新課標高中一輪總復習理數-第69講圓錐曲線性質的探討與幾何證明的簡單應用課件

新課標高中一輪總復習1第十單元幾何證明選講2第69講圓錐曲線性質的探討與幾何證明的簡單應用3則(1)β>α，平面π與圓錐的交線為橢圓；（2）β=α，平面π與圓錐的交線為拋物線；（3）β<α，平面π與圓錐的交線為雙曲線.3.通過丹迪林雙球探求橢圓的性質，加深對數形結合思想的認識，理解平面與空間的統一關系.51.下列對于半徑為4的圓在已知平面α上的射影的說法錯誤的是()DA.射影為線段時，其長度為8B.射影為橢圓時，其短軸長小于8C.射影為橢圓時，其長軸長為8D.射影為圓時，其直徑為10利用射影的概念推理可知,A、B、C均正確,而D選項,射影為圓時,其直徑為8,故選D.62.如果一個三角形的平行投影還是一個三角形，則下列結論正確的是()BA.內心的平行投影還是內心B.重心的平行投影還是重心C.垂心的平行投影還是垂心D.外心的平行投影還是外心在平行投影時，垂直關系與線段長度不一定都能保持不變，但線段的中點投影后仍是線段的中點，所以重心的平行投影還是重心.73.在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于點O，夾角為60°，l′圍繞l旋轉得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面.若平面π與l的夾角為45°，則平面π截圓錐面所得的截線為

.雙曲線因為45°<60°，所以截線為雙曲線.81.平行投影基本定理:不平行于投影線的線段,在平面上的投影仍為①

,線段上的點分線段的比保持②

，端點仍為端點.2.平面與圓柱面的截線：若一平面π與圓柱面的軸線所成的角為銳角α，則平面π與圓柱面所截得的曲線是③

,此橢圓的離心率e=④

.線段不變橢圓cosα104.圓錐曲線的統一定義：平面內，動點M到定點F的距離和它到一條定直線的距離之比是常數e.當0＜e＜1時，點M的軌跡是⑨

；當e＞1時，點M的軌跡是⑩

;當e=1時,點M的軌跡是

,其中定點F為焦點,定直線是相應的

.橢圓雙曲線11拋物線12準線12一個平面圖形在一個平面上的投影既與投影的方式有關，又與平面圖形所在平面與已知平面的位置關系有關.已知a、b、c、d是四條互不重合的直線，且c、d分別為a、b在平面α上的射影，給出下面兩組判斷：第一組：①a⊥b，②a∥b；第二組：③c⊥d，④c∥d.分別從兩組中各選出一個判斷，使一個作條件，另一個作結論，那么寫出的一個正確命題是

.兩平行線在一個平面上的射影可能仍平行.填②④.②④14題型二圓柱截面的性質及應用例2證明：長半軸長為a，短半軸長為b的橢圓的面積為πab.如圖，橢圓在圓柱底面的平行投影為圓面，可知圓面的半徑為b，橢圓面與底圓面所成角為θ，則cosθ==,故

=cosθ=，所以S橢圓=S圓=πb2=πab.S橢圓S圓本例是利用圓柱形物體的斜截口是橢圓這一定理，通過恰當構造而實現問題的論證.15題型三平面與圓錐截面的截線的性質及應用例3一圓錐側面展開圖為半圓，平面π與圓錐的軸成45°角，則平面π與該圓錐側面相交的交線為()A.圓B.拋物線C.雙曲線D.橢圓D因為圓錐側面展開圖為半圓，所以圓錐的母線與軸成30°角，而平面π與圓錐的軸成45°角，故平面π與該圓錐側面相交的交線為橢圓.16正確解答本題的關鍵是準確記憶和運用圓錐的截面與圓錐的軸所成的角與圓錐母線與軸的夾角的大小關系與圓錐跟截面交線的類型的對應關系定理.17一個軸截面頂角為120°的圓錐被一個與其一條母線垂直的平面(不過圓錐面的頂點)所截，則截面與圓錐側面的交線的形狀是()A.橢圓的一部分B.拋物線的一部分C.雙曲線的一部分D.圓的一部分因為交線的離心率e===,所以交線的形狀是雙曲線的一部分.選C.C圓柱、圓錐截線問題應注意:(1)選擇恰當的軸截面討論;(2)截面的傾角對截線性質的影響.18要使球上的點到底面的距離最大，則應使球與圓錐面相切.如圖是軸截面，則EF的長即為所求的最長距離.設球心為O，則設圓與母線的切點為C,OC⊥SB.所以△SOC∽△SBF,則=,SB=5,所以SO===,所以EF=SF-SO+OE=4-+1=,即該球上的點與底面的距離的最大值為.與旋轉體有關的接、切問題，通?？梢钥紤]它們的軸截面來解決，這是圓錐面的截線問題的常用處理方法.20一個頂角為60°的圓錐面被一平面π所截，Dandelin雙球均在頂點S的下方,且一個半徑為1,另一個半徑為5，則截線的形狀是

，其離心率是

.由Dandelin雙球均在S的同側，可知截線是橢圓，可計算出橢圓中的參數a,c，從而求出離心率.21故2c=+=2,所以c=.又因為BF1+BF2=BC+BD=CD,所以橢圓的長軸長2a=CD===4,所以a=2,故橢圓的離心率e===.23(方法二)因為∠O1EF1為截面與軸的夾角.所以cosβ=cos∠O1EF1===.又因為頂角為60°,所以cosα=cos30°=,所以截線的離心率e=cosβcosα==.24在空間中，取直線l為軸，直線l′與l相交于O點，其夾角為α,l′圍繞l旋轉得到以O為頂點，l′為母線的圓錐面，任取平面π，若它與軸l交角為β(π與l平行，記β=0)，證明：當β=α時，平面π與圓錐的交線為拋物線.26如圖，設平面π與圓錐內切球相切于點F1，球與圓錐的交線為S，過該交線的平面為π′，π與π′相交于直線m,在平面π與圓錐的截線上任取一點P，連接PF1,過點P作PA⊥m,交

m于點A,過點P作π′的垂線，垂足為B，接結AB,則AB⊥m，所以∠PAB是π與π′所成二面角的平面角.27連接點P與圓錐的頂點，與S相交于點Q1,連接BQ1，則∠BPQ1=α，∠APB=β.在Rt△APB中，PB=PAcosβ.在Rt△PBQ1中,PB=PQ1cosα,所以=.又因為PQ1=PF1,α=β,=1,即PF1=PA,動點P到定點F1的距離等于它到直線m的距離，故當α=β時，平面與圓錐的交線為拋物線.281.要善于把圓的有關性質類比推廣到球的一些性質.2.定理中的兩個角α、β的確切含義要弄清楚.3.當β從0°到90°變化時，平面π與圓錐面S交出的曲線形狀分析：當β=0°時，截面過軸線，此時的截線為兩條母線（可視為退化的雙曲線）;30當β從0°到α變化時，截面與圓錐面的兩部分均有截線，截線為雙曲線，其離心率e=越來越小，并趨近于１；當β=α時，截面此時與一條母線平行,截面僅與圓錐面的一部分有截線,截線為拋物線,離心率e==1;31當β從α到90°變化時，截面僅與圓錐面的一部分有截線，截線為拋物線，離心率e=越來越小，得到的橢圓越來越圓；當β=90°時，截面與軸線垂直，得到的截線為圓（可視為退化的橢圓）.從以上過程可知，圓錐曲線中，拋物線是雙曲線與橢圓的極端位置，也是分界線.它既是離心率無限趨于1的雙曲線的極限情況，也是離心率無限趨于1的橢圓的極限情況.32學例1(2008·浙江卷)如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平