數(shù)值分析教學(xué)課件：2-6誤差分析1

"范數(shù)"是對向量和矩陣的一種度量,實(shí)際上是二維和三維向量長度概念的一種推廣。數(shù)域:數(shù)的集合,對加法和乘法封閉線性空間:可簡化為向量的集合,對向量的加法和數(shù)量乘法封閉,二維向量和三維向量都可以度量其大小和長度，高維向量的"長度"能否定義呢?也稱為向量空間誤差分析（erroranalysis）華長生制作1歐氏空間（或）..（或）.將實(shí)數(shù)稱為向量的數(shù)量積.非負(fù)實(shí)數(shù)X的長度或稱為向量x的歐氏范數(shù).

關(guān)于范數(shù)，成立如下定理.

定理華長生制作2

6.三角不等式

5.(Cauchy-Schwarz不等式)華長生制作3Definition1.AvectornormonR^nisfunction,||.||,withthefollowingproperties:向量和矩陣的范數(shù)(Vectornormandmatrixnorm)華長生制作4--------(1)--------(2)--------(3)ThevectornormsinR^n:

華長生制作5--------(1)--------(2)--------(3)ThevectornormsinR^n:

華長生制作6--------(4)andisspecialcaseof

華長生制作7Example1.求下列向量的各種常用范數(shù)解:華長生制作8

向量范數(shù)的性質(zhì)

(Thepropertiesofvectornorm)連續(xù)性:

Continuous(Thatisthenormiscontinuousfunction)等價性:Equivalence按范數(shù)收斂:

華長生制作9定義2.(Definition2.)Amatrixnormshouldhavefollowingproperties:(4)式稱為相容性.華長生制作10Example2:不難驗(yàn)證其滿足定義2的4個條件稱為Frobenius范數(shù),簡稱F-范數(shù)tr為矩陣的跡（對角元之和）--------(5)--------(6)類似向量的2-范數(shù)LetFrobenius

normFurthermore,華長生制作11定義3.--------(7)簡稱為從屬范數(shù)或算子范數(shù)Example3:SupposethatandisvectornormLetThen

ismatrixnorm.Inductednorm由于在大多數(shù)與估計有關(guān)的問題中，矩陣和向量會同時參與討論，所以希望引進(jìn)一種矩陣的范數(shù)，它和向量范數(shù)相聯(lián)系而且和向量范數(shù)相容.華長生制作12Corollary:forinductednorm,wehave--------(8)由(8)式,可知算子范數(shù)和其對應(yīng)的向量范數(shù)是相容的--------(9)定義4.華長生制作13--------(11)--------(12)根據(jù)向量的常用范數(shù)可以得到常用的矩陣算子范數(shù):--------(10)華長生制作14例3.解:類似于向量的2-范數(shù)華長生制作15不過華長生制作16

矩陣范數(shù)的性質(zhì)等價性:按范數(shù)收斂:華長生制作17例4.求矩陣A的各種常用范數(shù)解:由于華長生制作18特征方程為華長生制作19容易計算計算較復(fù)雜對矩陣元素的變化比較敏感不是從屬范數(shù)較少使用使用最廣泛性質(zhì)較好華長生制作20定義5.--------(13)顯然定理：(特征值上界)設(shè)則即A的譜半徑不超過A的任何一種算子范數(shù).華長生制作21而特別地，當(dāng)A對稱，則華長生制作22

定理：設(shè),

則的充要條件是B的譜半徑證明P45華長生制作23引理：--------(14)證明：（反證法）若det(I+B)=0,則（I+B)x=0有非零解，即存在滿足，所以直接法中的誤差分析與已知矛盾！華長生制作24條件數(shù)與病態(tài)方程組考慮線性方程組

其中設(shè)A為非奇異矩陣,x為方程組的精確解.由于A(或)元素是測量得到的，或者是計算的結(jié)果.在第一種情況A(或)常帶有某些觀測誤差.在后一種情況A(或)又包含有舍入誤差.

下面研究數(shù)據(jù)A(或)的微小誤差對解的影響.即估計x-y,其中y是的解。華長生制作25例：上述方程組盡管只是右端項(xiàng)有微小擾動，但解大不相同：一個是，一個是

可以看到(6.1)的常數(shù)項(xiàng)b的第2個分量只有0.0001的微小變化，方程組的解卻變化很大.這樣的方程組稱為病態(tài)方程組.華長生制作26即有--------(15)華長生制作27--------(16)--------(17)--------(18)所以又因?yàn)榭傻?16)和(17)兩式相乘,得相對誤差華長生制作28(18)式表明,由常數(shù)項(xiàng)產(chǎn)生的誤差,最多可使解的相對誤差放大至其倍。--------(19)華長生制作29如果假設(shè)則由引理,可知且(19)式化為--------(20)--------(21)華長生制作30--------(22)更一般地，成立定理2.6.1（P47）（不證）。定義7.--------(23)華長生制作31顯然即任意方陣的條件數(shù)必不小于1根據(jù)算子范數(shù)的不同也有不同的條件數(shù):華長生制作32--------(18)--------(22)根據(jù)定義7的定義,(18)式和(22)式可表示為-----(24)華長生制作33條件數(shù)的性質(zhì)1。對于任意非奇異矩陣A以及任意算子范數(shù)都有：華長生制作34條件數(shù)的性質(zhì)2。如果U為正交矩陣，則

;

且對任意的非奇異矩陣A有：3。設(shè)與為A絕對值最大和最小的特征值，則且A對稱，則華長生制作35例：計算H的條件數(shù)當(dāng)n愈大時，H_n矩陣病態(tài)愈嚴(yán)重.華長生制作36簡記為

方程組與(6.8)的精確解分別為華長生制作37

這就是說與相對誤差不超過，而引起解的相對誤差超過.

華長生制作38注(Remark)計算是比較費(fèi)勁的，最好在計算中能發(fā)現(xiàn)病態(tài)情況Inpractice,thecalculationof

isdifficult.Itispossibletoresultinill-conditionedinfollowingcases(1)如果在A的三角約化時(尤其是用主元素消去法Ax=b時)出現(xiàn)小主元，對大多數(shù)矩陣來說，A是病態(tài)矩陣.(2)系數(shù)矩陣的行列式值相對說很小，或系數(shù)矩陣某些行近似線性相關(guān)，這時A可能病態(tài).Smallpivoting

ThedeterminantofAissmall.華長生制作39

(3)系數(shù)矩陣A元素間數(shù)量級相差很大，并且無一定規(guī)則，A可能病態(tài).DifferencesintheelementsofAareverylarge.華長生制作40迭代改善(Iterativerefinement)：設(shè)Ax=b，其中A為非奇異矩陣，且為病態(tài)方程組(但不過分病態(tài)).

Step1:近似解Step2:Step3:Step4:Ifisexactsolution，thenOtherwisegotostep2經(jīng)驗(yàn)表明：若A不是非常病態(tài)（例如：），則如此迭代可達(dá)到機(jī)器精度；但若A病態(tài)，則此算法也不能改進(jìn)。ApproximatesolutionbyGuassianelimination華長生制作41向后誤差估計(Backwarderroranalysis)設(shè)為方程組Ax=b的近似解，于是可計算的剩余向量，當(dāng)r很小時，是否為一個較好的近似解呢?定理：設(shè)A為非奇異矩陣，x是Ax=b的精確解。再設(shè)