數(shù)字電子技術(shù)

1.

2

邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)方法1.2.1

邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式和最簡(jiǎn)式一、標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式Y(jié)

F

(

A

,B

,C

)

AB

AC

AB(C

C)

AC(B

B)

ABC

ABC

ABC

ABC標(biāo)準(zhǔn)與或式最小項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)與或式就是最小項(xiàng)之和的形式1.

最小項(xiàng)的概念：包括所有變量的乘積項(xiàng)，每個(gè)變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)且僅出現(xiàn)一次。Y

F

(

A

,B

)AB

AB

AB(2

變量共有

4

個(gè)最小項(xiàng))AB(3

變量共有

8

個(gè)最小項(xiàng))Y

F

(

A

,B

,C

,D

)(4

變量共有

16

個(gè)最小項(xiàng))(n

變量共有

2n

個(gè)最小項(xiàng))ABC

D…

…ABCDABCDABCD

ABC

DY

F

(

A

,B

,C

)ABC

ABC

ABCABC

ABC

ABC

ABCABC2.

最小項(xiàng)的性質(zhì)：A

BCABCABCABCABCABCABCABCABC0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

11000000001000000001000000001000000001000000001000000001000000001任一最小項(xiàng)，只有一組對(duì)應(yīng)變量取值使其值為1

；任意兩個(gè)最小項(xiàng)的乘積恒為0

；全體最小項(xiàng)之和恒為1

。3.

最小項(xiàng)是組成邏輯函數(shù)的基本單元任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個(gè)最小項(xiàng)構(gòu)可以表示成為最小項(xiàng)之和的形式——標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。[例]寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：Y

F

(

A

,B

,C

)

AB

AC

m6

m7

m1

m3

m

1

,

3

,

6

,

7[解]Y

AB(C

C)

AC(B

B)

ABC

ABC

AB

C

ABCm6

m7

m1

m3或唯一的邏輯函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式可直接從真值表得到在真值表中，挑出使函數(shù)值為1的變量取值寫成乘積項(xiàng)，其中變量為1的寫成原變量，為0的寫成反變量，把乘積

起來(lái)，即可得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式ABCY00000010010001111001101111011111AABBC

CABC

ABCY

ABC

ABCABCABCABCABCABCABCABC0

0

00

0

10

1

00

1

11

0

01

0

11

1

01

1

101234567m0m1m2m3m4m5m6m74.

最小項(xiàng)的

：把與最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的變量取值當(dāng)成二進(jìn)制數(shù)，與之相應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是該最小項(xiàng)的

，用

mi

表示。對(duì)應(yīng)規(guī)律：原變量

1

反變量

0[例]寫出下列函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或式：Y

AB

AD

BC

(

A

B)

(

A

D)

(

B

C)

(

A

B

D)

(

B

C)

AB

AC

BC

D

AB(C

C)

AC(B

B)

BCD(

A

A)

ABC

ABC

ABC

ABC

D

ABC

D

ABCD

ABC

D

ABC

Dm1

m0

m8

m7

m6

m5

m4

m1

m0

m8

m

(

0

,

1

,

4

,

5

,

6

,

7

,

8

)

ABCD

ABC

D

ABCD

ABC

Dm7

m6

m5

m4與前面m0相重最簡(jiǎn)或與式最簡(jiǎn)與或非式二、邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式及相互轉(zhuǎn)換Y

AB

AC

最簡(jiǎn)與或式AB

AC最簡(jiǎn)與非-與非式最簡(jiǎn)或與非式AB

AC(

A

B)

(

A

C

)A

B

A

C最簡(jiǎn)或非-或非式AB

ACA

B

A

C最簡(jiǎn)或非-或式(

A

B)(

A

C

)1.2.2

邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法一、并項(xiàng)法:AB

AB

A[例1.2.7]Y

ABC

ABC

AB

AB

AB

B[例]

Y

ABC

ABC

ABC

ABC

A

(

BC

B

C

)

A

(

BC

BC

)

A

B

C

A(

B

C

)

A（與或式最簡(jiǎn)與或式）公式定理二、吸收法：A

AB

AY

AB

AD

BE

A

B

AD

BE

A

BY

A

A

BC

(

A

B

C

D)

BC

(

A

BC)

(

A

BC)

(

A

B

C

D)

A

BC[例1.2.8][例][例]Y

AB

ACD

BCD

AB

(

A

B)

CD

AB

AB

CD

AB

A

B三、消去法：A

AB

A

BY

AB

AC

BC

AB

(

A

B)C

AB

AB

C

AB

CY

AB

AB

ABC

ABC

A

(

B

B

C

)

A

(

B

BC)

A

(

B

C

)

A

(

B

C

)

AB

AB

AC

AC

AB

AB

C[例][例]四、配項(xiàng)消項(xiàng)法：AB

AC

BC

AB

AC

BC

AC

AB或

AB

AC

BC

BC

AC

AC

BC

AB

AB

AC

BC[例]

Y

BC

AC

AC

BC

AB[例1.2.11]Y

AB

AC

BC

AB

AC

BC

AB

AC

BC或

AB

AC

BC

AB

AC

BC冗余項(xiàng)綜合練習(xí)：Y

ACE

ABE

BC

D

BEC

DEC

AE

E

(

AC

AB

BC

DC

A

)

BCD

E

(

C

B

D

A

)

BCD

CE

BE

DE

AE

BC

D

E

(

B

C

D)

AE

BC

D

E

BCD

AE

BCD

E

AE

BC

D

E

BC

D1.2.3

邏輯函數(shù)的圖形化簡(jiǎn)法一、邏輯變量的

圖(Karnaugh

maps)圖：最小項(xiàng)方塊圖(按循環(huán)碼排列)1.

二變量的

圖(四個(gè)最小項(xiàng))AABA

BBABABABABBA

0

1m0m1m2m301BA

0

101圖的畫法圖：八個(gè)最小項(xiàng)2.

變量三變量的邏輯相鄰：A01BC00

01

11

10圖的實(shí)質(zhì)：邏輯相鄰幾何相鄰邏輯相鄰緊挨著行或列的兩頭對(duì)折起來(lái)位置重合兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同邏輯相鄰的兩個(gè)最小以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。如：ABC

ABC

ACm2m0

邏m輯1

相m鄰3m4

m5

m7

m6五變量的圖：四變量的十六個(gè)最小項(xiàng)CDAB0001111000

01

11

10圖：CDE三十二個(gè)最小項(xiàng)當(dāng)變量個(gè)數(shù)超過(guò)六個(gè)以上時(shí)，無(wú)法使用圖形法進(jìn)行化簡(jiǎn)。AB00011110000

001

11

1

11

111

101

100m0

m1

m3

m2m4

m5

m7

m6m12

m13

m15

m14m8

m9m11

m10m0

m1

m3

m2m8m9m11

m10m24m25mm6

m7

m5

m4m14

m15m12m1331m28m29m16

m17

m19

m18

m22

m23

m21

m20以此軸為對(duì)稱軸（對(duì)折后位置重合）幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰3.(1)幾何相鄰：圖的特點(diǎn)：用幾何相鄰表示邏輯相鄰相接

—

緊挨著相對(duì)

—

行或列的兩頭相重

—

對(duì)折起來(lái)后位置重合(2)邏輯相鄰：ABC

ABC

(

A

A)BC

BC例如兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同化簡(jiǎn)方法：

邏輯相鄰的兩個(gè)最小

以合并成一項(xiàng)，并消去一個(gè)因子。圖的缺點(diǎn)：函數(shù)的變量個(gè)數(shù)不宜超過(guò)

6

個(gè)。BCA0100

01

11

100324ABC

ABC

BCABC

ABC

ABAB4.

圖中最小項(xiàng)合并規(guī)律：(1)兩個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去一個(gè)因子CD0001111000

01

11

101469ABCD

ABCD

BCDABCD

ABC

D

ABD(2)四個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去兩個(gè)因子108CD11

10BCAB

AB00032000140111121110CD

CD00

01

11

10

00

01

11

1002571315810BDm0

m2

m8

m10

ABCD

ABCD

ABCD

A

BCD

BD(3)八個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去三個(gè)因子AB0001111000

01

11

1003241281110ABCD

CD0001111000

01

11

1057131502810C

B

D總結(jié)：2n個(gè)相鄰最小項(xiàng)合并可以消去

n

個(gè)因子二、邏輯函數(shù)的

圖表示法根據(jù)變量個(gè)數(shù)畫出相應(yīng)的

圖；將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式；在

圖上與這些最小項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置上填入

1

，其余位置填0

或不填。[例]Y

F

(

A

,

B

,

C

)

AB

BC

AC

ABC

ABC

ABC

ABCBCA0100

01

11

1000100111三、

用

圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)[解]化簡(jiǎn)步驟:(1)畫函數(shù)的圖(2)合并最小項(xiàng)：畫包圍圈[例1.2.14]Y

BCD

BC

ACD

ABCABCD00

01

11

100001

111101111

11

1BCABDABC(3)寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式

BCY

BCD

BC

ACD

ABCABCD0001

1

111101

11

11

1不正確的畫圈00

01

11

10畫包圍圈的原則：先圈孤立項(xiàng)，再圈僅有一種合并方式的最小項(xiàng)。圈越大越好，但圈的個(gè)數(shù)越少越好。最小

重復(fù)被圈，但每個(gè)圈中至少有一個(gè)新的最小項(xiàng)。(4)必需把組成函數(shù)的全部最小項(xiàng)圈完，并做認(rèn)真比較、檢查才能寫出最簡(jiǎn)與或式。[例]D,C,B,AFm[解]注意：先圈孤立項(xiàng)1,23

,(185

)畫函數(shù)的

圖合并最小項(xiàng)：畫包圍圈寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式ABC00011110D0001111011111111

ACYACDADBD

ABD利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)利用圖形法化簡(jiǎn)函數(shù)[例]F

m

(

0

,

1

,

2

,

3

,

4

,

8

,

10

,

11

,

14

,

15

)[解]畫函數(shù)的

圖合并最小項(xiàng)：畫包圍圈ABCD0001111000

01

11

101111111111(3)寫出最簡(jiǎn)與或表達(dá)式Y(jié)

A

B

AC

A

C D

B

D[例]用圖形法求反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式Y(jié)

AB

BC

AC[解]

(1)

畫函數(shù)的

圖BCA

00

01

11

100

0

0

1

01

0

1

1

1(2)合并函數(shù)值為0的最小項(xiàng)(3)寫出Y

的反函數(shù)的最簡(jiǎn)與或表達(dá)式Y(jié)

AB

BC

AC1.2.4

具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)一、約束的概念和約束條件ABC

的可能取值不可能取值(2)約束項(xiàng)：不會(huì)出現(xiàn)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)。約束項(xiàng)取值總等于零001

010

100000

011

101

110

1111.

約束、約束項(xiàng)、約束條件(1)約束：輸入變量取值所受的限制例如，邏輯變量A、B、C，分別表示電梯的升、降、停命令。A

=1

表示升，B

=1

表示降，C

=1

表示停。000

011

101

110

111ABC

ABC

ABC

ABC約束項(xiàng)：ABC(3)約束條件：由約束項(xiàng)相加所構(gòu)成的值為

0

的邏輯表達(dá)式。2.

約束條件的表示方法在真值表和

圖上用叉號(hào)(╳)表示。在邏輯表達(dá)式中，用等于0的條件等式表示。例如，上例中

ABC

的不可能取值為約束條件：A

B

C

ABC

ABC

ABC

ABC

0或d

( 0

,

3

,

5

,

6

,

7

)

0二、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1—公式法對(duì)[表1.2.4]所示邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)Y

ABCABC

ABC

ABC

0加上約束條件后用公式化簡(jiǎn)Y

ABC

ABC

ABC

ABC