含絕對值的不等式教案1

|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式教案教學(xué)目標(biāo)1．通過對|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的教學(xué)，學(xué)生不僅要掌握其解法，更要抓住其化歸轉(zhuǎn)化的基本思想及解題過程中的等價關(guān)系．注重對學(xué)生思維能力的培養(yǎng)，提高解題能力．2．教學(xué)中加強學(xué)生對|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)型不等式直觀意義的理解，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的能力．教學(xué)重點與難點教學(xué)重點是|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式的解法和對其解集的直觀意義的理解．難點是求解過程中的等價關(guān)系．教學(xué)過程設(shè)計一、復(fù)習(xí)提問及揭示課題師：在初中，我們學(xué)過一元一次不等式及一元一次不等式組．下面請同學(xué)們解不等式并注明每步的依據(jù)．(要求學(xué)生寫在課堂練習(xí)本上．)師：通過此題的求解，請說出解不等式的主要依據(jù)及依據(jù)的內(nèi)容．生：主要依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)，它的內(nèi)容是：(1)不等式兩邊都加上同一個數(shù)或同一個整式，不等號的方向不變；(2)不等式兩邊都乘以同一個正數(shù)，不等號的方向不變；(3)不等式兩邊都乘以同一個負(fù)數(shù)，不等號的方向改變．師：在初中，我們還學(xué)過實數(shù)的絕對值，那么|a|的意義是什么？(學(xué)生口述，老師在黑板上給出符號表示，即同時要求學(xué)生說出其幾何意義，即|a|表示數(shù)a在數(shù)軸上對應(yīng)的點到原點的距離．)師：請同學(xué)回答下列問題：(出示小黑板，由學(xué)生口述，教師板書．)(1)當(dāng)x______時，|2x－3|=2x－3；(2)若|2x－3|=3－2x，則x_______；(3)若|2x－3|=1，則x=______，并說明其幾何意義．(在說明|2x－3|=1的幾何意義時，教師可先引導(dǎo)學(xué)生畫數(shù)軸，標(biāo)出P(1)，P(2)|2x－3|=1的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)x的點P(x)(其中P(x)=P(1)或P(x)=P(2))到表師：我們?nèi)魧2x－3|=1中的“=”號改為“＜”或“＞”號，則這時x又將為何值呢？|2x－3|＜1或|2x－3|＞1的幾何意義又是什么呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容．(板書課題：|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式)三、講述新課1．|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．師：為了尋找|ax+b|＜c，|ax+b|＞c型不等式的解法，我們先從尋找最簡單的不等式|x|＜a，|x|＞a的解法入手．看下面具體例題．(板書)例解不等式|x|＜2．師：請談你的想法．生：我考慮要先去掉絕對值符號．師：怎樣去掉絕對值符號，絕對值符號去掉后，不等式|x|＜2將轉(zhuǎn)化成怎樣的不等式？請同學(xué)自己動筆試著寫寫．(教師巡視，主要看第一步的邏輯表述是否等價(同解)，這是一個難點，應(yīng)使學(xué)生特別注意這一點．可分別將學(xué)生中書寫正確的，或帶有問題的做實物投影，給出分析指導(dǎo)．)不等式組(2)的解．因為，滿足不等式組(1)，即滿足0≤x＜2的任意x的值，都是原不等式|x|＜2的解；滿足不等式組(2)，即滿足－2＜x＜0的任意x的值，也都是原不等式|x|＜2的解，所以|x|＜2的解集等于不等式0≤x＜2與不等式－2＜x＜0的解集的并，即|x|＜2的解集為{x|0≤x＜2}∪{x|－2＜x＜0}={x|－2＜x＜2}．(板書)所以，原不等式的解集為{x|－2＜x＜2}．(如果兩個不等式的解集相等，那么這兩個不等式叫做同解不等式．一個不等式變形為另一個不等式時，如果這兩個不等式是同解不等式，那么這種變形叫做不等式師：請同學(xué)將|x|＜2的解集在數(shù)軸上表示出，并試著解釋其幾何意義．生：|x|＜2的幾何意義為表示數(shù)x的點到原點的距離小于2，從數(shù)軸(圖2)可看出，表示|x|＜2的解集的線段(端點除外)，就是數(shù)軸上到原點的距離小于2的所有點的集合．師：若上述解不等式|x|＜2，改為解不等式|x|＞2，你能很快求出解集，并在數(shù)軸上表示出來嗎？(學(xué)生基本都能得到正確答案，教師可根據(jù)學(xué)生實際情況略做說明，或選學(xué)生所做的情況進(jìn)行一下實物投影．)師：通過解不等式|x|＜2，|x|＞2，你能總結(jié)歸納出規(guī)律嗎？請同學(xué)完成下列表格：(做成投影幻燈片，或抄寫在小黑板上，讓學(xué)生完成在筆記本上．)2．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式師：現(xiàn)在我們來解不等式|2x－3|＜1．請問哪位同學(xué)有解決的辦法？＜a，即可解決．(分別由這兩位學(xué)生板演，要求寫出每步依據(jù)．)解法1|2x－3|＜1所以，原不等式的解集為{x|1＜x＜2}．解法2|2x－3|＜1所以，原不等式的解集為{x|1＜x＜2}．師：請同學(xué)們把解集在數(shù)軸上表示出來(圖4)．對照此圖，說說|2x－3|＜1的解集的幾何意義．生：|2x－3|＜1的解集的幾何意義是：|2x－3|＜1的解集在數(shù)軸上對應(yīng)的是數(shù)線段上所有的點(端點除外)．師：若將解不等式|2x－3|＜1改為解不等式|2x－3|≥1呢？請同學(xué)們自己寫在筆記本上．師：現(xiàn)在我們一起回顧一下解不等式|2x－3|＜1的思路．第一種，將2x－3看成整體，化歸轉(zhuǎn)化成|x|＜a或|x|＞a的形式；第二種，利用絕對值的定義，去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元一次不等式組．第三種，利用兩數(shù)差的絕對值的幾何意義，借助數(shù)軸的直觀，得到不等式的解集．但此種方法不適用于解答題，是解答選擇填空題的捷徑．師：上述三種思路方法，對一般的|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式適用嗎？若適用，試寫出每種方法的第一步．(可將下列解法1，解法2，解法3寫在投影幻燈片上，待學(xué)生寫一會兒后打出投影，再做進(jìn)一步強調(diào)和說明．)解法3先將不等式變形為：再畫數(shù)軸用直觀表示的方法解之．師：解法1主要體現(xiàn)化歸轉(zhuǎn)化的思想，解題較簡捷；解法2體現(xiàn)了解絕對值不等式的一般思路方法，具有指導(dǎo)性；解法3應(yīng)用的是兩數(shù)差的絕對值的幾何意義，但要注意找好中心點和距離．下面我們舉幾個例題．例1解不等式|2－3x|＞7．(學(xué)生口述．老師板書．)解|2－3x|＞7(先由學(xué)生談?wù)勛约旱慕夥ㄋ悸?，選擇較有代表性的解法讓學(xué)生板演．)例3解不等式|x+2|+|x－1|＜5．師：觀察不等式形式特征，你對解此不等式有何思考？生甲：這個不等式的形式是兩個絕對值的和小于5，所以不能直接套用|ax+b|＜c或|ax+b|＞c的公式形式，我想還是用絕對值的定義，去掉絕對值符號來解．生乙：|x+2|+|x－1|＜5的幾何意義是不是就是：到－2那點與到1那點的距離和小于5的點集，我想畫數(shù)軸直接找出解集．(按兩位同學(xué)提供的思路方法，先讓學(xué)生自己動筆解．老師巡視，主要看看代數(shù)方法第一步，幾何方法中的數(shù)的表示，然后根據(jù)實際情況引導(dǎo)．)師：同學(xué)請注意，這里x的取值全集是實數(shù)集R．要想去掉|x+2|中的絕對值符號，就要看x是小于－2還是大于－2；要想去掉|x－1|中的絕對值符號，就要看x是小于1還是大于1．這樣，－2，1這兩個數(shù)將x取值全集R分成(－∞，－2)，[－2，1]，(1，+∞)三個子集．由于x在每個子區(qū)間上都可能取值，故原不等式|x+2|+|x－1|＜5(以下步驟學(xué)生自己完成，最后給出答案，原不等式的解集為{x|－3＜x＜－2}∪{x|－2≤x≤1}∪{x|1＜x＜2}={x|－3＜x＜2}．)師：剛才×××同學(xué)已給出了|x+2|+|x－1|＜5的幾何意義，那么，同學(xué)先在數(shù)軸上標(biāo)出與數(shù)－2，1所對應(yīng)的點P(－2)，P(1)，然后找出P(－2)，P(1)兩點距離之和是5的點．一個是數(shù)－3對應(yīng)的點P(－3)，一個是數(shù)2對應(yīng)的點P(2)則線段P(－3)P(－2)(除去端點)上的所有點到p(－2)，P(1)的距離和都小于5．所以原不等式解集為{x|－3＜x＜2}，如圖5．3．小結(jié)師：今天這節(jié)課的重點是掌握解含絕對值符號的不等式的思路方法，而正確求得解集的關(guān)鍵是求解變化過程的等價變形．具體解|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式，要根據(jù)不等式的形式特征決定采取我們前面總結(jié)的三種方法中的某一種，要注意，第三種方法適用于選擇填空題，不能作為解答的說理過程．四、作業(yè)1．課本P26～P27習(xí)題二第2．(2)，(4)；3．(3)，(4)題．2．補充題(1)若|x+1|+|x－2|＞3，則x的取值范圍是________．(2)不等式4＜|3x－5|＜7的解集是________．(3)若|x－3|＜a的解集為{x|2＜x＜4}，則a的取值是_______．課堂教學(xué)設(shè)計說明1．|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式這節(jié)課的教學(xué)，是在學(xué)生上初中時學(xué)過的一元一次不等式及絕對值概念的基礎(chǔ)上進(jìn)行的．因此在教學(xué)中，我們各通過一道練習(xí)題，復(fù)習(xí)有關(guān)的知識和方法，這為學(xué)生學(xué)習(xí)最簡的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)的不等式做了鋪墊．學(xué)生有了|x|＜a，|x|＞a(a＞0)的解法后，通過換元轉(zhuǎn)化的思想，得到|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)的解法．也可按一般思路方法去掉絕對值符號，轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元一次不等式組．這部分題不宜增加對字母系數(shù)的討論，因為初中學(xué)生對分類討論沒有什么接觸，這又是學(xué)生的一個難點，難點不宜集中，而且解不等式的內(nèi)容高二還要繼續(xù)學(xué)習(xí)，故例題只到例3、例4的難度．2．教學(xué)的整個過程，主要想體現(xiàn)對思維和方法的落實上．思維上，就是讓學(xué)生落實在“轉(zhuǎn)化”二字上；方法上，就是讓學(xué)生落實兩種方法，第一種方法是通過絕對值的意義去掉絕對值符號，使|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元一次不等式組，第二種方法是通過換無法使|ax+b|＜c，|ax+b|＞c(c＞0)型不等式轉(zhuǎn)化成最簡單的|x|＜a，|x|＞a(a＞0)型不等式．第一種方法是解絕對值不等式的最一般的方法，為了加以重視，教學(xué)過程中寫出了解不等式|2x－3|＜1的解法2，補充了例題3，目的是加強一般方法的使用．對例3再說明一點，對x取值情況分成(－∞，－2)，[－2，1]，(1，+∞)三部分時，就按|x+2|，|x－1|的意義說，這里雖然滲透了對x取值全集的分類討論，但這節(jié)課上不講分類討論這個詞，避免難點過多，擾亂學(xué)生思維．3．為了加強學(xué)生對|x－a|＜b，|x－a|＞b(b＞0)的不等式的解集的直觀意義的認(rèn)識，在絕對值知識的復(fù)習(xí)中有意識地問了一下|2x－3|=1的幾何意義，這對學(xué)生思考|x－a|