新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)理數(shù)-第69講圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用課件

新課標(biāo)高中一輪總復(fù)習(xí)1第十單元幾何證明選講2第69講圓錐曲線性質(zhì)的探討與幾何證明的簡(jiǎn)單應(yīng)用3則(1)β>α，平面π與圓錐的交線為橢圓；（2）β=α，平面π與圓錐的交線為拋物線；（3）β<α，平面π與圓錐的交線為雙曲線.3.通過丹迪林雙球探求橢圓的性質(zhì)，加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的認(rèn)識(shí)，理解平面與空間的統(tǒng)一關(guān)系.51.下列對(duì)于半徑為4的圓在已知平面α上的射影的說(shuō)法錯(cuò)誤的是()DA.射影為線段時(shí)，其長(zhǎng)度為8B.射影為橢圓時(shí)，其短軸長(zhǎng)小于8C.射影為橢圓時(shí)，其長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8D.射影為圓時(shí)，其直徑為10利用射影的概念推理可知,A、B、C均正確,而D選項(xiàng),射影為圓時(shí),其直徑為8,故選D.62.如果一個(gè)三角形的平行投影還是一個(gè)三角形，則下列結(jié)論正確的是()BA.內(nèi)心的平行投影還是內(nèi)心B.重心的平行投影還是重心C.垂心的平行投影還是垂心D.外心的平行投影還是外心在平行投影時(shí)，垂直關(guān)系與線段長(zhǎng)度不一定都能保持不變，但線段的中點(diǎn)投影后仍是線段的中點(diǎn)，所以重心的平行投影還是重心.73.在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點(diǎn)O，夾角為60°，l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面.若平面π與l的夾角為45°，則平面π截圓錐面所得的截線為

.雙曲線因?yàn)?5°<60°，所以截線為雙曲線.81.平行投影基本定理:不平行于投影線的線段,在平面上的投影仍為①

,線段上的點(diǎn)分線段的比保持②

，端點(diǎn)仍為端點(diǎn).2.平面與圓柱面的截線：若一平面π與圓柱面的軸線所成的角為銳角α，則平面π與圓柱面所截得的曲線是③

,此橢圓的離心率e=④

.線段不變橢圓cosα104.圓錐曲線的統(tǒng)一定義：平面內(nèi)，動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)F的距離和它到一條定直線的距離之比是常數(shù)e.當(dāng)0＜e＜1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是⑨

；當(dāng)e＞1時(shí)，點(diǎn)M的軌跡是⑩

;當(dāng)e=1時(shí),點(diǎn)M的軌跡是

,其中定點(diǎn)F為焦點(diǎn),定直線是相應(yīng)的

.橢圓雙曲線11拋物線12準(zhǔn)線12一個(gè)平面圖形在一個(gè)平面上的投影既與投影的方式有關(guān)，又與平面圖形所在平面與已知平面的位置關(guān)系有關(guān).已知a、b、c、d是四條互不重合的直線，且c、d分別為a、b在平面α上的射影，給出下面兩組判斷：第一組：①a⊥b，②a∥b；第二組：③c⊥d，④c∥d.分別從兩組中各選出一個(gè)判斷，使一個(gè)作條件，另一個(gè)作結(jié)論，那么寫出的一個(gè)正確命題是

.兩平行線在一個(gè)平面上的射影可能仍平行.填②④.②④14題型二圓柱截面的性質(zhì)及應(yīng)用例2證明：長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a，短半軸長(zhǎng)為b的橢圓的面積為πab.如圖，橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面，可知圓面的半徑為b，橢圓面與底圓面所成角為θ，則cosθ==,故

=cosθ=，所以S橢圓=S圓=πb2=πab.S橢圓S圓本例是利用圓柱形物體的斜截口是橢圓這一定理，通過恰當(dāng)構(gòu)造而實(shí)現(xiàn)問題的論證.15題型三平面與圓錐截面的截線的性質(zhì)及應(yīng)用例3一圓錐側(cè)面展開圖為半圓，平面π與圓錐的軸成45°角，則平面π與該圓錐側(cè)面相交的交線為()A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓D因?yàn)閳A錐側(cè)面展開圖為半圓，所以圓錐的母線與軸成30°角，而平面π與圓錐的軸成45°角，故平面π與該圓錐側(cè)面相交的交線為橢圓.16正確解答本題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確記憶和運(yùn)用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關(guān)系與圓錐跟截面交線的類型的對(duì)應(yīng)關(guān)系定理.17一個(gè)軸截面頂角為120°的圓錐被一個(gè)與其一條母線垂直的平面(不過圓錐面的頂點(diǎn))所截，則截面與圓錐側(cè)面的交線的形狀是()A.橢圓的一部分B.拋物線的一部分C.雙曲線的一部分D.圓的一部分因?yàn)榻痪€的離心率e===,所以交線的形狀是雙曲線的一部分.選C.C圓柱、圓錐截線問題應(yīng)注意:(1)選擇恰當(dāng)?shù)妮S截面討論;(2)截面的傾角對(duì)截線性質(zhì)的影響.18要使球上的點(diǎn)到底面的距離最大，則應(yīng)使球與圓錐面相切.如圖是軸截面，則EF的長(zhǎng)即為所求的最長(zhǎng)距離.設(shè)球心為O，則設(shè)圓與母線的切點(diǎn)為C,OC⊥SB.所以△SOC∽△SBF,則=,SB=5,所以SO===,所以EF=SF-SO+OE=4-+1=,即該球上的點(diǎn)與底面的距離的最大值為.與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的接、切問題，通?？梢钥紤]它們的軸截面來(lái)解決，這是圓錐面的截線問題的常用處理方法.20一個(gè)頂角為60°的圓錐面被一平面π所截，Dandelin雙球均在頂點(diǎn)S的下方,且一個(gè)半徑為1,另一個(gè)半徑為5，則截線的形狀是

，其離心率是

.由Dandelin雙球均在S的同側(cè)，可知截線是橢圓，可計(jì)算出橢圓中的參數(shù)a,c，從而求出離心率.21故2c=+=2,所以c=.又因?yàn)锽F1+BF2=BC+BD=CD,所以橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)2a=CD===4,所以a=2,故橢圓的離心率e===.23(方法二)因?yàn)椤螼1EF1為截面與軸的夾角.所以cosβ=cos∠O1EF1===.又因?yàn)轫斀菫?0°,所以cosα=cos30°=,所以截線的離心率e=cosβcosα==.24在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點(diǎn)，其夾角為α,l′圍繞l旋轉(zhuǎn)得到以O(shè)為頂點(diǎn)，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(π與l平行，記β=0)，證明：當(dāng)β=α?xí)r，平面π與圓錐的交線為拋物線.26如圖，設(shè)平面π與圓錐內(nèi)切球相切于點(diǎn)F1，球與圓錐的交線為S，過該交線的平面為π′，π與π′相交于直線m,在平面π與圓錐的截線上任取一點(diǎn)P，連接PF1,過點(diǎn)P作PA⊥m,交

m于點(diǎn)A,過點(diǎn)P作π′的垂線，垂足為B，接結(jié)AB,則AB⊥m，所以∠PAB是π與π′所成二面角的平面角.27連接點(diǎn)P與圓錐的頂點(diǎn)，與S相交于點(diǎn)Q1,連接BQ1，則∠BPQ1=α，∠APB=β.在Rt△APB中，PB=PAcosβ.在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα,所以=.又因?yàn)镻Q1=PF1,α=β,=1,即PF1=PA,動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F1的距離等于它到直線m的距離，故當(dāng)α=β時(shí)，平面與圓錐的交線為拋物線.281.要善于把圓的有關(guān)性質(zhì)類比推廣到球的一些性質(zhì).2.定理中的兩個(gè)角α、β的確切含義要弄清楚.3.當(dāng)β從0°到90°變化時(shí)，平面π與圓錐面S交出的曲線形狀分析：當(dāng)β=0°時(shí)，截面過軸線，此時(shí)的截線為兩條母線（可視為退化的雙曲線）;30當(dāng)β從0°到α變化時(shí)，截面與圓錐面的兩部分均有截線，截線為雙曲線，其離心率e=越來(lái)越小，并趨近于１；當(dāng)β=α?xí)r，截面此時(shí)與一條母線平行,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率e==1;31當(dāng)β從α到90°變化時(shí)，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率e=越來(lái)越小，得到的橢圓越來(lái)越圓；當(dāng)β=90°時(shí)，截面與軸線垂直，得到的截線為圓（可視為退化的橢圓）.從以上過程可知，圓錐曲線中，拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置，也是分界線.它既是離心率無(wú)限趨于1的雙曲線的極限情況，也是離心率無(wú)限趨于1的橢圓的極限情況.32學(xué)例1(2008·浙江卷)如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點(diǎn)P在平