北航金融計量學第二章課件

1第二章回歸模型及應用2.1數(shù)據(jù)和模型2.2線性回歸模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗2.3不滿足古典假設時的計量經(jīng)濟問題2.4虛擬變量與模型的穩(wěn)定性問題2.5離散因變量模型2.6面板數(shù)據(jù)模型22.1數(shù)據(jù)和模型時間序列數(shù)據(jù)一定時間范圍內(nèi)，按時間先后排列的一批統(tǒng)計數(shù)據(jù)。橫截面數(shù)據(jù)一批發(fā)生在同一時間截面上的調查數(shù)據(jù)。面板數(shù)據(jù)兼有時間序列數(shù)據(jù)和橫截面數(shù)據(jù)的數(shù)據(jù)。32.2線性回歸模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗一元線性回歸模型:式中：

Y－因變量(被解釋變量)分析或預測的變量；

X－自變量(解釋變量)與因變量密切關系的變量；總體參數(shù):

0,1

；隨機誤差:

回歸分析描述一個隨機變量如何隨著其他隨機變量的變化而變化。5b的期望值所以，b是

的無偏估計值。7b的協(xié)方差對一元線性回歸:8

的估計這里：分母是n-2，因為有兩個參數(shù)是要被確定的（和）。10平方和總平方和（TSS）=殘差平方和（ESS）=回歸平方和（RSS）=以上三部分的自由度分別為T-1，T-K-1和K。其中，T為樣本數(shù)，K為自變量數(shù)。11判定系數(shù)（）被X的回歸所解釋的y的方差占y總方差的比例越接近1越好13回歸方程的檢驗-方差分析法一元線性回歸：H0:2=0

H1:20多元線性回歸：H0:1=2=…=m=0H1:1，2，…，m中至少有一個不等于零方差分析的結論是線性回歸方程是否顯著，是否有意義。14常數(shù)項（截距）的檢驗-t檢驗檢驗常數(shù)項（截距）是否為零一元線性回歸：自由度＝T－2H0:=0

H1:016計量經(jīng)濟學的古典假定模型,滿足古典假設：（1）隨機誤差項的均值為0，即E(εt)=0；（2）同方差，即var(εt)=σ2；（3）隨機誤差項之間無自相關，即對于任意t≠j有cov(εj,εt)=0；（4）自變量Xj(j=2,3,…,K)之間不存在多重共線性，設X為解釋變量Xj(j=2,3,…,K)的觀測值矩陣。X為n×K階數(shù)值矩陣，則rk(X)=K，K<T。（5）解釋變量同隨機項εt不相關，即cov(Xjt,εt)=0，(j=2,3,…,K)。2.3不滿足古典假設時的計量經(jīng)濟問題172.3.1異方差問題定義：若如果古典假設的其他條件滿足，惟有：

var(t)＝2,t＝1，2，…，T不成立，則有

，即隨機誤差項的方差不再是常數(shù)，而是互不相同，則認為出現(xiàn)了異方差問題。

19

異方差一般可歸結為三種類型：（1）單調遞增型：t2隨X的增大而增大；（2）單調遞減型：t2隨X的增大而減小;（3）復雜型：t2與X的變化呈復雜形式。Back20異方差產(chǎn)生的原因1、學習——誤差模型。人們隨著學習的進展，它們的特定行為的誤差也隨之減少。212、有關收入的模型。隨著可支配收入的增加，人們選擇的余地較大，這就會產(chǎn)生異方差性。注意，異方差性經(jīng)常出現(xiàn)在橫截面資料中，在時間序列資料中比較少見。22圖示：a.等方差性b.異方差性24異方差性的后果對于大多數(shù)經(jīng)濟資料，有：故雖然無偏，但不具有最小方差！25對回歸結果的影響存在異方差，回歸結果無偏，但不具有最小方差性！T檢驗失效

只有在同方差的假定下，t檢驗方被證明是服從t分布的。如果不滿足這個假定，t檢驗失去意義。降低預測的精度由于在異方差下，差數(shù)的OLS估計的方差增大，參數(shù)OLS估計值的變異程度增大，從而造成對Y的預測誤差變大，降低預測的精度。26

異方差性的檢驗一、圖示法對于異方差檢驗，可以畫X－Y散點圖；或e2－X散點圖；e2－?散點圖。27散點圖－圖示29White檢驗第一步：用OLS對原模型進行回歸，得到殘差的估計值；第二步：對模型用OLS得到判別系數(shù)R2。因，在一定顯著性水平α下，如果，則拒絕原假設，認為存在異方差現(xiàn)象。30異方差的解決方法加權最小二乘法（weightedleastsquares）廣義最小二乘法（generalizedleastsquares）31加權最小二乘法

（WeightedLeastSquares）基本思想＊最小二乘法的基本原則是使殘差平方和最小。＊在同方差的假定下，OLS的運用是每個殘差平方有相同的權數(shù)（權數(shù)為1），也就是在最優(yōu)化過程中，對各點的殘差平方所提供信息的重要程度是一樣看待的；＊在異方差的假定下，由于不同的解釋變量使殘差偏離均值的離散程度不一樣，這樣應該對不同的殘差平方和賦予不同的權重。32加權最小二乘法是對原模型加權，使之變成一個新的不存在異方差性的模型，然后采用普通最小二乘法估計其參數(shù)。例如，在遞增異方差下，對來自較小的子樣本，其真實的總體方差較小，與回歸線擬合值之間的殘差的信度較大，應予以重視;而對較大的子樣本，由于真實總體的方差較大，殘差反映的信息應打折扣。詳細說明33

加權最小二乘法就是對加了權重的殘差平方和實施OLS法：對較小的殘差平方賦予較大的權數(shù)，對較大的殘差平方賦予較小的權數(shù)。34加權最小二乘法具體步驟35例如設原模型為

隨機誤差項具有異方差性，即不再是常數(shù)，而隨X的變化而變化。其中為常數(shù)，為解釋變量的函數(shù)。36當時，為同方差；當時，為異方差。用去乘原模型的兩端，得變換后的模型：

記，則具有同方差性。因為37

所以，可以對新模型應用OLS方法，得到，。注意：

1、若未知，一般假設或。

2、變換后的模型，擬合優(yōu)度會變小，這是對樣本值加權的結果。

3、異方差如果是由于略去重要解釋變量引起的，盲目應用WLS方法消除異方差，其參數(shù)估計值仍可能是不妥的。應該將重要的解釋變量列入模型。38在實際建模過程中，尤其是截面數(shù)據(jù)作樣本時，人們通常并不對原模型進行異方差性檢驗，而是直接選擇加權最小二乘法，尤其是采用截面數(shù)據(jù)作樣本時。如果確實存在異方差性，則被有效地消除了；如果不存在異方差性，則加權最小二乘法等價于普通最小二乘法。39廣義最小二乘法

（GeneralizedLeastSquares）概念：先對原模型進行變換，使變換后的模型滿足假定，然后對變換后的模型應用OLS方法，叫GLS方法。普通最小二乘法和加權最小二乘法都是它的特例。40GLS方法的應用普通最小二乘法（OLS）要求計量模型的隨機誤差項相互獨立或序列不相關。如果在序列相關的情況下，仍使用OLS方法估計模型參數(shù)，會產(chǎn)生以下后果：

1、參數(shù)估計量不再有效；

2、變量的顯著性檢驗失效；

3、模型的預測失效。廣義最小二乘法(GLS)就是一種處理序列相關的方法。41對于模型

用矩陣形式表示為:Y=XB+N如果存在自相關，同時存在異方差，即有：不符合經(jīng)典回歸模型的基本假設！42如何得到矩陣Ω？通常是對原模型首先采用普通最小二乘法，得到隨機誤差項的近似估計值，以此構成矩陣Ω的估計量，即43設

用左乘式Y=XB+N兩邊，得到一個新的模型：

即

該新模型具有同方差性和隨機誤差項互相獨立性。因為（為單位矩陣）44于是可以通過普通最小二乘法估計新模型，得到參數(shù)估計量為

這就是原模型的廣義最小二乘法估計量，是無偏的，有效的估計量。45通常，人們并不對原模型進行異方差性檢驗和自相關性檢驗，而是直接選擇廣義最小二乘法。如果確實存在異方差性和自相關性，則被有效的消除了；如果不存在，則廣義最小二乘法等價于普通最小二乘法。462.3.2序列相關問題定義——序列相關是指隨機擾動項序列相鄰期之間存在相關關系存在序列相關的隨機擾動項不是獨立的。自相關主要表現(xiàn)在時間序列中。數(shù)學表達式為：因隨機誤差項服從均值為0的正態(tài)分布，所以序列相關性可以表示為：47一階序列相關可表示為：可以證明隨機誤差項的協(xié)方差矩陣為：48自相關產(chǎn)生的原因1、經(jīng)濟慣性

由于經(jīng)濟發(fā)展存在一定的趨勢，形成慣性，許多經(jīng)濟變量前后期總是相互關聯(lián)的，相鄰觀察值之間或多或少有一定的聯(lián)系。

例：消費支出對收入的時間序列分析中，當期消費支出除依賴收入等變量外，還依賴前期的消費支出，即：2、遺漏有關變量3、數(shù)據(jù)處理49自相關的后果1、參數(shù)OLS的估計的方差增大，不再具有最優(yōu)性質。以一元回歸的參數(shù)估計值為例：5051

在經(jīng)濟問題中的自相關，大多是正自相關，＞0；且一般經(jīng)濟變量X的時間序列也大多為正自相關。這樣，當隨機項自相關時，參數(shù)OLS估計量的方差較無自相關時增大。

2、參數(shù)顯著性t檢驗及回歸方程顯著性F檢驗失效由于參數(shù)OLS估計量的方差增大，標準差也增大，在參數(shù)顯著性檢驗時，實際計算的t統(tǒng)計量變小，從而接受H。假設（b1=0）的可能性增大，這表明拒絕估計值的機會就大大增加，t檢驗失效。同理F檢驗也失效。523、降低預測精度區(qū)間預測與參數(shù)估計量的方差有關。由于參數(shù)估計量的方差估計有偏，必然使預測區(qū)間估計不準確，預測精度降低。53自相關的檢驗1、圖示法殘差et可作為隨機項t的估計。如果隨機項序列{t}存在自相關，必然會由殘差序列{et}反映出來。故可以利用殘差序列來判斷t的自相關性。54兩種不同的散點圖均可判斷自相關性.2、杜賓一瓦特森（Durbin——Watson）檢驗

Durbin—Watson檢驗，簡稱D—W檢驗，它僅限于一階自回歸形式。55這種檢驗的方法如下。提出原假設H0:=0,隨機擾動項不具有一階自相關；備擇假設：，則隨機擾動項具有一階自相關。為檢驗原假設，構造D—W統(tǒng)計量，記作DW或d565758Breusch-Godfrey檢驗Breusch-Godfrey檢驗適用于檢驗模型隨機誤差項是否存在高階序列相關現(xiàn)象，即假定誤差項有如下的q階自回歸模式產(chǎn)生的：其中q可事先自行選定。59第一步：用OLS對原模型進行回歸，得到殘差的估計值；第二步：用模型中所有的解釋變量及事先選定的q階殘差滯后值對上一步得到的殘差估計值進行OLS回歸，即：得出R2，可以證明，若則拒絕原假設，即存在自相關。60序列相關的解決辦法差分廣義最小二乘法兩步最小二乘法61（1）差分法以一元為例，設模型為Yt=b0+b1Xt+ut,t=1,2,,n（1）隨機項具有一階自回歸形式：ut=ut-1+，是隨機變量，滿足前述假定。將模型（1）減去（1）滯后一期并乘以得：Yt-Yt-1=b0(1-)+b1(Xt-Xt-1)+（2）令Yt*=Yt-Yt-1Xt*=Xt-Xt-1,t=2,,n此種變換稱為廣義差分變換。這種變換損失了一個觀測值，為避免損失，K.R.凱迪雅勒提出做如下變換：Y1*=Y1X1*=X1（2）式寫成：Yt*=b0(1-)+b1Xt*+

（3）62這樣就可對（3）應用OLS進行參數(shù)估計。如果是多元線性回歸模型，處理方法類似。63（3）二步最小二乘法（2SLS）假設要估計的結構方程為Y1=b12Y2++b1mYm+r11X1++r1kXk+u1（1）相應的簡化型方程為Y2=21X1+22X2++2kXk+v2Ym=m1X1+m2X2++mkXk+vm對上述簡化型的每一個方程應用OLS，得Yi=+ei（

ei稱殘差）代入（1）得Y1=b122++b1m+r11X1++r1kXk+u1*（2）對（2）應用OLS，求得642.3.3多重共線性多重共線性是指在多元回歸中，兩個解釋變量之間高度相關甚至是完全線性相關。例：模型模型系數(shù)估計值為：65多重共線性的原因經(jīng)濟變量相關的共同趨勢滯后變量的引入樣本資料原因66多重共線性引起的后果完全多重共線性的影響

無法估計模型參數(shù)參數(shù)估計方差無窮大不完全多重共線性的影響可以估計參數(shù)，但參數(shù)估計不穩(wěn)定估計值的方差變大可能導致模型設定誤差67多重共線性的檢驗檢驗方法主要有判定系數(shù)法、逐步回歸法等。判定系數(shù)法：對于k個解釋變量，把其中一個解釋變量對其他k-1個解釋變量進行線性回歸，然后根據(jù)其判定系數(shù)的大小，來判定是否存在多重共線性。即分別做以下回歸：X1=a1X2+a2X3++ak-1Xk+utX2=a1X1+a2X3++ak-1Xk+utXk=a1X1+a2X2++ak-1Xk-1+ut各回歸方程的判定系數(shù)為R12，R22，，Rk2，從中找出最大者，如Rj2,若Rj2接近于1，則可判定Xj與其他解釋變量中的一個或多個相關程度高。從而判定原模型中由于引進了解釋變量Xj，而導致高度的多重共線性。682.3.4解釋變量與誤差項相關線性回歸的古典假設要求解釋變量同隨機項εt不相關，即cov(Xjt,εt)=0，(j=2,3,…,K)。但在實際問題中，經(jīng)常會遇到解釋變量與誤差項相關，即

cov(Xjt,εt)≠0。產(chǎn)生原因：測量誤差遺漏有關隨機變量后果：估計為有偏的692.4虛擬變量與模型的穩(wěn)定性問題虛擬變量（Dummyvariable）是一種取值為0或1的變量。這些變量反映的是某種性質或屬性。其實質是反映某種性質或屬性是否存在，并且規(guī)定在變量值取1時表示存在，取0時表示不存在。虛擬變量對那些反映本質、屬性或制度的因素加以量化，通過檢驗虛擬變量的顯著性來分析這些制度或屬性因素對被解釋變量的影響。70用虛擬變量檢驗股票市場的“周內(nèi)效應”“周內(nèi)效應”是指股票市場價格在一周內(nèi)存在周期波動的現(xiàn)象，反映為日收益率在一周內(nèi)的某些天顯著為正，而在另外一些時間顯著為負。奉立城，中國股票市場的周內(nèi)效應，經(jīng)濟研究，2000年第11期。

①

Rt—上證綜合指數(shù)/深圳成分指數(shù)的日收益率；Dit—一周中星期i的虛擬變量。71如果參數(shù)在統(tǒng)計上顯著不為零，就表明存在顯著的“周內(nèi)效應”或“星期i效應”。對1992年6月1日至1998年6月30日上證綜合指數(shù)的日收益率進行星期二效應的檢驗，結果為

D2t前系數(shù)的p值為0.007，拒絕零假設，說明上海股市存在顯著為負的星期二效應。72②

如果所有參數(shù)，j=1,2,3,4,5在統(tǒng)計上不同時為零，則表明存在顯著的周內(nèi)效應。奉立城，中國股票市場的“月份效應”和“月初效應”，管理科學，2003年第1期。

實證結果表明，中國股票市場并不存在絕大多數(shù)工業(yè)發(fā)達國家股票市場和其他某些新興股票市場所普遍具有的“一月份效應”。但是實證分析顯示，滬深兩市均存在顯著的“月初效應”。

73用虛擬變量檢驗回歸模型的穩(wěn)定性模型的穩(wěn)定性檢驗是指當回歸模型采用的樣本期發(fā)生變化時，模型的回歸系數(shù)是否發(fā)生變化。β系數(shù)的穩(wěn)定性檢驗：上證B股市場在2001年2月前不對國內(nèi)投資者開放，在其后對國內(nèi)投資者開放，進而以2001年2月為分界點，檢驗β系數(shù)的穩(wěn)定性。74①啞變量法令原模型變形為：t=1,2,…,T（T為樣本期數(shù)）75②Chow檢驗(鄒至莊)Chow’s斷點（Breakpoint）檢驗：對每個子樣本單獨擬合方程來觀察估計方程是否有顯著差異。零假設是兩個子樣本擬合的方程無顯著差異；備擇假設意味著關系中的結構發(fā)生改變。Chow’s預測（Forecast）檢驗：先對包含前T1個觀察值的子樣本建立模型，然后用這個模型對后T2個觀察值的自變量進行預測，若實際值與預測值有很大變動，就可以懷疑這兩個子樣本估計關系的穩(wěn)定性。76Chow’sBreakpoint檢驗：合并全部數(shù)據(jù)，用整個樣本期內(nèi)的數(shù)據(jù)估計模型，得到殘差平方和RSS=S1。分別用不同子樣本估計模型，得到殘差平方和S2、S3。令S4=S2+S3，S5=S1-S4。計算統(tǒng)計量

若F大于臨界值，則拒絕不同樣本期下回歸模型系數(shù)相同的假設，模型結構不穩(wěn)定。反之亦反之。77沈藝峰、洪錫熙，我國股票市場貝塔系數(shù)的穩(wěn)定性檢驗，廈門大學學報(哲學社會科學版),1999年第4期。

利用Chow檢驗方法對深圳交易所交易數(shù)據(jù)進行實證分析，結果表明，在我國證券市場上，無論是單個股票還是股票組合，貝塔系數(shù)都不具穩(wěn)定性（見文章第4頁）。這說明目前我國證券市場的市場風險是變動不定和難以預測的。

78[案例]貨幣需求穩(wěn)定性的實證檢驗如果貨幣需求函數(shù)是穩(wěn)定的，即貨幣需求和一些主要變量如規(guī)模變量（收入等）、機會成本變量（利率等）之間的關系是穩(wěn)定的，那么貨幣供應量的變化對產(chǎn)出和物價的影響就比較容易預測，貨幣政策就能成為調節(jié)宏觀經(jīng)濟的有效工具。貨幣需求的決定因素可表示為：設貨幣需求函數(shù)的形式為：貨幣需求函數(shù)的穩(wěn)定性意味著：從一個角度看，按照不同樣本期數(shù)據(jù)進行回歸，所得到的模型參數(shù)應該保持不變；從另一個角度看，利用某一樣本期數(shù)據(jù)得到的回歸模型，對下一階段的貨幣余額進行估測時，誤差應較小。792.5離散因變量模型

—虛擬變量作被解釋變量的情況離散因變量模型令Yi取1的概率為Pi：上述模型不能作為實際研究二元選擇問題的模型：條件不滿足；隨機項不服從正態(tài)分布——二點分布；隨機項具有異方差性——GLS。解決辦法：

回歸式左邊用觀測值取1的概率Pi取代觀測值。在實際操作中通過對數(shù)據(jù)進行分組，用Yi取1的相對頻率作為概率Pi；右邊用函數(shù)取代原回歸式。80根據(jù)函數(shù)具體形式的不同，二元選擇的離散因變量模型分為兩類：Logit模型Probit模型f(z)為標準正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。81[案例]中國上市公司股權融資偏好的分析

內(nèi)部融資自有資金企業(yè)資金來源生產(chǎn)經(jīng)營過程中的資金積累

IPO

股權融資配股外部融資增發(fā)債務融資銀行非銀行金融機構西方理論和實證都表明，企業(yè)優(yōu)先偏好內(nèi)部融資，其次是債務融資，最后是股權融資。而中國上市公司存在顯著的股權融資偏好，較多學者將此歸因于股權融資成本偏低。82陸正飛、葉康濤，中國上市公司股權融資偏好解析——偏好股權融資就是緣于融資成本低嗎？，經(jīng)濟研究，2004年第4期。i=1，2，…N陸正飛、

高強，中國上市公司融資行為研究—基于問卷調查的分析，會計研究，2003年第3期。

83[思考1]股票市場的財富效應研究財富效應是指股票所代表的虛擬財富的增長與下降會對人們的消費產(chǎn)生影響。研究股市財富效應的意義：提高預測經(jīng)濟走勢的精度深入剖析財政貨幣政策的政策效果指導政府對股市的定位和調控84

林琳采用中國在1996年1月至2001年9月共69個月的月度數(shù)據(jù)，用OLS研究收入及財富對消費的影響，其中財富分解為居民儲蓄和所持股票的市場價值，收入則分解為勞動所得和投資收益。模型為：85[思考2]股利政策與公司股權結構的關系研究股利政策是上市公司將稅后收益在股東和留存收益之間進行合理配置的策略。從公司治理與股權結構這一角度來分析股利政策的影響因素，是指在股權分散情況下，公司治理的主要矛盾是管理層和外部分散的股東之間的利益沖突，經(jīng)營者損害股東的利益。股權集中較多地派發(fā)現(xiàn)金股利862.6面板數(shù)據(jù)模型面板數(shù)據(jù)（paneldata）是橫截面數(shù)據(jù)和時間序列數(shù)據(jù)相結合的數(shù)據(jù)。Chang&Lee,UsingPooledTime-SeriesandCross-sectionDatatoTesttheFirmandTimeEffectsinFinancialAnalyses,TheJournalofFinancialandQuantitativeAnalysis,Vol12,Issue3,pp.457～471.

本文利用面板數(shù)據(jù)研究了股價Pit與每股股利(Div)it及稅后收益Eit之間的關系，分別建立模型如下。87①基本模型對個股i：將所有研究個體（n只股票）的數(shù)據(jù)疊加起來：此模型中所有研究個體（每只股票）在整個研究期內(nèi)（t=1,2,…,T）具有相同的截距項和相同的斜率系數(shù)。如果假定個體之間的隨機干擾項獨立同方差，則可以直接應用OLS對整合后的數(shù)據(jù)進行模型參數(shù)的估計——合并普通最小二乘法（pooledOLS）。88②固定影響模型

將分為兩部分：

不同個體i具有不同的；同一個體在不同時點具有相同的，但不同：對個股i：將所有研究個體（n只股票）的數(shù)據(jù)疊加起來：其中D=[d1d2…dn]此模型稱為最小二乘虛擬變量模型（LSDV），根據(jù)多元回歸OLS得：89③隨機影響模型

將各組不同的截距項看作由共同均值與不同的隨機擾動項相加組成：對個股i：將所有研究個體（n只股票）的數(shù)據(jù)疊加起來：可以證明，擾動項的斜方差矩陣存在異方差現(xiàn)象，只能采用GLS來估計模型系數(shù)和2.2線性回歸模型的參數(shù)估計和統(tǒng)計檢驗2.2.1

一元線性回歸模型

若隨機變量Yt受另一變量Xt的影響，當對每一個變量給定T個觀測值時，可建立如下一元線性回歸模型：

(2-1)

其中，Yt為被解釋變量；

Xt為解釋變量；

εt為隨機誤差項。誤差項的引入

之所以要引入誤差項，是因為客觀經(jīng)濟現(xiàn)象是十分復雜的，很難用有限個變量、某一種確定的形式來描述。隨機誤差項主要包括：在解釋變量中被忽略因素的影響，變量觀測值觀測誤差的影響，模型關系設定的誤差的影響等等。對于模型(2-1)，在滿足古典假設：

(1)隨機誤差項的均值為零，即E(εt)＝0；

(2)同方差，即var(εt)＝2；

(3)隨機誤差項之間無自相關，即對于任意t≠j有Cov(εj,εt)=0;

(4)自變量與誤差項不相關，即Cov(Xt,εt)=0

的情況下，對于T組樣本觀測值Yt，Xt(t=1,2,…,T)，可以估計模型的有關參數(shù)，以得到變量之間的數(shù)量關系。對于模型(2-1)即是求得模型參數(shù)1和2的估計值和，揭示出Yt和Xt之間的定量關系。應用最多的參數(shù)估計方法是

普通最小二乘法，簡稱OLS。

在使用該方法時得到的估計量稱為最小二乘估計量。其基本思想是使被解釋變量的觀測值Yt與模型估計值之差的平方和最小，即：解出由和組成的方程組，即得到估計值和。正規(guī)方程標準方程得到：

(2-2)

(2-3)

其中，和分別為X和Y的樣本均值。

此時模型被解釋變量Yt的估計值可表示為：

(2-4)

相應地，記為第t個樣本觀測點的殘差，即被解釋變量的估計值與觀測值之差。由此可得隨機誤差項εt的方差σ2的無偏估計值:

(2-5)

假設隨機誤差項εt服從正態(tài)分布，即，則可以證明：解釋變量Xt的系數(shù)估計值也服從正態(tài)分布，即： (2-6)或化為標準正態(tài)分布形式：類似地，可證明：

(2-7)

在已知系數(shù)估計量概率分布的情況下，可以對有關回歸模型系數(shù)的虛擬假設進行檢驗。但由于隨機誤差項εt的方差2的真值未知，在用其無偏估計值來代替的情況下，可以證明構造的統(tǒng)計量t服從自由度為T-2的t分布，即：

（2-8）其中，T為樣本觀測點的個數(shù)；為參數(shù)標準差的估計值。可由式(2-5)計算。

因此，對于虛擬假設H0：，及其備擇假設H1：，其假設檢驗的程序與原理如第1章所述，在設定顯著性水平后，通過樣本數(shù)據(jù)計算出檢驗統(tǒng)計量t并同臨界值相比較，以決定是否拒絕虛擬假設。

對于虛擬假設H0：β2＝0，根據(jù)式(2-8)，此時計算的t統(tǒng)計量值為：

這一指標由于可以反映解釋變量X與被解釋變量Y之間是否存在關系，因而幾乎所有的統(tǒng)計軟件中都會給出。另外，EViews統(tǒng)計軟件還給出了虛擬假設H0：β2＝0成立時的概率，即p值。p值越小，越應該拒絕虛擬假設，意味著解釋變量X對被解釋變量Y的影響越顯著。

衡量估計模型優(yōu)劣的另一個重要指標是判斷系數(shù)R2，它主要是從整體上衡量回歸模型與樣本觀測值之間的擬合程度，對于模型Yt=β1+β2Xt+εt,

R2的計算方法是:或

（2-9）

R2測量了在觀測值Y的方差中，由回歸模型解釋的那個部分所占的比例。顯然有0≤R2≤1；一般來說，

R2越接近1，估計模型對實際值的擬合越好。但在實際應用中，

R2達到多少才算模型通過了檢驗則沒有絕對的標準，要視具體情況而定。

特別是在金融資產(chǎn)價格或收益率變化規(guī)律的回歸模型中，

R2有時會很低，如在0.1~0.5之間，但為了符合模型的經(jīng)濟意義，較低是可以接受的。2.2.2多元線性回歸模型

若因變量Y受多個自變量X2，X3，…，XK的影響，例如影響股票收益率的因素除了市場指數(shù)收益率外，還有其他因素，如債券收益率、個股本身的因素(如經(jīng)營業(yè)績，股本大小等等)。此時，對于多元線性回歸，其一般形式為：

,t＝1，2，…，T(2-10)或表示為：令有

Y＝X＋

(2-11)

同一元線性回歸模型的思想類似，在滿足古典假設的前提下，用向量表示普通最小二乘估計的有關結果為：模型系數(shù)的估計值 （2-12）模型系數(shù)的方差（2-13）誤差項方差的估計值 （2-14）殘差平方和 （2-15）判定系數(shù) （2-16）

有關變量顯著性檢驗(t檢驗)的程序和原則同一元線性回歸相同。另外，對于多元線性回歸，還可以對方程進行總體的顯著性檢驗，即推斷模型中被解釋變量與解釋變量之間的線性關系在總體上顯著成立，表現(xiàn)為檢驗模型(2-10)中各解釋變量前的系數(shù)是否均為0。此時的虛擬假設為H0：β2＝…＝βK＝0，備擇假設為H1：β2，β3，…，βK中至少一個不為0。

根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計學的有關知識，可以證明對于構造的統(tǒng)計量

（2-17）服從自由度為(K－l，T－K)的F分布，即F~F(K－l，T－K)。

因此，根據(jù)變量的樣本觀測值，計算出F統(tǒng)計量，給定一個顯著性水平α，計算F分布的臨界值Fα(K－l，T－K)。

相應地，若F>Fα(K－l，T－K)，則表明在(1-)的置信水平下拒絕原假設H0，即模型線性關系顯著成立。反之，則表明在(1-)的置信水平下接受原假設H0，意味著模型表示的解釋變量和被解釋變量之間的線性關系不顯著。[金融相關點]CAPM、股票系數(shù)及

系統(tǒng)風險占總風險的比例

馬科維茨均值-方差模型將股票的投資收益率作為隨機變量，用隨機變量的數(shù)學期望來表示在一定時期內(nèi)該種風險資產(chǎn)的平均收益水平，而用隨機變量的方差或標準差（即實際收益率與期望值的偏離程度）來表示其風險水平。對于由多種證券組成的投資組合P，其收益率等于它所包括的各種證券的預期收益率的加權平均數(shù)，而其風險水平的計算則比較復雜。其中心思想是：認為股票i的預期收益率是由它所含有的系統(tǒng)風險唯一確定的，其數(shù)學形式是：（2-18）其中，E(Ri)為股票i的期望收益率；rf為無風險收益率，投資者能以這個利率進行無風險的借貸；E(Rm)為市場組合的期望收益率，通常用市場指數(shù)的收益率來代表。

夏普等人在馬科維茨投資組合理論的基礎上導出了資本資產(chǎn)定價模型（CAPM），解決了市場處于均衡狀態(tài)時風險資產(chǎn)的確定問題。其中，Cov(Ri，Rm)是股票i收益率與市場組合收益率的協(xié)方差，而Var(Rm)是市場組合收益率的方差。βi作為衡量股票

i

的價格的變化率對市場指數(shù)變化率的敏感程度，用來表示該股票系統(tǒng)風險的大小。若βi>1，則這支股票被稱為進取性股票（aggressivestock）；反之如果βi<1，則這支股票被稱為防守性股票。

CAPM模型描述的是均衡狀態(tài)下的證券組合的期望收益率與由β系數(shù)所測定的系統(tǒng)風險之間的線性關系。

但在實證計量中只可得到事后的觀察值，且均衡市場往往并不處于均衡狀態(tài)，或者處于CAPM模型所未能描述的、而由其他因素所決定下的均衡狀態(tài)。因此在實際計量中可以建立下面兩個模型，采用OLS求得證券或證券組合的β系數(shù)。模型1：（又稱為單指數(shù)模型）用市場中股票i的收益率Rit與市場組合收益率Rmt，建立一元回歸模型：

，t=1,2,…,T（2-19）

模型2：用市場中股票i的超額收益率（Rit-rf）與市場組合的超額收益率（Rmt-rf），建立一元回歸模型：

，t=1,2,…,T

（2-20）

利用單指數(shù)模型還可以進一步的將證券或證券組合的風險結構加以分解。例如，對于一元線性回歸模型（2-19），其被解釋變量Rit的方差為：

ESS為解釋平方和

RSS為殘差平方和公式（2-21）可簡寫為：其含義是：用方差表示的股票i

的總風險分為系統(tǒng)風險和非系統(tǒng)風險兩部分，其中

表示受整體市場變化的影響，即系統(tǒng)風險。它衡量的是整個市場大勢運動引起的股票收益率波動性；

為市場指數(shù)因素所無法解釋的、由該股票自身因素決定的非系統(tǒng)風險的量度。因此系統(tǒng)風險占總風險比例：

（2-23）可見，一元線性回歸模型Rit=ai+bi*Rmt+εt的擬合優(yōu)度R2就是系統(tǒng)風險占總風險的比重。由計量經(jīng)濟學的知識還可以知道擬合優(yōu)度R2還是模型解釋變量與被解釋變量相關系數(shù)的平方。為什么要研究系統(tǒng)風險占總風險的比例？

原因是這一指標在一定程度上反映了股市發(fā)展的成熟水平。例如在股市發(fā)展初期，政府的頻繁干預和管理政策缺乏連續(xù)性和穩(wěn)定性，使市場參與者難以形成穩(wěn)定的政策預期，遇到利好消息就蜂擁買進，遇到利空消息則瘋狂拋售。由于此種政策因素的影響會涉及幾乎所有股票，因此它導致的系統(tǒng)風險是構成投資風險的主要來源。另一方面，股市投資主體的個人化現(xiàn)象十分嚴重。受能力、財力及時間的限制，個人投資者顯然不可能對上市公司的經(jīng)營及財務狀況進行全面細致的分析，他們更多是關心政策、消息對股市市場大勢的影響，而對導致非系統(tǒng)風險的企業(yè)自身特點則不甚敏感，股民的操作普遍存在跟風行為，盲從導致的個性迷失也使股市價格行為呈現(xiàn)漲跌一致現(xiàn)象。這兩方面都導致系統(tǒng)風險在個股投資的總風險中比例較大。

如施東輝的研究表明，以上海證券交易所上市的50家A股為研究對象，利用1993年4月27日~1996年5月31日的數(shù)據(jù)，得出的結果是在50只樣本股票中，有42只股票的系統(tǒng)風險所占比例超過了70%，平均比例達81.37%，而西方股市中系統(tǒng)風險占總風險的比例如表所示：美國英國法國德國加拿大意大利瑞士26.8%54.3%32.7%43.8%20%39.8%23.9%

從動態(tài)的角度看，隨著上海股市規(guī)模的擴大和運作機制的逐步成熟，系統(tǒng)風險占總風險的比例呈現(xiàn)逐年下降的趨勢，投資者在進行決策時更多的考慮公司本身的特點，逐步轉變?yōu)椤爸貍€股，輕大盤”，公司特征正逐步得以體現(xiàn)。張人驥等用1993年月1日~1998年12月31日的日收益率數(shù)據(jù)，考察了上海股市風險結構的動態(tài)變化特征與趨勢。上海股市系統(tǒng)風險占總風險比例變化情況1993年1994年1995年1996年1997年1998年70.2%69.3%62.8%52%41.5%27.5%

陶晉、李峰等分別給出了以月為考察時段、以周圍考察時段和以日為考察時段的中國證券市場系統(tǒng)性風險占總風險比例的年度平均水平，整理結果如表所示。

研究時段不同時，中國股市系統(tǒng)性風險占總風險的比例單位：%年份1993年1994年1995年1996年1997年1998年1999年2000年2001年“月”為時段-----------------63.8545.8145.0843.4457.1726.8552.76“周”為時段------------------74.2252.8135.2231.8538.8835.1948.64“日”為時段70.369.362.85549323726---------

考察系統(tǒng)風險占總風險的比率，對于股票市場投資組合規(guī)模和風險關系的實證研究也有較為重要的意義。通過研究投資組合系統(tǒng)風險占總風險的比例，可以說明如何建立一個合理規(guī)模的投資組合，以有效的降低風險，提高收益。

王新鳴利用1996年1月~1999年1月184只樣本股票的日收盤數(shù)據(jù)，通過隨機抽取1，2，...，20只股票構成的組合，并對每一組合重復十次，以降低對單一樣本的依賴，這樣得到分別有1只直到20只股票組成的組合，通過對其與上海A股指數(shù)回歸，得到各回歸模型的判定系數(shù)R2組合中股票數(shù)量與判定系數(shù)股票組合中含股票數(shù)量1234567891015判定系數(shù)0.430.640.730.750.770.800.770.790.820.810.83

可見，作為評價系統(tǒng)風險占總風險比例的指標的判定系數(shù)R2由1只股票的0.43上升到6只股票的0.80，并且隨著組合中股票數(shù)量的進一步增加，與市場相關的系統(tǒng)性風險占總風險的比例上升已十分緩慢，說明分散投資對消除非系統(tǒng)風險的效果已十分微弱。[實證案例2-1]

陸家嘴股份有限公司B股β系數(shù)及系統(tǒng)風險占總風險的比例觀察在上海證券交易所的陸家嘴股份有限公司B股的周收盤價格與上證B股指數(shù)的周收盤指數(shù)圖。

觀察個股的價格變化與指數(shù)的價格走勢，會發(fā)現(xiàn)在多數(shù)情況下，當指數(shù)上升，個股的價格也隨之上升；反之，當指數(shù)下降時，個股的價格也下降。如果我們用價格變化率來表示，即：

(2-27)其中，Pit和It分別為股票i和市場指數(shù)在t時刻的價格；Rit和Rmt分別為陸家嘴B股的周收益率和市場指數(shù)的周收益率。

用一元線性回歸模型對Rit和Rmt之間存在的相關關系，加以研究，形式為：

Rit=αi+βiRmt+εt

，t=1，2，…，T（T為樣本期數(shù)）

其中，βi衡量的是陸家嘴B股價格的變化率水市場指數(shù)變化率的敏感程度。

根據(jù)計量經(jīng)濟學的有關知識，用最小二乘法，得到：其中，，

對陸家嘴B股的周收益率與上證B股指數(shù)周收益率的數(shù)據(jù)進行回歸，結果如圖所示。綜合結果為：

Rit=-0.203+0.957Rmt可見，Rmt前的系數(shù)β的估計值為0.957,

，虛擬假設“β=0”成立的值p=0，因此市場指數(shù)收益率Rmt對陸家嘴B股的收益率的影響是顯著的。模型擬合的判定系數(shù)R2=0.72,說明陸家嘴B股價格變化的72%可由上證B股指數(shù)（市場整體走勢）的變化來解釋，即對陸家嘴B股這只股票而言，系統(tǒng)風險在投資總風險中所占的比例為72%。2.3.1異方差問題對于模型t＝1，2，…，T同方差假設為var(εt)＝σ2,t＝1，2，…，T用協(xié)方差矩陣可表示為：但如果古典假設的其他條件滿足，惟有：var(t)＝2,t＝1，2，…，T相應的，殘差的協(xié)方差矩陣為即隨機誤差項的方差不再是常數(shù)，而是互不相同，則認為出現(xiàn)了異方差問題。

隨機誤差項的方差通常是隨著某一個解釋變量觀測值的變化而變化。

例如，在研究家庭收入與支出的關系時，收入越高，其可選性（消費的變化）越大，因此有理由認為低收入家庭的支出結構比較穩(wěn)定，而高收入家庭的消費行為相對來講波動較大。這種情況下，在以收入為解釋變量，以消費為被解釋變量的回歸模型中，誤差項的方差就與收入變量的觀測值大小有關。此時，可以證明參數(shù)的最小二乘估計仍是無偏的，但已不具有最小方差。用于檢驗變量顯著與否的t檢驗也就是說失去了意義。如何診斷回歸模型的誤差項是否具有異方差性是計量經(jīng)濟學的一個重要課題。診斷的方法有很多種，其基本思路是檢驗隨機誤差項的方差與解釋變量觀測值之間是否具有相關性。一種比較簡單的方法是目測法。如果異方差的性質沒有任何先驗或經(jīng)驗的信息，可先在無異方差的假定下做回歸分析，然后對殘差的平方做事后檢驗?？催@些是否與回歸模型中的某些解釋變量呈現(xiàn)相關關系。雖然不等于，但可以作為替代變量，特別是在樣本含量足夠大時。對的檢驗可能出現(xiàn)如圖2-4所示的情況。另一個比較正式的方法是White檢驗。其基本過程是：對多元線性回歸，var(t)＝2,t＝1，2，…，T設定原假設為H0:（t＝1，2，…，T），即同方差。備擇假設為H1：存在異方差。

檢驗的第一步，對原模型用OLS得到的殘差估計值，t＝1，2，…，T。第二步，建立模型其中模型中的變量Z2t，

Z3t，…，Zqt包括第一步原模型中的解釋變量X2t，…，Xkt；各解釋變量的平方以及每兩個解釋變量的乘積XitXjt

。用OLS得出判定系數(shù)R2，則有。在一定的顯著性水平α下，如果，則拒絕原假設，即存在異方差。例如，對于一元線性回歸模型，t＝1，2，…，T,White異方差檢驗的第二步模型為，此時TR2服從自由度為2的分布。

對于多元線性回歸

White異方差檢驗的第二步模型為：此時TR2服從自由度為5的分布。依此類推。

如果模型被檢驗存在異方差性，則可采用加權最小二乘法及廣義最小二乘法等對模型進行估計。這些對異方差問題的檢驗及處理，在Eviews計量經(jīng)濟軟件中均有相應的命令。值得一提的是，對一些金融時間序列，如利率、匯率、通貨膨脹率、股票收益率等建立回歸模型并進行預測工作時，經(jīng)常會發(fā)現(xiàn)殘差的平方序列隨時間的變化而變化。這一問題引出的自回歸條件異方差模型（ARCH）將在第7章中詳細介紹。

2.3.2序列相關問題

對于模型

t＝1，2，…，T(2-39)隨機誤差項互相獨立的基本假設表現(xiàn)為：

Cov(,)=0;，i，j=1,2,…,T如果古典假設的其他條件滿足，但只有隨機誤差項互相獨立不能滿足，即隨機誤差項之間出現(xiàn)某種相關性，表示為：Cov(,)=0;，i，j=1,2,…,T則認為出現(xiàn)了序列相關性。

由于隨機誤差項都服從均值為0的正態(tài)分布，所以序列相關性又可以表示為：

，i，j=1,2,3…T

比較簡單的情況是誤差項呈一階序列相關，即：則可證明模型（2-29）隨機誤差項的協(xié)方差矩陣為：

可見，與滿足古典假設的情況相比，存在序列相關的隨機誤差項的協(xié)方差矩陣的的特點是矩陣非對角線上的元素不為0。序列相關現(xiàn)象產(chǎn)生的原因是：經(jīng)濟時間序列數(shù)據(jù)本身往往呈現(xiàn)慣性的特點，相鄰的觀測值很可能相互依賴或出現(xiàn)某種滯后現(xiàn)象。例如在消費支出對收入的時間序列分析中，當期的消費支出除了依賴于收入等變量外，還依賴于前期的消費支出，即：

如果作回歸時使用模型是則可能會出現(xiàn)自相關。另外，數(shù)據(jù)加工會在一定程度上帶來序列相關的問題。其后果是使得參數(shù)的OLS估計量不再有效，變量的顯著性檢驗失去意義。序列相關的診斷方法也包括目測法、D.W.檢驗及Breusch-Godfrey檢驗等。其中D.W.檢驗主要用于檢驗隨機誤差項是否存在一階序列相關,如果計算出來的D.W.值接近2，則基本上可說明不存在一階序列相關。Breusch-Godfrey檢驗則適用于檢驗模型隨機誤差項是否存在高階序列相關現(xiàn)象，即假定誤差項由如下的q階自回歸模型產(chǎn)生：

其中,階數(shù)q可事先選定。

原假設為H0：t無自相關。備擇假設為H1：t存在自相關。采用的檢驗方法如下。第一步，對原模型用OLS得到殘差，t＝1,2,…,T。第二步，用模型中所有的解釋變量及q階殘差滯后值對上一步得到的進行OLS回歸，即：

得到R2，可以證明

。若,則拒絕原假設，即存在自相關。如果經(jīng)檢驗，模型的誤差項存在序列相關性，則可以用廣義最小二乘及兩步最小二乘法等進行校正。2.3.3多重共線問題多重共線是指在多元回歸中，兩個基本點解釋變量之間的高度相關甚至是完全線性相關。

對于多元線性回歸

t＝1，