變分問題學(xué)時(shí)課件

變分問題變分問題1Outline3.1泛函概念3.2變分及變分方程3.3變分問題及Euler邊值問題3.4約束條件下的變分問題3.5線性算子方程化為變分方程3.6波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理3.7波動(dòng)方程修正變分原理3.8波動(dòng)方程廣義變分原理Outline3.1泛函概念2泛函，簡(jiǎn)單地說，就是以整個(gè)函數(shù)為自變量的函數(shù)．這個(gè)概念，可以看成是函數(shù)概念的推廣．設(shè)對(duì)于(某一函數(shù)集合內(nèi)的)任意一個(gè)函數(shù)y(x)，有另一個(gè)數(shù)J[y]與之對(duì)應(yīng)，則稱J[y]為y(x)的泛函．3.1泛函概念泛函，簡(jiǎn)單地說，就是以整個(gè)函數(shù)為自變量的函數(shù)．這個(gè)概念，可以3泛函不同于復(fù)合函數(shù)，例如g=g(f(x))．對(duì)于后者，給定一個(gè)x值，仍然是有一個(gè)g值與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于前者，則必須給出某一區(qū)間上的函數(shù)y(x)，才能得到一個(gè)泛函值J[y]．(定義在同一區(qū)間上的)函數(shù)不同，泛函值當(dāng)然不同．為了強(qiáng)調(diào)泛函值J[y]與函數(shù)y(x)之間的依賴關(guān)系，常常又把函數(shù)y(x)稱為變量函數(shù)．泛函不同于復(fù)合函數(shù)，例如g=g(f(x))．對(duì)于后者，給4變分問題學(xué)時(shí)課件5泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的函數(shù)形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含該函數(shù)的定積分形式。U(x)是定義在[x1,x2]上的可取函數(shù)的集合。上式從積分的角度講，J是x的積分函數(shù)，但從泛函的角度講，J是變量x和U（x）可取形式的雙變量函數(shù)泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的函數(shù)形式，得到不同的6如果變量函數(shù)是二元函數(shù)u(x;y)，則泛函為如果變量函數(shù)是二元函數(shù)u(x;y)，則泛函為73.2變分原理或泛函極值問題先回憶一下有關(guān)函數(shù)極值的概念．3.2變分原理或泛函極值問題先回憶一下有關(guān)函數(shù)極值的概念8可以用同樣的方法定義泛函的極值．可以用同樣的方法定義泛函的極值．9變分問題學(xué)時(shí)課件10泛函取極值等價(jià)于一階變分等于零，與Euler微分方程等價(jià)泛函取極值等價(jià)于一階變分等于零，與Euler微分方程等價(jià)113.3變分問題及Euler邊值問題泛函取極值又稱為泛函駐定，由于變分方程與Euler方程等價(jià)，所以可以通過求解變分方程獲得Euler方程的解，所以可以通過求解Euler方程獲得變分方程的解，為電磁場(chǎng)問題求解增添了新的方法。3.3變分問題及Euler邊值問題泛函取極值又稱為泛函駐定，121.首先，由于變分是對(duì)函數(shù)y進(jìn)行的，獨(dú)立于自變量x，所以，變分運(yùn)算和微分或微商運(yùn)算可交換次序，2.變分運(yùn)算也是一個(gè)線性運(yùn)算，3.直接計(jì)算，就可以得到函數(shù)乘積的變分法則1.首先，由于變分是對(duì)函數(shù)y進(jìn)行的，獨(dú)立于自變量x，所以，134.變分運(yùn)算和積分(微分的逆運(yùn)算)也可以交換次序，5.復(fù)合函數(shù)的變分運(yùn)算，其法則和微分運(yùn)算完全相同，只要簡(jiǎn)單地將微分法則中的“d”換掉即可這里注意，引起F變化的原因，是函數(shù)y的變化，而自變量x是不變化的．所以，絕對(duì)不會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)．4.變分運(yùn)算和積分(微分的逆運(yùn)算)也可以交換次序，5.復(fù)14一、簡(jiǎn)單泛函邊界條件：一、簡(jiǎn)單泛函邊界條件：15二、含一階導(dǎo)數(shù)的泛函積分變換二、含一階導(dǎo)數(shù)的泛函積分變換16等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，17三、含一階偏導(dǎo)數(shù)的泛函三、含一階偏導(dǎo)數(shù)的泛函18變分問題學(xué)時(shí)課件19等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，20四、含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函四、含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函21等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，22例題例題23作為完整的泛函極值問題，在列出泛函取極值的必要條件、即Euler–Lagrange方程后，還需要在給定的定解條件下求解微分方程，才有可能求得極值函數(shù)．需要注意，Euler–Lagrange方程只是泛函取極值的必要條件，并不是充分必要條件．在給定的定解條件下，Euler–Lagrange方程的解可能不止一個(gè)，它們只是極值函數(shù)的候選者．到底哪一(幾)個(gè)解是要求的極值函數(shù)，還需要進(jìn)一步加以甄別．作為完整的泛函極值問題，在列出泛函取極值的必要條件、即Eul24和求函數(shù)極值的情形一樣，甄別的方法有兩種．一種是直接比較所求得的解及其“附近”的函數(shù)的泛函值，根據(jù)泛函極值的定義加以判斷．這種方法不太實(shí)用，至少會(huì)涉及較多的計(jì)算．另一種方法是計(jì)算泛函的二級(jí)變分±2J，如果對(duì)于所求得的解，泛函的二級(jí)變分取正(負(fù))值，則該解即為極值函數(shù)，泛函取極小(大)．這種方法當(dāng)然比較簡(jiǎn)便，但如果二級(jí)變分為0，則需要繼續(xù)討論高級(jí)變分．實(shí)際問題往往又特別簡(jiǎn)單：這就是在給定的邊界條件下，Euler–Lagrange方程只有一個(gè)解，同時(shí)，從物理或數(shù)學(xué)內(nèi)容上又能判斷，該泛函的極值一定存在，那么，這時(shí)求得的唯一解一定就是所要求的極值函數(shù)．和求函數(shù)極值的情形一樣，甄別的方法有兩種．253.4約束條件下的變分問題如果實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，只允許泛函的可取函數(shù)值能從符合一定條件的子集中選取，并尋找泛函駐定的極值，問題就成為約束條件下的變分問題。類似于約束條件下的函數(shù)極值方法求解，通過Lagrange乘法求解3.4約束條件下的變分問題如果實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，只允許泛函的可取26設(shè)有二元函數(shù)f(x;y)，它取極值的必要條件是先回憶一下多元函數(shù)的極值問題．設(shè)有二元函數(shù)f(x;y)，它取極值的必要條件是先回憶一下多27還有二元函數(shù)的條件極值問題，即在約束條件常用Lagrange乘子法來處理多元函數(shù)的條件極值問題．下求函數(shù)f(x;y)的極值問題，就可以引進(jìn)Lagrange乘子?，而定義一個(gè)新的二元函數(shù)在約束條件還有二元函數(shù)的條件極值問題，即在約束條件常用Lagrange28由此可以求出代回到約束條件中，定出Lagrange乘子?的數(shù)值，就可以求出可能的極值點(diǎn)(x;y)仍將x和y看成是兩個(gè)獨(dú)立變量，這樣，這個(gè)二元函數(shù)取極值的必要條件就是(容易看出，消去，這就能化為上面給出的必要條件)由此可以求出代回到約束條件中，定出Lagrange乘子?的數(shù)29一、微分方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange乘子一、微分方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange30新的泛函新的被積函數(shù)新的變分新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程新的泛函新的被積函數(shù)新的變分新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程31例求泛函在邊界條件和約束條件下的極值曲線．采用上面描述的Lagrange乘子法，可以得到必要條件例求泛函在邊界條件和約束條件下的極值曲線．采用上面描述的32變分問題學(xué)時(shí)課件33一、泛函方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange乘子一、泛函方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange34新的泛函新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程新的泛函新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程353.5線性算子方程化為變分方程泛函等價(jià)Euler方程微分算子積分算子矩陣算子。。。3.5線性算子方程化為變分方程泛函等價(jià)Euler方36一、正算子的確定性問題等價(jià)一、正算子的確定性問題等價(jià)37證明算子正性和對(duì)成性得所以，當(dāng)U滿足算子方程時(shí)，J{U}=min第一步證明算子正性和對(duì)成性得所以，當(dāng)U滿足算子方程時(shí)，J{U}38第二步是復(fù)常數(shù)可以得到且算子必須是正算子第二步是復(fù)常數(shù)可以得到且算子必須是正算子39二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所有特征值都是實(shí)數(shù)，且任何兩個(gè)本征值對(duì)對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)正交定理二，本征值的最小值定理，本征值的最小值滿足二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所40設(shè)本征值序列若已知方程的前n個(gè)特征值及其特征向量，則后續(xù)特征值是泛函在約束條件下的極小值，滿足泛函定理三，后序本征值定理設(shè)本征值序列41目前求解特征問題可以選擇方法同確定性問題通過求解特征值方程，可以求得與算子的維數(shù)相同個(gè)數(shù)的特征值以及特征向量，但是特征值越大，計(jì)算精度越差（正交性難以有效保證）目前求解特征問題可以選擇方法同確定性問題通過求解特征值方程，42三、正定算子的廣義本征值方程定理一，正定算子廣義特征值方程的所有廣義特征值都是實(shí)數(shù)，且任何兩個(gè)本征值對(duì)對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)廣義正交定理二，廣義本征值的最小值定理，本征值的最小值滿足三、正定算子的廣義本征值方程定理一，正定算子廣義特征值方程43設(shè)本征值序列若已知方程的前n個(gè)特征值及其特征向量，則后續(xù)特征值是泛函在約束條件下的極小值，滿足泛函定理三，后序廣義本征值定理設(shè)本征值序列44四、S——L方程的泛函四、S——L方程的泛函453.6波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理內(nèi)積定義如前面的講述，在如上內(nèi)積定義下，要求算子方程必須自伴、正定，但是由于我們只關(guān)心原來的算子方程的解，至于在此點(diǎn)泛函到底是取極大點(diǎn)、極小點(diǎn)還是拐點(diǎn)，我們并不一定在意3.6波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理內(nèi)積定義如前面的講述，在如上內(nèi)積定46泊松方程算子泊松方程算子47變分問題學(xué)時(shí)課件483.7波動(dòng)方程修正變分原理標(biāo)準(zhǔn)變分原理只能處理齊次邊界條件，當(dāng)邊界條件成為非齊次時(shí)，算子就不滿足自伴條件構(gòu)造新的函數(shù)其中，u是滿足非齊次邊界條件的任意函數(shù)3.7波動(dòng)方程修正變分原理標(biāo)準(zhǔn)變分原理只能處理齊次邊界條件，49變分問題學(xué)時(shí)課件503.8波動(dòng)方程廣義變分原理3.8波動(dòng)方程廣義變分原理51變分問題學(xué)時(shí)課件52矢量恒等式高斯定理電流激勵(lì)下電場(chǎng)泛函一般表達(dá)式矢量恒等式高斯定理電流激勵(lì)下電場(chǎng)泛函一般表達(dá)式53變分問題變分問題54Outline3.1泛函概念3.2變分及變分方程3.3變分問題及Euler邊值問題3.4約束條件下的變分問題3.5線性算子方程化為變分方程3.6波動(dòng)方程標(biāo)準(zhǔn)變分原理3.7波動(dòng)方程修正變分原理3.8波動(dòng)方程廣義變分原理Outline3.1泛函概念55泛函，簡(jiǎn)單地說，就是以整個(gè)函數(shù)為自變量的函數(shù)．這個(gè)概念，可以看成是函數(shù)概念的推廣．設(shè)對(duì)于(某一函數(shù)集合內(nèi)的)任意一個(gè)函數(shù)y(x)，有另一個(gè)數(shù)J[y]與之對(duì)應(yīng)，則稱J[y]為y(x)的泛函．3.1泛函概念泛函，簡(jiǎn)單地說，就是以整個(gè)函數(shù)為自變量的函數(shù)．這個(gè)概念，可以56泛函不同于復(fù)合函數(shù)，例如g=g(f(x))．對(duì)于后者，給定一個(gè)x值，仍然是有一個(gè)g值與之對(duì)應(yīng)；對(duì)于前者，則必須給出某一區(qū)間上的函數(shù)y(x)，才能得到一個(gè)泛函值J[y]．(定義在同一區(qū)間上的)函數(shù)不同，泛函值當(dāng)然不同．為了強(qiáng)調(diào)泛函值J[y]與函數(shù)y(x)之間的依賴關(guān)系，常常又把函數(shù)y(x)稱為變量函數(shù)．泛函不同于復(fù)合函數(shù)，例如g=g(f(x))．對(duì)于后者，給57變分問題學(xué)時(shí)課件58泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的函數(shù)形式，得到不同的泛函值。泛函一般都是取包含該函數(shù)的定積分形式。U(x)是定義在[x1,x2]上的可取函數(shù)的集合。上式從積分的角度講，J是x的積分函數(shù)，但從泛函的角度講，J是變量x和U（x）可取形式的雙變量函數(shù)泛函是函數(shù)空間到數(shù)值空間的映射，取不同的函數(shù)形式，得到不同的59如果變量函數(shù)是二元函數(shù)u(x;y)，則泛函為如果變量函數(shù)是二元函數(shù)u(x;y)，則泛函為603.2變分原理或泛函極值問題先回憶一下有關(guān)函數(shù)極值的概念．3.2變分原理或泛函極值問題先回憶一下有關(guān)函數(shù)極值的概念61可以用同樣的方法定義泛函的極值．可以用同樣的方法定義泛函的極值．62變分問題學(xué)時(shí)課件63泛函取極值等價(jià)于一階變分等于零，與Euler微分方程等價(jià)泛函取極值等價(jià)于一階變分等于零，與Euler微分方程等價(jià)643.3變分問題及Euler邊值問題泛函取極值又稱為泛函駐定，由于變分方程與Euler方程等價(jià)，所以可以通過求解變分方程獲得Euler方程的解，所以可以通過求解Euler方程獲得變分方程的解，為電磁場(chǎng)問題求解增添了新的方法。3.3變分問題及Euler邊值問題泛函取極值又稱為泛函駐定，651.首先，由于變分是對(duì)函數(shù)y進(jìn)行的，獨(dú)立于自變量x，所以，變分運(yùn)算和微分或微商運(yùn)算可交換次序，2.變分運(yùn)算也是一個(gè)線性運(yùn)算，3.直接計(jì)算，就可以得到函數(shù)乘積的變分法則1.首先，由于變分是對(duì)函數(shù)y進(jìn)行的，獨(dú)立于自變量x，所以，664.變分運(yùn)算和積分(微分的逆運(yùn)算)也可以交換次序，5.復(fù)合函數(shù)的變分運(yùn)算，其法則和微分運(yùn)算完全相同，只要簡(jiǎn)單地將微分法則中的“d”換掉即可這里注意，引起F變化的原因，是函數(shù)y的變化，而自變量x是不變化的．所以，絕對(duì)不會(huì)出現(xiàn)項(xiàng)．4.變分運(yùn)算和積分(微分的逆運(yùn)算)也可以交換次序，5.復(fù)67一、簡(jiǎn)單泛函邊界條件：一、簡(jiǎn)單泛函邊界條件：68二、含一階導(dǎo)數(shù)的泛函積分變換二、含一階導(dǎo)數(shù)的泛函積分變換69等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，70三、含一階偏導(dǎo)數(shù)的泛函三、含一階偏導(dǎo)數(shù)的泛函71變分問題學(xué)時(shí)課件72等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，73四、含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函四、含二階偏導(dǎo)數(shù)的泛函74等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，自然滿足條件等價(jià)Euler方程附加邊界條件變分中，二階邊界條件無需強(qiáng)加，75例題例題76作為完整的泛函極值問題，在列出泛函取極值的必要條件、即Euler–Lagrange方程后，還需要在給定的定解條件下求解微分方程，才有可能求得極值函數(shù)．需要注意，Euler–Lagrange方程只是泛函取極值的必要條件，并不是充分必要條件．在給定的定解條件下，Euler–Lagrange方程的解可能不止一個(gè)，它們只是極值函數(shù)的候選者．到底哪一(幾)個(gè)解是要求的極值函數(shù)，還需要進(jìn)一步加以甄別．作為完整的泛函極值問題，在列出泛函取極值的必要條件、即Eul77和求函數(shù)極值的情形一樣，甄別的方法有兩種．一種是直接比較所求得的解及其“附近”的函數(shù)的泛函值，根據(jù)泛函極值的定義加以判斷．這種方法不太實(shí)用，至少會(huì)涉及較多的計(jì)算．另一種方法是計(jì)算泛函的二級(jí)變分±2J，如果對(duì)于所求得的解，泛函的二級(jí)變分取正(負(fù))值，則該解即為極值函數(shù)，泛函取極小(大)．這種方法當(dāng)然比較簡(jiǎn)便，但如果二級(jí)變分為0，則需要繼續(xù)討論高級(jí)變分．實(shí)際問題往往又特別簡(jiǎn)單：這就是在給定的邊界條件下，Euler–Lagrange方程只有一個(gè)解，同時(shí)，從物理或數(shù)學(xué)內(nèi)容上又能判斷，該泛函的極值一定存在，那么，這時(shí)求得的唯一解一定就是所要求的極值函數(shù)．和求函數(shù)極值的情形一樣，甄別的方法有兩種．783.4約束條件下的變分問題如果實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，只允許泛函的可取函數(shù)值能從符合一定條件的子集中選取，并尋找泛函駐定的極值，問題就成為約束條件下的變分問題。類似于約束條件下的函數(shù)極值方法求解，通過Lagrange乘法求解3.4約束條件下的變分問題如果實(shí)際應(yīng)用場(chǎng)合，只允許泛函的可取79設(shè)有二元函數(shù)f(x;y)，它取極值的必要條件是先回憶一下多元函數(shù)的極值問題．設(shè)有二元函數(shù)f(x;y)，它取極值的必要條件是先回憶一下多80還有二元函數(shù)的條件極值問題，即在約束條件常用Lagrange乘子法來處理多元函數(shù)的條件極值問題．下求函數(shù)f(x;y)的極值問題，就可以引進(jìn)Lagrange乘子?，而定義一個(gè)新的二元函數(shù)在約束條件還有二元函數(shù)的條件極值問題，即在約束條件常用Lagrange81由此可以求出代回到約束條件中，定出Lagrange乘子?的數(shù)值，就可以求出可能的極值點(diǎn)(x;y)仍將x和y看成是兩個(gè)獨(dú)立變量，這樣，這個(gè)二元函數(shù)取極值的必要條件就是(容易看出，消去，這就能化為上面給出的必要條件)由此可以求出代回到約束條件中，定出Lagrange乘子?的數(shù)82一、微分方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange乘子一、微分方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange83新的泛函新的被積函數(shù)新的變分新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程新的泛函新的被積函數(shù)新的變分新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程84例求泛函在邊界條件和約束條件下的極值曲線．采用上面描述的Lagrange乘子法，可以得到必要條件例求泛函在邊界條件和約束條件下的極值曲線．采用上面描述的85變分問題學(xué)時(shí)課件86一、泛函方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange乘子一、泛函方程形式的約束條件附帶約束條件設(shè)待求Lagrange87新的泛函新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程新的泛函新的變分對(duì)應(yīng)Euler方程883.5線性算子方程化為變分方程泛函等價(jià)Euler方程微分算子積分算子矩陣算子。。。3.5線性算子方程化為變分方程泛函等價(jià)Euler方89一、正算子的確定性問題等價(jià)一、正算子的確定性問題等價(jià)90證明算子正性和對(duì)成性得所以，當(dāng)U滿足算子方程時(shí)，J{U}=min第一步證明算子正性和對(duì)成性得所以，當(dāng)U滿足算子方程時(shí)，J{U}91第二步是復(fù)常數(shù)可以得到且算子必須是正算子第二步是復(fù)常數(shù)可以得到且算子必須是正算子92二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所有特征值都是實(shí)數(shù)，且任何兩個(gè)本征值對(duì)對(duì)應(yīng)的本征函數(shù)正交定理二，本征值的最小值定理，本征值的最小值滿足二、下有界算子的本征值方程定理一，下有界算子特征值方程的所93設(shè)本征值序列若已知方程的前n個(gè)特征值及其特征向量，則后續(xù)特征值是泛函在約束條件下的極小值，滿足泛函定理三，后序本征值定理設(shè)本征