測(cè)量誤差的基本知識(shí)課件

第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)15.1測(cè)量誤差及其分類一、測(cè)量誤差及其來(lái)源觀測(cè)誤差來(lái)源于三個(gè)方面：①觀測(cè)者視覺鑒別能力和技術(shù)水平；②儀器、工具的精密程度；③觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果的精度。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。一般認(rèn)為，在測(cè)量中人們總希望測(cè)量誤差越小越好，甚至趨近于零。在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測(cè)量目的，允許含有一定程度的誤差5.1測(cè)量誤差及其分類一、測(cè)量誤差及其來(lái)源2二測(cè)量誤差的分類根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。（1）系統(tǒng)誤差——在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大。二測(cè)量誤差的分類根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然3二測(cè)量誤差的分類在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：①在觀測(cè)方法和觀測(cè)程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響。②找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正。③將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。二測(cè)量誤差的分類在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差4二測(cè)量誤差的分類(2)偶然誤差——在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的。系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，并且是消除不了的。從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。二測(cè)量誤差的分類(2)偶然誤差——在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某5三偶然誤差的特性在測(cè)量工作中，觀測(cè)的對(duì)象如長(zhǎng)度角度和高差等，稱為觀測(cè)量。任一個(gè)觀測(cè)量，客觀上存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，稱為該量的“真值”。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為觀測(cè)值。進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，觀測(cè)值之間往往存在差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測(cè)值與其真實(shí)值(簡(jiǎn)稱為真值)之間的差異，這種差異稱為

真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。Δi=Li-X 式中Δi就是觀測(cè)誤差，通常稱為真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。幾個(gè)概念三偶然誤差的特性在測(cè)量工作中，觀測(cè)的對(duì)象如長(zhǎng)度角度和高差6三偶然誤差的特性例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值180三偶然誤差的特性例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358個(gè)7三偶然誤差的特性以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值為縱坐標(biāo)，繪制成頻率直方圖該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過(guò)24″。三偶然誤差的特性以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ8可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n→∞，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間dΔ，各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線。該曲線稱為誤差分布曲線。其函數(shù)式為：可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n→∞，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間dΔ，各矩9三偶然誤差的特性統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：特性1在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。(范圍)特性2絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。(絕對(duì)值大小)特性3絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。(符號(hào))特性4當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為0，即(抵償性)

三偶然誤差的特性統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特105－2衡量精度的指標(biāo)一精度精度：是指對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，誤差分布的密集或離散程度。在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量所進(jìn)行的一組觀測(cè)，雖然它們的真實(shí)誤差不相等，但都對(duì)應(yīng)于同一誤差分布，故這些觀測(cè)值誤差是相等的。5－2衡量精度的指標(biāo)一精度在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量所進(jìn)115－2衡量精度的指標(biāo)二衡量精度的指標(biāo)1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為l1，l2、…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測(cè)值的中誤差m為：

——真誤差的平方和，

5－2衡量精度的指標(biāo)二衡量精度的指標(biāo)1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差121中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）例5-1設(shè)有1、2兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：甲組：+4″，-2″，0″，-4″，+3″；乙組：+6″，-5″，0″，+1″，-1″；試計(jì)算1、2兩組各自的觀測(cè)精度。解1、2兩組觀測(cè)值的中誤差為：m1=±3.0″m2=±3.5″比較m1和m2可知，1組的觀測(cè)精度比2組高。中誤差所代表的是某一組觀測(cè)值的精度，而不是這組觀測(cè)中某一次的觀測(cè)精度。1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）例5-1設(shè)有1、2兩組觀測(cè)值，各組均132平均誤差在相同的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的真誤差為△1、△2△3、…………△n那么平均誤差為當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)計(jì)算例5-1的平均誤差θ1=±2.6″θ2=±2.6″我國(guó)一般采用中誤差作為評(píng)判精度的指標(biāo)2平均誤差在相同的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的真誤差為△1、△14（3）容許誤差（限差）在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，即 Δ容=2σ≈2m 或 Δ容=3σ≈3m 如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測(cè)。在一定條件下，偶然誤差絕對(duì)值不應(yīng)超過(guò)的限值稱為容許誤差，也稱為限差或極限誤差（3）容許誤差（限差）在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，常以2倍或3倍15（4）相對(duì)誤差上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，K稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤差K是誤差m的絕對(duì)值與觀測(cè)值D大小的比值：中誤差是絕對(duì)誤差。在距離丈量中，中誤差不能準(zhǔn)確地反映出觀測(cè)值的精度。例如丈量?jī)啥尉嚯x，D1＝100m，m1＝±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，雖然兩者中誤差相等，m1＝m2，顯然，不能認(rèn)為這兩段距離丈量精度是相同的，這時(shí)應(yīng)采用相對(duì)中誤差K來(lái)作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。K1=1/10000;k2=1/3000上面例相對(duì)誤差為：（4）相對(duì)誤差上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，K稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤165-3算術(shù)平均值及其中誤差一算術(shù)平均值（與真值的關(guān)系）設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1，l2，…ln,則其算術(shù)平均值為

算術(shù)平均值x作為該未知量的最可靠的數(shù)值，又稱最或然值。算術(shù)平均值比這組內(nèi)任一觀測(cè)值都更為接近真值。

(1)5-3算術(shù)平均值及其中誤差一算術(shù)平均值（與真值的關(guān)系）

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設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li（i=1，2，3……n)，則觀測(cè)值的真誤差為：

將各式兩邊相加，并除以n，得將(1)式代入上式，并移項(xiàng)，得設(shè)觀測(cè)量的真值為X18根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，則有那么同時(shí)可得由上式可知，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值趨近于真值。但在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，因此，算術(shù)平均值較觀測(cè)值更接近于真值。我們將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或然值或最可靠值。根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，則有那么同時(shí)可得19二、觀測(cè)值改正數(shù)(定義、特性）觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，用v表示。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為n時(shí)，有

將上面各式兩邊相加，得二、觀測(cè)值改正數(shù)(定義、特性）將上面各式兩邊相加，得20觀測(cè)值改正數(shù)的重要特性，即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。又因觀測(cè)值改正數(shù)的重要特性，即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和21三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差計(jì)算中誤差時(shí)，需要知道觀測(cè)值的真誤差，但在測(cè)量中，我們常常無(wú)法求得觀測(cè)值的真誤差。一般用觀測(cè)值改正數(shù)來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差22真誤差：觀測(cè)值改正數(shù)：真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義為：以上兩式相加，可得真誤差：觀測(cè)值改正數(shù)：真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義為：以上兩式23各式兩邊同時(shí)平方并相加，得因令兩邊再除以n關(guān)鍵求δ各式兩邊同時(shí)平方并相加，得因令兩邊再除以n關(guān)鍵求δ24因

所以

故=為真誤差，所以由于也具有偶然誤差的特性。當(dāng)n→∞時(shí)，則有所以

帶入前式因所以故=為真誤差，所以由于也具有偶然誤差的特性。當(dāng)n→25因此即因?yàn)楣蔬@就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式

因此即因?yàn)楣蔬@就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式26算術(shù)平均值的中誤差

算術(shù)平均值的中誤差27例某一段距離共丈量了六次，結(jié)果為：148.643m,148.590m,148.610m,148.624m,148.654m,148.647m，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。解：例某一段距離共丈量了六次，結(jié)果為：148.643m,1428測(cè)次觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv1148.643＋152252148.590－3814443148.610－183244148.624－4165148.654＋266766148.647＋19361平均值148.6283046測(cè)次觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv1148.64329觀測(cè)中誤差算術(shù)平均值的中誤差相對(duì)誤差觀測(cè)中誤差算術(shù)平均值的中誤差相對(duì)誤差30第四節(jié)誤差傳播律在測(cè)量工作中，有些未知量往往不能直接測(cè)得，而需要由其它的直接觀測(cè)值按一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。由于獨(dú)立觀測(cè)值存在誤差，導(dǎo)致其函數(shù)也必然存在誤差，這種關(guān)系稱為誤差傳播。闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播律。第四節(jié)誤差傳播律在測(cè)量工作中，有些未知量往往不能直接測(cè)得31一、線性函數(shù)的中誤差設(shè)線性函數(shù)(觀測(cè)值計(jì)算結(jié)果）設(shè)獨(dú)立直接觀測(cè)值x、y相應(yīng)的中誤差為mx、my，函數(shù)Z的中誤差為mZ。當(dāng)觀測(cè)值x、y中分別含有真誤差?x、?y時(shí)，函數(shù)Z產(chǎn)生真誤差?z，即式中k1、k2——常數(shù)；x、y——獨(dú)立直接觀測(cè)值。上面兩式相減

一、線性函數(shù)的中誤差設(shè)線性函數(shù)(觀測(cè)值計(jì)算結(jié)果）32…設(shè)對(duì)x、y各獨(dú)立觀測(cè)了n次，則有取上式兩端平方和，并除以n，得從偶然誤差的特性可知，當(dāng)n→∞時(shí)，趨近于零。上式可變?yōu)?/p>

…設(shè)對(duì)x、y各獨(dú)立觀測(cè)了n次，則有取上式兩端平方和，并除以33根據(jù)中誤差的定義，得或根據(jù)中誤差的定義，得或34根據(jù)上面的推導(dǎo)方法，可求得Z的中誤差為當(dāng)Z是一組觀測(cè)值x1、x2、……、xn的線性函數(shù)時(shí)，即由上式可推知和差函數(shù)與倍數(shù)函數(shù)的中誤差。

根據(jù)上面的推導(dǎo)方法，可求得Z的中誤差為當(dāng)Z是一組觀測(cè)值x1、35（1）對(duì)于和差函數(shù)Z＝±x±y，有如果mx=my＝m，則當(dāng)Z是n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的代數(shù)和時(shí)，即可推得（1）對(duì)于和差函數(shù)Z＝±x±y，有如果mx=my＝m，則當(dāng)Z36（2）對(duì)于倍數(shù)函數(shù)Z＝kx，有如果m1＝m2＝…＝mn＝m，則（2）對(duì)于倍數(shù)函數(shù)Z＝kx，有如果m1＝m2＝…＝mn＝m，37例1設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1、l2、…、ln，每一觀測(cè)值的中誤差為m，算術(shù)平均值為L(zhǎng)，求算術(shù)平均值的中誤差M。解算術(shù)平均值為算術(shù)平均值中誤差例1設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1、l38例2在1：500的地形圖上測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，圖上的距離d＝42.3mm，在地形圖上量距誤差md＝±0.2mm，求實(shí)地距離及md。解例2在1：500的地形圖上測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，圖上的距離d39二、非線性函數(shù)的中誤差設(shè)非線性函數(shù)為式中x1，x2，…，xn——獨(dú)立直接觀測(cè)值；

Z——未知量。設(shè)x1，x2，…，xn為獨(dú)立直接觀測(cè)值，中誤差分別為m1，m2，…，mn，函數(shù)Z的中誤差為mZ。如果x1，x2，…，xn包含有真誤差Δx1，Δx2，…，Δxn，則函數(shù)Z也產(chǎn)生真誤差ΔZ。上式用泰勒級(jí)數(shù)展開成線性函數(shù)的形式，再對(duì)線性函數(shù)取全微分，可得二、非線性函數(shù)的中誤差設(shè)非線性函數(shù)為式中x1，x2，…，40由于真誤差均很小，用其近似地代替上式中的dZ、dx1、dx2、…、dxn，可得真誤差關(guān)系式是函數(shù)對(duì)各獨(dú)立觀測(cè)值xi的偏導(dǎo)數(shù)因此，函數(shù)Z的中誤差為由于真誤差均很小，用其近似地代替上式中的dZ、dx1、dx241例1在地面上有一矩形ABCD，AB＝40.38m±0.03m，BC＝33.42m±0.02m，求面積及其中誤差。解設(shè)AB＝a＝40.38m，ma＝±0.03m，BC＝b＝33.42m，mb＝±0.02m面積的中誤差為面積計(jì)算如下：對(duì)函數(shù)式求其偏導(dǎo)數(shù)得例1在地面上有一矩形ABCD，AB＝40.38m±0.42例2如圖，測(cè)得AB的垂直角為α＝30?00′00″±30″，平距AC為D＝200.00m±0.05m，求A、B兩點(diǎn)間高差h及其中誤差mh。解A、B兩點(diǎn)間高差為A B C h D＝200m α＝＋30°

例2如圖，測(cè)得AB的垂直角為α＝30?00′00″±3043對(duì)函數(shù)式求其偏導(dǎo)數(shù)得

高差的中誤差為對(duì)函數(shù)式求其偏導(dǎo)數(shù)得高差的中誤差為44例3：水準(zhǔn)測(cè)量中，視距為75m時(shí)在標(biāo)尺上讀數(shù)的中誤差解普通水準(zhǔn)測(cè)量每站測(cè)得高差水準(zhǔn)尺刻劃誤差)。若以3倍中誤差為容許誤差，試求普通水準(zhǔn)測(cè)量觀測(cè)n站所得高差閉合差的容許誤差。(包括照準(zhǔn)誤差，氣泡居中誤差及則每站觀測(cè)高差的中誤差為：

觀測(cè)n站所得高差例3：水準(zhǔn)測(cè)量中，視距為75m時(shí)在標(biāo)尺上讀數(shù)的中誤差解普45以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許誤差為：高差閉合差為已知值(無(wú)誤差)。則閉合差的中誤差為：以3倍中誤差為容許誤差，則高差閉合差的容許誤差為：高差閉合差46

作業(yè)1．測(cè)量距離A、B和C、D。往測(cè)結(jié)果分別為258.598m和138.745m，返測(cè)結(jié)果分別為258.547m和138.778m。分別計(jì)算往返較差、相對(duì)誤差，并比較精度。2．測(cè)得一正方形的邊長(zhǎng)a＝86.25m±0.04m。試求正方形的面積及其相對(duì)誤差。3．在1：25000地形圖上量得一圓形地物的直徑為d＝31.3mm±0.3mm。試求該地物占地面積及其中誤差。4．一個(gè)三角形，測(cè)得邊長(zhǎng)a＝150.50m±0.05m，測(cè)得∠A＝64°24′±1′，∠B＝35°10′±2′。計(jì)算邊長(zhǎng)b和c及其中誤差、相對(duì)中誤差。作47第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)第五章測(cè)量誤差的基本知識(shí)485.1測(cè)量誤差及其分類一、測(cè)量誤差及其來(lái)源觀測(cè)誤差來(lái)源于三個(gè)方面：①觀測(cè)者視覺鑒別能力和技術(shù)水平；②儀器、工具的精密程度；③觀測(cè)時(shí)外界條件的好壞。三個(gè)方面綜合起來(lái)，稱為觀測(cè)條件。觀測(cè)條件將影響觀測(cè)成果的精度。觀測(cè)條件相同的各次觀測(cè)稱為等精度觀測(cè)；觀測(cè)條件不相同的各次觀測(cè)，稱為非等精度觀測(cè)。一般認(rèn)為，在測(cè)量中人們總希望測(cè)量誤差越小越好，甚至趨近于零。在實(shí)際生產(chǎn)中，據(jù)不同的測(cè)量目的，允許含有一定程度的誤差5.1測(cè)量誤差及其分類一、測(cè)量誤差及其來(lái)源49二測(cè)量誤差的分類根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。（1）系統(tǒng)誤差——在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小保持不變或按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差具有積累性，對(duì)測(cè)量結(jié)果影響很大。二測(cè)量誤差的分類根據(jù)性質(zhì)不同，觀測(cè)誤差可分為系統(tǒng)誤差和偶然50二測(cè)量誤差的分類在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差。方法有：①在觀測(cè)方法和觀測(cè)程度上采用必要的措施，限制或削弱系統(tǒng)誤差的影響。②找出產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的原因和規(guī)律，對(duì)觀測(cè)值進(jìn)行系統(tǒng)誤差的改正。③將系統(tǒng)誤差限制在允許范圍內(nèi)。二測(cè)量誤差的分類在測(cè)量工作中，應(yīng)盡量設(shè)法消除和減小系統(tǒng)誤差51二測(cè)量誤差的分類(2)偶然誤差——在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行一系列觀測(cè)時(shí)，符號(hào)和大小均不一定，這種誤差稱為偶然誤差。產(chǎn)生偶然誤差的原因往往是不固定的和難以控制的。系統(tǒng)誤差能夠加以改正，而偶然誤差是不可避免的，并且是消除不了的。從單個(gè)偶然誤差來(lái)看，其出現(xiàn)的符號(hào)和大小沒有一定的規(guī)律性，但對(duì)大量的偶然誤差進(jìn)行大量統(tǒng)計(jì)分析，就能發(fā)現(xiàn)規(guī)律性，并且誤差個(gè)數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。二測(cè)量誤差的分類(2)偶然誤差——在一定的觀測(cè)條件下，對(duì)某52三偶然誤差的特性在測(cè)量工作中，觀測(cè)的對(duì)象如長(zhǎng)度角度和高差等，稱為觀測(cè)量。任一個(gè)觀測(cè)量，客觀上存在著一個(gè)能代表其真正大小的數(shù)值，稱為該量的“真值”。測(cè)量所獲得的數(shù)值稱為觀測(cè)值。進(jìn)行多次測(cè)量時(shí)，觀測(cè)值之間往往存在差異。這種差異實(shí)質(zhì)上表現(xiàn)為觀測(cè)值與其真實(shí)值(簡(jiǎn)稱為真值)之間的差異，這種差異稱為

真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。Δi=Li-X 式中Δi就是觀測(cè)誤差，通常稱為真誤差，簡(jiǎn)稱誤差。幾個(gè)概念三偶然誤差的特性在測(cè)量工作中，觀測(cè)的對(duì)象如長(zhǎng)度角度和高差53三偶然誤差的特性例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)值含有偶然誤差，故平面三角形內(nèi)角之和不一定等于真值180三偶然誤差的特性例如某一測(cè)區(qū)在相同觀測(cè)條件下觀測(cè)了358個(gè)54三偶然誤差的特性以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ的比值為縱坐標(biāo)，繪制成頻率直方圖該組誤差的分布表現(xiàn)出如下規(guī)律：小誤差比大誤差出現(xiàn)的頻率高，絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的個(gè)數(shù)和頻率相近，最大誤差不超過(guò)24″。三偶然誤差的特性以誤差大小為橫坐標(biāo)，以頻率k/n與區(qū)間dΔ55可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n→∞，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間dΔ，各矩形的頂邊折線就成為一條光滑的曲線。該曲線稱為誤差分布曲線。其函數(shù)式為：可以設(shè)想，當(dāng)誤差個(gè)數(shù)n→∞，同時(shí)又無(wú)限縮小誤差區(qū)間dΔ，各矩56三偶然誤差的特性統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特性：特性1在一定觀測(cè)條件下的有限個(gè)觀測(cè)中，偶然誤差的絕對(duì)值不超過(guò)一定的限值。(范圍)特性2絕對(duì)值較小的誤差出現(xiàn)的頻率大，絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的頻率小。(絕對(duì)值大小)特性3絕對(duì)值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的頻率大致相等。(符號(hào))特性4當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無(wú)限增多時(shí)，偶然誤差平均值的極限為0，即(抵償性)

三偶然誤差的特性統(tǒng)計(jì)大量的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明偶然誤差具有如下特575－2衡量精度的指標(biāo)一精度精度：是指對(duì)某一個(gè)量的多次觀測(cè)中，誤差分布的密集或離散程度。在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量所進(jìn)行的一組觀測(cè)，雖然它們的真實(shí)誤差不相等，但都對(duì)應(yīng)于同一誤差分布，故這些觀測(cè)值誤差是相等的。5－2衡量精度的指標(biāo)一精度在相同觀測(cè)條件下，對(duì)某一量所進(jìn)585－2衡量精度的指標(biāo)二衡量精度的指標(biāo)1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）設(shè)在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)觀測(cè)，其觀測(cè)值為l1，l2、…，ln，相應(yīng)的真誤差為Δ1，Δ2，…，Δn。則觀測(cè)值的中誤差m為：

——真誤差的平方和，

5－2衡量精度的指標(biāo)二衡量精度的指標(biāo)1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差591中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）例5-1設(shè)有1、2兩組觀測(cè)值，各組均為等精度觀測(cè)，它們的真誤差分別為：甲組：+4″，-2″，0″，-4″，+3″；乙組：+6″，-5″，0″，+1″，-1″；試計(jì)算1、2兩組各自的觀測(cè)精度。解1、2兩組觀測(cè)值的中誤差為：m1=±3.0″m2=±3.5″比較m1和m2可知，1組的觀測(cè)精度比2組高。中誤差所代表的是某一組觀測(cè)值的精度，而不是這組觀測(cè)中某一次的觀測(cè)精度。1中誤差（標(biāo)準(zhǔn)差）例5-1設(shè)有1、2兩組觀測(cè)值，各組均602平均誤差在相同的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的真誤差為△1、△2△3、…………△n那么平均誤差為當(dāng)觀測(cè)次數(shù)有限時(shí)計(jì)算例5-1的平均誤差θ1=±2.6″θ2=±2.6″我國(guó)一般采用中誤差作為評(píng)判精度的指標(biāo)2平均誤差在相同的觀測(cè)條件下，一組獨(dú)立的真誤差為△1、△61（3）容許誤差（限差）在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，常以2倍或3倍中誤差作為偶然誤差的容許值，即 Δ容=2σ≈2m 或 Δ容=3σ≈3m 如果觀測(cè)值中出現(xiàn)了大于容許誤差的偶然誤差，則認(rèn)為該觀測(cè)值不可靠，應(yīng)舍去不用，并重測(cè)。在一定條件下，偶然誤差絕對(duì)值不應(yīng)超過(guò)的限值稱為容許誤差，也稱為限差或極限誤差（3）容許誤差（限差）在實(shí)際應(yīng)用的測(cè)量規(guī)范中，常以2倍或3倍62（4）相對(duì)誤差上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，K稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤差K是誤差m的絕對(duì)值與觀測(cè)值D大小的比值：中誤差是絕對(duì)誤差。在距離丈量中，中誤差不能準(zhǔn)確地反映出觀測(cè)值的精度。例如丈量?jī)啥尉嚯x，D1＝100m，m1＝±1cm和D2＝300m，m2＝±1cm，雖然兩者中誤差相等，m1＝m2，顯然，不能認(rèn)為這兩段距離丈量精度是相同的，這時(shí)應(yīng)采用相對(duì)中誤差K來(lái)作為衡量精度的標(biāo)準(zhǔn)。K1=1/10000;k2=1/3000上面例相對(duì)誤差為：（4）相對(duì)誤差上式中當(dāng)m為中誤差時(shí)，K稱為相對(duì)中誤差。相對(duì)誤635-3算術(shù)平均值及其中誤差一算術(shù)平均值（與真值的關(guān)系）設(shè)對(duì)某未知量進(jìn)行n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1，l2，…ln,則其算術(shù)平均值為

算術(shù)平均值x作為該未知量的最可靠的數(shù)值，又稱最或然值。算術(shù)平均值比這組內(nèi)任一觀測(cè)值都更為接近真值。

(1)5-3算術(shù)平均值及其中誤差一算術(shù)平均值（與真值的關(guān)系）

64

設(shè)觀測(cè)量的真值為X，觀測(cè)值為li（i=1，2，3……n)，則觀測(cè)值的真誤差為：

將各式兩邊相加，并除以n，得將(1)式代入上式，并移項(xiàng)，得設(shè)觀測(cè)量的真值為X65根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，則有那么同時(shí)可得由上式可知，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，算術(shù)平均值趨近于真值。但在實(shí)際測(cè)量工作中，觀測(cè)次數(shù)總是有限的，因此，算術(shù)平均值較觀測(cè)值更接近于真值。我們將最接近于真值的算術(shù)平均值稱為最或然值或最可靠值。根據(jù)偶然誤差的特性，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)n無(wú)限增大時(shí)，則有那么同時(shí)可得66二、觀測(cè)值改正數(shù)(定義、特性）觀測(cè)量的算術(shù)平均值與觀測(cè)值之差，稱為觀測(cè)值改正數(shù)，用v表示。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)為n時(shí)，有

將上面各式兩邊相加，得二、觀測(cè)值改正數(shù)(定義、特性）將上面各式兩邊相加，得67觀測(cè)值改正數(shù)的重要特性，即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和為零。又因觀測(cè)值改正數(shù)的重要特性，即對(duì)于等精度觀測(cè)，觀測(cè)值改正數(shù)的總和68三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差計(jì)算中誤差時(shí)，需要知道觀測(cè)值的真誤差，但在測(cè)量中，我們常常無(wú)法求得觀測(cè)值的真誤差。一般用觀測(cè)值改正數(shù)來(lái)計(jì)算觀測(cè)值的中誤差。三、由觀測(cè)值改正數(shù)計(jì)算觀測(cè)值中誤差69真誤差：觀測(cè)值改正數(shù)：真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義為：以上兩式相加，可得真誤差：觀測(cè)值改正數(shù)：真誤差與觀測(cè)值改正數(shù)的定義為：以上兩式70各式兩邊同時(shí)平方并相加，得因令兩邊再除以n關(guān)鍵求δ各式兩邊同時(shí)平方并相加，得因令兩邊再除以n關(guān)鍵求δ71因

所以

故=為真誤差，所以由于也具有偶然誤差的特性。當(dāng)n→∞時(shí)，則有所以

帶入前式因所以故=為真誤差，所以由于也具有偶然誤差的特性。當(dāng)n→72因此即因?yàn)楣蔬@就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式

因此即因?yàn)楣蔬@就是用觀測(cè)值改正數(shù)求觀測(cè)值中誤差的計(jì)算公式73算術(shù)平均值的中誤差

算術(shù)平均值的中誤差74例某一段距離共丈量了六次，結(jié)果為：148.643m,148.590m,148.610m,148.624m,148.654m,148.647m，求算術(shù)平均值、觀測(cè)中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。解：例某一段距離共丈量了六次，結(jié)果為：148.643m,1475測(cè)次觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv1148.643＋152252148.590－3814443148.610－183244148.624－4165148.654＋266766148.647＋19361平均值148.6283046測(cè)次觀測(cè)值/m觀測(cè)值改正數(shù)v/mmvv1148.64376觀測(cè)中誤差算術(shù)平均值的中誤差相對(duì)誤差觀測(cè)中誤差算術(shù)平均值的中誤差相對(duì)誤差77第四節(jié)誤差傳播律在測(cè)量工作中，有些未知量往往不能直接測(cè)得，而需要由其它的直接觀測(cè)值按一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(lái)。由于獨(dú)立觀測(cè)值存在誤差，導(dǎo)致其函數(shù)也必然存在誤差，這種關(guān)系稱為誤差傳播。闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播律。第四節(jié)誤差傳播律在測(cè)量工作中，有些未知量往往不能直接測(cè)得78一、線性函數(shù)的中誤差設(shè)線性函數(shù)(觀測(cè)值計(jì)算結(jié)果）設(shè)獨(dú)立直接觀測(cè)值x、y相應(yīng)的中誤差為mx、my，函數(shù)Z的中誤差為mZ。當(dāng)觀測(cè)值x、y中分別含有真誤差?x、?y時(shí)，函數(shù)Z產(chǎn)生真誤差?z，即式中k1、k2——常數(shù)；x、y——獨(dú)立直接觀測(cè)值。上面兩式相減

一、線性函數(shù)的中誤差設(shè)線性函數(shù)(觀測(cè)值計(jì)算結(jié)果）79…設(shè)對(duì)x、y各獨(dú)立觀測(cè)了n次，則有取上式兩端平方和，并除以n，得從偶然誤差的特性可知，當(dāng)n→∞時(shí)，趨近于零。上式可變?yōu)?/p>

…設(shè)對(duì)x、y各獨(dú)立觀測(cè)了n次，則有取上式兩端平方和，并除以80根據(jù)中誤差的定義，得或根據(jù)中誤差的定義，得或81根據(jù)上面的推導(dǎo)方法，可求得Z的中誤差為當(dāng)Z是一組觀測(cè)值x1、x2、……、xn的線性函數(shù)時(shí)，即由上式可推知和差函數(shù)與倍數(shù)函數(shù)的中誤差。

根據(jù)上面的推導(dǎo)方法，可求得Z的中誤差為當(dāng)Z是一組觀測(cè)值x1、82（1）對(duì)于和差函數(shù)Z＝±x±y，有如果mx=my＝m，則當(dāng)Z是n個(gè)獨(dú)立觀測(cè)值的代數(shù)和時(shí)，即可推得（1）對(duì)于和差函數(shù)Z＝±x±y，有如果mx=my＝m，則當(dāng)Z83（2）對(duì)于倍數(shù)函數(shù)Z＝kx，有如果m1＝m2＝…＝mn＝m，則（2）對(duì)于倍數(shù)函數(shù)Z＝kx，有如果m1＝m2＝…＝mn＝m，84例1設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1、l2、…、ln，每一觀測(cè)值的中誤差為m，算術(shù)平均值為L(zhǎng)，求算術(shù)平均值的中誤差M。解算術(shù)平均值為算術(shù)平均值中誤差例1設(shè)對(duì)某量進(jìn)行了n次等精度觀測(cè)，其觀測(cè)值分別為l1、l85例2在1：500的地形圖上測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，圖上的距離d＝42.3mm，在地形圖上量距誤差md＝±0.2mm，求實(shí)地距離及md。解例2在1：500的地形圖上測(cè)量?jī)牲c(diǎn)間的距離，圖上的距離d86