【知識(shí)點(diǎn)解析】二次根式知識(shí)卡片大全

二次根式的發(fā)展史二次根式與開(kāi)平方運(yùn)算及二次方程求解相關(guān)，幾乎所有的文明古國(guó)對(duì)開(kāi)平方運(yùn)算都早有研究.古巴比倫人制作了平方根表、立方根表.古埃及人也有開(kāi)平方計(jì)算，他們用“?！北硎酒椒礁?中國(guó)古代的數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》也記載有“開(kāi)方術(shù)”和一元二次方程的數(shù)值求解程序.3世紀(jì)的數(shù)學(xué)家劉徽，在他所著的《九章算術(shù)注》的“割圓術(shù)”中，用勾股定理計(jì)算圓內(nèi)接正多邊形邊長(zhǎng)時(shí)，出現(xiàn)了比較復(fù)雜的二次根式.奧地利數(shù)學(xué)家魯?shù)婪蛴?6世紀(jì)引進(jìn)的二次根式符號(hào)“”，使二次根式表示簡(jiǎn)約明了.從法國(guó)數(shù)學(xué)家韋達(dá)開(kāi)始，數(shù)學(xué)家們進(jìn)行了代數(shù)符號(hào)系統(tǒng)化工作，使二次根式更方便地成為數(shù)學(xué)計(jì)算的工具.二次根式引入螞蟻和大象一樣重嗎？我們知道，即時(shí)是最大的螞蟻與最小的大象，它們的重量也明顯不是一個(gè)數(shù)量級(jí)的.但是下面的“推導(dǎo)”卻讓我們大吃一驚：螞蟻和大象一樣重??？

設(shè)螞蟻的重量為x克，大象的重量為y克，它們的重量和為2a克，即

x+y=2a.兩邊同乘(x-y)，得(x+y)(x-y)=2a(x-y)，即x2-y2=2ax-2ay.可變形為x2-2ax=y2-2ay.兩邊都加上a2，得(x-a)2=(y-a)2.

得x-a=y-a，所以x=y.這里竟然得出了“螞蟻和大象一樣重”的結(jié)論，豈不荒唐！那么問(wèn)題究竟出在哪里呢？二次根式與算術(shù)平方根總結(jié)二次根式的性質(zhì)

二次根式的乘除

二次根式的乘法法則積的算術(shù)平方根的性質(zhì)

二次根式的除法法則商的算術(shù)平方根的性質(zhì)

數(shù)學(xué)家-秦九韶秦九韶（約1202—約1261），字道古，南宋數(shù)學(xué)家.他在1247年完成著作《數(shù)書(shū)九章》.《數(shù)書(shū)九章》是一部劃時(shí)代的數(shù)學(xué)巨著，全書(shū)共18卷，81題，分為九大類(lèi).此書(shū)實(shí)用性強(qiáng)，所設(shè)問(wèn)題復(fù)雜，解題步驟詳細(xì)，對(duì)“大衍求一術(shù)”（一次同余組解法）和“正負(fù)開(kāi)方術(shù)”（高次方程的數(shù)值解法）等有十分深入的研究.二次根式知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二次根式知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二次根式的乘除知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二次根式的加減知識(shí)結(jié)構(gòu)圖二次根式的定義

二次根式的性質(zhì)

注意：①化簡(jiǎn)時(shí)一定要先將它化為，再根據(jù)絕對(duì)值的意義行化簡(jiǎn).②注意與的區(qū)別與聯(lián)系.

積（商）的算術(shù)平方根的性質(zhì)積的算術(shù)平方根性質(zhì)：商的算術(shù)平方根性質(zhì)：注意：（1）積的算術(shù)平方根的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的乘法法則，它對(duì)兩個(gè)以上的積的算術(shù)平方根同樣適用.（2）商的算術(shù)平方的性質(zhì)的實(shí)質(zhì)是逆用二次根式的除法法則，其前提條件是商中被除式是非負(fù)數(shù)，除式是正數(shù)，其作用是化簡(jiǎn)二次根式，將分母中的根號(hào)化去.分母有理化定義化去分母中根號(hào)的變形叫作分母有理化依據(jù)方法將分子和分母都乘分母的有理化因式拓展（1）有理化因式：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，那么這兩個(gè)代數(shù)式互拓展為有理化因式;（2）常用的有理化因式：最簡(jiǎn)二次根式

定義一般地，被開(kāi)方數(shù)不含分母，也不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式，叫作最簡(jiǎn)二次根式

滿(mǎn)足

兩個(gè)

條件（1）被開(kāi)方數(shù)不含分母，也就是被開(kāi)方數(shù)必須是整數(shù)（或式）；（2）被開(kāi)方數(shù)中每個(gè)因數(shù)（式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2，即每個(gè)因數(shù)（式）的指數(shù)都是1.

三

個(gè)

步

驟一分，利用因數(shù)（式）分解的方法把被開(kāi)方數(shù)的分子，分母都化成質(zhì)因數(shù)（式）的冪的乘積形式；二移，把能開(kāi)得盡方的因數(shù)（式）用它的算術(shù)平方根代替，移到根號(hào)外，其中，把根號(hào)內(nèi)的分母中的因式移到根號(hào)外要注意應(yīng)寫(xiě)在分母的位置上；三化，將分母有理化，化去被開(kāi)方數(shù)中的分母.同類(lèi)二次根式的判斷（1）同類(lèi)二次根式類(lèi)似于整式中的同類(lèi)項(xiàng).（2）幾個(gè)同類(lèi)二次根式在沒(méi)有化簡(jiǎn)之前，被開(kāi)方數(shù)完全可以互不相同.（3）判斷兩個(gè)二次根式是否是同類(lèi)二次根式，首先要把它們化為最簡(jiǎn)二次根式，然后再看被開(kāi)方數(shù)是否相同.同類(lèi)二次根式的判斷:化簡(jiǎn)二次根式的步驟（1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）都開(kāi)出來(lái)；（3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.化簡(jiǎn)二次根式的步驟:化簡(jiǎn)二次根式的步驟（1）把被開(kāi)方數(shù)分解因式；（2）利用積的算術(shù)平方根的性質(zhì)，把被開(kāi)方數(shù)中能開(kāi)得盡方的因數(shù)（或因式）都開(kāi)出來(lái)；（3）化簡(jiǎn)后的二次根式中的被開(kāi)方數(shù)中每一個(gè)因數(shù)（或因式）的指數(shù)都小于根指數(shù)2.化簡(jiǎn)二次根式的步驟:二次根式的乘除法（2）二次根式的除法法則：二次根式的乘除法（1）二次根式的乘法法則：注意：①

是積的算術(shù)平方根性質(zhì)的逆用，此法則可推廣到多個(gè)二次根式相乘，即.是商的算術(shù)平方根性質(zhì)的逆用，如果a，b是負(fù)數(shù)，那么

無(wú)意義.二次根式的加減（1）法則：二次根式相加減，先把各個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式，再把被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式進(jìn)行合并，合并方法為系數(shù)相加減，根式不變.（2）步驟：①如果有括號(hào)，根據(jù)去括號(hào)法則去掉括號(hào);②把不是最簡(jiǎn)二次根式的二次根式進(jìn)行化簡(jiǎn);③合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式.注意：①與整式的加減類(lèi)似，二次根式的加減，就是化簡(jiǎn)后合并被開(kāi)方數(shù)相同的二次根式，合并時(shí)，只將二次根式的“系數(shù)”相加減，被開(kāi)方數(shù)和根指數(shù)不變.②二次根式中的系數(shù)不能寫(xiě)成帶分?jǐn)?shù).③二次根式的加減法也滿(mǎn)足加法交換律和結(jié)合律.比較二次根式大小的方法（1）被開(kāi)方數(shù)法：若根號(hào)外有數(shù)，可先將根號(hào)外的數(shù)平方后移入根號(hào)內(nèi)，再根據(jù)被開(kāi)方數(shù)的大小進(jìn)行比較.（2）平方法：如果a>b>0,則;如果0<a<b,則（3）估算法：若一個(gè)非負(fù)數(shù)a介于另兩個(gè)非負(fù)數(shù)c，d之間，則（4）倒數(shù)法