20032011考研數學2真題高數部分要點

20032011考研數學2真題高數部分重點20032011考研數學2真題高數部分重點24/24荿PAGE24袂螈蒄袈薈螀薆螄蚄莇節(jié)螈蚈羈羆莆20032011考研數學2真題高數部分重點

2003年考研數學（二）真題

一、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

1（1）若x0時，(1ax2)41與xsinx是等價無量小，則a=.（2）設函數y=f(x)由方程xy2lnxy4所確定，則曲線y=f(x)在點(1,1)處的切線方程是.（4）設曲線的極坐標方程為ea(a0)，則該曲線上相應于從0變到2的一段弧與極軸所圍成的圖形的面積為__________.二、選擇題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（1）設{an},{bn},{cn}均為非負數列，且liman0,limbn1,limcn,則必有nnn(A)anbn對任意n成立.(B)bncn對任意n成立.(C)極限limancn不存在.n

n（2）設an3n1xn11xndx,20

(D)極限limbncn不存在.[]n

則極限limnan等于n

33(A)(1e)21.(B)(1e1)21.33(C)(1e1)21.(D)(1e)2.[]1（3）已知yx是微分方程yy(x)的解，則(x)的表達式為lnxxyy（A）y2.(B)y2.x2x222(C)x2.(D)x2.[]yy（4）設函數f(x)在(,)內連續(xù)，其導函數的圖形以下列圖，則f(x)有(A)一個極小值點和兩個極大值點.(B)兩個極小值點和一個極大值點.(C)兩個極小值點和兩個極大值點.(D)三個極小值點和一個極大值點.[]

y

1

Ox

（5）設I14tanx4xxdx,I2dx,則00tanx(A)I1I21.(B)1I1I2.(C)I2I11.(D)1I2I1.[]三、（本題滿分10分）ln(1ax3),x0,f(x)xarcsinxx0,設函數6,eaxx2ax1x0,,xsin

x

4

問a為何值時，f(x)在x=0處連續(xù)；a為何值時，x=0是f(x)的可去中止點？

、（本題滿分9分）x12t2,2設函數y=y(x)由參數方程12lnteu(t1)所確定，求dy.ydudx2x91u五、（本題滿分9分）xearctanx計算不定積分3dx.2(1x)2

六、（本題滿分12分）

設函數y=y(x)在(,)內擁有二階導數，且y0,xx(y)是y=y(x)的反函數.

(1)d2x(ydx30變換為y=y(x)滿足的微試將x=x(y)所滿足的微分方程2sinx)()dydy分方程；(2)求變換后的微分方程滿足初始條件y(0)30,y(0)的解.2七、（本題滿分12分）談論曲線y4lnxk與y4xln4x的交點個數.八、（本題滿分12分）設位于第一象限的曲線y=f(x)過點(2,1)，其上任一點P(x,y)處的法線與y軸的22交點為Q，且線段PQ被x軸均分.

2

求曲線y=f(x)的方程；

(2)已知曲線y=sinx在[0,]上的弧長為l，試用l表示曲線y=f(x)的弧長s.九、（本題滿分10分）有一平底容器，其內側壁是由曲線x(y)(y0)繞y軸旋轉而成的旋轉曲面（如圖），容器的底面圓的半徑為2m.依照設計要求，當以3m3/min的速率向容器內注入液體時，液面的面積將以m2/min的速率均勻擴大（假設注入液體前，容器內無液體）.(1)依照t時辰液面的面積，寫出t與(y)之間的關系式；(2)求曲線x(y)的方程.(注：m表示長度單位米，min表示時間單位分.)十、（本題滿分10分）設函數f(x)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a,b)內可導，且f(x)0.若極限limf(2xa)存在，證明：xaxa在(a,b)內f(x)>0;

(2)在(a,b)內存在點b2a22；，使bf(x)dxaf()，使f()(b2a2)2b(3)在(a,b)內存在與(2)中相異的點f(x)dx.aa2004年考碩數學（二）真題一.填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上.）（1）設f(x)lim(n1)x,則f(x)的中止點為x.nnx21（2）設函數y(x)由參數方程xt33t1y(x)向上凸的x取值yt33t確定,則曲線y1范圍為____..（3）dx_____..x211x（5）微分方程(yx3)dx2xdy0滿足yx16的特解為_______.5.選擇題（本題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個選項中，只有一

項吻合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內.）

3

（7）把x0xcost2dt,x2x3dt排時的無量小量0tantdt,sint00列起來,使排在后邊的是前一個的高階無量小,則正確的排列次序是（A）,,.（B）,,.（C）,,.

（8）設f(x)x(1x)

（D）,,.

則

（A）x0是f(x)的極值點,但(0,0)不是曲線yf(x)的拐點.（B）x0不是f(x)的極值點,但(0,0)是曲線yf(x)的拐點.（C）x0是f(x)的極值點,且(0,0)是曲線yf(x)的拐點.（D）x0不是f(x)的極值點,(0,0)也不是曲線yf(x)的拐點.

（9）limlnn122)2(1n2等于(1)(1)nnnn2（B）22lnxdx.（A）ln2xdx.112x)dx.2（C）2ln(1（D）ln2(1x)dx11（10）設函數f(x)連續(xù),且f(0)0,則存在0,使得（A）f(x)在(0,)內單調增加.（B）f(x)在(,0)內單調減小.（C）對任意的x(0,)有f(x)f(0).（D）對任意的x(,0)有f(x)f(0).（11）微分方程yyx21sinx的特解形式可設為（A）

（B）

yax2bxcx(AsinxBcosx)

yx(ax2bxcAsinxBcosx)

.

.

（C）

（D）

yax2bxcAsinx.

yax2bxcAcosx

4

三.解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分10分）12cosxx1.求極限lim3x0x3（16）（本題滿分10分）設函數f(x)在（,）上有定義,在區(qū)間[0,2]上,f(x)x(x24),若對任意的x都滿足f(x)kf(x2),其中k為常數.(Ⅰ)寫出f(x)在[2,0]上的表達式;(Ⅱ)問k為何值時,f(x)在x0處可導.（17）（本題滿分11分）x2sintdt,(Ⅰ)證明f(x)是以為周期的周期函數;(Ⅱ)求f(x)的值域.設f(x)x（18）（本題滿分12分）exex0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x曲線y與直線x2軸旋轉一周得一旋轉體,其體積為V(t),側面積為S(t),在xt處的底面積為F(t).(Ⅰ)求S(t)的值;(Ⅱ)計算極限limS(t).V(t)tF(t)（19）（本題滿分12分）設eabe2,證明ln2bln2a42(ba).e（20）（本題滿分11分）某種飛機在機場降落時,為了減小滑行距離,在觸地的剎時,飛機尾部張開減速傘,以增大阻力,使飛機迅速減速并停下來.現有一質量為9000kg的飛機,著陸時的水平速度為700km/h.經測試,減速傘打開后,飛機所受的總阻力與飛機的速度成正比(比率系數為

6).問從著陸點算起,飛機滑行的最長距離是多少?注kg表示千克,km/h表示千米/小時.

5

（21）（本題滿分10分）設zf(x22,exy),其中f擁有連續(xù)二階偏導數zz2zy,求,,.xyxy2005年考研數學二真題

一、填空題（本題共6小題，每題4分，滿分24分.把答案填在題中橫線上）

（1）設y(1sinx)x，則dy|x=______.3(1x)（2）曲線yx

2

的斜漸近線方程為______.

1xdx（3）______.0(2x2)1x2（4）微分方程xy12yxlnx滿足y(1)9

的解為______.

（）當x0時，2(x)1xarcsinxcosx是等價無量小，則5(x)kx與k=______.

二、選擇題（本題共8小題，每題4分，滿分32分.每題給出的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內）（7）設函數f(x)limn1x3n，則f(x)在(,)內n(A)各處可導.(B)恰有一個不可以導點.(C)恰有兩個不可以導點.(D)最少有三個不可以導點.[]（8）設F(x)是連續(xù)函數f(x)的一個原函數，"MN"表示“M的充分必要條件是N”，則必有(A)F(x)是偶函數f(x)是奇函數.B）F(x)是奇函數f(x)是偶函數.

(C)F(x)是周期函數f(x)是周期函數.

(D)F(x)是單調函數f(x)是單調函數.[]

xt22t,處的法線與x軸交（9）設函數y=y(x)由參數方程確定，則曲線y=y(x)在x=3yln(1t)

點的橫坐標是(A)1ln23.(B)1ln23.88(C)8ln23.(D)8ln23.[]（12）設函數f(x)1,則xex11x=0,x=1都是f(x)的第一類中止點.

（B）x=0,x=1都是f(x)的第二類中止點.

(C)x=0是f(x)的第一類中止點，x=1是f(x)的第二類中止點.

6

(D)x=0是f(x)的第二類中止點，x=1是f(x)的第一類中止點.[]三、解答題（本題共9小題，滿分94分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）（15）（本題滿分11分）x(xt)f(t)dt0設函數f(x)連續(xù)，且f(0)0，求極限limx.x0x0f(xt)dt（16）（本題滿分11分）如圖，C1和C2分別是y1(1ex)和yex的圖象，過點(0,1)的曲線C3是一單調增2函數的圖象.過C2上任一點M(x,y)分別作垂直于x軸和y軸的直線lx和ly.記C1,C2與lx所圍圖形的面積為S1(x)；C2,C3與ly所圍圖形的面積為S2(y).若是總有S1(x)S2(y)，求曲線C3的方程x(y).（17）（本題滿分11分）如圖，曲線C的方程為y=f(x)，點(3,2)是它的一個拐點，直線l1與l2分別是曲線C在點(0,0)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4).設函數f(x)擁有三階連續(xù)導數，計算定積分32x)f(x)dx.(x0（18）（本題滿分12分）用變量代換xcost(0t)化簡微分方程(1x2)yxyy0，并求其滿足y01,yx02的特解.x（19）（本題滿分12分）已知函數f(x)在[0，1]上連續(xù)，在(0,1)內可導，且f(0)=0,f(1)=1.證明：（I）存在(0,1),使得f()1；（II）存在兩個不同樣的點,(0,1)，使得f()f()1.（20）（本題滿分10分）已知函數z=f(x,y)的全微分dz2xdx2ydy，并且f(1,1,)=2.求f(x,y)在橢圓域D{(x,y)x2y21}上的最大值和最小值.42006年全國碩士研究生入學考試數學（二）

一、填空題（1）曲線yx4sinx的水平漸近線方程為.5x2cosx

7

1x2dt,x0,（2）設函數f(x)x3sint0處連續(xù)，則a.0在xa,x0（3）廣義積分xdx.(1x2)20（4）微分方程yy(1x)的通解是.x（5）設函數yy(x)由方程y1xey確定，則dydx二、選擇題

A0=.

（7）設函數yf(x)擁有二階導數，且f(x)0,f(x)0，x為自變量x在x0處的增量，y與dy分別為f(x)在點x0處對應的增量與微分，若x0，則（A）0dyy.（B）0ydy.（C）ydy0.（D）dyy0.【】（8）設f(x)是奇函數，除x0外各處連續(xù)，x0是其第一類中止點，則xf(t)dt是0（A）連續(xù)的奇函數.（B）連續(xù)的偶函數（C）在x0中止的奇函數（D）在x0中止的偶函數.【】（9）設函數g(x)可微，h(x)e1g(x),h(1)1,g(1)2，則g(1)等于（A）ln31.（B）ln31.（C）ln21.（D）ln21.【】（10）函數yC1exC2e2xxex滿足一個微分方程是（A）

（C）

三解答題

yy2y3xex.（B）yy2y3xex.（D）

yy2y3ex.

yy2y3ex.

15．試確定A，B，C的常數值，使得ex(1BxCx2)1Axo(x3)，其中o(x3)是當

0時比x3的高階無量小.

16．求arcsinexdx.ex18．設數列xn滿足0x1,xn1sinxn(n0,1,2,)

8

證明:(1)limxn1存在,并求極限；x1計算lim(xn1)xn2.

xn

19．證明:當0<a<b時,bsinb2cosbbasinaacosaa.

xl21,(t0),21已知曲線L的方程為4lt2y（Ⅰ）談論L的凹凸性；

（Ⅱ）過點（-1，0）引L的切線，求切點(x0,y0)，并寫出切線的方程；

（Ⅲ）求此切線與L（對應于xx0的部分）及x軸所圍成的平面圖形的面積.

2007年考研數學二真題

一．選擇題（本題共10小題，每題4分，滿分40分，在每題給的四個選項中，只有一項吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后括號內）

（1）當x0時，與x等價的無量小量是（）A.1exB.ln1xC.1x1D.1cosx1x1（2）函數f(x)(exe)tanx在區(qū)間,上的第一類中止點是x()1x(exe)

C.2D.2（3）如圖.連續(xù)函數yf(x)在區(qū)間3,2,2,3上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓2,0,0,2上圖形分別是直徑為2的上、下半圓周，設F(x)x周，在區(qū)間f(t)dt,則下0列結論正確的選項是：（）A..F(3)3F(2)B.F(3)5F(2)44C.F(3)3F(2)D.F(3)5F(2)44(4)設函數f（x）在x=0處連續(xù)，以下命題錯誤的選項是()A.若limf(x)存在，則f(0)0B.若limf(x)f(x)存在,f(0)0x0xx0xC.若limf(x)存在,則f(0)0D.limf(x)f(x)存在,f(0)0x0xx0x

9

（5）曲線y1ln(1ex),漸近線的條數為（）xA.0B.1C.2D.3(6)設函數f(x)在(0,)上擁有二階導數，且f"(x)0,令un=f(n)1,2,n,則下列結論正確的選項是()A.若u1u2，則un必收斂B.若u1u2，則un必發(fā)散C.若u1u2，則un必收斂D.若u1u2，則un必發(fā)散

二．填空題：11－16小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定地址上

(11)limarctanxsinx____.x3x0(12)曲線xcostcos2t上對應于t的點處的法線斜率為_____y1sint4(13)設函數y1，則yn0＝_____.2x3(14)二階常系數非齊次線性微分方程y''4y'3y2e2x的通解y＝_____.三、解答題：17－24小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的地址上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17）設f(x)是區(qū)間0,上單調、可導函數，且滿足f(x)1(t)dtxcostsintftsintdt，400cost其中f1是f的反函數，求f(x).（18）（本題滿分11分）

設D是位于曲線yxaa1,0x下方、x軸上方的無界地域.（Ⅰ）求地域D繞x軸旋轉一周所成旋轉體的體積V(a)；（Ⅱ）當a為何值時，V(a)最??？并求此最小值.（19）求微分方程y''xy'2y'滿足初始條件y(1)y'(1)1的特解.（20）已知函數f(a)擁有二階導數，且f'(0)＝1，函數yy(x)由方程yxey11所確定.設zf(lnysinx),求dzx0，d2zx0.dxdx2（本題11分）

設函數f(x),g(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內擁有二階導數且存在相等的最大值，

10

f(a)g(a),f(b)g(b)證明：存在(a,b)，使得f''()g''().

2008年全國碩士研究生入學一致考試數學二試題

一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分，以下每題給出的四個選項中，只有一項

吻合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內.

(1)設f(x)x2(x1)(x2)，求f(x)的零點個數（）A0B1C2D3（2）曲線方程為yaxf'(x)dx（f(x)函數在區(qū)間[0,a]上有連續(xù)導數，則定積分）0A曲邊梯形ABCD面積.B梯形ABCD面積.C曲邊三角形ACD面積.D三角形ACD面積.（3）在以下微分方程中，以yC1exC2cos2xC3sin2x（C1,C2,C3為任意常數）為通解的是（）Ayy4y4y0.Byy4y4y0.Cyy4y4y0.Dyy4y4y0.（4）判斷函數f(x)lnxsinx(x0)中止點的情況()x1A

B

C

D

有1個可去中止點，1個跳躍中止點有1個跳躍中止點，1個無量中止點有兩個無量中止點

有兩個跳躍中止點

（5）設函數f(x)在(,)內單調有界，xn為數列，以下命題正確的選項是（）

A

C

若xn收斂，則f(xn)收斂.B

若f(xn)收斂，則xn收斂.D

若xn單調，則f(xn)收斂.

若f(xn)單調，則xn收斂.

二、填空題：9-14小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定地址上.

1cos(sinx)1，則f(0)（9）f(x)連續(xù)，lim2x0(ex1)f(x)11

（10）曲線sinxylnyxx在點0,1處的切線方程為.2（11）求函數f(x)(x5)x3的拐點______________.三、解答題：15－23小題，共94分.請將解答寫在答題紙指定的地址上.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（本題滿分10分）

sinxsinsinxsinx求極限limx4.x0（本題滿分10分）

求積分1x2arcsinxdx1x2

（本題滿分10分）

曲線yf(x)滿足f(0)1對于任意的t曲線是嚴格遞加，在x軸上t0，該曲線與直線x0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形.該曲邊梯形繞x軸旋轉一周得一旋轉體，其體積為V(t),側面積為S(t).若是f(x)二階可導,且S(t)2，求曲線yf(x).V(t)21）（本題滿分11分）證明(1)積分中值定理；

(2)已知(x)在[1,3]上連續(xù)且可導，(2)(1),(2)3(x)dx證明最少存在一2點(1,3)，使得()0.

2010年考研數學二真題

一填空題(8×4=32分)

12

13

2011考研數學二真題

一選擇題

1.已知當x0時，函數f(x)3sinxsin3x與cxk是等價無量小，則Ak=1,c=4Bk=a,c=-4Ck=3,c=4Dk=3,c=-42.已知f(x)在x0處可導，且f(0)0,則limx2f(x)2f(x3)x3x0A2f(0)Bf(0)Cf(0)D03.函數f(x)ln(x1)(x2)(x3)的駐點個數為A0B1C2D34.微分方程y2yexex(0)的特解形式為Aa(exex)Bax(exex)Cx(aexbex)Dx2(aexbex)5設函數f(x)擁有二階連續(xù)導數，且f(x)0,f(0)0，則函數zf(x)lnf(y)在點（0，0）處獲取極小值的一個充分條件Af(0)1,f(0)0Bf(0)1,f(0)0Cf(0)1,f(0)0Df(0)1,f(0)06.設I4lnsinxdx,Jlncotxdx,Klncosxdx則I、J、K的大小關系是44000

14

AI<J<KBI<K<JCJ<I<KDK<J<I二填空題12x1)x9.lim(2x0yyexcos滿足條件y(0)0的解y10.微分方程11.曲線yxx)的弧長s=____________0tantdt(0412.設函數f(x),x0,0，則xf(x)dx0,x0三解答題xln(1t2)dt15.已知函數F(x)0，設limF(x)limF(x)0，試求的取值范圍。xxx0x1t3t13316.設函數y=y(x)有參數方程y1t3t1，求y=y(x)的數值和曲線y=y(x)的凹凸區(qū)間及拐點。3317.18.設函數y(x)擁有二階導數，且曲線l:y=y(x)與直線y=x相切于原點，記是曲線l在點（x,y)外切線的傾角ddy，求y(x)的表達式。dxdx19.證明：1）對任意正整數n，都有1ln(11)111n1nn2）設an1lnn(n1,2,),證明{an}收斂。2n20.一容器的內側是由圖中曲線繞y旋轉一周而成的曲面，該曲面由x2y22y(y1),x2y21(y1)連接而成。221）求容器的容積。

2）若沉著器內將容器的水沉著器頂部全部抽出，最少需要多少功？（長度單位：m；重力加速度為

gm/s2；水的密度為103kg/m3）

2012年全國碩士研究生入學一致考試數學二試題

一、選擇題:18小題,每題4分,共32分.以下每題給出的四個選項中,只有一個選項符合題目要求的,請將所選項前的字母填在答題紙指定地址上.．．．(1)曲線yx2x的漸近線條數x21(A)0(B)1(C)2(D)3(2)設函數f(x)(ex1)(e2x2)(enxn)，其中n為正整數,則f(0)

15

(A)(1)n1(n1)!(B)(1)n(n1)!(C)(1)n1n!(D)(1)nn!(3)設an0(n1,2,3),n12a3an，則數列Sn有界是數列an收斂Saa的(A)充分必要條件(B