時(shí)切線長定理課件

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點(diǎn)）2.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.（難點(diǎn)）第1頁/共38頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點(diǎn)）第1頁/共1導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？第2頁/共38頁導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋2講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動(dòng)探究問題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB第3頁/共38頁講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動(dòng)探究問題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了3P1.切線長的定義：

切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫作這點(diǎn)到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識(shí)要點(diǎn)第4頁/共38頁P(yáng)1.切線長的定義：AO①切線是直線，不能度4問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．

OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對(duì)稱性解釋）

PA、PB有何關(guān)系？

∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PAB第5頁/共38頁問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)5BPOA切線長定理:

過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.注意知識(shí)要點(diǎn)第6頁/共38頁BPOA切線長定理:PA、PB分別切☉O于A、BPA=6O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證AB第7頁/共38頁O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).證7想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分AB.O.PABM第8頁/共38頁想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么8想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC第9頁/共38頁想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什9典例精析例1

已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.第10頁/共38頁典例精析例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、C10例2

為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．解析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O第11頁/共38頁例2為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將11在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為第12頁/共38頁在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作12BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56練一練第13頁/共38頁BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.13

小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法二互動(dòng)探究第14頁/共38頁小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)14問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切第15頁/共38頁問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系15三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？第16頁/共38頁三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一16已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.做一做第17頁/共38頁已知：△ABC.MND作法：☉O就是所求的圓.做一做第17頁171.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.知識(shí)要點(diǎn)第18頁/共38頁1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切18三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段OA，OB,OC有什么特點(diǎn)？互動(dòng)探究線段OA，OB,OC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.第19頁/共38頁三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的19BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG第20頁/共38頁BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂20知識(shí)要點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.第21頁/共38頁知識(shí)要點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三21例3

如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠

BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，在△IBC中，第22頁/共38頁例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)22例4

如圖，一個(gè)木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形的直三棱柱.圓柱的下底面圓是直三棱柱上底面等邊三角形的內(nèi)切圓，已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3cm，求圓柱底面圓的半徑.該木?？梢猿橄鬄閹缀稳缦聨缀螆D形.第23頁/共38頁例4如圖，一個(gè)木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形23CABrOD解：如圖，設(shè)圓O切AB于點(diǎn)D，連接OA、OB、OD.∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分線∵△ABC是等邊三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm)∴OD=AD·tan30o=(cm)答:圓柱底面圓的半徑為cm.第24頁/共38頁CABrOD解：如圖，設(shè)圓O切AB于點(diǎn)D，連接OA、OB、24例5△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？BACEDFO第25頁/共38頁例5△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D25解:設(shè)AF=xcm，則AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，

BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由

BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小結(jié)：關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.解得

x=4.ACEDFO第26頁/共38頁解:設(shè)AF=xcm，則AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE26比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．ABOABCO第27頁/共38頁比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角27CABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑.解：如圖，由題意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD為直角三角形.內(nèi)切圓半徑外接圓半徑練一練第28頁/共38頁CABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接28變式：求邊長為a的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrOD第29頁/共38頁變式：sin∠OBD=sin30°=CAB29ABCODEFABCDEFO2.設(shè)△ABC的面積為S，周長為L，△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則S，L與r之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？第30頁/共38頁ABCODEFABCDEFO2.設(shè)△ABC的面積為S，周長為30ABCOcDEr3.如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑r為___________（以含a、b、c的代數(shù)式表示r）.解析：過點(diǎn)O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因?yàn)锳F=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以第31頁/共38頁ABCOcDEr3.如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,31A2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC

的內(nèi)心，且∠ABC=60°,∠ACB=80°,則∠BOC=

.1.如圖，PA、PB是☉O的兩條切線，切點(diǎn)分別是A、B，如果AP=4,∠APB=40°,則∠APO=

,PB=

.BPOA第1題BCO第2題當(dāng)堂練習(xí)20°4110°第32頁/共38頁A2.如圖，已知點(diǎn)O是△ABC的內(nèi)心，且∠ABC=6032（3）若∠BIC=100°，則∠A=

度.（2）若∠A=80°，則∠BIC=

度.130203.如圖，在△ABC中，點(diǎn)I是內(nèi)心，（1）若∠ABC=50°，∠ACB=70°，∠BIC=_____.ABCI（4）試探索：∠A與∠BIC之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？120°第33頁/共38頁（3）若∠BIC=100°，則∠A=度334.如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB交于E，與AC相切于點(diǎn)D.求證：DE∥OC.證明：連接OD，∵AC切⊙O點(diǎn)D，∴OD⊥AC，∴∠ODC=∠B=90°.在Rt△OCD和Rt△OCB中，OD＝OB，OC＝OC∴Rt△ODC≌Rt△OBC（HL），∴∠DOC=∠BOC.∵OD=OE，∴∠ODE=∠OED，∵∠DOB=∠ODE+∠OED，∴∠BOC=∠OED，∴DE∥OC．第34頁/共38頁4.如圖所示，已知在△ABC中，∠B＝90°，O是AB上一點(diǎn)34方法二：證明：連接BD，∵AC切⊙O于點(diǎn)D，AC切⊙O于點(diǎn)B，∴DC=BC，OC平分∠DCB.∴OC⊥BD.∵BE為⊙O的直徑，∴DE⊥BD.∴DE∥OC．第35頁/共38頁方法二：第35頁/共38頁355.如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接圓相交于點(diǎn)D.求證：DI＝DB.證明：連接BI.∵I是△ABC的內(nèi)心，∴∠BAD=∠CAD，∠ABI=∠CBI，∵∠CBD=∠CAD，∴∠BAD=∠CBD，∵∠BID=∠BAD+∠ABI，∠IBD=∠CBI+∠CBD，∴∠BID=∠IBD，∴BD=ID．第36頁/共38頁5.如圖，△ABC中，I是內(nèi)心，∠A的平分線和△ABC的外接36切線長切線長定理作用圖形的軸對(duì)稱性原理提供了證線段和角相等的新方法輔助線分別連接圓心和切點(diǎn)；連接兩切點(diǎn)；連接圓心和圓外一點(diǎn).三角形內(nèi)切圓運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.有關(guān)概念內(nèi)心概念及性質(zhì)應(yīng)用課堂小結(jié)第37頁/共38頁切線長切線長定理作用圖形的軸對(duì)稱性原理提供了證線段和輔助線分37感謝您的欣賞第38頁/共38頁感謝您的欣賞第38頁/共38頁38學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點(diǎn)）2.初步學(xué)會(huì)運(yùn)用切線長定理進(jìn)行計(jì)算與證明.（難點(diǎn)）第1頁/共38頁學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握切線長的定義及切線長定理.（重點(diǎn)）第1頁/共39導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋轉(zhuǎn)的那一瞬間，你能從中抽象出什么樣數(shù)學(xué)圖形？第2頁/共38頁導(dǎo)入新課情境引入同學(xué)們玩過空竹和悠悠球嗎？在空竹和悠悠球的旋40講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動(dòng)探究問題1

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了過圓上一點(diǎn)作已知圓的切線(如左圖所示)，如果點(diǎn)P是圓外一點(diǎn)，又怎么作該圓的切線呢？過圓外的一點(diǎn)作圓的切線，可以作幾條？POBAO.PAB第3頁/共38頁講授新課切線長定理及應(yīng)用一互動(dòng)探究問題1上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了41P1.切線長的定義：

切線上一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的線段的長叫作這點(diǎn)到圓的切線長．AO①切線是直線，不能度量.②切線長是線段的長，這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)分別是圓外一點(diǎn)和切點(diǎn)，可以度量．2.切線長與切線的區(qū)別在哪里？知識(shí)要點(diǎn)第4頁/共38頁P(yáng)1.切線長的定義：AO①切線是直線，不能度42問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)A重合的點(diǎn)為B．

OB是☉O的一條半徑嗎？PB是☉O的切線嗎？（利用圖形軸對(duì)稱性解釋）

PA、PB有何關(guān)系？

∠APO和∠BPO有何關(guān)系？O.PAB第5頁/共38頁問題2PA為☉O的一條切線，沿著直線PO對(duì)折，設(shè)圓上與點(diǎn)43BPOA切線長定理:

過圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，兩條切線長相等.圓心與這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.PA、PB分別切☉O于A、BPA=PB∠OPA=∠OPB幾何語言:切線長定理為證明線段相等、角相等提供了新的方法.注意知識(shí)要點(diǎn)第6頁/共38頁BPOA切線長定理:PA、PB分別切☉O于A、BPA=44O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).求證：PA=PB，∠APO=∠BPO.證明：∵PA切☉O于點(diǎn)A，∴OA⊥PA.同理可得OB⊥PB.∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OAP≌Rt△OBP，∴PA=PB，∠APO=∠BPO.推理驗(yàn)證AB第7頁/共38頁O.P已知，如圖PA、PB是☉O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).證45想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.OP垂直平分AB.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB∴△PAB是等腰三角形，PM為頂角的平分線∴OP垂直平分AB.O.PABM第8頁/共38頁想一想：若連結(jié)兩切點(diǎn)A、B，AB交OP于點(diǎn)M.你又能得出什么46想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什么新的結(jié)論?并給出證明.證明：∵PA，PB是⊙O的切線,點(diǎn)A，B是切點(diǎn)，∴PA=PB

，∠OPA=∠OPB.∴PC=PC.∴△PCA≌△PCB，

∴AC=BC.CA=CBO.PABC第9頁/共38頁想一想：若延長PO交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CA、CB，你又能得出什47典例精析例1

已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E、F、G、H.求證：AB+CD=AD+BC.·ABCDO證明：∵AB、BC、CD、DA與⊙O分別相切與點(diǎn)E、F、G、H，EFGH∴AE=AH，BE=BF，CG=CF，DG=DH.∴AE+BE+CG+DG=AH+BF+CF+DH.∴AB+CD=AD+BC.第10頁/共38頁典例精析例1已知：如圖，四邊形ABCD的邊AB、BC、C48例2

為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將鐵環(huán)平放在水平桌面上，用一個(gè)銳角為30°的三角板和一個(gè)刻度尺，按如圖所示的方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可求得鐵環(huán)的半徑，若三角板與圓相切且測得PA=5cm，求鐵環(huán)的半徑．解析：欲求半徑OP，取圓的圓心為O，連OA，OP，由切線性質(zhì)知△OPA為直角三角形，從而在Rt△OPA中由勾股定理易求得半徑．O第11頁/共38頁例2為了測量一個(gè)圓形鐵環(huán)的半徑，某同學(xué)采用了如下辦法：將49在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作OQ⊥AB于Q，設(shè)鐵環(huán)的圓心為O，連接OP、OA.∵AP、AQ為⊙O的切線，∴AO為∠PAQ的平分線，即∠PAO＝∠QAO.又∠BAC＝60°，∠PAO＋∠QAO＋∠BAC＝180°，∴∠PAO＝∠QAO＝60°.即鐵環(huán)的半徑為第12頁/共38頁在Rt△OPA中，PA＝5，∠POA＝30°，OQ解：過O作50BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.（1）若AP=4,則OP=

;（2）若∠BPA=60°,則OP=

.56練一練第13頁/共38頁BPOAPA、PB是☉O的兩條切線，A,B是切點(diǎn)，OA=3.51

小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)行加工：裁下一塊圓形用料，怎樣才能使裁下的圓的面積盡可能大呢？三角形的內(nèi)切圓及作法二互動(dòng)探究第14頁/共38頁小明在一家木料廠上班，工作之余想對(duì)廠里的三角形廢料進(jìn)52問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系？

OOOO最大的圓與三角形三邊都相切第15頁/共38頁問題1如果最大圓存在，它與三角形三邊應(yīng)有怎樣的位置關(guān)系53三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一個(gè)圓，使它與已知三角形的三邊都相切？

(1)如果半徑為r的☉I與△ABC的三邊都相切，那么圓心I應(yīng)滿足什么條件？(2)在△ABC的內(nèi)部，如何找到滿足條件的圓心I呢？

圓心I到三角形三邊的距離相等，都等于r.三角形三條角平分線交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)與三角形的三邊距離相等.圓心I應(yīng)是三角形的三條角平分線的交點(diǎn).為什么呢？第16頁/共38頁三角形角平分線的這個(gè)性質(zhì)，你還記得嗎？問題2如何求作一54已知：△ABC.求作：和△ABC的各邊都相切的圓.MND作法：1.作∠B和∠C的平分線BM和CN，交點(diǎn)為O.2.過點(diǎn)O作OD⊥BC.垂足為D.3.以O(shè)為圓心，OD為半徑作圓O.☉O就是所求的圓.做一做第17頁/共38頁已知：△ABC.MND作法：☉O就是所求的圓.做一做第17頁551.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)三角形的內(nèi)心.3.這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的外切三角形.BACI

☉I是△ABC的內(nèi)切圓，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，△ABC是☉I的外切三角形.知識(shí)要點(diǎn)第18頁/共38頁1.與三角形三邊都相切的圓叫作三角形的內(nèi)切圓.2.三角形內(nèi)切56三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的內(nèi)切圓，那么線段OA，OB,OC有什么特點(diǎn)？互動(dòng)探究線段OA，OB,OC分別是∠A，∠B，∠C的平分線.第19頁/共38頁三角形的內(nèi)心的性質(zhì)三BACI問題1如圖，☉I是△ABC的57BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂足分別為E、F，G，那么線段IE、IF、IG之間有什么關(guān)系？EFGIE=IF=IG第20頁/共38頁BACI問題2如圖，分別過點(diǎn)作AB、AC、BC的垂線，垂58知識(shí)要點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三角形的內(nèi)心到三角形的三邊距離相等.BACIEFG

IA，IB，IC是△ABC的角平分線，IE=IF=IG.第21頁/共38頁知識(shí)要點(diǎn)三角形內(nèi)心的性質(zhì)三角形的內(nèi)心在三角形的角平分線上.三59例3

如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，求∠

BIC的度數(shù).解：連接IB，IC.ABCI∵點(diǎn)I是△ABC的內(nèi)心，∴IB，IC分別是∠B，∠C的平分線，在△IBC中，第22頁/共38頁例3如圖，△ABC中，∠B=43°，∠C=61°，點(diǎn)60例4

如圖，一個(gè)木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形的直三棱柱.圓柱的下底面圓是直三棱柱上底面等邊三角形的內(nèi)切圓，已知直三棱柱的底面等邊三角形的邊長為3cm，求圓柱底面圓的半徑.該木?？梢猿橄鬄閹缀稳缦聨缀螆D形.第23頁/共38頁例4如圖，一個(gè)木模的上部是圓柱，下部是底面為等邊三角形61CABrOD解：如圖，設(shè)圓O切AB于點(diǎn)D，連接OA、OB、OD.∵圓O是△ABC的內(nèi)切圓,∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分線∵△ABC是等邊三角形,∴∠OAB=∠OBA=30o∵OD⊥AB，AB=3cm，∴AD=BD=AB=1.5(cm)∴OD=AD·tan30o=(cm)答:圓柱底面圓的半徑為cm.第24頁/共38頁CABrOD解：如圖，設(shè)圓O切AB于點(diǎn)D，連接OA、OB、62例5△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=13cm，BC=14cm，CA=9cm，求AF、BD、CE的長.想一想：圖中你能找出哪些相等的線段？理由是什么？BACEDFO第25頁/共38頁例5△ABC的內(nèi)切圓☉O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D63解:設(shè)AF=xcm，則AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE=9-x(cm)，

BF=BD=AB-AF=13-x(cm).由

BD+CD=BC，可得

(13-x)+(9-x)=14，∴AF=4(cm)，BD=9(cm)，CE=5(cm).方法小結(jié)：關(guān)鍵是熟練運(yùn)用切線長定理，將相等線段轉(zhuǎn)化集中到某條邊上，從而建立方程.解得

x=4.ACEDFO第26頁/共38頁解:設(shè)AF=xcm，則AE=xcm.∴CE=CD=AC-AE64比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角形內(nèi)切圓的圓心三角形三邊中垂線的交點(diǎn)1.OA=OB=OC2.外心不一定在三角形的內(nèi)部．三角形三條角平分線的交點(diǎn)1.到三邊的距離相等；2.OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB3.內(nèi)心在三角形內(nèi)部．ABOABCO第27頁/共38頁比一比名稱確定方法圖形性質(zhì)外心：三角形外接圓的圓心內(nèi)心：三角65CABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接圓半徑.解：如圖，由題意可知BC=6cm,∠ABC=60°，OD⊥BC，OB平分∠ABC.∴∠OBD=30°，BD=3cm,△OBD為直角三角形.內(nèi)切圓半徑外接圓半徑練一練第28頁/共38頁CABOD1.求邊長為6cm的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑與外接66變式：求邊長為a的等邊三角形的內(nèi)切圓半徑r與外接圓半徑R的比.sin∠OBD=sin30°=CABRrOD第29頁/共38頁變式：sin∠OBD=sin30°=CAB67ABCODEFABCDEFO2.設(shè)△ABC的面積為S，周長為L，△ABC內(nèi)切圓的半徑為r，則S，L與r之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？第30頁/共38頁ABCODEFABCDEFO2.設(shè)△ABC的面積為S，周長為68ABCOcDEr3.如圖，直角三角形的兩直角邊分別是a、b,斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑r為___________（以含a、b、c的代數(shù)式表示r）.解析：過點(diǎn)O分別作AC，BC，AB的垂線，垂足分別為D，E，F(xiàn).F則AD=AC-DC=b-r,BF=BC-CE=a-r,因?yàn)锳F=AD，BF=BE，AF+BF=c,所以a-r+b-r=c,所以第3