【教學(xué)課件】環(huán)節(jié)一 誘導(dǎo)公式

誘導(dǎo)公式環(huán)節(jié)一誘導(dǎo)公式（一）新知探究問(wèn)題1如圖1，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)任意角α的終邊與單位圓交于點(diǎn)P1，作P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)P2．（1）以O(shè)P2為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？（2）角β，α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？1．探究發(fā)現(xiàn)答案：

如圖2，以O(shè)P2為終邊的角β都是與角π＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π＋α)（k∈Z）．因此，只要探究角π＋α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．新知探究設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．因?yàn)镻2是點(diǎn)P1關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，所以x2＝－x1，y2＝－y1．1．探究發(fā)現(xiàn)根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝

（x1≠0）；sin(π＋α)＝y(tǒng)2，cos(π＋α)＝x2，tan(π＋α)＝

（x2≠0）．從而得：公式二sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanα．新知探究追問(wèn)1

應(yīng)用公式二時(shí)，對(duì)角α有什么要求？答案：無(wú)論α為何值，π＋α的終邊都與角α的終邊關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以只要在定義域內(nèi)的角α都成立．1．探究發(fā)現(xiàn)新知探究追問(wèn)2

探究公式二的過(guò)程，可以概括為哪些步驟？每一步蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想是什么？答案：第一步，根據(jù)圓的對(duì)稱性，建立角之間的聯(lián)系．即從形的角度研究．1．探究發(fā)現(xiàn)第二步，根據(jù)圓的對(duì)稱性，建立坐標(biāo)之間的關(guān)系．將形的關(guān)系代數(shù)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想方法．第三步，根據(jù)三角函數(shù)定義，建立等量代換，得到誘導(dǎo)公式二，體現(xiàn)了聯(lián)系性．新知探究追問(wèn)3

角π＋α還可以看作是角α的終邊經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到的？答案：按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角π得到的．1．探究發(fā)現(xiàn)新知探究問(wèn)題2

借助于平面直角坐標(biāo)系，類比問(wèn)題1，你能說(shuō)出單位圓上點(diǎn)P1的哪些特殊對(duì)稱點(diǎn)？并按照問(wèn)題1總結(jié)得到的求解步驟，嘗試求出相應(yīng)的關(guān)系式．答案：?jiǎn)挝粓A上點(diǎn)P1的特殊對(duì)稱點(diǎn)：2．類比探究第一類，點(diǎn)P1關(guān)于x軸、y軸的對(duì)稱點(diǎn)；第三類，點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，再關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)．或者是點(diǎn)P1關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)，再關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱點(diǎn)，等等．第二類，點(diǎn)P1關(guān)于特殊直線的對(duì)稱點(diǎn)，如y＝x，y＝－x；2．類比探究活動(dòng)針對(duì)如上結(jié)論，類比“問(wèn)題1”的解決方法，從第一類到第三類依次解決．也可以讓學(xué)生分組分別完成．新知探究答案：1．如圖，作P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P3：以O(shè)P3為終邊的角β都是與角－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(－α)（k∈Z）．因此，只要探究角－α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．設(shè)P3(x3，y3)．因?yàn)镻3是點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以

x3＝x3，y3＝－y1．2．類比探究根據(jù)三角函數(shù)的定義，得新知探究sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝

（x1≠0）；sin(－α)＝y(tǒng)3，cos(－α)＝x3，tanα＝

（x3≠0）．sin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanα．從而得：公式三2．類比探究2．如圖，作P1關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P4：新知探究以O(shè)P4為終邊的角β都是與角π－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(π－α)（k∈Z）．設(shè)P4(x4，y4)．因?yàn)镻4是點(diǎn)P1關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，所以

x4＝－x1，y4＝y(tǒng)1．因此，只要探究角π－α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．2．類比探究新知探究sin(π－α)＝y(tǒng)4，cos(π－α)＝x4，tan(π－α)＝

（x4≠0）．從而得：公式四sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanα．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sinα＝y(tǒng)1，cosα＝x1，tanα＝

（x1≠0）；2．類比探究新知探究設(shè)P5（x5，y5），由于P5是點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)，3．如圖，以O(shè)P5為終邊的角β都是與角

－α終邊相同的角，即β=2kπ＋(

－α)（k∈Z）．因此，只要探求角

－α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．可以證明：x5＝y(tǒng)1，y5＝x1．2．類比探究新知探究從而得：公式五根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sin(－α)＝y(tǒng)5，cos(－α)＝x5．sin(

－α)＝sinα，cos(

－α)＝－cosα．2．類比探究新知探究4．提出問(wèn)題：前面的公式都是點(diǎn)P1經(jīng)過(guò)一次對(duì)稱得到的．那如果將點(diǎn)P1經(jīng)過(guò)兩次對(duì)稱呢？例如：如圖，點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)P5，再作P5關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)P6，又能得到什么結(jié)論？以O(shè)P6為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？解：如圖，以O(shè)P6為終邊的角β都是與角

＋α終邊相同的角，即β=2kπ＋(

＋α)（k∈Z）．因此，只要探求角

＋α與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．2．類比探究新知探究設(shè)P6(x6，y6)，由于P6是點(diǎn)P5關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，因此有：x6＝－x5，y6＝y(tǒng)5．根據(jù)三角函數(shù)的定義，得sin(+α)＝y(tǒng)6，cos(+α)＝x6．從而得：sin(+α)＝cosα，cos(+α)＝－sinα．公式六2．類比探究新知探究5．提出問(wèn)題：如圖，點(diǎn)P1關(guān)于直線y＝x的對(duì)稱點(diǎn)是P5，再作P5關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)P7，又能得到什么結(jié)論？以O(shè)P7為終邊的角β與角α有什么關(guān)系？角β與角α的三角函數(shù)值之間有什么關(guān)系？大家還能想到哪些對(duì)稱，分別能得到什么樣的結(jié)論？解：如圖，以O(shè)P7為終邊的角β都是與角α－終邊相同的角，即β=2kπ＋(α－)（k∈Z）．因此，只要探求角α－與α的三角函數(shù)值之間的關(guān)系即可．2．類比探究新知探究如圖，由兩個(gè)三角形全等易得點(diǎn)P8與P1坐標(biāo)間關(guān)系，進(jìn)一步可得公式六．追問(wèn)1

除了上面的兩次對(duì)稱關(guān)系，角α的終邊還可以經(jīng)過(guò)怎樣的變換得到角

＋α的終邊？據(jù)此你將如何證明公式六？答案：角α的終邊旋轉(zhuǎn)

角，就得到角

＋α的終邊．2．類比探究新知探究追問(wèn)2

公式二～公式六中的角α有什么限制條件？答案：三角函數(shù)定義域內(nèi)的角α．問(wèn)題3誘導(dǎo)公式與三角函數(shù)和圓之間有怎樣的關(guān)系？你學(xué)到了哪些基本知識(shí)，獲得了怎樣的研究問(wèn)題的經(jīng)驗(yàn)？你能畫出本節(jié)的知