高數集合與映射課件

高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學大學數學（1）第一講集合與映射授課教師：易學軍高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學1第一章集合與函數本章學習要求：正確理解函數概念，能熟練求出函數的定義域。掌握函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和圖形特征。正確理解初等函數、復合函數概念，能正確將復合函數進行分解。會求函數（包括分段函數）的反函數。了解“取整函數”和“符號函數”。能對常見的實際問題進行分析，建立函數關系。第一章集合與函數本章學習要求：2第一節(jié)集合與映射一、集合的基本概念二、集合的基本運算三、映射的基本概念四、實數、區(qū)間、鄰域第一節(jié)集合與映射一、集合的基本概念3康托爾將集合定義為：所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間有明確區(qū)別的那些對象（這些對象稱為元素）作為一個整體來考慮的結果。1.集合一、集合的基本概念康托爾將集合定義為：1.集合一、集合的基本概念4高數集合與映射課件52.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用花括號括上。表示集合的方法有兩種:注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得重復出現。（唯一，互異，無序）2.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，63.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為?？占侨魏我粋€集合的子集：3.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為74.有限集、無限集：含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無限個元素的集合成為無限集。4.有限集、無限集：含有有限個元素的集合稱為有限集；8二、集合的基本運算在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合運算的概念二、集合的基本運算在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合9高數集合與映射課件10一般說來,AB一般說來,AB11交換律結合律分配律對偶律2.集合的運算性質冪等律吸收律交換律結合律分配律對偶律2.集合的運算性質冪等律吸收律121.實數集與數軸實數集為有理數集與無理數集的并.實數具有稠密性和連續(xù)性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.實數與數軸上的點一一對應.三、實數、區(qū)間、鄰域1.實數集與數軸實數集為有理數集與無理數集的并.實數具有稠132.絕對值、距離任一實數a

的絕對值|a|

定義為：數軸上任意兩點a，b

之間的距離為d=|ab|。2.絕對值、距離任一實數a的絕對值|a|定義為143.區(qū)間(1)閉區(qū)間[a,b]={x|a

x

b}ab(2)開區(qū)間(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()3.區(qū)間(1)閉區(qū)間[a,b]={x|15(a,b]={x|a

<

x

b}

(稱為左開右閉區(qū)間)[a,b)={x|a

x

<

b}

(稱為右開左閉區(qū)間)(3)半開閉區(qū)間ab。[)(a,b]={x|a<xb}16(4)無窮區(qū)間[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(4)無窮區(qū)間[a,+)={x|xa17(5)區(qū)間長度有限區(qū)間的長度=右端點值－左端點值不論是閉區(qū)間、開區(qū)間、半開閉區(qū)間，其長度計算均按此式進行。所有無窮區(qū)間的長度=+∞(5)區(qū)間長度有限區(qū)間的長度=右端點值－左端點值18U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.鄰域U(x0,)={x||xx019?(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0?(x0,)={x|0<|x20點的某鄰域，記為U(x0).點

的某去心鄰域，記為?(x0).點的某鄰域，點的某去心鄰域，21點x0=3的=0.1鄰域為點x0=3的去心=0.1鄰域為例1點x0=3的=0.1鄰域為點x0=322四、映射的基本概念1.映射四、映射的基本概念1.映射23注意：1)映射是集合間的一種對應關系.集合X、Y中所含的元素不一定是數，可以是其它的一些對象(或事物)。2)對每一個xX，只有唯一的一個yY

值與之對應關系不一定就是映射。對應，這一點很重要，它說明集合間元素的注意：1)映射是集合間的一種對應關系.集合X、Y中243)映射的定義不排除幾個不同的x

值與同一個y值對應。RfXYfy2x1x2x3y1.....3)映射的定義不排除幾個不同的x值與同一個y值對應。25設f

為集X

到集Y

的一個映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

與之對應；反過來,若y

Y,

存在唯一的x

X

使得y=f(x),則稱f

是X

到Y

的一一對應。2.一一對應設f為集X到集Y的一個映射。如果xX26第二、三節(jié)函數一、函數的基本概念二、函數的基本性質三、基本初等函數四、初等函數第二、三節(jié)函數一、函數的基本概念27一、函數的基本概念1.函數的定義一、函數的基本概念1.函數的定義28高數集合與映射課件292.函數的表示法解析法表格法圖示法自己看書！2.函數的表示法解析法表格法圖示法自己看書！303.求函數定義域舉例數學分析的主要研究對象是函數，確定函數的定義域是一件十分重要的事情。通常依據：分式的分母不能為零；負數不能開偶次方；已知的一些函數的定義域；物理意義；幾何意義等來確定函數的定義域。3.求函數定義域舉例數學分析的主要研究對31例1例132例2求的定義域。例2求的定義域。33將x

表示為:函數y=[x]=“整數”稱為取整函數，它是一個分段函數。例3“整數”+

“正的小數”或“零”將x表示為:函數y=[x]=“整數”稱為取整34想想取整函數的圖形是什么樣子？想想取整函數的圖形是什么樣子？35例4例436定義域與對應規(guī)則均相同的兩個函數相同。如何判斷兩個函數是否相同?4.判斷函數相同定義域與對應規(guī)則均相同的兩個函數相同。如何判斷兩37例6例6385.函數的圖形稱為函數f(x)

的圖形。在平面上建立直角坐標系Oxy，則xy

平面上的點集是否所有的函數均可繪出幾何圖形？5.函數的圖形稱為函數f(x)的圖形。在平面上建立39例7狄利克雷函數就不能作出幾何圖形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德國數學家，他以出色的數學才能，以及在數論、分析和數學物理方程等領域的杰出成果，成為繼高斯之后與雅可比齊名的德國數學界的核心人物之一。例7狄利克雷函數就不能作出幾何圖形.Dirichlet40單調性有界性奇偶性周期性二、函數的基本性質單調性有界性奇偶性周期性二、函數的基本性質411.單調性在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數在區(qū)間I上單調增加,記為。1.單調性在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將42在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數在區(qū)間I上單調減少,記為。在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數43函數的單調性是一個局部性的性質,它與所討論的區(qū)間I有關.函數的單調性是一個局部性的44畫畫圖就一目了然.例9我們以后將運用微積分的方法研究函數的單調性。畫畫圖就一目了然.例9我們以后將運用微積分的方法研452.有界性有界性有上界有下界有界2.有界性有界性有上界有下界有界46設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數A,B,使對一切x

I

恒有A

f(x)

B則稱函數y=f(x)在區(qū)間I

上有界。否則,稱函數y=f(x)在區(qū)間I

上無界。函數有界性的定義設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在47y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函數有界示意圖

y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x48函數y=f(x)在區(qū)間I上有界你能理解嗎?函數y=f(x)在區(qū)間I上有界你能理解嗎?49成立，則稱函數y=f(x)在區(qū)間I上是上方有界的,簡稱有上界。設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數M(可正，可負)，對一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M成立，則稱函數y=f(x)在區(qū)間I上是50

f(x)≥m在區(qū)間I上是下方有界的,簡稱有下界。設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數m(可正，可負),對一切x

I恒有成立，則稱函數y=f(x)y=f(x)f(x)≥m在區(qū)間I上是下方有界的,簡稱有下界51

函數y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在區(qū)間I上:xyABO函數y=f(x)有界f(x)既有上界52無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有下界，則必有若函數間I上的下確界，記為無窮多個上界，所有上界中最小者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有上界，則必有若函數間I上的上確界，記為有上(下)界的函數是否必有上(下)確界？可以證明：有上(下)界的函數必有上(下)確界.無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有下53如何證明或判斷函數無界？提一個問題：如何證明或判斷函數無界？提一個問題：54證明或判斷無界，通常依據:函數y=f(x)在區(qū)間I

上無界，則不論M>

0的值取得多么大，總使得|f(x0

)|>M

成立。證明或判斷無界，通常依據:函數y=f(x)在區(qū)間55易知：例10解在其定義域內是無界的。

故函數在任何一個有限區(qū)間內有界。易知：例10解在其定義域內是無界的。故函數在任何一個有限區(qū)563.奇偶性若xDf,有f(x)=f(x)成立，則稱f(x)為偶函數。偶函數的圖形關于y

軸對稱。若xDf,有f(x)=

f(x)成立，則稱f(x)為奇函數。奇函數的圖形關于坐標原點對稱。設函數y=f(x)的定義域Df

關于坐標原點對稱。3.奇偶性若xDf,有f(x)=57三、基本初等函數大家在中學就已熟悉它們了！三、基本初等函數大家在中學就已熟悉它們了！58以下六種簡單函數稱為基本初等函數1.常值函數

y=C

(C

為常數)2.冪函數y=x

(

R為常數)3.指數函數y=ax

(a>0,a1)以下六種簡單函數1.常值函數y=C594.對數函數y=logax

(a>0,a1)5.三角函數

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函數y=arcsinx

y=arccosx

y=arctanx

y=arccotx

y=arcsecx

y=arccscx詳情見書4.對數函數y=logax5.三60四、復合函數、反函數·····？如何描述四、復合函數、反函數·····？如何描述611.復合函數設有映射及的每一個x

所對應的u

值，都屬于f(u)的定義域Df，如果對于映射的定義域(或定義域的一部分)中那么，將代入消去u

后,就有其中，u

稱為中間變量。與稱之為函數復合而成的復合函數。1.復合函數設有映射及的每一個x所對應的u值，都屬于62由函數可構成復合函數函數復合后一般應重新驗證它的定義域例13由函數可構成復合函數函數復合后一般應重新驗證它的定義域例1363函數復合而成?它是由以下幾個函數復合而成:例14解復合函數分解到什么時候為止？以上過程稱為對復合函數的分解分解到基本初等函數或基本初等函數的四則運算為止.函數復合而成?它是由以下幾個函數復合而成:例14解復合函數64是一一對應(即映射f是一一對應),稱f的

f的反函數.只有在一一對應的前提下才能有反函數.與互為反函數.2。反函數的定義是一一對應(即映射f是一一對應),稱f65例16例1666反函數的圖形將函數y=f(x)的反函數寫成x=f

1(y)時，函數與其反函數的圖形相同.將函數y=f(x)的反函數記為y=f

1(x)時，函數y=f(x)與其反函數y=f

1(x)的圖形關于第Ⅰ、Ⅲ象限的角平分線y=x對稱。反函數的圖形將函數y=f(x)的反67反函數的圖形反函數的圖形68例16得由由得由得解綜上所述，所求反函數為例16得由由得由得解綜上所述，所求反函數為69故所求反函數為求分段函數的反函數是：先求出各段上函數的反函數，然后綜合起來，得出原分段函數的反函數。故所求反函數為求分段函數的反函數是：70增加的.定理減少減少增加的.定理減少減少71五、初等函數由基本初等函數經過有限次四則運算和復合運算而成的函數,稱為初等函數。五、初等函數由基本初等函數經過有限次四則運算和復合運算而成的72例如都是初等函數.例如都是初等函數.73一般說來,分段函數不是初等函數.但有個別分段函數例外，例如因為它可以改寫為初等函數的形式.一般說來,分段函數不是初等函數.但有個別分段函數例外74冪指函數是否為初等函數？該冪指函數是一個初等函數.例18冪指函數是否為初等函數？該冪指函數是一個初等函數.例1875六、雙曲函數反雙曲函數學習雙曲函數時,注意與中學學習過的三角函數進行比較,找出它們之間有關定義及計算公式的相同處和不同處。六、雙曲函數反雙曲函數學習雙曲函數時76雙曲函數雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切雙曲正割雙曲余割雙曲函數雙曲正弦雙曲余弦雙曲正切雙曲余切雙曲正割雙曲余割77作業(yè)：P171.7.8；P261（3），4(4),5(4)，9（4）作業(yè)：78高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學大學數學（1）第一講集合與映射授課教師：易學軍高等院校非數學類本科數學課程——一元微積分學79第一章集合與函數本章學習要求：正確理解函數概念，能熟練求出函數的定義域。掌握函數的單調性、有界性、奇偶性、周期性的分析表示和圖形特征。正確理解初等函數、復合函數概念，能正確將復合函數進行分解。會求函數（包括分段函數）的反函數。了解“取整函數”和“符號函數”。能對常見的實際問題進行分析，建立函數關系。第一章集合與函數本章學習要求：80第一節(jié)集合與映射一、集合的基本概念二、集合的基本運算三、映射的基本概念四、實數、區(qū)間、鄰域第一節(jié)集合與映射一、集合的基本概念81康托爾將集合定義為：所謂集合是把我們直觀和思維中確定的、相互間有明確區(qū)別的那些對象（這些對象稱為元素）作為一個整體來考慮的結果。1.集合一、集合的基本概念康托爾將集合定義為：1.集合一、集合的基本概念82高數集合與映射課件832.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，并用花括號括上。表示集合的方法有兩種:注意：不論用那一種方法表示集合，集合中的元素不得重復出現。（唯一，互異，無序）2.集合的表示法列舉法：將集合A的所有元素一一列舉出來，843.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為?？占侨魏我粋€集合的子集：3.子集、集合相等規(guī)定：空集是不含任何元素的集合，記為854.有限集、無限集：含有有限個元素的集合稱為有限集；含有無限個元素的集合成為無限集。4.有限集、無限集：含有有限個元素的集合稱為有限集；86二、集合的基本運算在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合運算的概念二、集合的基本運算在wen圖中，用矩形表示全集。1.集合87高數集合與映射課件88一般說來,AB一般說來,AB89交換律結合律分配律對偶律2.集合的運算性質冪等律吸收律交換律結合律分配律對偶律2.集合的運算性質冪等律吸收律901.實數集與數軸實數集為有理數集與無理數集的并.實數具有稠密性和連續(xù)性.aR，必n

Z，使n

a

<

n+1.實數與數軸上的點一一對應.三、實數、區(qū)間、鄰域1.實數集與數軸實數集為有理數集與無理數集的并.實數具有稠912.絕對值、距離任一實數a

的絕對值|a|

定義為：數軸上任意兩點a，b

之間的距離為d=|ab|。2.絕對值、距離任一實數a的絕對值|a|定義為923.區(qū)間(1)閉區(qū)間[a,b]={x|a

x

b}ab(2)開區(qū)間(a,b)={x|a

<x

<

b}ab。。[]()3.區(qū)間(1)閉區(qū)間[a,b]={x|93(a,b]={x|a

<

x

b}

(稱為左開右閉區(qū)間)[a,b)={x|a

x

<

b}

(稱為右開左閉區(qū)間)(3)半開閉區(qū)間ab。[)(a,b]={x|a<xb}94(4)無窮區(qū)間[a,+)={x|xa},(a,+)={x|x>a},(

,b]={x|x

b},(

,b)={x|x<

b},(

,+)={x|

<x<

+}={x|xR}a(+)[[a,+)(4)無窮區(qū)間[a,+)={x|xa95(5)區(qū)間長度有限區(qū)間的長度=右端點值－左端點值不論是閉區(qū)間、開區(qū)間、半開閉區(qū)間，其長度計算均按此式進行。所有無窮區(qū)間的長度=+∞(5)區(qū)間長度有限區(qū)間的長度=右端點值－左端點值96U(x0,)={x||x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x04.鄰域U(x0,)={x||xx097?(x0,)={x|0<|x

x0|<,xR,>0}x0+()x0

x0?(x0,)={x|0<|x98點的某鄰域，記為U(x0).點

的某去心鄰域，記為?(x0).點的某鄰域，點的某去心鄰域，99點x0=3的=0.1鄰域為點x0=3的去心=0.1鄰域為例1點x0=3的=0.1鄰域為點x0=3100四、映射的基本概念1.映射四、映射的基本概念1.映射101注意：1)映射是集合間的一種對應關系.集合X、Y中所含的元素不一定是數，可以是其它的一些對象(或事物)。2)對每一個xX，只有唯一的一個yY

值與之對應關系不一定就是映射。對應，這一點很重要，它說明集合間元素的注意：1)映射是集合間的一種對應關系.集合X、Y中1023)映射的定義不排除幾個不同的x

值與同一個y值對應。RfXYfy2x1x2x3y1.....3)映射的定義不排除幾個不同的x值與同一個y值對應。103設f

為集X

到集Y

的一個映射。如果xX，存在唯一的y=f(x)Y

與之對應；反過來,若y

Y,

存在唯一的x

X

使得y=f(x),則稱f

是X

到Y

的一一對應。2.一一對應設f為集X到集Y的一個映射。如果xX104第二、三節(jié)函數一、函數的基本概念二、函數的基本性質三、基本初等函數四、初等函數第二、三節(jié)函數一、函數的基本概念105一、函數的基本概念1.函數的定義一、函數的基本概念1.函數的定義106高數集合與映射課件1072.函數的表示法解析法表格法圖示法自己看書！2.函數的表示法解析法表格法圖示法自己看書！1083.求函數定義域舉例數學分析的主要研究對象是函數，確定函數的定義域是一件十分重要的事情。通常依據：分式的分母不能為零；負數不能開偶次方；已知的一些函數的定義域；物理意義；幾何意義等來確定函數的定義域。3.求函數定義域舉例數學分析的主要研究對109例1例1110例2求的定義域。例2求的定義域。111將x

表示為:函數y=[x]=“整數”稱為取整函數，它是一個分段函數。例3“整數”+

“正的小數”或“零”將x表示為:函數y=[x]=“整數”稱為取整112想想取整函數的圖形是什么樣子？想想取整函數的圖形是什么樣子？113例4例4114定義域與對應規(guī)則均相同的兩個函數相同。如何判斷兩個函數是否相同?4.判斷函數相同定義域與對應規(guī)則均相同的兩個函數相同。如何判斷兩115例6例61165.函數的圖形稱為函數f(x)

的圖形。在平面上建立直角坐標系Oxy，則xy

平面上的點集是否所有的函數均可繪出幾何圖形？5.函數的圖形稱為函數f(x)的圖形。在平面上建立117例7狄利克雷函數就不能作出幾何圖形.Dirichlet1805—1859狄利克雷是德國數學家，他以出色的數學才能，以及在數論、分析和數學物理方程等領域的杰出成果，成為繼高斯之后與雅可比齊名的德國數學界的核心人物之一。例7狄利克雷函數就不能作出幾何圖形.Dirichlet118單調性有界性奇偶性周期性二、函數的基本性質單調性有界性奇偶性周期性二、函數的基本性質1191.單調性在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數在區(qū)間I上單調增加,記為。1.單調性在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將120在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數在區(qū)間I上單調減少,記為。在不需要區(qū)別上面兩種情況時，一般將統(tǒng)稱為函數121函數的單調性是一個局部性的性質,它與所討論的區(qū)間I有關.函數的單調性是一個局部性的122畫畫圖就一目了然.例9我們以后將運用微積分的方法研究函數的單調性。畫畫圖就一目了然.例9我們以后將運用微積分的方法研1232.有界性有界性有上界有下界有界2.有界性有界性有上界有下界有界124設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數A,B,使對一切x

I

恒有A

f(x)

B則稱函數y=f(x)在區(qū)間I

上有界。否則,稱函數y=f(x)在區(qū)間I

上無界。函數有界性的定義設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在125y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x)函數有界示意圖

y=f(x)xxyyAABBOOy=f(x126函數y=f(x)在區(qū)間I上有界你能理解嗎?函數y=f(x)在區(qū)間I上有界你能理解嗎?127成立，則稱函數y=f(x)在區(qū)間I上是上方有界的,簡稱有上界。設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數M(可正，可負)，對一切x

I恒有y=f(x)f(x)≤M成立，則稱函數y=f(x)在區(qū)間I上是128

f(x)≥m在區(qū)間I上是下方有界的,簡稱有下界。設函數y=f(x)在區(qū)間I上有定義。若存在實數m(可正，可負),對一切x

I恒有成立，則稱函數y=f(x)y=f(x)f(x)≥m在區(qū)間I上是下方有界的,簡稱有下界129

函數y=f(x)有界f(x)既有上界又有下界.在區(qū)間I上:xyABO函數y=f(x)有界f(x)既有上界130無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有下界，則必有若函數間I上的下確界，記為無窮多個上界，所有上界中最小者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有上界，則必有若函數間I上的上確界，記為有上(下)界的函數是否必有上(下)確界？可以證明：有上(下)界的函數必有上(下)確界.無窮多個下界，所有下界中最大者稱為函數在區(qū)在區(qū)間I上有下131如何證明或判斷函數無界？提一個問題：如何證明或判斷函數無界？提一個問題：132證明或判斷無界，通常依據:函數y=f(x)在區(qū)間I

上無界，則不論M>

0的值取得多么大，總使得|f(x0

)|>M

成立。證明或判斷無界，通常依據:函數y=f(x)在區(qū)間133易知：例10解在其定義域內是無界的。

故函數在任何一個有限區(qū)間內有界。易知：例10解在其定義域內是無界的。故函數在任何一個有限區(qū)1343.奇偶性若xDf,有f(x)=f(x)成立，則稱f(x)為偶函數。偶函數的圖形關于y

軸對稱。若xDf,有f(x)=

f(x)成立，則稱f(x)為奇函數。奇函數的圖形關于坐標原點對稱。設函數y=f(x)的定義域Df

關于坐標原點對稱。3.奇偶性若xDf,有f(x)=135三、基本初等函數大家在中學就已熟悉它們了！三、基本初等函數大家在中學就已熟悉它們了！136以下六種簡單函數稱為基本初等函數1.常值函數

y=C

(C

為常數)2.冪函數y=x

(

R為常數)3.指數函數y=ax

(a>0,a1)以下六種簡單函數1.常值函數y=C1374.對數函數y=logax

(a>0,a1)5.三角函數

y=sinx

y=cosx

y=tanx

y=cotx

y=secx

y=cscx6.反三角函數y