xiàng)式。12s證明：不妨令pmin、1)(x)pminZ’jG)…pminR"G)=d'(x),而設(shè)12s(f(x),g(x))=d(x).,「min{r,t}<r.且min4,t}<J(1=12.s)「?有d'(x)|f(x)且d'(x)|g(x)「?d'(x)為f(x)與g(x)的公因式.則由最大公因式的定義可知：TOC\o"1-5"\h\zd'(x)|(f(x),g(x))=d(x)(1)又?.?d(x)可以表示成以下分解式：d(x)=pk1(x)pk2(x)…pk(x),(k.為非負(fù)的整數(shù)，i=1,2???s)則由(1)式可知：min{,r}<k.,(i=1,2???s)(2)又由最大公因式d(x)|f(x),d(x)|g(x)則有k<t且k<r(i=1,2???s)iiiik<min{,r}(i=1,2.??s)(3)則有(2)(3)兩式可得：min(t,r}=k(i=1,2???s)iii所以可得：(f(x),g(x))=p血n卜}(x)pmin42，r2}(x)???pmin上,rs}(x),其中p(x),p(x)…12s'、12p(x)為首相系數(shù)為一的不可約多項(xiàng)式.s「?命題2.1結(jié)論成立.小結(jié)：上述命題所得的結(jié)論只能從理論上將兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式表示出來(lái)，若要將兩個(gè)多項(xiàng)式的最大公因式具體的求出，那么上述方法就行不通了，這主要是將多項(xiàng)式表示成標(biāo)準(zhǔn)分解式所需的不可約多項(xiàng)式不易求出.但上述方法在解決一些理論問(wèn)題上卻很大的功效，下面我通過(guò)幾道例題來(lái)說(shuō)明這個(gè)道理.TOC\o"1-5"\h\z例1證明：如果f(x)|g(x)，f(x)|g(x)，且(f(x)，f(x))=1，1212那么f(x)f2(x)|g(x).證明：f(x)，f2(x)，g(x)可以分解成以下式子：f(x)=cpr1(x)pr2(x)…prs(x),r>0,i=12?3.112s1f(x)=cpt1(x)pt2(x)…pts(x),t>0,i=12???s.212sig(x)=c3pk1(x)pk2(x)…pk(x),k.>0i=12???s.其中p1(x),p2(x)???ps(x)為首項(xiàng)系數(shù)為一的不可約多項(xiàng)式.?f(x)|g(x)則min(r,k)=r,(i=1,2???s)⑴1iiif(x)|g(x)則min(t,k}=t,(i=1,2???s)⑵2iii

而由命題2.1可知：'min2(f(x),f(x))=pmin如「［)p121又...(f(x),f(x))=1「?min(x)=ccpr+t(x)pr+t(x)pr+t(X),TOC\o"1-5"\h\zp11p22$$1212$由(3)式可知：ri和J中至少有一個(gè)為0(i=1,2—s)貝Ur+1=r或r+1='min2又...(f(x),f(x))=1iiiiii由(1)(2)(4)式可知：min(k,r+1)=r+1,(i=1,2^s)iiiii而(f(x)f(x),g(x))=pmin"1+"「}(X)pminZ+t2,k2}(X)…TOC\o"1-5"\h\z1212"in4+tk}(X}="r+tJ”r+t(有…〃r+t(0=11f^)f^)pminYF，K$)(X)pr1+t1(X)pr2+t2(x)pr+t,(X)f(X)f(X)遙遙遙$12$cc12f(x)f2(x)|g(x),「?命題得證.上述方法雖然略現(xiàn)復(fù)雜，但它在解題的思路上較為清晰，明了.所以此法不失一種解題之道.例2.2證明：如果(f(x),g(x))=1,(f(x),h(x))=1,那么(f(x),g(x)h(x))=1對(duì)于此題我想用兩種方法來(lái)證明上述問(wèn)題，以說(shuō)明利用命題2.1的結(jié)論有時(shí)能夠起到化繁為簡(jiǎn)的作用.法(一)，證：由(f(x),g(x))=1可知：存在多項(xiàng)式u(x),v(x)使得：TOC\o"1-5"\h\zu(x)f(x)+v(x)g(x)=1(1)同理可得：存在多項(xiàng)式u'(X),材1)使得：uk)f(x)+v'(X)h(x)=1(2)為了構(gòu)造u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1的形式所以將(1)(2)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蔚茫簎(x)f(x)-1=-v(x)g(x)(3)u'(x)f(x)-1=-v'(x)h(x)(4)(3)x(4)得：(u(x)f(x)-1)(u'(x)f(x)-1)=v(x)v'(x)g(x)h(x)

經(jīng)化簡(jiǎn)得：(u(x)+u'(x)一u(x)u'(x)f(x))f(x)+v(x)v'(x)g(x)h(x)=1不妨令：u(x)=(u(x)+u'(x)-u(x)u'(x)f(x))v(x)=v(x)v'(x)則存在u0(x),v0(x)使得：u(x)f(x)+v(x)g(x)h(x)=1所以：(f(x),g(x)h(x))=1..?上述命題成立.法(二)：證：令f(x)=cpri(x)pr2(x)pr(x)，尸為非負(fù)的整數(shù)，i=1，2…STOC\o"1-5"\h\z1112sif(x)=cp，1(x)p/x)...pts(x).t為非負(fù)的整數(shù)，i=1,2.s.2212sih(x)=c3p](x)p；2(x)…p\3),七為非負(fù)的整數(shù)，i=1，2...S.其中c,c,c為非零的常數(shù)，p(x),p(x)...p(x)為首項(xiàng)系數(shù)為一的不可約多12312S項(xiàng)式.由命題2.1的結(jié)論可知：(f(x),g(x))=pmin{r1,t1)(x)pmin?2/2}(x)?…pmin}(x)12s(f(x),h(x))=pmin?/]}(x)pmin?2,2}(x)?…pmin?/」(x)12s■■又由(f(x),g(x))=1，(f(x),h(x))=1則有minb,t}=0,min{r,l}=0(i=1,2???s)(1)而g(x)h(x)=ccpt1+l1而g(x)h(x)=ccpt1+l1(x)pt2+l2(x)…pyis(x)現(xiàn)要證(f(x),g(x)h(x))二1只要證min{r,t+1}=0(i=1,2???s)⑵則由(1)式可知：當(dāng)r=0時(shí)（i=1，2???s），由于t,l為非負(fù)的整數(shù)，此時(shí)（2）式顯然成立.iii當(dāng)r^0時(shí)（i=1，2???s），由于t,l為非負(fù)的整數(shù)，則由（1）式可得：iiit=l=0（i=1，2???s）則此時(shí)(2)式依然成立./.無(wú)論尸為何值，均有minb,t+1}=0(，=1,2...s)(3)TOC\o"1-5"\h\ziiii?.?由命題2.1的結(jié)論可知：(f(x).g(x)h(x))=pmin{r,t+1)(x)nmin{r,t+1)(x)…nmin\r,t+l}(X)\J\^7,glH人〃p廣11l人Jp2,22l人/pss\^/12s其中p(x),p(x).?.p(x)為首項(xiàng)系數(shù)為一的不可約多項(xiàng)式.12s而由(3)式