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文檔簡介
2.2矩陣的運(yùn)算與概念，這個(gè)表就稱為矩陣.a11
a12
a1nb1a21
a22
a2nb2am1
am2
amnbm這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個(gè)表
在某些問題中，存在若干個(gè)具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個(gè)方程對應(yīng)一個(gè)有序數(shù)組：a11x1+a12x2++a1nxn
=b1a21x1+a22x2++a2nxn
=b2am1x1+am2x2++amnxn
=bm
2.1矩陣的概念說明2點(diǎn)：矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相同，而行列式兩者必須相同.矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)值.2.2矩陣的運(yùn)算與概念，這個(gè)表就稱為矩陣.a11a11其中
aij稱為矩陣的第
i行第
j列的元素.
一般情況下，我們用大寫字母
A，B，C等表示矩陣.mn矩陣A簡記為
A(aij)mn
或記作
Amn.a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amn定義1
由
mn個(gè)數(shù)
aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一個(gè)
m行
n列的矩形表稱為一個(gè)
mn矩陣，記作其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素.a11什么是矩陣？黑客帝國3Thematrixrevolution什么是矩陣？黑客帝國3機(jī)器帝國集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市－錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進(jìn)化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領(lǐng)了整個(gè)矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”－先知。經(jīng)過與先知密談的救世主尼奧進(jìn)入機(jī)器城市，與矩陣的造物主達(dá)成停戰(zhàn)協(xié)議。代價(jià)是尼奧必須進(jìn)入矩陣，刪除叛逃異變的強(qiáng)大病毒—史密斯。機(jī)器帝國集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市－錫安城，錫零矩陣
所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣
只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母
a，b，x，y等表示.例如a=(a1
a2
an)，b1b2bm
b=.負(fù)矩陣-a11
-a12
-a1n-a21
-a22
-a2n-am1
-am2
-amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作–A.零矩陣a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n
0a22a2n
00ann
如下形式的
n
階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣
如下形式的
n
階矩陣稱為下三角矩陣.方陣
若矩陣
A的行數(shù)與列數(shù)都等于
n，則稱
A為
n階矩陣，或稱為
n階方陣.b1100B=.A=.a11a12a110
00a22000annA=.對角矩陣
如下形式的n
階矩陣稱為對角矩陣.
對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,,ann).
單位矩陣(Identitymatrix)
如下形式的n
階矩陣稱為單位矩陣，記為En
或E.10
0010001E=.a1100A=2.2矩陣的運(yùn)算定義1
設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11+b11
a12+b12
a1n+b1na21+b21
a22+b22
a2n+b2nam1+bm1
am2+bm2
amn+bmn=.a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=，b11
b12
b1nb21
b22
b2nbm1bm2
bmnB=，
A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B.1.矩陣的加法
2.2矩陣的運(yùn)算定義1設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣
設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律：
（1）交換律：
A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);
（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;
矩陣的減法可定義為:
顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.
設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=，
定義2
設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11
ka12
ka1n
ka21
ka22
ka2n
kam1
kam2
kamnkA=.2.數(shù)與矩陣的乘法a11a12a1n(5)
k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA
；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.
設(shè)A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記.(5)k(AB)kAkB；設(shè)A，B，
例1．設(shè)357
22043012
3A=
，132
02157064
8B=
，求3A-2B.
解：3A-2B
357
22043012
3=3132
02157064
8-2264
04210140128
16-91521
66012
9036
9
=.7917
62-22
-50-9-2
-7=9-215-621-4
6-06-40-212-10
9-140-03-126-8
9-16
=例1．設(shè)3572204X
=?*(B-A)例2．已知357
22043012
3A=
，132
02157064
8B=
，且A+2X=B，求X.解：X=?*(B-A)例2．已知357某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000
定義3
設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為CAB.
則由元素
cijai1b1jai2b2j
aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)
a11
a12
a1sa21
a22
a2sam1
am2
amsA=，b11
b12
b1nb21
b22
b2nbs1
bs2
bsnB=，c11
c12
c1nc21
c22
c2ncm1
cm2
cmnAB=.即3.矩陣的乘法
定義3設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)s
cijai1b1jai2b2j
aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).
a11
a12
a1sa21
a22
a2sam1
am2
amsb11
b12
b1nb21
b22
b2nbs1
bs2
bsnc11
c12
c1nc21
c22
c2ncm1
cm2
cmn=
ai1b1jai2b2j
aisbsj.(ai1
ai2
ais
)b1jb2jbsj
注：
A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;
C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).
因此，cij
可表示為A的第i行與B的第
j列的乘積.cij3.矩陣的乘法
cijai1b1jai2b2j矩陣乘法AB
：1.條件：前列=后行
2.結(jié)果：前行×后列
反例．設(shè)B=.
1-2-32-10A=
，010
-112151-2-32-10則AB=
010
-11215=無意義.m×
kk×
n相等m×n矩陣乘法AB：1.條件：前列=后行反B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及
例6．設(shè)A=
，4-2-21B=
，求AB及BA.
4
2-6-3AB=4-2-214
2-6-3解：-32
-16168=BA=4-2-214
2-6-30
000=B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．設(shè)A=，4-2-21
例4．設(shè)A=
，4-2-21B=
，求AB及BA.
4
2-6-3AB=解：-32
-16168，BA=0
000B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA;注3：兩個(gè)非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O
.注意：左乘右乘的不同例4．設(shè)A=，4-2-211110
例5．設(shè)A=
，B=
，求AB及BA.
2110
解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA
.定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.1110例5．設(shè)A=，B=顯然AC=BC，但AB.
例6．設(shè)注4：矩陣乘法不滿足消去律.顯然AC=BC，但AB.例6．設(shè)注4：例8.100000001設(shè)A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但AE，AO
.
例7．
對于任意矩陣A及相應(yīng)的矩陣O，E，有AO=O，
OA=O；AE=A，
EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn
=
b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1
b2
…bs
a11
a12…a1na21
a22…a2n
…………as1
as2…asnA=Ax=b
x=x1
x2
…xn
例9.
線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b應(yīng)注意的問題(1)ABBA
；(3)AB=OA=O或B=O；
/(2)AC=BCA=B；
/矩陣乘法的性質(zhì)(4)AA=AA=E或A=O.
/(1)(AB)C=A(BC)；(2)(A+B)C=AC+BC；(3)C(A+B)=CA+CB；(4)k(AB)=(kA)B=A(kB).應(yīng)注意的問題(1)ABBA；(3)AB=OA=O或B4.方陣的冪
對于方陣A及自然數(shù)k
Ak=AA
A(k個(gè)A相乘)，稱為方陣A的k次冪.
方陣的冪有下列性質(zhì)：
(1)ArAs=Ar+s；
(2)
(Ar)s=Ars.問題：(A+B)2=?問題：(A+B)2=?②(A
B)2=A2
AB
BA
+B2
注:①(A+B)2
=(A+B)(A+B)=A2+AB+BA+B2
③
(A+B)(A
B)=A2
AB
+BA
B2
②(AB)2=A2ABBA+B2
定義4
將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A.即如果a11a21…am1
a12a22…am2
a1na2n…amn
…………
A=，a11a12…a1n
a21a22…a2n
am1am2…amn
…………
AT
=則.
例如，設(shè)x=(x1
x2
xn)T，y=(y1
y2
yn)T，則(y1
y2
yn)xyTx1x2xn
==x1y1x2y1…xny1
x1y2x2y2…xny2
x1ynx2yn…xnyn
…………
.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣顯然，ET＝E.定義4將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)
(1)(AT)T=A；
(2)(A+B)T=AT+BT；
(3)(kA)T=kAT；a11a21…am1
a12a22…am2
a1na2n…amn
…………
A=，a11a12…a1n
a21a22…a2n
am1am2…amn
…………
AT
=則.
定義4
將mn矩陣A的行與列互換，得到的nm矩陣，稱為矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣，記為AT或A.即如果
(4)(AB)T=BTAT
.5.轉(zhuǎn)置矩陣及對稱方陣轉(zhuǎn)置矩陣有下列性質(zhì)a11a12a1n…A=，a11a21a
定義5
設(shè)A
為n階方陣，若AT=A，則稱A為對稱矩陣，如果AT=-A，則稱A為反對稱矩陣.分別是三階對稱矩陣和三階反對稱矩陣.顯然：A為對稱矩陣的充分必要條件是aij=aji
;
A為反對稱矩陣的充分必要條件是
aij=-aji.如：定義5設(shè)A為n階方陣，若AT=A，則稱A為對稱矩定義6
設(shè)A是n階方陣，由A的元素構(gòu)成的n階行列式稱為方陣A的行列式，記為|A|或detA
.性質(zhì)：設(shè)A、B為n階方陣，k為數(shù)，則(1)|A|=|AT|;(3)|AB|=|A||B|.(2)|kA|=kn|A|;6.方陣的行列式顯然，|E|=1.一般地，若A1,A2,…Ak都是n階方陣，則
顯然
定義6設(shè)A是n階方陣，由A的元素構(gòu)成的n階行列式A——方陣
f(x)=asxs+as1xs1+…+a1x+a0
f(A)=asAs+as1As1+…+a1A+a0E
f(x)——多項(xiàng)式
注意!!!
定義7.
方陣A的多項(xiàng)式
6.方陣的行列式A——方陣f(x)=asxs+as1xs1例10．設(shè)
求解:
因?yàn)橛晒?/p>
則若先求得
同樣
例10．設(shè)求解:因?yàn)橛晒絼t若先求得同樣例11．設(shè)
A，B均為四階方陣，且.
計(jì)算.解
由方陣的行列式的運(yùn)算規(guī)律，
例11．設(shè)A，B均為四階方陣，且.2．設(shè)
A,B都是2階方陣，且｜A｜=2，B=-3E，則
|ATB|=().
1．設(shè)
A是3階方陣，且｜A｜=－2，則｜A2｜=()|2A|=(),|－A|=().
4-16218練習(xí)2．設(shè)A,B都是2階方陣，且｜A｜=2，B=-3E，1．設(shè)作業(yè)：77頁3(1)；4(2)(5)；
5；6;7;8
作業(yè)：77頁3(1)；4(2)(5)；2.2矩陣的運(yùn)算與概念，這個(gè)表就稱為矩陣.a11
a12
a1nb1a21
a22
a2nb2am1
am2
amnbm這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個(gè)表
在某些問題中，存在若干個(gè)具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個(gè)方程對應(yīng)一個(gè)有序數(shù)組：a11x1+a12x2++a1nxn
=b1a21x1+a22x2++a2nxn
=b2am1x1+am2x2++amnxn
=bm
2.1矩陣的概念說明2點(diǎn)：矩陣的行數(shù)與列數(shù)不一定相同，而行列式兩者必須相同.矩陣是一個(gè)數(shù)表，而行列式是一個(gè)數(shù)值.2.2矩陣的運(yùn)算與概念，這個(gè)表就稱為矩陣.a11a148其中
aij稱為矩陣的第
i行第
j列的元素.
一般情況下，我們用大寫字母
A，B，C等表示矩陣.mn矩陣A簡記為
A(aij)mn
或記作
Amn.a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amn定義1
由
mn個(gè)數(shù)
aij(i1,2,,m；j1,2,,n)排成一個(gè)
m行
n列的矩形表稱為一個(gè)
mn矩陣，記作其中aij稱為矩陣的第i行第j列的元素.a11什么是矩陣？黑客帝國3Thematrixrevolution什么是矩陣？黑客帝國3機(jī)器帝國集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市－錫安城，錫安城內(nèi)的人類拼死抵抗，但最后仍是兵敗如山倒；另一方面，電腦人史密斯進(jìn)化成為更高等的電腦病毒，幾乎占領(lǐng)了整個(gè)矩陣（Matrix），甚至包括了“矩陣之母”－先知。經(jīng)過與先知密談的救世主尼奧進(jìn)入機(jī)器城市，與矩陣的造物主達(dá)成停戰(zhàn)協(xié)議。代價(jià)是尼奧必須進(jìn)入矩陣，刪除叛逃異變的強(qiáng)大病毒—史密斯。機(jī)器帝國集結(jié)了烏賊大軍攻打真實(shí)世界僅存的人類城市－錫安城，錫零矩陣
所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣
只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母
a，b，x，y等表示.例如a=(a1
a2
an)，b1b2bm
b=.負(fù)矩陣-a11
-a12
-a1n-a21
-a22
-a2n-am1
-am2
-amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作–A.零矩陣a=(a1a2an)，b1bb11b21bn10b22bn200bnnB=.A=.a11a12a1n
0a22a2n
00ann
如下形式的
n
階矩陣稱為上三角矩陣.三角矩陣
如下形式的
n
階矩陣稱為下三角矩陣.方陣
若矩陣
A的行數(shù)與列數(shù)都等于
n，則稱
A為
n階矩陣，或稱為
n階方陣.b1100B=.A=.a11a12a110
00a22000annA=.對角矩陣
如下形式的n
階矩陣稱為對角矩陣.
對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11,a22,,ann).
單位矩陣(Identitymatrix)
如下形式的n
階矩陣稱為單位矩陣，記為En
或E.10
0010001E=.a1100A=2.2矩陣的運(yùn)算定義1
設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣ABa11+b11
a12+b12
a1n+b1na21+b21
a22+b22
a2n+b2nam1+bm1
am2+bm2
amn+bmn=.a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=，b11
b12
b1nb21
b22
b2nbm1bm2
bmnB=，
A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B.1.矩陣的加法
2.2矩陣的運(yùn)算定義1設(shè)A與B為兩個(gè)mn矩陣
設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律：
（1）交換律：
A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C);
（3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣;
矩陣的減法可定義為:
顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C；若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣.
設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如a11
a12
a1na21
a22
a2nam1
am2
amnA=，
定義2
設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個(gè)元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的積，記為kA.即ka11
ka12
ka1n
ka21
ka22
ka2n
kam1
kam2
kamnkA=.2.數(shù)與矩陣的乘法a11a12a1n(5)
k(AB)kAkB；(6)(kl)AkAlA
；(7)(kl)Ak(lA)；(8)1A=A.
設(shè)A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記.(5)k(AB)kAkB；設(shè)A，B，
例1．設(shè)357
22043012
3A=
，132
02157064
8B=
，求3A-2B.
解：3A-2B
357
22043012
3=3132
02157064
8-2264
04210140128
16-91521
66012
9036
9
=.7917
62-22
-50-9-2
-7=9-215-621-4
6-06-40-212-10
9-140-03-126-8
9-16
=例1．設(shè)3572204X
=?*(B-A)例2．已知357
22043012
3A=
，132
02157064
8B=
，且A+2X=B，求X.解：X=?*(B-A)例2．已知357某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000=1800020200+50100+30150+251803.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150=1815020180+50120+30160+251503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.180001815016750=1675020190+50100+30140+251503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480=1048016200+20100+16150+161803.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.1800018150167501048010240=1024016180+20120+16160+161503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000181501675010480102409680=968016190+20100+16140+161503.矩陣的乘法
某廠家向A,B,C三個(gè)代理商發(fā)送四款產(chǎn)品.18000
定義3
設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C稱為矩陣A與矩陣B的積，記為CAB.
則由元素
cijai1b1jai2b2j
aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n)
a11
a12
a1sa21
a22
a2sam1
am2
amsA=，b11
b12
b1nb21
b22
b2nbs1
bs2
bsnB=，c11
c12
c1nc21
c22
c2ncm1
cm2
cmnAB=.即3.矩陣的乘法
定義3設(shè)A是一個(gè)ms矩陣，B是一個(gè)s
cijai1b1jai2b2j
aisbsj(i1,2,,m；j1,2,,n).
a11
a12
a1sa21
a22
a2sam1
am2
amsb11
b12
b1nb21
b22
b2nbs1
bs2
bsnc11
c12
c1nc21
c22
c2ncm1
cm2
cmn=
ai1b1jai2b2j
aisbsj.(ai1
ai2
ais
)b1jb2jbsj
注：
A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義;
C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù).
因此，cij
可表示為A的第i行與B的第
j列的乘積.cij3.矩陣的乘法
cijai1b1jai2b2j矩陣乘法AB
：1.條件：前列=后行
2.結(jié)果：前行×后列
反例．設(shè)B=.
1-2-32-10A=
，010
-112151-2-32-10則AB=
010
-11215=無意義.m×
kk×
n相等m×n矩陣乘法AB：1.條件：前列=后行反B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-3（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：231-2311-2-32-10AB==5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B=，求AB及B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10231-2311-2-32-10BA==4-983解：231-2311-2-32-10AB==-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法B=，求AB及
例6．設(shè)A=
，4-2-21B=
，求AB及BA.
4
2-6-3AB=4-2-214
2-6-3解：-32
-16168=BA=4-2-214
2-6-30
000=B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.例6．設(shè)A=，4-2-21
例4．設(shè)A=
，4-2-21B=
，求AB及BA.
4
2-6-3AB=解：-32
-16168，BA=0
000B=，求AB及BA.
A=
，
例3．設(shè)231-2311-2-32-10解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.注2：矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA;注3：兩個(gè)非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，但不能從AB=O，推出A=O或B=O
.注意：左乘右乘的不同例4．設(shè)A=，4-2-211110
例5．設(shè)A=
，B=
，求AB及BA.
2110
解：11102110AB=3110=21101110BA=3110=顯然AB=BA
.定義：如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.1110例5．設(shè)A=，B=顯然AC=BC，但AB.
例6．設(shè)注4：矩陣乘法不滿足消去律.顯然AC=BC，但AB.例6．設(shè)注4：例8.100000001設(shè)A=則AA=100000001100000001100000001==A.顯然AA=A，但AE，AO
.
例7．
對于任意矩陣A及相應(yīng)的矩陣O，E，有AO=O，
OA=O；AE=A，
EA=A，EE=E.例8.1000000a11x1+a12x2+…+a1nxn
=
b1
a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2
…as1x1+as2x2+…+asnxn=bsb=b1
b2
…bs
a11
a12…a1na21
a22…a2n
…………as1
as2…asnA=Ax=b
x=x1
x2
…xn
例9.
線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1b=b應(yīng)注意的問題(1)ABBA
；(3)AB=OA=O或B=O；
/(2)AC=BCA=B；
/矩陣乘法的性質(zhì)(4)A
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