數(shù)學D88極值與最值

102教學打算第8章多元函數(shù)微分18學時112月18日三§8.1多元函數(shù)的基本概念22月20日五§8.2偏導數(shù)322月23日一§8.3全微分42月27日五§8.4多元復合求導法則533月2日一§8.5隱函數(shù)的求導公式63月4日三§8.6微分學的幾何應用73月6日五§8.7方向?qū)?shù)843月9日一§8.8多元函數(shù)極值和最值93月13日五習題課12023年3月1D8_8極值與最值第八章第八節(jié)一、多元函數(shù)的極值二、最值應用問題三、條件極值多元函數(shù)的極值及其求法2023年3月2D8_8極值與最值一、多元函數(shù)的極值

定義:假設函數(shù)則稱函數(shù)在該點取得極大值(微小值).例如:在點(0,0)有微小值;在點(0,0)有極大值;在點(0,0)無極值.極大值和微小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為極值點.的某鄰域內(nèi)有2023年3月3D8_8極值與最值定理1(必要條件)函數(shù)偏導數(shù),證:據(jù)一元函數(shù)極值的必要條件可知定理結(jié)論成立.取得極值,取得極值取得極值且在該點取得極值,則有存在故說明:使偏導數(shù)都為0的點稱為駐點.例如,但駐點不肯定是極值點.有駐點(0,0),但在該點不取得極值.2023年3月4D8_8極值與最值定理2(充分條件)假設函數(shù)的某鄰域內(nèi)具有一階和二階連續(xù)偏導數(shù),且令時,具有極值則:1)當A<0時取極大值;A>0時取微小值.2)當3)當證明見第九節(jié)(P65).這里略時,沒有極值.時,不能確定,需另行爭論.2023年3月5D8_8極值與最值例1.求函數(shù)解:

第一步求駐點.解方程組的極值.得4個駐點:(1,0),(1,2),(–3,0),(–3,2).其次步判別.在點(1,0)處為微小值;求二階偏導數(shù)2023年3月6D8_8極值與最值在點(3,0)處不是極值;在點(3,2)處為極大值.在點(1,2)處不是極值;2023年3月7D8_8極值與最值例3.爭論函數(shù)及是否取得極值.解:明顯(0,0)都是它們的駐點,在(0,0)點鄰域內(nèi)的取值,因此z(0,0)不是極值.因此為微小值.正負0在點(0,0)并且在(0,0)都有可能為2023年3月8D8_8極值與最值二、最值應用問題函數(shù)f在閉域上連續(xù)函數(shù)f在閉域上可到達最值最值可疑點駐點邊界上的最值點特殊,當區(qū)域內(nèi)部最值存在,且只有一個極值點P時,為極小值為最小值(大)(大)依據(jù)2023年3月9D8_8極值與最值例3.解:設水箱長,寬分別為x,ym

,則高為則水箱所用材料的面積為令得駐點某廠要用鐵板做一個體積為2依據(jù)實際問題可知最小值在定義域內(nèi)應存在,的有蓋長方體水箱問當長、寬、高各取怎樣的尺寸時,才能使用料最省?因此可斷定此唯一駐點就是最小值點.即當長、寬均為高為時,水箱所用材料最省.2023年3月10D8_8極值與最值例4.有一寬為24cm的長方形鐵板,把它折起來做成解:設折起來的邊長為xcm,則斷面面積x24一個斷面為等腰梯形的水槽,傾角為

,積最大.為問怎樣折法才能使斷面面2023年3月11D8_8極值與最值令解得:由題意知,最大值在定義域D內(nèi)到達,而在域D內(nèi)只有一個駐點,故此點即為所求.2023年3月12D8_8極值與最值2023年3月13D8_8極值與最值三、條件極值極值問題無條件極值:條件極值:條件極值的求法:方法1代入法.求一元函數(shù)的無條件極值問題對自變量只有定義域限制對自變量除定義域限制外,還有其它條件限制例如,轉(zhuǎn)化2023年3月14D8_8極值與最值方法2拉格朗日乘數(shù)法.如方法1所述,則問題等價于一元函數(shù)可確定隱函數(shù)的極值問題,極值點必滿足設記例如,故故有2023年3月15D8_8極值與最值引入幫助函數(shù)幫助函數(shù)F稱為拉格朗日(Lagrange)函數(shù).利用拉格極值點必滿足則極值點滿足:朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法.2023年3月16D8_8極值與最值推廣拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形.設解方程組可得到條件極值的可疑點.例如,求函數(shù)下的極值.在條件2023年3月17D8_8極值與最值例5.要設計一個容量為則問題為求x,y,令解方程組解:設x,y,z分別表示長、寬、高,下水箱外表積最小.z使在條件水箱長、寬、高等于多少時所用材料最省？的長方體開口水箱,試問2023年3月18D8_8極值與最值得唯一駐點由題意可知合理的設計是存在的,長、寬為高的2倍時，所用材料最省.因此,當高為思考:1)當水箱封閉時,長、寬、高的尺寸如何?提示:利用對稱性可知,2)當開口水箱底部的造價為側(cè)面的二倍時,欲使造價最省,應如何設拉格朗日函數(shù)?長、寬、高尺寸如何?提示:長、寬、高尺寸相等.2023年3月19D8_8極值與最值平面上兩定點A(1,3),B(4,2),試在橢圓圓周上求一點C,使△ABC面積S△最大.解答提示:設C點坐標為(x,y),思考與練習則2023年3月20D8_8極值與最值設拉格朗日函數(shù)解方程組得駐點對應面積而比較可知,點C與E重合時,三角形面積最大.點擊圖中任意點動畫開頭或暫停2023年3月21D8_8極值與最值備用題1.求半徑為R的圓的內(nèi)接三角形中面積最大者.解:設內(nèi)接三角形各邊所對的圓心角為x,y,z,則它們所對應的三個三角形面積分別為設拉氏函數(shù)解方程組,得故圓內(nèi)接正三角形面積最大,最大面積為2023年3月22D8_8極值與最值為邊的面積最大的四邊形,試列出其目標函數(shù)和約束條件?提示:目標函數(shù):約束條件:答案:即四邊形內(nèi)接于圓時面積最大.2.求平面上以2023年3月23D8_8極值與最值6．在兩個曲面的交線上，求到原點最長和最短的距離。解：設兩曲面的交線上任一點為M(x,y,z)則點M到原點的距離為問題可歸結(jié)為求條件極值構(gòu)造函數(shù)解方程組得2023年3月24D8_8極值與最值代入函數(shù)中由幾何問題確實存在最大值和最小值.所求的最短距離為最長距離為2023年3月25D8_8極值與最值7.某企業(yè)生成甲,乙兩種產(chǎn)品,其銷售單價分別為10萬元/件、9萬元/件,假設生產(chǎn)x件甲產(chǎn)品和y件乙產(chǎn)品的總本錢為(萬元),又兩種產(chǎn)品的總產(chǎn)量為100件,試建立這一問題的數(shù)學模型,并分析兩種產(chǎn)品的產(chǎn)量各為多少時企業(yè)獲得最大利潤.解：設收益函數(shù)為G(x,y),則G(x,y)=10x+9y利潤＝總收益－總本錢，利潤函數(shù)記為L(x,y),那么,這一問題的數(shù)學模型應為求函數(shù)且x+y=1002023年3月26D8_8極值與最值這是條件極值問題，構(gòu)造函數(shù)解方程組得駐點(70,30)由于這是實際問題存在最大利潤,又有唯一駐點，因此當x=70,y=30有最大利潤。2023年3月27D8_8極值與最值總習題817.求平面和柱面x2y21的交線上與xy平面距離最短的點解設M(x

y

z)為平面和柱面的交線上的一點

則M到xOy平面的距離為d(x

y

z)|z|問題在于求函數(shù)f(x

y

z)|z|2z2在約束條件和x2y21下的最小值作幫助函數(shù)令解方程組得由于可能的極值點只有這一個

所以這個點就是所求之點

2023年3月28D8_8極值與最值提示:由題設例1.函數(shù)(D)依據(jù)條件無法推斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點.則()的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且A(考研)2023年3月29D8_8極值與最值內(nèi)容小結(jié)1.函數(shù)的極值問題第一步利用必要條件在定義域內(nèi)找駐點.即解方程組其次步利用充分條件判別駐點是否為極值點.2.函數(shù)的條件極值問題(1)簡潔問題用代入法如對二元函數(shù)(2)一般問題用拉格朗日乘數(shù)法2023年3月30D8_8極值與最值設拉格朗日函數(shù)如求二元函數(shù)下的極值,解方程組其次步判別?比較駐點及邊界點上函數(shù)值的大小?依據(jù)問題的實際意義確定最值第一步找目標函數(shù),確定定義域(及約束條件)3.函數(shù)的最值問題在條件求駐點.2023年3月