2023年成都二診理科數(shù)學(xué)壓軸題引起的思考

2023年成都二診理科試題最后一題解法探索四川省大竹中學(xué)王文偉2023年成都二診理科〔21題〕函數(shù)，其中x>0,a∈R(I)假設(shè)函數(shù)f(x)無極值,求a的取值范圍；(II)當(dāng)a取〔I)中的最大值時(shí)，求函數(shù)g(x)的最小值；(III)下面是試題給出的參考解答。〔1〕小題使用通用解法，能有效的區(qū)分學(xué)生的能力?！?〕小題解法具有較強(qiáng)的技巧性，必須要求學(xué)生對題目結(jié)構(gòu)的準(zhǔn)確認(rèn)識，難度較高，學(xué)生把握困難，解法特殊，使得一般的學(xué)生看到此解法都會自覺放棄，從而到達(dá)了選拔的目的，但如果從通解法的角度去思考，這個(gè)題的難度又比擬一般了?！?〕小題利用〔2〕小題的結(jié)論，〔2〕小題都被難倒了，〔3〕小題也就無從下手了。事實(shí)上對〔3〕小題這種結(jié)構(gòu)我們可以用一種通用解法來處理，即使不會〔2〕小題，也能夠很快做好這種題型。如果壓軸題用〔3〕這種結(jié)構(gòu)，只要用我下面介紹的方法，他的難度比解析幾何的第〔2〕小題可能還小些。下面我就這個(gè)題給出下面解法，供大家相互討論。函數(shù)，其中x>0,a∈R(I)假設(shè)函數(shù)f(x)無極值,求a的取值范圍；(II)當(dāng)a取〔I)中的最大值時(shí)，求函數(shù)g(x)的最小值；(III)下面我們仔細(xì)來研究這類解法的一般性。〔2〕小題的核心是為了求出函數(shù)g(x)的最小值，而這個(gè)函數(shù)不是二次函數(shù)和一次函數(shù)，也不是規(guī)那么的三角函數(shù)和指數(shù)，對數(shù)函數(shù)，從而使用導(dǎo)數(shù)是必然的。使用導(dǎo)數(shù)的目的又是為了得到g(x)的單調(diào)性，要函數(shù)的單調(diào)性，實(shí)質(zhì)就是為了得到導(dǎo)數(shù)在對應(yīng)區(qū)間上的符號，即與0的大小關(guān)系。我們求出函數(shù)g(x)的導(dǎo)數(shù)后，發(fā)現(xiàn)的一個(gè)根是，但符號不能夠確定，想到求出的導(dǎo)函數(shù)總是函數(shù)，那么如果再把這個(gè)新函數(shù)的最值或者零點(diǎn)求出，那就知道這個(gè)新函數(shù)的單調(diào)性了，那它的符號就確定了。從而發(fā)現(xiàn)這個(gè)方法具有一般性：以后在遇到導(dǎo)數(shù)的符號不好判斷的時(shí)候，我們可以將這個(gè)導(dǎo)函數(shù)當(dāng)作一個(gè)新函數(shù)，求出這個(gè)新函數(shù)的最值或者零點(diǎn)，從而到達(dá)對原導(dǎo)函數(shù)符號的判斷。〔實(shí)際上這個(gè)是函數(shù)的二階或者三階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，但我們用初等方法來理解和詮釋?！场?〕小題的結(jié)構(gòu)如果安裝給出的解答，確實(shí)很難思考，并且學(xué)生接受也困難，智能作為一個(gè)觀察能力的解釋，會讓95%的學(xué)生放棄，但如果采用我給出的方法，那么50%能夠處理好這類題型。下面就這個(gè)題的思路再仔細(xì)回憶一下:這個(gè)不等式的左邊是n個(gè)的和，右邊是一個(gè)關(guān)于n表達(dá)式，由左邊n個(gè)的和，聯(lián)想到數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)，我們可以認(rèn)為左邊是數(shù)列的前n項(xiàng)和，右邊我們也可以看成是一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和，如果兩個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)，大小關(guān)系明確，此問題就解決了。事實(shí)上我們可以把這個(gè)做法歸納成以下的兩類形式：1.與型〔與〕這種類型是屬于常見類型，在這里就不做闡述了。2.即證明或者判斷的大小關(guān)系處理原那么如下：如果兩局部都是n項(xiàng)，那么我們采用通項(xiàng)和通項(xiàng)的比擬如果其中一局部是n項(xiàng)，另一局部是一個(gè)整體表達(dá)式，我們把這個(gè)表達(dá)式看成是一個(gè)數(shù)列的n項(xiàng)和，通過求出通項(xiàng)的方法再轉(zhuǎn)換成〔1〕去處理。下面通過例題說明天府大聯(lián)考422.數(shù)列(1)求的通項(xiàng)公式；〔2〕略；〔3〕設(shè)解：〔1〕易得(3)不等式的右邊是數(shù)列的前n項(xiàng)和，通項(xiàng)是,左邊我們看成是一個(gè)數(shù)列的和,那么,如果能證明到<就可以了。即證明,構(gòu)造所以證明完畢。評注：這種解法可以很快找到破題的思路。不再技巧上依賴第二問。以下是一些具體的例子，大家可以試著去做一做。1、2023屆綿陽一診理科試題22. (此題總分值14分〕己知函數(shù)在;c=2處的切線斜率為.(III)證明：?天府大聯(lián)考122設(shè)函數(shù)〔3〕設(shè)2、天府大聯(lián)考722.函數(shù)(III)求證：對任意的正整數(shù)n，有3、2023年四川省天府高考沖刺卷〔一〕21函數(shù)(III)求證：4、2023年成都七中二診模擬試題21〔3〕求證：5、2023年達(dá)州二診試題理科21.函數(shù)(3)求證：6、高考試題22.函數(shù)(3)求證這種解法是針對