【知識點解析】《空間直線、平面的垂直》知識卡片大全

認識異面直線互相垂直已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過空間任一點O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線a′與b′所成的角叫做異面直線a與b所成的角（或夾角）．如果兩條異面直線所成的角是直角，那么我們就說這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b垂直，記作a⊥b．認識直線與平面垂直一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α．直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面．直線與平面垂直時，它們唯一的公共點P叫做垂足．對直線與平面垂直的理解（1）直線與平面垂直是直線與平面相交的特殊情形．（2）注意定義中“任意一條直線”與“所有直線”等同但不可說成“無數(shù)條直線”．認識點到平面的距離過一點作垂直于已知平面的直線，則該點與垂足間的線段，叫做這個點到該平面的垂線段，垂線段的長度叫做這個點到該平面的距離．直線與平面垂直的判定定理（1）自然語言：一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．（2）圖形語言：如圖所示．

（3）符號語言：a?α，b?α，a∩b＝P，l⊥a，l⊥b?l⊥α．對直線與平面垂直判定定理的理解判定定理條件中的“兩條相交直線”是關(guān)鍵性詞語，此處強調(diào)“相交”，若兩條直線平行，則直線與平面不一定垂直．認識直線與平面所成的角的定義（1）定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角．如圖，∠PAO就是斜線AP與平面α所成的角．（2）當直線AP與平面垂直時，它們所成的角是90°．（3）當直線與平面平行或在平面內(nèi)時，它們所成的角是0°．（4）線面角θ的范圍：0°≤θ≤90°．對直線與平面所成的角的定義的理解把握定義應(yīng)注意兩點：①斜線上不同于斜足的點P的選取是任意的；②斜線在平面上的射影是過斜足和垂足的一條直線而不是線段．利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟（1）在這個平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直；（2）確定這個平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線；（3）根據(jù)判定定理得出結(jié)論．求斜線與平面所成的角的步驟（1）作角：作（或找）出斜線在平面上的射影，將空間角（斜線與平面所成的角）轉(zhuǎn)化為平面角（兩條相交直線所成的銳角），作射影要過斜線上一點作平面的垂線，再過垂足和斜足（有時可以是兩垂足）作直線，注意斜線上點的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計算．（2）證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．（3）計算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計算．二面角的定義定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫做二面角（如圖）．直線AB叫做二面角的棱，半平面α和β叫做二面角的面．記法：α--AB--β，在α，β內(nèi)，分別取點P，Q時，可記作P--AB--Q；當棱記為l時，可記作α--l--β或P--l--Q．二面角的平面角的定義①定義：在二面角α-l-β的棱l上任取一點O，如圖所示，以點O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB叫做二面角的平面角．②直二面角：平面角是直角的二面角．對二面角的平面角定義的理解二面角的平面角的定義是兩條“射線”的夾角，不是兩條直線的夾角，因此，二面角θ的取值范圍是0°≤θ≤180°．面面垂直的定義①定義：如果兩個平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．②畫法：

記作：α⊥β．兩平面垂直的判定定理①文字語言：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．②圖形語言：如圖．③符號語言：AB⊥β，AB∩β＝B，AB?α?α⊥β．★定理的關(guān)鍵詞是“過另一面的垂線”，所以應(yīng)用的關(guān)鍵是在平面內(nèi)尋找另一個面的垂線．證明平面與平面垂直的方法①利用定義：證明二面角的平面角為直角；②利用面面垂直的判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直．證面面垂直的關(guān)鍵根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直，實質(zhì)上是把問題轉(zhuǎn)化成了求二面角的平面角，通常情況下利用判定定理要比定義簡單些，這也是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直，只要轉(zhuǎn)證線面垂直，其關(guān)鍵與難點是在其中一個平面內(nèi)尋找一直線與另一平面垂直．求二面角的幾種方法（1）定義法：在二面角的棱上找一點，在兩個半平面內(nèi)過該點分別作垂直于棱的射線．（2）垂面法：過棱上一點作與棱垂直的平面，該平面與二面角的兩個半平面形成交線，這兩條射線（交線）所成的角，即為二面角的平面角．（3）垂線法：利用線面垂直的性質(zhì)來尋找二面角的平面角，這是最常用也是最有效的一種方法．認識折疊問題折疊問題，即由平面圖形經(jīng)過折疊成為立體圖形，在立體圖形中解決有關(guān)問題．解題過程中，一定要抓住折疊前后的變量與不變量．直線與平面垂直的性質(zhì)定理（1）文字語言：垂直于同一個平面的兩條直線平行．（2）圖形語言：

（3）符號語言：（4）作用：①線面垂直?線線平行；②作平行線．對直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解（1）直線與平面垂直的性質(zhì)定理給出了判定兩條直線平行的另一種方法．（2）定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)．平面與平面垂直的性質(zhì)定理（1）文字語言：兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直．（2）圖形語言：

（3）符號語言：（4）作用：①面面垂直?線面垂直；②作面的垂線．對面面垂直的性質(zhì)定理的理解（1）定理的實質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來證明線面垂直．（2）已知面面垂直時，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．直線與平面垂直的其他性質(zhì)①如果一條直線和一個平面垂直，則這條直線和這個平面內(nèi)任一條直線垂直．②若兩條平行線中的一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面．③若l⊥α于A，AP⊥l，