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文檔簡介
2022年高考數(shù)學模擬試卷注意事項:1.答卷前,考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2.回答選擇題時,選出每小題答案后,用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑,如需改動,用橡皮擦干凈后,再選涂其它答案標號。回答非選擇題時,將答案寫在答題卡上,寫在本試卷上無效。3.考試結束后,將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知甲、乙兩人獨立出行,各租用共享單車一次(假定費用只可能為、、元).甲、乙租車費用為元的概率分別是、,甲、乙租車費用為元的概率分別是、,則甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為()A. B. C. D.2.在正項等比數(shù)列{an}中,a5-a1=15,a4-a2=6,則a3=()A.2 B.4 C. D.83.將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍(縱坐標不變),再向右平移個單位長度,則所得函數(shù)圖象的一個對稱中心為()A. B. C. D.4.已知集合(),若集合,且對任意的,存在使得,其中,,則稱集合A為集合M的基底.下列集合中能作為集合的基底的是()A. B. C. D.5.在空間直角坐標系中,四面體各頂點坐標分別為:.假設螞蟻窩在點,一只螞蟻從點出發(fā),需要在,上分別任意選擇一點留下信息,然后再返回點.那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是()A. B. C. D.6.下列函數(shù)中既關于直線對稱,又在區(qū)間上為增函數(shù)的是()A.. B.C. D.7.已知m,n為異面直線,m⊥平面α,n⊥平面β,直線l滿足l⊥m,l⊥n,則()A.α∥β且∥α B.α⊥β且⊥βC.α與β相交,且交線垂直于 D.α與β相交,且交線平行于8.執(zhí)行如圖所示的程序框圖,若輸出的,則①處應填寫()A. B. C. D.9.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.410.已知為拋物線的焦點,點在拋物線上,且,過點的動直線與拋物線交于兩點,為坐標原點,拋物線的準線與軸的交點為.給出下列四個命題:①在拋物線上滿足條件的點僅有一個;②若是拋物線準線上一動點,則的最小值為;③無論過點的直線在什么位置,總有;④若點在拋物線準線上的射影為,則三點在同一條直線上.其中所有正確命題的個數(shù)為()A.1 B.2 C.3 D.411.已知函數(shù)為奇函數(shù),則()A. B.1 C.2 D.312.已知是虛數(shù)單位,若,則()A. B.2 C. D.3二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.若,則______.14.若滿足,則目標函數(shù)的最大值為______.15.已知,是互相垂直的單位向量,若與λ的夾角為60°,則實數(shù)λ的值是__.16.已知一組數(shù)據(jù)1.6,1.8,2,2.2,2.4,則該組數(shù)據(jù)的方差是_______.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)為迎接2022年冬奧會,北京市組織中學生開展冰雪運動的培訓活動,并在培訓結束后對學生進行了考核.記表示學生的考核成績,并規(guī)定為考核優(yōu)秀.為了了解本次培訓活動的效果,在參加培訓的學生中隨機抽取了30名學生的考核成績,并作成如下莖葉圖:(Ⅰ)從參加培訓的學生中隨機選取1人,請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),估計這名學生考核優(yōu)秀的概率;(Ⅱ)從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,求至少有一人考核優(yōu)秀的概率;(Ⅲ)記表示學生的考核成績在區(qū)間的概率,根據(jù)以往培訓數(shù)據(jù),規(guī)定當時培訓有效.請根據(jù)圖中數(shù)據(jù),判斷此次中學生冰雪培訓活動是否有效,并說明理由.18.(12分)設函數(shù)f(x)=x2?4xsinx?4cosx.(1)討論函數(shù)f(x)在[?π,π]上的單調性;(2)證明:函數(shù)f(x)在R上有且僅有兩個零點.19.(12分)已知x∈R,設,,記函數(shù).(1)求函數(shù)取最小值時x的取值范圍;(2)設△ABC的角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,若,,求△ABC的面積S的最大值.20.(12分)等差數(shù)列中,,,分別是下表第一、二、三行中的某一個數(shù),且其中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行582第二行4312第三行1669(1)請選擇一個可能的組合,并求數(shù)列的通項公式;(2)記(1)中您選擇的的前項和為,判斷是否存在正整數(shù),使得,,成等比數(shù)列,若有,請求出的值;若沒有,請說明理由.21.(12分)設函數(shù).(1)當時,求不等式的解集;(2)若存在,使得不等式對一切恒成立,求實數(shù)的取值范圍.22.(10分)在中,為邊上一點,,.(1)求;(2)若,,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
甲、乙兩人所扣租車費用相同即同為1元,或同為2元,或同為3元,由獨立事件的概率公式計算即得.【詳解】由題意甲、乙租車費用為3元的概率分別是,∴甲、乙兩人所扣租車費用相同的概率為.故選:B.【點睛】本題考查獨立性事件的概率.掌握獨立事件的概率乘法公式是解題基礎.2.B【解析】
根據(jù)題意得到,,解得答案.【詳解】,,解得或(舍去).故.故選:.【點睛】本題考查了等比數(shù)列的計算,意在考查學生的計算能力.3.D【解析】
先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,
將函數(shù)圖象上各點的橫坐標伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,
再向右平移個單位長度,所得函數(shù)的解析式為,,可得函數(shù)圖象的一個對稱中心為,故選D.【點睛】三角函數(shù)的圖象與性質是高考考查的熱點之一,經??疾槎x域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調性、最值等,其中公式運用及其變形能力、運算能力、方程思想等可以在這些問題中進行體現(xiàn),在復習時要注意基礎知識的理解與落實.三角函數(shù)的性質由函數(shù)的解析式確定,在解答三角函數(shù)性質的綜合試題時要抓住函數(shù)解析式這個關鍵,在函數(shù)解析式較為復雜時要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個角的一個三角函數(shù)形式,然后利用正弦(余弦)函數(shù)的性質求解.4.C【解析】
根據(jù)題目中的基底定義求解.【詳解】因為,,,,,,所以能作為集合的基底,故選:C【點睛】本題主要考查集合的新定義,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎題.5.C【解析】
將四面體沿著劈開,展開后最短路徑就是的邊,在中,利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開,展開后如下圖所示:最短路徑就是的邊.易求得,由,知,由余弦定理知其中,∴故選:C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形,需熟記定理的內容,考查了學生的空間想象能力,屬于中檔題.6.C【解析】
根據(jù)函數(shù)的對稱性和單調性的特點,利用排除法,即可得出答案.【詳解】A中,當時,,所以不關于直線對稱,則錯誤;B中,,所以在區(qū)間上為減函數(shù),則錯誤;D中,,而,則,所以不關于直線對稱,則錯誤;故選:C.【點睛】本題考查函數(shù)基本性質,根據(jù)函數(shù)的解析式判斷函數(shù)的對稱性和單調性,屬于基礎題.7.D【解析】
試題分析:由平面,直線滿足,且,所以,又平面,,所以,由直線為異面直線,且平面平面,則與相交,否則,若則推出,與異面矛盾,所以相交,且交線平行于,故選D.考點:平面與平面的位置關系,平面的基本性質及其推論.8.B【解析】
模擬程序框圖運行分析即得解.【詳解】;;.所以①處應填寫“”故選:B【點睛】本題主要考查程序框圖,意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.9.C【解析】
結合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質,考查運算求解能力,屬于基礎題.10.C【解析】
①:由拋物線的定義可知,從而可求的坐標;②:做關于準線的對稱點為,通過分析可知當三點共線時取最小值,由兩點間的距離公式,可求此時最小值;③:設出直線方程,聯(lián)立直線與拋物線方程,結合韋達定理,可知焦點坐標的關系,進而可求,從而可判斷出的關系;④:計算直線的斜率之差,可得兩直線斜率相等,進而可判斷三點在同一條直線上.【詳解】解:對于①,設,由拋物線的方程得,則,故,所以或,所以滿足條件的點有二個,故①不正確;對于②,不妨設,則關于準線的對稱點為,故,當且僅當三點共線時等號成立,故②正確;對于③,由題意知,,且的斜率不為0,則設方程為:,設與拋物線的交點坐標為,聯(lián)立直線與拋物線的方程為,,整理得,則,所以,則.故的傾斜角互補,所以,故③正確.對于④,由題意知,由③知,則,由,知,即三點在同一條直線上,故④正確.故選:C.【點睛】本題考查了拋物線的定義,考查了直線與拋物線的位置關系,考查了拋物線的性質,考查了直線方程,考查了兩點的斜率公式.本題的難點在于第二個命題,結合初中的“飲馬問題”分析出何時取最小值.11.B【解析】
根據(jù)整體的奇偶性和部分的奇偶性,判斷出的值.【詳解】依題意是奇函數(shù).而為奇函數(shù),為偶函數(shù),所以為偶函數(shù),故,也即,化簡得,所以.故選:B【點睛】本小題主要考查根據(jù)函數(shù)的奇偶性求參數(shù)值,屬于基礎題.12.A【解析】
直接將兩邊同時乘以求出復數(shù),再求其模即可.【詳解】解:將兩邊同時乘以,得故選:A【點睛】考查復數(shù)的運算及其模的求法,是基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
直接利用關系式求出函數(shù)的被積函數(shù)的原函數(shù),進一步求出的值.【詳解】解:若,則,即,所以.故答案為:.【點睛】本題考查的知識要點:定積分的應用,被積函數(shù)的原函數(shù)的求法,主要考查學生的運算能力和轉換能力及思維能力,屬于基礎題.14.-1【解析】
由約束條件作出可行域,化目標函數(shù)為直線方程的斜截式,數(shù)形結合得到最優(yōu)解,把最優(yōu)解的坐標代入目標函數(shù)得答案.【詳解】由約束條件作出可行域如圖,化目標函數(shù)為,由圖可得,當直線過點時,直線在軸上的截距最大,由得即,則有最大值,故答案為.【點睛】本題主要考查線性規(guī)劃中利用可行域求目標函數(shù)的最值,屬簡單題.求目標函數(shù)最值的一般步驟是“一畫、二移、三求”:(1)作出可行域(一定要注意是實線還是虛線);(2)找到目標函數(shù)對應的最優(yōu)解對應點(在可行域內平移變形后的目標函數(shù),最先通過或最后通過的頂點就是最優(yōu)解);(3)將最優(yōu)解坐標代入目標函數(shù)求出最值.15.【解析】
根據(jù)平面向量的數(shù)量積運算與單位向量的定義,列出方程解方程即可求出λ的值.【詳解】解:由題意,設(1,0),(0,1),則(,﹣1),λ(1,λ);又夾角為60°,∴()?(λ)λ=2cos60°,即λ,解得λ.【點睛】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運算問題,是中檔題.16.0.08【解析】
先求解這組數(shù)據(jù)的平均數(shù),然后利用方差的公式可得結果.【詳解】首先求得,.故答案為:0.08.【點睛】本題主要考查數(shù)據(jù)的方差,明確方差的計算公式是求解的關鍵,側重考查數(shù)據(jù)分析的核心素養(yǎng).三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅲ)見解析【解析】
(Ⅰ)根據(jù)莖葉圖求出滿足條件的概率即可;(Ⅱ)結合圖表得到6人中有2個人考核為優(yōu),從而求出滿足條件的概率即可;(Ⅲ)求出滿足的成績有16個,求出滿足條件的概率即可.【詳解】解:(Ⅰ)設這名學生考核優(yōu)秀為事件,由莖葉圖中的數(shù)據(jù)可以知道,30名同學中,有7名同學考核優(yōu)秀,所以所求概率約為(Ⅱ)設從圖中考核成績滿足的學生中任取2人,至少有一人考核成績優(yōu)秀為事件,因為表中成績在的6人中有2個人考核為優(yōu),所以基本事件空間包含15個基本事件,事件包含9個基本事件,所以(Ⅲ)根據(jù)表格中的數(shù)據(jù),滿足的成績有16個,所以所以可以認為此次冰雪培訓活動有效.【點睛】本題考查了莖葉圖問題,考查概率求值以及轉化思想,是一道常規(guī)題.18.見解析【解析】
(1)f(x)=2x?4xcosx?4sinx+4sinx=,由f(x)=1,x∈[?π,π]得x=1或或.當x變化時,f(x)和f(x)的變化情況如下表:x1f(x)?1+1?1+f(x)單調遞減極小值單調遞增極大值單調遞減極小值單調遞增所以f(x)在區(qū)間,上單調遞減,在區(qū)間,上單調遞增.(2)由(1)得極大值為f(1)=?4;極小值為f()=f()<f(1)<1.又f(π)=f(?π)=π2+4>1,所以f(x)在,上各有一個零點.顯然x∈(π,2π)時,?4xsinx>1,x2?4cosx>1,所以f(x)>1;x∈[2π,+∞)時,f(x)≥x2?4x?4>62?4×6?4=8>1,所以f(x)在(π,+∞)上沒有零點.因為f(?x)=(?x)2?4(?x)sin(?x)?4cos(?x)=x2?4xsinx?4cosx=f(x),所以f(x)為偶函數(shù),從而x<?π時,f(x)>1,即f(x)在(?∞,?π)上也沒有零點.故f(x)僅在,上各有一個零點,即f(x)在R上有且僅有兩個零點.19.(1);(2)【解析】
(1)先根據(jù)向量的數(shù)量積的運算,以及二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡得到f(x)=,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根據(jù)余弦定理和基本不等式,即可求出,根據(jù)三角形的面積公式即可求出答案.【詳解】(1).令,k∈Z,即時,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因為,所以,所以,.在中,由余弦定理,得,即,當且僅當時取等號,所以的面積,因此的面積的最大值為.【點睛】本題考查了向量的數(shù)量積的運算和二倍角公式,兩角和的正弦公式,余弦定理和基本不等式,三角形的面積公式,屬于中檔題.20.(1)見解析,或;(2)存在,.【解析】
(1)滿足題意有兩種組合:①,,,②,,,分別計算即可;(2)由(1)分別討論兩種情況,假設
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