專題限時集訓(xùn)7　空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系

7/7專題限時集訓(xùn)(七)空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系1．已知直線l和兩個不同的平面α，β，則下列結(jié)論正確的是()A．若l∥α，l⊥β，則α⊥βB．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βC．若l∥α，l∥β，則α∥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥βA[對于A選項(xiàng)，顯然正確．對于B選項(xiàng)，直線l可能在平面β內(nèi)或直線l平行于平面β，故B選項(xiàng)是假命題．對于C選項(xiàng)，兩個平面可能相交，故C選項(xiàng)是假命題．對于D選項(xiàng)，直線l可能在平面β內(nèi)，也可能平行于β，故D選項(xiàng)是假命題．]2.將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直C．相交成60°角D．異面且成60°角D[如圖，直線AB，CD異面．因?yàn)镃E∥AB，所以∠ECD即為異面直線AB，CD所成的角，因?yàn)椤鰿DE為等邊三角形，故∠ECD＝60°.]3．如圖所示，四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ADB沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A-BCD，則在三棱錐A-BCD中，下列結(jié)論正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABCD[因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，所以BD⊥CD．又平面ABD⊥平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，故CD⊥平面ABD，則CD⊥AB．又AD⊥AB，AD∩CD＝D，AD?平面ADC，CD?平面ADC，故AB⊥平面ADC．又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC．]4．已知E，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，AB＝6，PC＝6，EF＝3eq\r(3)，則異面直線AB與PC所成的角為()A．120° B．45°C．30° D．60°D[設(shè)AC的中點(diǎn)為G，連接GF，EG(圖略)，因?yàn)镋，F(xiàn)分別是三棱錐P-ABC的棱AP，BC的中點(diǎn)，PC＝6，AB＝6，所以EG∥PC，GF∥AB，EG＝3，GF＝3，在△EFG中，EF＝3eq\r(3)，所以cos∠EGF＝eq\f(9＋9－27,2×3×3)＝－eq\f(1,2)，所以∠EGF＝120°，所以異面直線AB與PC所成的角為60°.]5.如圖，已知六棱錐P-ABCDEF的底面是正六邊形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB．則下列結(jié)論中：①PB⊥AE；②平面ABC⊥平面PBC；③直線BC∥平面PAE；④∠PDA＝45°.正確的為________(把所有正確的序號都填上)．①④[由PA⊥平面ABC，AE?平面ABC，得PA⊥AE，又由正六邊形的性質(zhì)得AE⊥AB，PA∩AB＝A，得AE⊥平面PAB，∵PB?平面PAB，∴PB⊥AE，∴①正確；由正六邊形的性質(zhì)計(jì)算可得PA＝AD，故△PAD是等腰直角三角形，∴∠PDA＝45°，∴④正確．]6．如圖，在邊長為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，將四邊形CDFE沿EF翻折，使得平面CDFE⊥平面ABEF，則BD＝________，異面直線BD與CF所成角的余弦值為________．eq\r(6)eq\f(\r(30),10)[如圖，連接DE交FC于O，取BE的中點(diǎn)G，連接OG，CG，則OG∥BD且OG＝eq\f(1,2)BD，所以∠COG為異面直線BD與CF所成的角或其補(bǔ)角．因?yàn)檎叫蜛BCD的邊長為2，則CE＝BE＝1，CF＝DE＝eq\r(CD2＋CE2)＝eq\r(5)，所以CO＝eq\f(1,2)CF＝eq\f(\r(5),2).易得BE⊥平面CDFE，所以BE⊥DE，所以BD＝eq\r(DE2＋BE2)＝eq\r(6)，所以O(shè)G＝eq\f(1,2)BD＝eq\f(\r(6),2).易知CE⊥平面ABEF，所以CE⊥BE，又GE＝eq\f(1,2)BE＝eq\f(1,2)，所以CG＝eq\r(CE2＋GE2)＝eq\f(\r(5),2).在△COG中，由余弦定理得，cos∠COG＝eq\f(OC2＋OG2－CG2,2OC·OG)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)))eq\s\up12(2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)))eq\s\up12(2),2×\f(\r(5),2)×\f(\r(6),2))＝eq\f(\r(30),10)，所以異面直線BD與CF所成角的余弦值為eq\f(\r(30),10).]7.如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，O1是A1C1的中點(diǎn)，E是證明：(1)平面O1AB⊥平面B1EC1；(2)C1E∥平面O1AB．[證明](1)∵ABCD-A1B1C1D1∴BB1⊥AB，AB⊥BC，又BB1∩BC＝B，且BB1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，∴AB⊥平面BCC1B1，即AB⊥平面B1EC1.因?yàn)锳B?平面O1AB，所以平面O1AB⊥平面B1EC1.(2)取AB中點(diǎn)F，連接O1F，AC，EF，則EF∥AC，EF＝eq\f(1,2)AC，O1C1∥eq\f(1,2)AC，O1C1＝eq\f(1,2)AC，所以EF∥O1C1，且EF＝O1C∴四邊形EFO1C1是平行四邊形，∴O1F∥C1∵O1F?平面O1AB，且C1E?平面O1AB∴C1E∥平面O1AB．8.在四棱錐P-ABCD中，平面PAC⊥平面ABCD，且有AB∥DC，AC＝CD＝DA＝eq\f(1,2)AB．(1)證明：BC⊥PA；(2)若PA＝PC＝eq\f(\r(2),2)AC＝eq\r(2)，Q在線段PB上，滿足PQ＝2QB，求三棱錐P-ACQ的體積．[解](1)證明：不妨設(shè)AB＝2a，則AC＝CD＝DA＝a由△ACD是等邊三角形，可得∠ACD＝eq\f(π,3)，∵AB∥DC，∴∠CAB＝eq\f(π,3).由余弦定理可得BC2＝AC2＋AB2－2AC·AB·coseq\f(π,3)＝3a2，即BC＝eq\r(3)a，∴BC2＋AC2＝AB2.∴∠ACB＝90°，即BC⊥AC．又平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD＝AC，BC?平面ABCD，∴BC⊥平面PAC，∵PA?平面PAC，∴BC⊥PA．(2)依題意得，PA⊥PC，BC＝2eq\r(3).VP-ACQ＝VQ-PAC＝eq\f(2,3)VB-PAC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)S△PAC×BC＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2eq\r(3)＝eq\f(4\r(3),9).9.如圖，已知三棱錐P-ABC的平面展開圖中，四邊形ABCD為邊長等于eq\r(2)的正方形，△ABE和△BCF均為正三角形，在三棱錐P-ABC中．(1)證明：平面PAC⊥平面ABC；(2)求三棱錐P-ABC的表面積和體積．[解](1)設(shè)AC的中點(diǎn)為O，連接BO，PO.由題意，得PA＝PB＝PC＝eq\r(2)，PO＝1，AO＝BO＝CO＝1.因?yàn)樵凇鱌AC中，PA＝PC，O為AC的中點(diǎn)，所以PO⊥AC．因?yàn)樵凇鱌OB中，PO＝1，OB＝1，PB＝eq\r(2)，PO2＋OB2＝PB2，所以PO⊥OB．因?yàn)锳C∩OB＝O，AC，OB?平面ABC，所以PO⊥平面ABC，因?yàn)镻O?平面PAC，所以平面PAC⊥平面ABC．(2)三棱錐P-ABC的表面積S＝2×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)＋2×eq\f(\r(3),4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)))2＝2＋eq\r(3)，由(1)知，PO⊥平面ABC，所以三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC×PO＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×1＝eq\f(1,3).10.已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是直角梯形，AD⊥DC，AB＝1，AD＝DC＝2，AA1＝2，且AA1⊥平面ABCD，F(xiàn)為A1B1(1)在圖中畫出一個過BC1且與AF平行的平面(要求寫出作法)；(2)求四棱柱ABCD-A1B1C1D1[解](1)在平面CDD1C1中，過D作DP∥AF，交C1D1于P，在平面CDD1C1中，過C1作C1E∥DP，交CD于E，連接BE，此時AF∥C1E，∴過BC1且與AF平行的平面為平面BEC(2)∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1AD⊥DC，AB＝1，AD＝D