高中數(shù)學第一章坐標系平面直角坐標系平面直角坐標系與曲線方程課件北師大版

1.1.1平面直角坐標系與曲線方程1.1.1平面直角坐標系與曲線方程1.通過回顧平面直角坐標系,學會借助坐標系研究曲線和方程間的關系.2.了解曲線和方程的對應關系,了解兩條曲線交點的求法.3.能利用已知條件求出曲線方程.1.通過回顧平面直角坐標系,學會借助坐標系研究曲線和方程間的1.平面直角坐標系(1)在平面內,兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成了平面直角坐標系,如圖所示.在平面直角坐標系中,有序實數(shù)對與坐標平面內的點具有一一對應關系,如圖所示,對于任意一點P,都有唯一的有序實數(shù)對(x,y)與之相對應,這時(x,y)稱作點P的坐標,并記為P(x,y),其中,x稱為點P的橫坐標,y稱為點P的縱坐標;反之,對于任意的一個有序實數(shù)對(x,y),都有唯一的點與之對應.(2)曲線可看作是滿足某些條件的點的集合或軌跡,由此我們可借助坐標系,研究曲線與方程間的關系.1.平面直角坐標系名師點撥1.兩點間的距離公式:在平面直角坐標系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離公式為2.中點坐標公式:在平面直角坐標系中,若兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中點為M(x,y),則【做一做1-1】

點P(1,-2)關于點A(-1,1)的對稱點P'的坐標為(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名師點撥1.兩點間的距離公式:在平面直角坐標系中,P1(x1【做一做1-2】

已知點P(-1+2m,-3-m)在第三象限,則m的取值范圍是

.

【做一做1-2】已知點P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲線與方程在平面直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關系:(1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線.名師點撥求曲線的方程一般有以下五個步驟:(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?并用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)寫出適合條件p的點M的集合p={M|P(M)};(3)用坐標表示條件p(M),寫出方程f(x,y)=0;(4)化簡方程f(x,y)=0(必須等價);(5)證明以(4)中方程的解為坐標的點都在曲線上.一般地,方程的變形過程若是等價的,則步驟(5)可以省略.2.曲線與方程【做一做2】

已知B,C是兩個定點,|BC|=6,且△ABC的周長為16,頂點A的軌跡方程可能是(

).解析:因為△ABC的周長為16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直線為x軸,過BC的中點作BC的垂線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是兩個定點,|BC|=6,且△ABC題型一題型二題型三題型一

利用坐標系解決代數(shù)問題【例1】

已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0.求:題型一題型二題型三題型一利用坐標系解決代數(shù)問題題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三(2)設y-x=b,即y=x+b,b為直線y=x+b在y軸上的截距,如圖所示.若直線y=x+b與圓有公共點,則當且僅當直線與圓相切,且切點在第四象限時,b最小.反思選擇合適的平面直角坐標系,把代數(shù)問題轉化為平面幾何問題,用坐標法加以解決.題型一題型二題型三(2)設y-x=b,即y=x+b,b為直線題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型二

利用坐標系解決幾何問題【例2】

已知等邊三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此題是平面幾何中的最值問題,用平面幾何法不易解決,考慮用坐標法解決.解:以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,題型一題型二題型三題型二利用坐標系解決幾何問題題型一題型二題型三反思1.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可使計算過程簡單,便于化簡運算.2.配方法是求最值的重要方法,應靈活運用.題型一題型二題型三反思1.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可使計算題型一題型二題型三【變式訓練2】如圖所示,在△ABC中,AO是BC邊上的中線.求證:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).證明:取線段BC所在的直線為x軸,點O為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,設點A的坐標為(b,c),點C的坐標為(a,0),則點B的坐標為(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).題型一題型二題型三【變式訓練2】如圖所示,在△ABC中,AO題型一題型二題型三題型三

利用坐標系解決實際問題【例3】

我海軍某部發(fā)現(xiàn)一艘敵艦從離島嶼O正東方向80nmile的B處,沿東西方向向島嶼O駛來.指揮部立即命令在島嶼O正北方向40nmile的A處的我軍艦沿直線前往攔截,以東西方向為x軸,南北方向為y軸,島嶼O為坐標原點,建立平面直角坐標系并標出A,B兩點.若敵我兩艦行駛的速度相同,在上述坐標系中標出我軍艦最快攔住敵艦的位置,并求出該點的坐標.分析:先畫出坐標系,標出A,B的位置,再根據(jù)相應的圖形結構求出攔住敵艦的位置并求出坐標.題型一題型二題型三題型三利用坐標系解決實際問題題型一題型二題型三解:A,B兩點如圖所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

n

mile,|OB|=80

n

mile.設我軍艦直行到點C與敵艦相遇,且點C的坐標為(x,0),所以|OC|=x

n

mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

n

mile.因為敵我兩艦速度相同,所以|AC|=|BC|=(80-x)

n

mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以點C的坐標為(30,0).反思利用坐標系解決實際問題的關鍵是分析清楚題意,根據(jù)題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祷蚶靡延械钠矫嬷苯亲鴺讼到⑾嚓P點的關系式,從而解決實際問題.題型一題型二題型三解:A,B兩點如圖所示,A(0,40),B題型一題型二題型三【變式訓練3】

臺風中心從A地以20km/h的速度向東北方向移動,離臺風中心30km內的地區(qū)為危險區(qū),城市B在A地正東40km處.求城市B處于危險區(qū)內的時間.解:以點A為坐標原點,AB所在的直線為x軸,垂直于直線AB的直線為y軸,建立如圖所示的直角坐標系,則點B的坐標為(40,0),以點B為圓心,30為半徑的圓的方程為(x-40)2+y2=900,臺風中心移動到圓B內時,城市B處于危險區(qū),臺風中心的移動軌跡為直線y=x,與圓B相交于M,N兩點,點B到直線y=x的距離題型一題型二題型三【變式訓練3】臺風中心從A地以20km123451已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別為(-1,2),(3,0),(5,1),則點D的坐標是(

).A.(9,-1) B.(-3,1) C.(1,3) D.(2,2)答案:C123451已知?ABCD的三個頂點A,B,C的坐標分別為(123452若△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,4),B(3,-4),C(1,7),則△ABC的形狀是

.

答案:直角三角形

123452若△ABC的三個頂點的坐標分別為A(-3,4),1234512345123454已知△ABC的三邊長a,b,c滿足b2+c2=5a2,BE,CF分別為邊AC,AB上的中線,則BE與CF的位置關系是

.

答案:垂直

123454已知△ABC的三邊長a,b,c滿足b2+c2=5123455說明下列方程所表示的曲線:123455說明下列方程所表示的曲線:12345123451.1.1平面直角坐標系與曲線方程1.1.1平面直角坐標系與曲線方程1.通過回顧平面直角坐標系,學會借助坐標系研究曲線和方程間的關系.2.了解曲線和方程的對應關系,了解兩條曲線交點的求法.3.能利用已知條件求出曲線方程.1.通過回顧平面直角坐標系,學會借助坐標系研究曲線和方程間的1.平面直角坐標系(1)在平面內,兩條互相垂直且有公共原點的數(shù)軸組成了平面直角坐標系,如圖所示.在平面直角坐標系中,有序實數(shù)對與坐標平面內的點具有一一對應關系,如圖所示,對于任意一點P,都有唯一的有序實數(shù)對(x,y)與之相對應,這時(x,y)稱作點P的坐標,并記為P(x,y),其中,x稱為點P的橫坐標,y稱為點P的縱坐標;反之,對于任意的一個有序實數(shù)對(x,y),都有唯一的點與之對應.(2)曲線可看作是滿足某些條件的點的集合或軌跡,由此我們可借助坐標系,研究曲線與方程間的關系.1.平面直角坐標系名師點撥1.兩點間的距離公式:在平面直角坐標系中,P1(x1,y1),P2(x2,y2)兩點之間的距離公式為2.中點坐標公式:在平面直角坐標系中,若兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)的中點為M(x,y),則【做一做1-1】

點P(1,-2)關于點A(-1,1)的對稱點P'的坐標為(

).A.(3,4) B.(-3,4) C.(3,-4) D.(-3,-4)答案:B名師點撥1.兩點間的距離公式:在平面直角坐標系中,P1(x1【做一做1-2】

已知點P(-1+2m,-3-m)在第三象限,則m的取值范圍是

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【做一做1-2】已知點P(-1+2m,-3-m)在第三象限2.曲線與方程在平面直角坐標系中,如果某曲線C上的點與一個二元方程f(x,y)=0的實數(shù)解建立了如下關系:(1)曲線C上的點的坐標都是方程f(x,y)=0的解;(2)以方程f(x,y)=0的解為坐標的點都在曲線C上.那么,方程f(x,y)=0叫作曲線C的方程,曲線C叫作方程f(x,y)=0的曲線.名師點撥求曲線的方程一般有以下五個步驟:(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?并用(x,y)表示曲線上任意一點M的坐標;(2)寫出適合條件p的點M的集合p={M|P(M)};(3)用坐標表示條件p(M),寫出方程f(x,y)=0;(4)化簡方程f(x,y)=0(必須等價);(5)證明以(4)中方程的解為坐標的點都在曲線上.一般地,方程的變形過程若是等價的,則步驟(5)可以省略.2.曲線與方程【做一做2】

已知B,C是兩個定點,|BC|=6,且△ABC的周長為16,頂點A的軌跡方程可能是(

).解析:因為△ABC的周長為16,|BC|=6,所以|AB|+|AC|=10.以BC所在的直線為x軸,過BC的中點作BC的垂線為y軸,建立平面直角坐標系,則B(-3,0),C(3,0).答案:B【做一做2】已知B,C是兩個定點,|BC|=6,且△ABC題型一題型二題型三題型一

利用坐標系解決代數(shù)問題【例1】

已知實數(shù)x,y滿足x2+y2-4x+1=0.求:題型一題型二題型三題型一利用坐標系解決代數(shù)問題題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三(2)設y-x=b,即y=x+b,b為直線y=x+b在y軸上的截距,如圖所示.若直線y=x+b與圓有公共點,則當且僅當直線與圓相切,且切點在第四象限時,b最小.反思選擇合適的平面直角坐標系,把代數(shù)問題轉化為平面幾何問題,用坐標法加以解決.題型一題型二題型三(2)設y-x=b,即y=x+b,b為直線題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型一題型二題型三題型二

利用坐標系解決幾何問題【例2】

已知等邊三角形ABC的邊長為a,在平面上求一點P,使|PA|2+|PB|2+|PC|2最小,并求出此最小值.分析:此題是平面幾何中的最值問題,用平面幾何法不易解決,考慮用坐標法解決.解:以BC所在直線為x軸,BC的垂直平分線為y軸,建立平面直角坐標系,如圖所示,題型一題型二題型三題型二利用坐標系解決幾何問題題型一題型二題型三反思1.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可使計算過程簡單,便于化簡運算.2.配方法是求最值的重要方法,應靈活運用.題型一題型二題型三反思1.建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?可使計算題型一題型二題型三【變式訓練2】如圖所示,在△ABC中,AO是BC邊上的中線.求證:|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).證明:取線段BC所在的直線為x軸,點O為坐標原點,建立如圖所示的平面直角坐標系,設點A的坐標為(b,c),點C的坐標為(a,0),則點B的坐標為(-a,0).可得|AB|2=(a+b)2+c2,|AC|2=(a-b)2+c2,|AO|2=b2+c2,|OC|2=a2.∴|AB|2+|AC|2=2(a2+b2+c2),|AO|2+|OC|2=a2+b2+c2.∴|AB|2+|AC|2=2(|AO|2+|OC|2).題型一題型二題型三【變式訓練2】如圖所示,在△ABC中,AO題型一題型二題型三題型三

利用坐標系解決實際問題【例3】

我海軍某部發(fā)現(xiàn)一艘敵艦從離島嶼O正東方向80nmile的B處,沿東西方向向島嶼O駛來.指揮部立即命令在島嶼O正北方向40nmile的A處的我軍艦沿直線前往攔截,以東西方向為x軸,南北方向為y軸,島嶼O為坐標原點,建立平面直角坐標系并標出A,B兩點.若敵我兩艦行駛的速度相同,在上述坐標系中標出我軍艦最快攔住敵艦的位置,并求出該點的坐標.分析:先畫出坐標系,標出A,B的位置,再根據(jù)相應的圖形結構求出攔住敵艦的位置并求出坐標.題型一題型二題型三題型三利用坐標系解決實際問題題型一題型二題型三解:A,B兩點如圖所示,A(0,40),B(80,0),所以|OA|=40

n

mile,|OB|=80

n

mile.設我軍艦直行到點C與敵艦相遇,且點C的坐標為(x,0),所以|OC|=x

n

mile,|BC|=|OB|-|OC|=(80-x)

n

mile.因為敵我兩艦速度相同,所以|AC|=|BC|=(80-x)

n

mile.在Rt△AOC中,|OA|2+|OC|2=|AC|2,即402+x2=(80-x)2,解得x=30.所以點C的坐標為(30,0).反思利用坐標系解決實際問題的關鍵是分析清楚題意,根據(jù)題意建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼祷蚶靡延械钠矫嬷苯亲鴺讼到⑾嚓P點的關系式,從而解決實際問題.題型一題型二題型三解:A,B兩點如圖所示,A(0,40),B題型一