線性代數(shù)-6-2維數(shù)、基與坐標(biāo)

一、線性空間的基與維數(shù)已知：在Rn中，線性無關(guān)的向量組最多由n個(gè)向量組成，而任意n

1個(gè)向量都是線性相關(guān)的．問題：線性空間的一個(gè)重要特征——

性空間V

中，最多能有多少線性無關(guān)的向量？滿足：1

,

2

,,

n線性無關(guān);V中任一元素總可由1

,

2

,,

n線性表示,那末,1

,

2

,,

n

就稱為線性空間V

的一個(gè)基,n

稱為線性空間V

的維數(shù).定義１性空間

V

中，如果存在

n

個(gè)元素1

,2

,,n維數(shù)為n的線性空間稱為n

維線性空間,記作Vn

.當(dāng)一個(gè)線性空間

V

中存在任意多個(gè)線性無關(guān)的向量時(shí)，就稱

V

是無限維的．若1

,2

,,n為Vn的一個(gè)基,則Vn可表示為

n定義２設(shè)1

,

2

,,

n是線性空間Vn的一個(gè)基,對(duì)于任一元素

Vn

,總有且僅有一組有序數(shù)

n

,

使nn,基下的坐標(biāo),并記作

n

.Tn稱為元素在1

,2

,,n這個(gè)有序數(shù)組二、元素在給定基下的坐標(biāo)例1

性空間

xP4中

1

pp2

x

p

x

,1p,,,23

4x3

,p

x4

就是它的一個(gè)基.5任一不超過4次的多項(xiàng)式p

a4

x4

a3

x3

a2

x2

a1

x

a0可表示為p

a0

p1

a1

p2

a2

p3

a3

p4

a4

p5因此p

在這個(gè)基下的坐標(biāo)為(,

,

,

,

)01234aaaaa

T注意

線性空間V的任一元素在不同的基下所對(duì)的坐標(biāo)一般不同，一個(gè)元素在一個(gè)基下對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)是唯一的．若取另一基q4

x,35q

x4

,則x2x

q35443

a

q

a

q31

21

221p

(a0

a1

)q

a

q

a

qTa4),21a1,,

(a2a3a0a1因此p

在這個(gè)基下的坐標(biāo)為

0

1

0

0

1

00,

0

0

0

0

1,

0

0

1

0,22E

2112EEE1121,k

3

E

21k

2

E12k1

E11

k

3

k

4

k

k

k

4

E

22有例２所有二階實(shí)矩陣組成的集合V，對(duì)于矩陣的加法和數(shù)量乘法，構(gòu)成實(shí)數(shù)域

R上的一個(gè)線性空間．對(duì)于V中的矩陣00,k1

E11

O

00k

2

E12

k

3

E

21

k

4

E

22k1

k

2

k

3

k

3

0,因此11

12a22

a21

a

a

A

V

,即E11

,E12

,E

21

,E

22線性無關(guān).對(duì)于任意二階實(shí)矩陣因此E11

,E12

,E

21

,E

22為V的一組基.而矩陣A在這組基下的坐標(biāo)是A

a11

E11

a12

E12

a21

E

21

a22

E

22有(a11,

a12,

a,

a

)T

.21

22)

.(n1)!2!f

'(a)f

(

n

1)(a),

,(

f

(a),

f

'(a),

1

,

2

,

3

,,

n

下的坐標(biāo)是T性空間R[x]n中,取一組基2

n1

2

1(x,

a),

3

x

a)(

,,

n

x

a)(公式知例3

1

則由f2!x

f

a

(f)'()a()(

x

a)

f

''()a

x

a)(2fn

1)(!n

1n

1()()a

x

a)(中的不同元素.1

1對(duì)應(yīng)的

算的關(guān)系上.稱這樣的

是V

n

與Rn的一個(gè).這個(gè)對(duì)應(yīng)的重要性表現(xiàn)在它與運(yùn)設(shè)

1

,

2

,,

n

是n維線性空間V

n的一組基,

在這組基下,V

n中的每個(gè)向量都有唯一確定的坐標(biāo).而向量的坐標(biāo)可以看作Rn中的元素,因此向量與它的坐標(biāo)之間的對(duì)應(yīng)就是V

n

到Rn的一個(gè) .由于Rn中的每個(gè)元素都有V

n中的向量與之對(duì)應(yīng),同時(shí)V

n中不同的向量的坐標(biāo)不同,因而對(duì)應(yīng)Rn三、線性空間的同構(gòu)

a1

1

a2

2

an

n

b1

1

b2

2

bn

n即向量

,

V在基

1

,

2

,,

n

下的坐標(biāo)分別為T

T(a1,a2,,an)

和(b1,b2,,bn)

,則

(a1

b1)

1

(a2

b2)

2

(an

bn)

nk

k

a1

1

k

a2

2

k

an

n于是

與k的坐標(biāo)分別為T(a1b1,a2b2,,anbn)T

T

(a1,a2,,an)

(b1,b2,,bn)T

T(ka1,ka2,,kan)

k

(a1,a2,,an)設(shè)上式表明:在向量用坐標(biāo)表示后,它們的運(yùn)算就歸結(jié)為坐標(biāo)的運(yùn)算,因而線性空間V

n的就歸結(jié)為Rn的.下面更確切地說明這一點(diǎn).定義設(shè)U、V是兩個(gè)線性空間，如果它們的元素之間有一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，且這個(gè)對(duì)應(yīng)關(guān)系保持線性組合的對(duì)應(yīng)，那末就稱線性空間U

與V

同構(gòu).例如n維線性空間Vn

x11

x22

xnn

x1

,

x2

,,

xn

R與n維數(shù)組向量空間Rn

同構(gòu).因?yàn)?1)V

中的元素與Rn中的元素(

x

,

x

,,

x

)Tn

1

2

n形成一一對(duì)應(yīng)關(guān)系；V

n

x11

x22

xnn)T2n,

,

xx

(

x1

,

xRn(2)設(shè)則有2121n

yyy)nT

Tn

)

(

(

y

,

y

,,

y

)T1

2

n,21

結(jié)論１．?dāng)?shù)域P上任意兩個(gè)n

維線性空間都同構(gòu)２．．同構(gòu)的線性空間之間具有反身性、對(duì)稱性與傳遞性．３．同維數(shù)的線性空間必同構(gòu)．同構(gòu)的意義性空間的抽象中，無論構(gòu)成線性空間的元素是什么，其中的運(yùn)算是如何定義的，所關(guān)心的只是這些運(yùn)算的代數(shù)性質(zhì)．從這個(gè)意義上可以說，同構(gòu)的線性空間是可以不加區(qū)別的，而有限維線性空間唯一本質(zhì)的特征就是它的維數(shù)．１．線性空間的基與維數(shù)；２．線性空間的元素在給定基下的坐標(biāo)；坐標(biāo)：（１）把抽象的向量與具體的數(shù)組向量聯(lián)系起來；（２）把抽象的線性運(yùn)算與數(shù)組向量的線性運(yùn)算聯(lián)系起來．３．線性空間的同構(gòu)．四、小結(jié)求由Px3中元素1x,x,23232f3

(4

5,235x生成的子空間的基與維數(shù).思考題思考題解答解

令k

1則得(k1

2

(4

k1因此設(shè)該齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為A,則

00

0

1

1

0

3

4

1

2

0

00

0

0初等行變換

0A

~

有因此,f

1

(x