數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法課件

第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法近兩個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)美的研究在一些數(shù)學(xué)方法著述中已占有一席之地，已有更多的科學(xué)家在工作中由于運(yùn)用了數(shù)學(xué)美方法而取得了創(chuàng)造性的成果。人們對(duì)美的本質(zhì)、美的規(guī)律的探討遠(yuǎn)在古代就已經(jīng)產(chǎn)生。但究竟什么是美？長(zhǎng)期以來，哲學(xué)家、美學(xué)家、文藝評(píng)論家們各抒己見，異說紛紜，至今尚沒有普遍認(rèn)可的“定義”。第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法近兩個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)1科學(xué)美學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了興衰交替的若干階段，從古希臘到18世紀(jì)的中葉，在兩千余年的漫長(zhǎng)的時(shí)期中，科學(xué)家、哲學(xué)家常統(tǒng)于一人，他們?cè)谡摷白匀豢茖W(xué)理論的同時(shí)常常發(fā)表科學(xué)美的有關(guān)見解，這一時(shí)期，人們對(duì)科學(xué)美的追求顯著地促進(jìn)了科學(xué)研究，18世紀(jì)中葉，美學(xué)開始從科學(xué)中分化出來，1750年德國(guó)哲學(xué)家鮑姆嘉通的《美學(xué)》第一卷出版，標(biāo)志著美學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科?？茖W(xué)美學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了興衰交替的若干階段，從古希臘2在古代、近代或現(xiàn)代，數(shù)學(xué)美就像科學(xué)的綠色草坪中的一朵盛開的紅花，它是那樣鮮艷、引人注目，那樣歷久不謝，事實(shí)證明，現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的主要特征之一，是在研究中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，并借助數(shù)學(xué)來表達(dá)它的重大成果。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出:“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)創(chuàng)造了美好的新概念，數(shù)學(xué)家象藝術(shù)家們一樣的生活，一樣的工作，一樣的思索?！痹诠糯?、近代或現(xiàn)代，數(shù)學(xué)美就像科學(xué)的綠色3人們是如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的呢？研究數(shù)學(xué)美有什么意義？數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)有哪些特征？數(shù)學(xué)美學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有何促進(jìn)作用？本章將結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展的史實(shí)來討論這些問題。

人們是如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的呢？研究數(shù)學(xué)美有什么意4人們對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)，有其歷史的發(fā)展過程。遠(yuǎn)在公元前6世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就提出了“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。他認(rèn)為宇宙間的萬物是由數(shù)生成的，宇宙的結(jié)構(gòu)遵循數(shù)的規(guī)律，數(shù)是主宰萬物的神，并造成“宇宙的和諧”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了數(shù)的和諧原則是數(shù)學(xué)美的一條原則。還認(rèn)為，一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形，這里又包含了對(duì)稱美的思想。人們對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)，有其歷史的發(fā)展過程。5古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾把他渴望建立的“理想國(guó)”看作完美的世界。柏拉圖特別推崇數(shù)學(xué)的功用，相傳柏拉圖學(xué)園的大門口懸掛著“不懂幾何者不準(zhǔn)入內(nèi)的”題詞，他曾接受過許多有數(shù)學(xué)專長(zhǎng)的人進(jìn)入學(xué)園從事數(shù)學(xué)與研究。柏拉圖指出：“算術(shù)有很偉大和崇高的作用，它迫使靈魂用抽象的數(shù)來進(jìn)行推理，而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的對(duì)象。”古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾把他渴望建立的“理想國(guó)6柏拉圖把數(shù)學(xué)的抽象性看成與人類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)無關(guān)的特性，而且把數(shù)學(xué)作為一種抽象美來贊頌，這與他所謂的“理念世界”是不變的、完美的、真實(shí)的、永恒的世界的客觀唯心主義哲學(xué)觀是分不開的。柏拉圖的學(xué)生亞里斯多德指出了數(shù)理科學(xué)中存在著美，它以秩序、勻稱等形式表現(xiàn)出來，認(rèn)為美是自然科學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，美與善是統(tǒng)一的。柏拉圖把數(shù)學(xué)的抽象性看成與人類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)7亞里斯多德強(qiáng)調(diào)數(shù)理等自然科學(xué)與美學(xué)有著重要聯(lián)系，他在《形而上學(xué)》一書中指出：“那些人認(rèn)為數(shù)理諸學(xué)全不涉及美或善是錯(cuò)誤的。因?yàn)閿?shù)理于美與善說得好多，也為之做過不少實(shí)證，它們倘未直接提到這些，可是它們?cè)鵀槊郎朴嘘P(guān)的定義或其影響所及的事情作過實(shí)證，這就不能說數(shù)理全沒涉及美與善了。美的主要形式‘秩序、勻稱與明確’這些唯有數(shù)理諸學(xué)優(yōu)于為之作證。又因?yàn)檫@些（例如秩序與明確）顯然是許多事物的原因，數(shù)理諸學(xué)自然也必須研究到以美為因的這一類因果原理?！眮喞锼苟嗟聫?qiáng)調(diào)數(shù)理等自然科學(xué)與美學(xué)有著重要聯(lián)8古希臘人把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)加以珍視，M.克萊因：“無疑是由于這門學(xué)科在美學(xué)上的吸引力，才使得希臘數(shù)學(xué)家把有些項(xiàng)目探索到超出為理解自然所必需的程度?！睔W幾里得《幾何原本》就是留給后世的數(shù)學(xué)美的一個(gè)結(jié)晶，它的美集中表現(xiàn)在它的嚴(yán)格完整的演繹體系上，顯示出一幅秩序井然、清晰明確、內(nèi)涵豐富、邏輯嚴(yán)密的美的畫圖；它的美還表現(xiàn)在簡(jiǎn)潔性上，它從少量的公理、定義出發(fā)，導(dǎo)出了涉及平面幾何、立體幾何與數(shù)論方面的眾多的命題；它的美還表現(xiàn)在方法上，如證明命題“圓與圓之比如同直徑上正方形之比”時(shí)，應(yīng)用了“窮竭法”。問題的解決猶如無限的深淵被逼近加反證所填平。古希臘人把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)加以珍視，M.9幾何原本》建立了包括可公度量與不可公度量在內(nèi)的一般比例論，使幾何學(xué)的航船避開無理數(shù)的“暗礁”，駛向可信與可靠的彼岸?！稁缀卧尽匪憩F(xiàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美與方法美，像吹奏著的魔笛一樣，誘惑著世代無數(shù)學(xué)子躍進(jìn)歐幾里得所開辟的幾何學(xué)的深流之中。經(jīng)過漫長(zhǎng)的死氣沉沉的中世紀(jì)，歐洲迎來了文藝復(fù)興時(shí)期。1543年，哥白尼的《天體運(yùn)行論》發(fā)表，他所創(chuàng)立的“日心說”沉重地打擊了宗教神權(quán)的統(tǒng)治。1619年，開普勒在《宇宙的和諧》一書中公布了行星運(yùn)動(dòng)三大定律中的最后一個(gè)，他們認(rèn)為上帝用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)安排了世界。幾何原本》建立了包括可公度量與不可公度量在內(nèi)的一10哥白尼說：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排之下，宇宙有一種奇妙的對(duì)稱性，天體運(yùn)動(dòng)的位置和大小的協(xié)調(diào)有確定的關(guān)系，”“對(duì)外部世界進(jìn)行研究的主要目的在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語言透露給我們的?！边@就是說，數(shù)學(xué)中的次序、和諧、協(xié)調(diào)、對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)世界天體運(yùn)動(dòng)固有特征的反映。反之，對(duì)“秩序井然而美好的宇宙”的理性發(fā)現(xiàn)又往往借助于數(shù)學(xué)的揭示。哥白尼說：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排之下，宇11康德在《宇宙發(fā)展史概論》（1755）中贊揚(yáng)了數(shù)學(xué)方法美，他說：“按照眩人耳目的數(shù)學(xué)方法的方式——這往往要比自然界范圍內(nèi)通常所顯示的更為眩人耳目?！痹跀?shù)學(xué)發(fā)展史上，17世紀(jì)是個(gè)創(chuàng)造的世紀(jì)，而18世紀(jì)是個(gè)豐收的世紀(jì)，特別是形成了數(shù)學(xué)分析的廣闊領(lǐng)域，分析方法深入到力學(xué)各分支，結(jié)出了累累碩果。數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)語言的流暢，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵的奧秘，得到了人們的贊美?？档略凇队钪姘l(fā)展史概論》（1755）中贊121796年，拉普拉斯發(fā)表了總結(jié)性的名著《宇宙系統(tǒng)論》，他寫道：“數(shù)學(xué)是一個(gè)卓絕的工具，假如沒有它，人類思維更不能深入一個(gè)如此復(fù)雜的理論，它并可作為一個(gè)有效方法用以去發(fā)現(xiàn)宇宙的奧秘。它的可靠性能和觀測(cè)本身相比擬?！彼涂档乱粯臃Q贊分析方法的優(yōu)越性，其中不乏對(duì)統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性等美學(xué)表征的贊賞。1796年，拉普拉斯發(fā)表了總結(jié)性的名著《13羅素也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則它不但擁有真理，而且具有至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美既不投合人類之人性的微弱方面，也不具有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完善的境地?！绷_素也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則它不但1419世紀(jì)，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，哈密頓的四元數(shù)代數(shù)（1843）、以創(chuàng)始人名字命名的伽羅華理論（1846）、非歐幾何、康托爾的集合論等全新的數(shù)學(xué)理論的建立，希爾伯特重建歐幾里得公理體系（1899）、F.克萊因用變換群觀點(diǎn)完成幾何學(xué)的統(tǒng)一，這些具有劃時(shí)代意義的事件，都蘊(yùn)涵著巨大的美學(xué)意義。19世紀(jì)，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，哈密頓15第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法課件16到了20世紀(jì)，歷史發(fā)展進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，人們對(duì)于數(shù)學(xué)美學(xué)方法的認(rèn)識(shí)更為全面深刻，數(shù)學(xué)家在對(duì)數(shù)學(xué)成果評(píng)價(jià)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的美學(xué)方法的運(yùn)用更為自覺，并認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)美的追求是進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的驅(qū)策力。作為一個(gè)偉大的科學(xué)家，龐加萊對(duì)于數(shù)學(xué)美（更為一般地說，就是科學(xué)美）也有著強(qiáng)烈的感受。他寫道：“一個(gè)名符其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他的工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家一樣的印象，他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西?！边@種“偉大的東西”就是與藝術(shù)美相提并論的科學(xué)美（數(shù)學(xué)美）。”

到了20世紀(jì)，歷史發(fā)展進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，人17龐加萊并對(duì)數(shù)學(xué)美（科學(xué)美）的性質(zhì)作了具體說明：“我在這里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美。并顯而易見我小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學(xué)無關(guān)。我的意思是那種比較深?yuàn)W的美，這種美在于各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它，正是這種美使物體，也可以說使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表。沒有這種支持，這些倏忽即逝的夢(mèng)幻之美其結(jié)果就不是完美的，因?yàn)樗悄：?、總是短暫的。相反，理性美可以充分達(dá)到其自身”。顯然，與羅素的論述相比，龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)美性質(zhì)的這一分析是更為深刻的。龐加萊并對(duì)數(shù)學(xué)美（科學(xué)美）的性質(zhì)作了具體說18數(shù)學(xué)家是如何去作出所說的選擇的呢？龐加萊認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正的數(shù)學(xué)家都知道的審美感……正是這樣特殊的美感，起著我已經(jīng)說過和微妙的篩選作用?！币虼?，“缺乏這種審美感的人永遠(yuǎn)不會(huì)成為真正的創(chuàng)造者。”

按照龐加萊的觀點(diǎn)，所說的審美感主要地是在無意識(shí)（或下意識(shí)）的狀態(tài)下進(jìn)行工作的。這就如同阿達(dá)瑪在對(duì)龐加萊的有關(guān)觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)時(shí)所指出的：“龐加萊認(rèn)為，無意識(shí)不僅要擔(dān)負(fù)起構(gòu)造各種各樣的思想組合的復(fù)雜任務(wù)，而且還要根據(jù)我們的審美原則去作最細(xì)微和最本質(zhì)的選擇?！睌?shù)學(xué)家是如何去作出所說的選擇的呢？龐加萊認(rèn)為：“19所謂數(shù)學(xué)中的美學(xué)中的美學(xué)方法，并非是指與數(shù)學(xué)研究并無直接聯(lián)系的純粹美學(xué)（“數(shù)學(xué)美學(xué)”）的研究，如關(guān)于主體的審美機(jī)制的討論等，而是指在數(shù)學(xué)研究中可以自覺的運(yùn)用美學(xué)的考慮去決定可能的研究方向或?qū)碚摰囊饬x作出判斷。所謂數(shù)學(xué)中的美學(xué)中的美學(xué)方法，并非是指與數(shù)20著名數(shù)學(xué)家馮·諾意曼曾指出：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要地都是美學(xué)的。”又，“數(shù)學(xué)家成功與否和他的努力是否值得的主觀標(biāo)準(zhǔn)，是非常自足的、美學(xué)的、不受（或近乎不受）經(jīng)驗(yàn)的影響。”著名數(shù)學(xué)家馮·諾意曼曾指出：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論21著名數(shù)學(xué)家、非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)建者魯濱遜也曾寫道：“這是一個(gè)事實(shí)，就是組織起來的純粹數(shù)學(xué)的世界在很大程度上是由我們關(guān)于數(shù)學(xué)美及純粹數(shù)學(xué)的重要性的含糊的直覺來調(diào)整的?！卑⑦_(dá)瑪則更寫道：“若要問及研究工作的未來是否能產(chǎn)生卓有成效的結(jié)果，嚴(yán)格地說，我們對(duì)此真是一無所知，但審美感是可以告訴我們的。除了美感以外，就看不出有任何東西能夠幫助我們?nèi)プ黝A(yù)見了?！庇纱丝梢?，對(duì)數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法作出深入的研究就是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。著名數(shù)學(xué)家、非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)建者魯濱遜也曾寫道：22§6.2數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法一、數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容及美的追求對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用為了對(duì)數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法作出具體說明，必須首先對(duì)數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容作出分析。和任何美感一樣，人們對(duì)于數(shù)學(xué)的美感也具有強(qiáng)烈的感情色彩，而且，不同的人關(guān)于數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)也是各不相同的；但是，從整體上說，數(shù)學(xué)美感又不是什么虛無飄渺、忽有忽無的東西，數(shù)學(xué)美也不是什么純粹主觀、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內(nèi)容的?！?.2數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法一、數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容及美的追求對(duì)于23由于數(shù)學(xué)的發(fā)展及人類文明的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美的概念也必然有一定的發(fā)展和演變；但是，它的基本內(nèi)容又是相對(duì)穩(wěn)定的，這就是：統(tǒng)一性（對(duì)稱性）、簡(jiǎn)單性、奇異性和抽象性。由以下的實(shí)例又可看出，對(duì)于統(tǒng)一美、簡(jiǎn)單美、奇異美和抽象美的追求的確在很大程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于數(shù)學(xué)的發(fā)展及人類文明的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美的概念也24（1）統(tǒng)一性（對(duì)稱性）所謂統(tǒng)一性，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。顯然，按這樣的理解，對(duì)稱性也就可以看成統(tǒng)一的一個(gè)基本內(nèi)容。在原始的意義上，對(duì)稱性是指組成一事物或?qū)ο蟮膬蓚€(gè)部分的對(duì)等性。從古希臘的時(shí)代起，對(duì)稱性就被認(rèn)為是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本形式。（1）統(tǒng)一性（對(duì)稱性）所謂統(tǒng)一性，是指部分與部分、25隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)稱性的概念也得到了不斷的發(fā)展，即由一個(gè)含糊的概念發(fā)展成為精確的幾何概念（包括雙側(cè)的、旋轉(zhuǎn)的、平移的對(duì)稱等），直到更為一般的現(xiàn)代概念（指元素的構(gòu)形在自相變換群下的不變性）；另外，由數(shù)學(xué)歷史可以看出，以于對(duì)稱性的追求的確在具體的數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮了重要的作用。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)稱性的概念也得到了不斷的發(fā)展26在初等數(shù)學(xué)中也可以找到很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的具體例子。例如，在體積計(jì)算中就有所謂的“萬能計(jì)算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺(tái)的體積計(jì)算：在初等數(shù)學(xué)中也可以找到很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的具體例子。例如，在27高等數(shù)學(xué)中更充滿了表明數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如，在看到泰勒公式時(shí)，我們就會(huì)深切地感到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性：各種彼此完全不同的函數(shù)（只要它們?cè)谀骋话瑇0在內(nèi)的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)）居然都能表示成如下的“統(tǒng)一形式”：高等數(shù)學(xué)中更充滿了表明數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如28德國(guó)著名數(shù)學(xué)家F.克萊因的幾何研究的成果也說明了對(duì)統(tǒng)一性的追求對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的意義。F.克萊因的幾何觀以《愛爾朗根綱要》聞名于世的，這是他于1872年在愛爾朗根大學(xué)的一次講演中提出的。F.克萊因指出：“幾何學(xué)盡管本質(zhì)上是一個(gè)整體，可是，由于最近期間所取得的飛速發(fā)展，卻被分割成為許多幾乎互不相干的分科，其中每一個(gè)分科幾乎都是獨(dú)立地繼續(xù)發(fā)展著，于是，公開發(fā)表旨在建立幾何學(xué)的這樣一種內(nèi)在聯(lián)系的各種考慮，就顯得更加必要了。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家F.克萊因的幾何研究的成果也說29具體地說，F(xiàn).克萊因提出了如下的關(guān)于幾何的新觀點(diǎn)：各種幾何（歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何等）都是由變換群所決定的，因?yàn)椋鼈兯芯康氖聦?shí)上就是各種變換群之下的不變量。例如，歐氏幾何所研究的就是剛體變換群（平移、旋轉(zhuǎn)、反射）下的不變量；射影幾何研究的則是射影變換下的不變量；等等。這樣，原先被分割開來的幾何學(xué)在群的觀念下就重新被統(tǒng)一起來了。F.克萊因的這一工作在數(shù)學(xué)史上得到了很高的評(píng)價(jià)。具體地說，F(xiàn).克萊因提出了如下的關(guān)于幾何的新觀30（2）簡(jiǎn)單性和統(tǒng)一性一樣，簡(jiǎn)單性也是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。例如，在日常的數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)?？梢月牭竭@樣的談?wù)摚骸斑@個(gè)證明很美”，而所說的“美”則往往包含了簡(jiǎn)單性的涵義。狄德羅曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題是指一個(gè)難于解決的問題，所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單回答?！保?）簡(jiǎn)單性31一般地說，數(shù)學(xué)家常常以簡(jiǎn)單性作為自己的追求目標(biāo)。馮?諾意曼就指出：“人們要求一個(gè)數(shù)學(xué)定理或數(shù)學(xué)理論，不僅能用簡(jiǎn)單和優(yōu)美的方法對(duì)大量的先天彼此無聯(lián)系的個(gè)別情況加以描述，并進(jìn)行分類，而且也期望它和探討它在‘建筑’結(jié)構(gòu)上‘優(yōu)美’。在陳述這個(gè)問題時(shí)平易輕松，然后在解決它和探討它的所有嘗試中遇到巨大困難，然后再出現(xiàn)某種非常驚人的轉(zhuǎn)折，使探討或一部分探討一下子容易起來，等等。同樣，如果推演是冗長(zhǎng)或復(fù)雜的話，那么就應(yīng)該包含某種簡(jiǎn)單的一般原理，用以‘說明’各種復(fù)雜和曲折的情況，把明顯的武斷化為少數(shù)幾條簡(jiǎn)單的指導(dǎo)性的推動(dòng)因素，等等?！币话愕卣f，數(shù)學(xué)家常常以簡(jiǎn)單性作為自己的追求目標(biāo)。32對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求也曾在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，對(duì)數(shù)計(jì)算法顯然就是這方面的一個(gè)典型例子。事實(shí)上，不僅對(duì)數(shù)計(jì)算法是這樣，就是乘法、冪等概念的產(chǎn)生也可看成追求簡(jiǎn)單性的產(chǎn)物。應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)中所說的簡(jiǎn)單性并不只是純粹數(shù)學(xué)方面的考慮，如證明、計(jì)算的簡(jiǎn)單性，而且也包括了邏輯方面的考慮，即要求數(shù)學(xué)理論在邏輯結(jié)構(gòu)方面也應(yīng)是簡(jiǎn)單的。對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求也曾在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展33例如，由于數(shù)學(xué)理論是邏輯地展開的，因此，出于簡(jiǎn)單性的考慮，數(shù)學(xué)家們就提出了公理的獨(dú)立性問題，即認(rèn)為如果一條公理能由其他的公理推導(dǎo)出來，這一公理在邏輯上就是不必要的；類似地，如果一個(gè)初始概念能借助于其他的初始概念得到明確的定義，這一概念在邏輯上也是不必要的。另外，就每一個(gè)公理及初始概念而言，數(shù)學(xué)家們又認(rèn)為它們應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的、清晰的，而不應(yīng)當(dāng)是復(fù)雜的、難以捉摸的。這樣，（邏輯）簡(jiǎn)單性的考慮就直接促進(jìn)了公理化方法及數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，由于數(shù)學(xué)理論是邏輯地展開的，因此，出于34還應(yīng)指出的是，對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求事實(shí)上已滲透到了數(shù)學(xué)研究的各個(gè)方面，例如，數(shù)學(xué)理論與問題的表述而言，希爾伯特就曾轉(zhuǎn)引一位法國(guó)數(shù)學(xué)家的話說：“要使一種數(shù)學(xué)理論變得這樣清晰，以致你能向大街上遇到的第一人解釋它。在此之前，這一數(shù)學(xué)理論不能被認(rèn)為是完善的。”又，“這里對(duì)數(shù)學(xué)理論所堅(jiān)持的清晰性易懂性，我想更應(yīng)以之作為對(duì)一個(gè)堪稱完善的數(shù)學(xué)問題的要求?！边€應(yīng)指出的是，對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求事實(shí)上已滲透到了35希爾伯特并對(duì)“簡(jiǎn)單化”與“嚴(yán)格性”的關(guān)系進(jìn)行了分析，他指出：“把證明的嚴(yán)格化與簡(jiǎn)單化絕然對(duì)立起來是錯(cuò)誤的。相反，我們可以通過大量例子來證實(shí)：嚴(yán)格的方法同時(shí)也是比較簡(jiǎn)單、比較容易理解的方法。正是追求嚴(yán)格化的努力驅(qū)使我們?nèi)で蟊容^簡(jiǎn)單的推理方法?！睂?duì)于簡(jiǎn)單性的追求事實(shí)上導(dǎo)致了數(shù)學(xué)符號(hào)包括記數(shù)方法的歷史發(fā)展的演變。例如，現(xiàn)今人們之所以普遍地使用了“進(jìn)位制”的記數(shù)方法，就是因?yàn)檫@種記數(shù)方法使運(yùn)算得到了極大的簡(jiǎn)化。希爾伯特并對(duì)“簡(jiǎn)單化”與“嚴(yán)格性”的關(guān)系進(jìn)行了分36（3）奇異性。奇異性是數(shù)學(xué)美的另一基本內(nèi)容。所謂奇異是指所得的結(jié)果或有關(guān)的發(fā)展是如此地出人預(yù)料，從而引起了極大驚愕和詫異；然而，這種發(fā)展有時(shí)又贏得了人們的贊賞與嘆服，從而，在這樣的意義上，奇異也就是一種美，而奇異到了極度則更是一種美。（3）奇異性。37在代數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾關(guān)于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”的結(jié)論無疑是一個(gè)令人難以置信的結(jié)果，因?yàn)?，盡管人們始終未能找到這樣的求解公式，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家仍然認(rèn)為這樣的公式是存在的，而且，只要堅(jiān)持作深入的研究，人們最終又總能發(fā)現(xiàn)所說的公式。然而，阿貝爾卻證明了這種公式是根本不存在的在代數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾關(guān)于“五次及38這一奇異的結(jié)論并沒有使代數(shù)學(xué)的研究陷入困境；恰恰相反，數(shù)學(xué)家們卻因此開始了新的研究。例如，他們更為集中地研究了代數(shù)方程何時(shí)存在有根式解的問題，而又正是通過這種研究，伽羅華（E.Galois）創(chuàng)立了群論，從而使代數(shù)學(xué)的研究進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代，即從局部性的研究轉(zhuǎn)向了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析。這一奇異的結(jié)論并沒有使代數(shù)學(xué)的研究陷入困境；恰39奇異性結(jié)果會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生這樣的影響是不足為奇的，因?yàn)?，奇異性結(jié)果的獲得事實(shí)上就意味著舊的觀念（例如，“任何代數(shù)方程必然有根式解”）的崩潰，從而，只要敢于面對(duì)現(xiàn)實(shí)，善于分析研究，人們的認(rèn)識(shí)就可能因此而產(chǎn)生新的飛躍。作為又一個(gè)例子，我們?cè)賮砜粗母绲聽柌煌陚湫远ɡ?。奇異性結(jié)果會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生這樣的影響是不足為奇的40在具有傳統(tǒng)觀點(diǎn)的人看來，美藉奧地利邏輯學(xué)家哥德爾于1931年發(fā)表的“不完備性定理”也是一個(gè)奇異性的結(jié)果，因?yàn)椋踔翉墓畔ＥD的時(shí)代起，人們即已建立了這樣的信念：只要作出足夠的努力，我們就可在任一特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)建立起這樣的公理系統(tǒng)，它是相容的，同時(shí)也是完備的，也即在這一系統(tǒng)中可以把所說領(lǐng)域內(nèi)的所有數(shù)學(xué)真理都作為定理推演出來。在具有傳統(tǒng)觀點(diǎn)的人看來，美藉奧地利邏輯學(xué)家哥德爾41然而，哥德爾的不完備性定理卻表明了這樣的事實(shí)，對(duì)任何足夠豐富的形式數(shù)學(xué)理論來說（即只要足以在其中開展出形式算術(shù)理論），如果它是相容的，就一定是不完備的，從而，相容性與完備性就是兩個(gè)不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。從不完備性定理還可推出如下的結(jié)論：為了證明一個(gè)足夠豐富的形式系統(tǒng)的相容性，必須利用另一更大、更為豐富的系統(tǒng)；為了證明后者的相容性，又必須利用第三個(gè)更大、更豐富的系統(tǒng)……從而，我們?cè)诖耸聦?shí)上就陷入了某種“無窮倒退”，而這種無窮倒退則從一個(gè)側(cè)面清楚地表明了數(shù)學(xué)的局限性。然而，哥德爾的不完備性定理卻表明了這樣的事實(shí)，42但是，不完備性定理不應(yīng)被看做一個(gè)純粹消極性的結(jié)論；恰恰相反，這一定理具有十分重要的數(shù)學(xué)意義和哲學(xué)意義。例如，紐曼(I.Newman)和耐格爾(E.Nagel)就曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程石碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認(rèn)為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識(shí)也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識(shí)的中心。”從而，這也就是由于奇異美的追求而導(dǎo)致數(shù)學(xué)重大發(fā)展的一個(gè)典型例子。但是，不完備性定理不應(yīng)被看做一個(gè)純粹消極性的43一般地說，奇異性結(jié)果的獲得往往是自覺或不自覺地運(yùn)用悖向思維的結(jié)果，反之，悖向思維則可以說是對(duì)于奇異美的一種追求，從而，由悖向思維在數(shù)學(xué)中的重要性，我們也就可以更為清楚地看出奇異美的追求對(duì)于數(shù)學(xué)研究的意義。一般地說，奇異性結(jié)果的獲得往往是自覺或不自覺44又如；康托爾關(guān)于無窮集合與超窮數(shù)論的研究，簡(jiǎn)單地說，就是把數(shù)（基數(shù)與序數(shù)）的概念由有限擴(kuò)展到無限性對(duì)象。由于（實(shí)）無限的概念似乎包含了明顯的矛盾，因此，在康托爾以前，占主導(dǎo)地位的一直是這樣一種觀點(diǎn)：（實(shí)）無限性對(duì)象不能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。例如，伽利略在《兩門新科學(xué)》這一著作中指出，在自然數(shù)與其平方數(shù)的集合（后者顯然是前者的一個(gè)部分）之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。由于這是與“整體大于部分”的原則直接相抵觸的，而后者在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是無可懷疑的真理，因此，在伽利略看來，上述的事實(shí)就表明無限是“不可理解的”。又如；康托爾關(guān)于無窮集合與超窮數(shù)論的研究，簡(jiǎn)單45由于康托爾的研究是與當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)觀念直接相違背的，因此，他所得出的一些結(jié)論在當(dāng)時(shí)看來是十分“奇異的”。例如，按照康托爾關(guān)于基數(shù)的定義（如果在兩個(gè)集合的元素之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)，就稱這兩個(gè)集合具有相同的基數(shù)），一個(gè)集合與它的一個(gè)部分（子集）具有相同的基數(shù)就是“經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的”，因?yàn)?，這事實(shí)上正是無窮集合的特征性質(zhì)。另外，康托又證明了如下的結(jié)論：?自然數(shù)集與有理數(shù)集具有相同的基數(shù)；?一條直線的點(diǎn)集與n維空間中的點(diǎn)集具有相同的基數(shù)。由于康托爾的研究是與當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)觀念直接相違背的，46康托爾對(duì)于自己所采取的立場(chǎng)，一度也曾感到猶豫和不安，如他所說：“我是經(jīng)過多年科學(xué)上的努力和研究，幾乎違背我的意愿……邏輯地被迫承認(rèn)（實(shí)無限）的?！钡?，出于數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，康托爾最終堅(jiān)定地邁出了這“艱難的一步”。康托爾寫道：“我不僅希望而且堅(jiān)信，到了適當(dāng)時(shí)機(jī)，這個(gè)擴(kuò)展就會(huì)被承認(rèn)是十分簡(jiǎn)單，適宜而又自然的一步?！笨低袪柕钠谕]有落空。在現(xiàn)代，集合論事實(shí)上已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，從而，就如希爾伯特所說：“在弗雷格、戴德金和康托爾的全力扶持下，無限的觀念可謂盛極一時(shí)，并終于被推上了皇位，無限在它的扶搖直上的發(fā)展中達(dá)到了令人眩暈的高度的成功。”康托爾對(duì)于自己所采取的立場(chǎng)，一度也曾感到猶豫和47在幾何學(xué)中，我們學(xué)過“黃金分割”，即把線段a分成x和a-x兩段，使其比滿足：中世紀(jì)學(xué)者、藝術(shù)家達(dá)·芬奇譽(yù)為“黃金數(shù)”。黃金分割與勾股定理曾被德國(guó)科學(xué)家開卜勒贊為幾何學(xué)中的兩大瑰寶。顧名思義，黃金數(shù)當(dāng)有著黃金一樣的價(jià)值，人們喜歡它。一些著名的藝術(shù)佳作處處體現(xiàn)了黃金比值——許多名畫的主題都是在畫面的黃金分割點(diǎn)處，不少著名的樂章的高潮在全曲的0.618處。在幾何學(xué)中，我們學(xué)過“黃金分割”，即把線段a分48黃金比值還一直統(tǒng)治著中世紀(jì)西方的建筑藝術(shù)，無論是古埃及的金字塔，還是古雅典的他儂神廟：無論是印度的泰姬陵，還是今日的巴黎埃菲爾鐵塔，這些世人矚目的建筑中都蘊(yùn)藏著0.618…這一黃金比值（這顯然展示了數(shù)學(xué)美感）。德國(guó)科學(xué)家開卜勒再研究植物葉序問題（即葉子在莖上的排列順序）時(shí)發(fā)現(xiàn)：葉子在莖上的排列也遵循黃金比值。黃金比值還一直統(tǒng)治著中世紀(jì)西方的建筑藝術(shù)，無4920世紀(jì)50年代，人們又在最優(yōu)化方法中找到了黃金數(shù)的應(yīng)用，比如優(yōu)選學(xué)中的0.618法。我國(guó)學(xué)者還曾以0.618為尺度，提出過一個(gè)“小康型購(gòu)物公式”，即：小康型消費(fèi)價(jià)格=0.618×（高檔消費(fèi)價(jià)格-低檔消費(fèi)價(jià)格）+低檔消費(fèi)價(jià)格這個(gè)公式對(duì)指導(dǎo)商品生產(chǎn)也有實(shí)際價(jià)值。20世紀(jì)50年代，人們又在最優(yōu)化方法中找到了黃50“黃金分割”除了具有自身直覺的美感外，還有一種奇異美（即它的許多美妙性質(zhì)），比如，人們還發(fā)現(xiàn)黃金數(shù)與其它一些數(shù)有密切聯(lián)系：斐波那契數(shù)列中前后兩項(xiàng)之比的極限是0.618…等等。這些看上去是風(fēng)馬牛不相及的東西，卻有著耐人尋味的奇妙聯(lián)系?！包S金分割”除了具有自身直覺的美感外，還有一種奇異美（即它的51（4）抽象性抽象性是數(shù)學(xué)最基本的性質(zhì)：數(shù)學(xué)家所研究的是抽象的事物，他們所采取的研究方法也是抽象的方法。正是在這種研究活動(dòng)中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美：它的極度的純潔性、清晰性、嚴(yán)密性、深刻性、精巧性、宏偉性等等，從而，在這樣的意義上，我們也就應(yīng)當(dāng)把抽象美看成是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。（4）抽象性抽象性是數(shù)學(xué)最基本的性質(zhì)：數(shù)學(xué)家所研究52從數(shù)學(xué)的歷史看，古希臘人已明確地強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象性。與古希臘的數(shù)學(xué)研究相比，現(xiàn)代數(shù)學(xué)達(dá)到了更高的抽象程度，而這事實(shí)上就可看成“抽象美”這一概念的歷史發(fā)展或演變。具體地說，盡管古希臘數(shù)學(xué)的研究對(duì)象并非是真實(shí)的事物或現(xiàn)象，而是抽象的概念，但是，當(dāng)時(shí)所謂的抽象性事實(shí)上主要是指對(duì)象的“理想化”，從而，相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論也就被認(rèn)為是對(duì)于真實(shí)事物或現(xiàn)象本質(zhì)的精確描述。一般地說，正如M.克萊因所指出的：“直到1800年左右，所有數(shù)學(xué)家都認(rèn)為歐氏幾何是物質(zhì)空間和此空間內(nèi)圖形性質(zhì)的正確理想化?！睆臄?shù)學(xué)的歷史看，古希臘人已明確地強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)的抽象性。與古希臘53從19世紀(jì)中期開始，特別是由于非歐幾何與四元數(shù)代數(shù)的建立，數(shù)學(xué)家的研究思想發(fā)生了很大變化：數(shù)學(xué)不再被認(rèn)為是對(duì)于依附于真實(shí)事物或現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型的研究，而是以相對(duì)獨(dú)立的數(shù)學(xué)模式作為直接的研究對(duì)象，這樣，數(shù)學(xué)與真實(shí)世界的聯(lián)系在形式上就被切斷了，從而就達(dá)到了更高的抽象程度?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的這種高度抽象性是與公理化方法的現(xiàn)代發(fā)展，也即由實(shí)質(zhì)的公理化方法到形式的公理化的發(fā)展直接相聯(lián)系的：在形式的公理系統(tǒng)中，我們已不是由已給出的、具有明顯直觀意義的對(duì)象出發(fā)去建立相應(yīng)的公理系統(tǒng)，而是借助于所謂的“假設(shè)一演繹方法”去從事可能的對(duì)象的研究，從而，這也就為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象提供了現(xiàn)實(shí)的可能性。從19世紀(jì)中期開始，特別是由于非歐幾何與四元54一般地說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象性也就意味著更大的一般性。例如，就形式的公理系統(tǒng)而言，由于其并不從屬于任何特定的對(duì)象，因此，就具有最大的普遍性：任何對(duì)象只要滿足系統(tǒng)中的公理，就一定滿足系統(tǒng)中的各個(gè)定理，從而，所說的公理系統(tǒng)也就可以看成關(guān)于這一對(duì)象的理論。一般地說，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的高度抽象性也就意味著更大的一般性。例如，55由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，人類的本質(zhì)力量，或者說，人類的理性或智慧，或人類的創(chuàng)造性力量，在數(shù)學(xué)中就有著最為純粹的表現(xiàn)。這就如同龐加萊所指出的：“數(shù)學(xué)……是一種活動(dòng)，在這種活動(dòng)中，人類精神似乎從外部世界所取走的東西最少，在這種活動(dòng)中，人類精神起著作用，或者似乎只是自行起作用和按照自己的意志起作用，以致在研究幾何學(xué)思維的步驟時(shí)，我們可以期望達(dá)到人類精神的最本質(zhì)的東西?！庇帧皵?shù)學(xué)科學(xué)必須反省自身；由于反省自身就是反省創(chuàng)造它的人類精神，因而是有用的；因?yàn)閿?shù)學(xué)科學(xué)是人類精神從外界借取的東西最少的創(chuàng)造物之一，所以它就更加有用了。……它充分地向我們表明，當(dāng)人類精神越來越多地?cái)[脫外部世界的羈絆時(shí)，它能夠創(chuàng)造出什么東西，因此它們就愈加充分地度我們?cè)诒举|(zhì)上了解人類精神。”由于數(shù)學(xué)的高度抽象性，人類的本質(zhì)力量，或者說，56二、對(duì)于數(shù)學(xué)美的自覺追求的方法論意義為了更深刻地認(rèn)識(shí)對(duì)于數(shù)學(xué)美的自覺追求的意義，下面再?gòu)姆椒ㄕ摰慕嵌葘?duì)此作進(jìn)一步的分析。?（1）美學(xué)的考慮在現(xiàn)代數(shù)學(xué)研究中具有重要的作用有其必然性。具體地說，數(shù)學(xué)抽象是一種重新建構(gòu)的過程，而且，現(xiàn)代數(shù)學(xué)的研究對(duì)象在很大程度上又可被看成自由想象的產(chǎn)物，即往往并無明顯的直觀意義，從而，在純粹的數(shù)學(xué)研究中，我們就不可能依據(jù)實(shí)用的考慮來選擇可能的研究方向或?qū)碚摰囊饬x作出判斷；二、對(duì)于數(shù)學(xué)美的自覺追求的方法論意義為了更深刻地57英國(guó)著名數(shù)學(xué)家哈代則更認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的根本意義也就在此。他寫道：“我的生活真相，或者任何一位曾成為像我一樣的數(shù)學(xué)家的生活真相乃是：我曾對(duì)知識(shí)稍有貢獻(xiàn)，并曾幫助別人去作出更大貢獻(xiàn)；這些東西的價(jià)值，和那些死后受人懷念的偉大數(shù)學(xué)家，或任何其他大大小小的藝術(shù)家的貢獻(xiàn)比起來，只有大小之分，沒有本質(zhì)的區(qū)別?！庇?guó)著名數(shù)學(xué)家哈代則更認(rèn)為數(shù)學(xué)研究的根本意義也58（2）作為問題的另一方面，我們應(yīng)清楚地看到所說的美學(xué)方法的合理性。首先從認(rèn)識(shí)的角度去進(jìn)行分析。正如前面所指出的，數(shù)學(xué)美的基本內(nèi)容是統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性、奇異性與抽象性。而由所列舉的例子又可以清楚地看出，對(duì)于統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性、奇異性與抽象性的追求事實(shí)上也就是認(rèn)識(shí)不斷深化和發(fā)展的過程。（2）作為問題的另一方面，我們應(yīng)清楚地看到所說的美學(xué)方法的合59例如，對(duì)統(tǒng)一性的追求提示了對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系，奇異性結(jié)果的獲得又往往意味著沖破了原來的認(rèn)識(shí)框架。對(duì)于數(shù)學(xué)美的追求的這種認(rèn)識(shí)論意義有不少數(shù)學(xué)家也是明確指出的。英國(guó)數(shù)學(xué)家阿蒂亞就曾寫道：“數(shù)學(xué)中統(tǒng)一性簡(jiǎn)單性的考慮都是極為重要的。因?yàn)檠芯繑?shù)學(xué)的目的之一，就是盡可能的用簡(jiǎn)潔而基本的詞匯去解釋世界。歸根結(jié)蒂，數(shù)學(xué)研究是人類智力活動(dòng)，而不是計(jì)算機(jī)的程序。如果我們希望能把人類所積累起來的知識(shí)一代一代地傳下去，我們就必須努力地去把這些知識(shí)加以簡(jiǎn)化和統(tǒng)一?！崩纾瑢?duì)統(tǒng)一性的追求提示了對(duì)象的內(nèi)在聯(lián)系，奇異性60一般地說，無論是對(duì)于統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性、奇異性或抽象性的追求，事實(shí)上都體現(xiàn)了數(shù)學(xué)家的這樣一種特性：他們永不滿足于已取得的成果，而總是希望能將復(fù)雜的東西予以簡(jiǎn)單化，將分散、零亂的東西予以統(tǒng)一，也總是希望能開拓新的研究領(lǐng)域……正是在這樣的過程中，數(shù)學(xué)家們感受到了數(shù)學(xué)的美，而這事實(shí)上也就是認(rèn)識(shí)不斷得到發(fā)展和深化的過程。一般地說，無論是對(duì)于統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性、奇異性或抽61其次，從更深的層次上說，我們又應(yīng)看到在實(shí)際的數(shù)學(xué)研究中美學(xué)的考慮往往與其他的因素聯(lián)系在一起。這就如同波雷爾所指出的：“我們稱之為美學(xué)的東西，實(shí)際上往往是各種觀點(diǎn)的聚合。”這也就是說：“我們的美學(xué)并不總是那么純凈而奧秘，也包含幾條較為世俗的檢驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)，例如意義、后果、適用、用途——不過是在數(shù)學(xué)科學(xué)的范圍內(nèi)?！备鼮橐话愕卣f，前面的實(shí)例事實(shí)上已清楚地說明了以下的拉丁格言的真理性：“美是真理的光輝”，從而，我們也就應(yīng)當(dāng)在這樣的意義上去肯定數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法的意義。其次，從更深的層次上說，我們又應(yīng)看到在實(shí)際的62最后，除去直接的方法論意義以外，我們還應(yīng)看到，美感往往為數(shù)學(xué)家提供了必要的工作動(dòng)力。具體地說，對(duì)于美的追求事實(shí)上就許多數(shù)學(xué)家致力于數(shù)學(xué)研究的一個(gè)重要原因。這就正如龐加萊所指出的：“科學(xué)家研究自然，并非因?yàn)樗杏锰?，他研究它，是因?yàn)樗矚g它，他之所以喜歡它，是因?yàn)樗敲赖摹Ｈ绻匀徊幻?，它就不值得了解；如果自然不值得了解，生活也就毫無意義?！弊詈螅ブ苯拥姆椒ㄕ撘饬x以外，我們還應(yīng)看到，美63由此可見，對(duì)于美的贊賞與追求事實(shí)上就是個(gè)人情感進(jìn)入數(shù)學(xué)（科學(xué)）研究的地方，而如果沒有這種情感，就不可能有持久的工作熱情；而又正如愛因斯坦所說：“要是沒有這種熱情，就不會(huì)有數(shù)學(xué)，也不會(huì)有自然科學(xué)?！本C上所述，我們就應(yīng)明確肯定美的自覺追求對(duì)于數(shù)學(xué)研究的重要意義（也正是在這樣的意義上，歌德寫道：“數(shù)學(xué)家只有在他能領(lǐng)悟到真實(shí)的美時(shí)才是完美的?！保?。由此可見，對(duì)于美的贊賞與追求事實(shí)上就是個(gè)人情感64從方法論的角度看，我們則可提出如下的“審美直覺選擇性原則”：在種種數(shù)學(xué)模式的探索、設(shè)計(jì)與建構(gòu)的過程中，應(yīng)當(dāng)力求按照統(tǒng)一性（對(duì)稱性）、簡(jiǎn)單性、奇異性與抽象性等審美標(biāo)準(zhǔn)去選擇目標(biāo)和方法從方法論的角度看，我們則可提出如下的“審美直覺選65（3）在充分肯定對(duì)數(shù)學(xué)美的自覺追求的方法論意義的同時(shí)，我們也應(yīng)清楚地看到所說的美學(xué)的相對(duì)性和局限性。所謂美學(xué)方法的相對(duì)性主要是指對(duì)于數(shù)學(xué)美的感受最終必然從屬于各個(gè)具體的個(gè)人并帶有強(qiáng)烈的感情色彩，即必然地建立在所謂的審美直覺之上，從而，所說的美學(xué)方法也就具有一定的相對(duì)性，即可能由于對(duì)象、時(shí)間等的不同表現(xiàn)出一定的差異。（3）在充分肯定對(duì)數(shù)學(xué)美的自覺追求的方法論意義的同時(shí)，我們也66所謂美學(xué)方法的局限性則是指我們不能從純粹美學(xué)的角度去從事數(shù)學(xué)的研究，更不能以美學(xué)的考慮去完全代替真理性問題的分析。對(duì)于純粹美學(xué)的研究可能對(duì)數(shù)學(xué)研究造成一定的危害，一些數(shù)學(xué)家也是明確指出了的。所謂美學(xué)方法的局限性則是指我們不能從純粹美學(xué)的67馮·諾意曼就曾寫道：“當(dāng)一門數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)本源繼續(xù)發(fā)展的時(shí)候，或者更進(jìn)一步，如果它是第二代和第三代，僅僅間接的受到來自現(xiàn)實(shí)的思想所啟發(fā)，它就會(huì)遭到嚴(yán)重危險(xiǎn)的困擾。它變得越來越純粹地美學(xué)化，越來越純粹地‘為藝術(shù)而藝術(shù)’。如果在這個(gè)領(lǐng)域周圍是互相聯(lián)系并且依然與實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)有密切關(guān)系的學(xué)科，或者這個(gè)學(xué)科處于具有非常卓越和發(fā)展健全的審美能力的人們的影響之下，那這種美學(xué)需要不一定是壞事。但是，仍然存在一種嚴(yán)重的危險(xiǎn)，即這門學(xué)科沿著阻力最小的途徑發(fā)展，使遠(yuǎn)離水源的小溪又分散成許多無足輕重的支流，使這個(gè)學(xué)科變成大量被搞混亂的瑣碎枝節(jié)和錯(cuò)綜復(fù)雜的末事。換句話說，在距離經(jīng)驗(yàn)來源很遠(yuǎn)很遠(yuǎn)的地馮·諾意曼就曾寫道：“當(dāng)一門數(shù)學(xué)學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)本源繼續(xù)發(fā)展68最后，我們?cè)诖诉€應(yīng)清楚地看到在數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間存在的重要區(qū)別：從根本上說，藝術(shù)創(chuàng)造是為了激發(fā)人們的情感，滿足感情的需要；數(shù)學(xué)創(chuàng)造的最終目的則是為了獲得關(guān)于客觀真理的認(rèn)識(shí)，從而滿足理性的追求。因此，我們就不應(yīng)片面地強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)是一門藝術(shù)，而應(yīng)看到數(shù)學(xué)的雙重性質(zhì)，即數(shù)學(xué)既是一門科學(xué)，同時(shí)也是一門藝術(shù)。最后，我們?cè)诖诉€應(yīng)清楚地看到在數(shù)學(xué)與藝術(shù)之間存在69培養(yǎng)審美能力對(duì)學(xué)生來說是極其重要的，而作為教師則應(yīng)掌握較系統(tǒng)的數(shù)學(xué)美學(xué)方法，一個(gè)沒有數(shù)學(xué)美感的教師是不大可能提高學(xué)生的審美能力的。以數(shù)學(xué)美方法指導(dǎo)數(shù)學(xué)研究與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，使主體較為自覺地進(jìn)行發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造，主要是原則的、觀念性的，而不是具體操作性的，因而教學(xué)美學(xué)方法不同于數(shù)學(xué)中的直接證法、反證法、數(shù)學(xué)歸納法、RMI方法等可操作性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)方法，當(dāng)然我們也不排斥由于恰到好處地運(yùn)用這些可操作的數(shù)學(xué)方法，在實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)研究目標(biāo)的過程中增強(qiáng)主體的數(shù)學(xué)美感，提高主體的數(shù)學(xué)審美能力。培養(yǎng)審美能力對(duì)學(xué)生來說是極其重要的，而作為70例1、給定平面上不全在同一直線上的n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，求證：必有一條直線恰好通過這n個(gè)點(diǎn)中的兩個(gè)點(diǎn)粗看本題似乎是容易，甚至是“不言而喻”的，其實(shí)不然，自西爾維斯特提出以后，長(zhǎng)期得不到解決，對(duì)一般人來說，難就難在無從入手，經(jīng)過半個(gè)世紀(jì)，才有一位名不見經(jīng)傳的人，突發(fā)奇想，他的證明是這樣的。例1、給定平面上不全在同一直線上的n（n≥3）個(gè)點(diǎn)，求證：必71眾所周知，直線外一點(diǎn)到該直線的距離是唯一的，連接這n個(gè)點(diǎn)得m條直線，必有m>1。因?yàn)閚,m都是有限自然數(shù)，所以從n個(gè)點(diǎn)到m條直線的距離也是有限個(gè)數(shù)。設(shè)某點(diǎn)T到某一條直線的距離是所有這些距離中最小的一個(gè)（如果不唯一，也不影響下面的結(jié)論）。眾所周知，直線外一點(diǎn)到該直線的距離是唯一的，連接這72b用反證法，如圖10-6，DCABTR圖10--6設(shè)TR⊥，R為垂足，又設(shè)上有不少于3個(gè)點(diǎn)b用反證法，如圖10-6，DCABTR圖10--673第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法課件74第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法課件75第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法近兩個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)美的研究在一些數(shù)學(xué)方法著述中已占有一席之地，已有更多的科學(xué)家在工作中由于運(yùn)用了數(shù)學(xué)美方法而取得了創(chuàng)造性的成果。人們對(duì)美的本質(zhì)、美的規(guī)律的探討遠(yuǎn)在古代就已經(jīng)產(chǎn)生。但究竟什么是美？長(zhǎng)期以來，哲學(xué)家、美學(xué)家、文藝評(píng)論家們各抒己見，異說紛紜，至今尚沒有普遍認(rèn)可的“定義”。第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法近兩個(gè)世紀(jì)以來，數(shù)學(xué)76科學(xué)美學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了興衰交替的若干階段，從古希臘到18世紀(jì)的中葉，在兩千余年的漫長(zhǎng)的時(shí)期中，科學(xué)家、哲學(xué)家常統(tǒng)于一人，他們?cè)谡摷白匀豢茖W(xué)理論的同時(shí)常常發(fā)表科學(xué)美的有關(guān)見解，這一時(shí)期，人們對(duì)科學(xué)美的追求顯著地促進(jìn)了科學(xué)研究，18世紀(jì)中葉，美學(xué)開始從科學(xué)中分化出來，1750年德國(guó)哲學(xué)家鮑姆嘉通的《美學(xué)》第一卷出版，標(biāo)志著美學(xué)成為一門獨(dú)立的學(xué)科。科學(xué)美學(xué)的發(fā)展經(jīng)歷了興衰交替的若干階段，從古希臘77在古代、近代或現(xiàn)代，數(shù)學(xué)美就像科學(xué)的綠色草坪中的一朵盛開的紅花，它是那樣鮮艷、引人注目，那樣歷久不謝，事實(shí)證明，現(xiàn)代科學(xué)發(fā)展的主要特征之一，是在研究中運(yùn)用數(shù)學(xué)工具，并借助數(shù)學(xué)來表達(dá)它的重大成果。數(shù)學(xué)家哈爾莫斯指出:“數(shù)學(xué)是創(chuàng)造性的藝術(shù)，因?yàn)閿?shù)學(xué)創(chuàng)造了美好的新概念，數(shù)學(xué)家象藝術(shù)家們一樣的生活，一樣的工作，一樣的思索。”在古代、近代或現(xiàn)代，數(shù)學(xué)美就像科學(xué)的綠色78人們是如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的呢？研究數(shù)學(xué)美有什么意義？數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)有哪些特征？數(shù)學(xué)美學(xué)方法對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展有何促進(jìn)作用？本章將結(jié)合數(shù)學(xué)發(fā)展的史實(shí)來討論這些問題。

人們是如何認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美的呢？研究數(shù)學(xué)美有什么意79人們對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)，有其歷史的發(fā)展過程。遠(yuǎn)在公元前6世紀(jì)，古希臘哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯就提出了“萬物皆數(shù)”的觀點(diǎn)。他認(rèn)為宇宙間的萬物是由數(shù)生成的，宇宙的結(jié)構(gòu)遵循數(shù)的規(guī)律，數(shù)是主宰萬物的神，并造成“宇宙的和諧”。畢達(dá)哥拉斯學(xué)派提出了數(shù)的和諧原則是數(shù)學(xué)美的一條原則。還認(rèn)為，一切立體圖形中最美的是球形，一切平面圖形中最美的是圓形，這里又包含了對(duì)稱美的思想。人們對(duì)數(shù)學(xué)美的認(rèn)識(shí)，有其歷史的發(fā)展過程。80古希臘的哲學(xué)家柏拉圖曾把他渴望建立的“理想國(guó)”看作完美的世界。柏拉圖特別推崇數(shù)學(xué)的功用，相傳柏拉圖學(xué)園的大門口懸掛著“不懂幾何者不準(zhǔn)入內(nèi)的”題詞，他曾接受過許多有數(shù)學(xué)專長(zhǎng)的人進(jìn)入學(xué)園從事數(shù)學(xué)與研究。柏拉圖指出：“算術(shù)有很偉大和崇高的作用，它迫使靈魂用抽象的數(shù)來進(jìn)行推理，而厭棄在辯論中引入可見和可捉摸的對(duì)象?！惫畔ＥD的哲學(xué)家柏拉圖曾把他渴望建立的“理想國(guó)81柏拉圖把數(shù)學(xué)的抽象性看成與人類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)無關(guān)的特性，而且把數(shù)學(xué)作為一種抽象美來贊頌，這與他所謂的“理念世界”是不變的、完美的、真實(shí)的、永恒的世界的客觀唯心主義哲學(xué)觀是分不開的。柏拉圖的學(xué)生亞里斯多德指出了數(shù)理科學(xué)中存在著美，它以秩序、勻稱等形式表現(xiàn)出來，認(rèn)為美是自然科學(xué)發(fā)展的動(dòng)力之一，美與善是統(tǒng)一的。柏拉圖把數(shù)學(xué)的抽象性看成與人類的實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)82亞里斯多德強(qiáng)調(diào)數(shù)理等自然科學(xué)與美學(xué)有著重要聯(lián)系，他在《形而上學(xué)》一書中指出：“那些人認(rèn)為數(shù)理諸學(xué)全不涉及美或善是錯(cuò)誤的。因?yàn)閿?shù)理于美與善說得好多，也為之做過不少實(shí)證，它們倘未直接提到這些，可是它們?cè)鵀槊郎朴嘘P(guān)的定義或其影響所及的事情作過實(shí)證，這就不能說數(shù)理全沒涉及美與善了。美的主要形式‘秩序、勻稱與明確’這些唯有數(shù)理諸學(xué)優(yōu)于為之作證。又因?yàn)檫@些（例如秩序與明確）顯然是許多事物的原因，數(shù)理諸學(xué)自然也必須研究到以美為因的這一類因果原理。”亞里斯多德強(qiáng)調(diào)數(shù)理等自然科學(xué)與美學(xué)有著重要聯(lián)83古希臘人把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)加以珍視，M.克萊因：“無疑是由于這門學(xué)科在美學(xué)上的吸引力，才使得希臘數(shù)學(xué)家把有些項(xiàng)目探索到超出為理解自然所必需的程度。”歐幾里得《幾何原本》就是留給后世的數(shù)學(xué)美的一個(gè)結(jié)晶，它的美集中表現(xiàn)在它的嚴(yán)格完整的演繹體系上，顯示出一幅秩序井然、清晰明確、內(nèi)涵豐富、邏輯嚴(yán)密的美的畫圖；它的美還表現(xiàn)在簡(jiǎn)潔性上，它從少量的公理、定義出發(fā)，導(dǎo)出了涉及平面幾何、立體幾何與數(shù)論方面的眾多的命題；它的美還表現(xiàn)在方法上，如證明命題“圓與圓之比如同直徑上正方形之比”時(shí)，應(yīng)用了“窮竭法”。問題的解決猶如無限的深淵被逼近加反證所填平。古希臘人把數(shù)學(xué)當(dāng)作一門藝術(shù)加以珍視，M.84幾何原本》建立了包括可公度量與不可公度量在內(nèi)的一般比例論，使幾何學(xué)的航船避開無理數(shù)的“暗礁”，駛向可信與可靠的彼岸。《幾何原本》所表現(xiàn)的數(shù)學(xué)的統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美與方法美，像吹奏著的魔笛一樣，誘惑著世代無數(shù)學(xué)子躍進(jìn)歐幾里得所開辟的幾何學(xué)的深流之中。經(jīng)過漫長(zhǎng)的死氣沉沉的中世紀(jì)，歐洲迎來了文藝復(fù)興時(shí)期。1543年，哥白尼的《天體運(yùn)行論》發(fā)表，他所創(chuàng)立的“日心說”沉重地打擊了宗教神權(quán)的統(tǒng)治。1619年，開普勒在《宇宙的和諧》一書中公布了行星運(yùn)動(dòng)三大定律中的最后一個(gè)，他們認(rèn)為上帝用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)安排了世界。幾何原本》建立了包括可公度量與不可公度量在內(nèi)的一85哥白尼說：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排之下，宇宙有一種奇妙的對(duì)稱性，天體運(yùn)動(dòng)的位置和大小的協(xié)調(diào)有確定的關(guān)系，”“對(duì)外部世界進(jìn)行研究的主要目的在于發(fā)現(xiàn)上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數(shù)學(xué)語言透露給我們的?！边@就是說，數(shù)學(xué)中的次序、和諧、協(xié)調(diào)、對(duì)稱是現(xiàn)實(shí)世界天體運(yùn)動(dòng)固有特征的反映。反之，對(duì)“秩序井然而美好的宇宙”的理性發(fā)現(xiàn)又往往借助于數(shù)學(xué)的揭示。哥白尼說：“我們發(fā)現(xiàn)，在這有次序的安排之下，宇86康德在《宇宙發(fā)展史概論》（1755）中贊揚(yáng)了數(shù)學(xué)方法美，他說：“按照眩人耳目的數(shù)學(xué)方法的方式——這往往要比自然界范圍內(nèi)通常所顯示的更為眩人耳目?！痹跀?shù)學(xué)發(fā)展史上，17世紀(jì)是個(gè)創(chuàng)造的世紀(jì)，而18世紀(jì)是個(gè)豐收的世紀(jì)，特別是形成了數(shù)學(xué)分析的廣闊領(lǐng)域，分析方法深入到力學(xué)各分支，結(jié)出了累累碩果。數(shù)學(xué)方法的簡(jiǎn)潔，數(shù)學(xué)語言的流暢，數(shù)學(xué)的內(nèi)涵的奧秘，得到了人們的贊美?？档略凇队钪姘l(fā)展史概論》（1755）中贊871796年，拉普拉斯發(fā)表了總結(jié)性的名著《宇宙系統(tǒng)論》，他寫道：“數(shù)學(xué)是一個(gè)卓絕的工具，假如沒有它，人類思維更不能深入一個(gè)如此復(fù)雜的理論，它并可作為一個(gè)有效方法用以去發(fā)現(xiàn)宇宙的奧秘。它的可靠性能和觀測(cè)本身相比擬。”他和康德一樣稱贊分析方法的優(yōu)越性，其中不乏對(duì)統(tǒng)一性、簡(jiǎn)單性等美學(xué)表征的贊賞。1796年，拉普拉斯發(fā)表了總結(jié)性的名著《88羅素也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則它不但擁有真理，而且具有至高無上的美——正像雕刻的美，是一種冷而嚴(yán)肅的美，這種美既不投合人類之人性的微弱方面，也不具有繪畫或音樂的那些華麗的裝飾，它可以純凈到崇高的地步，能夠達(dá)到嚴(yán)格的只有最偉大的藝術(shù)才能顯示的那種完善的境地?！绷_素也認(rèn)為：“數(shù)學(xué)，如果正確地看待它，則它不但8919世紀(jì)，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，哈密頓的四元數(shù)代數(shù)（1843）、以創(chuàng)始人名字命名的伽羅華理論（1846）、非歐幾何、康托爾的集合論等全新的數(shù)學(xué)理論的建立，希爾伯特重建歐幾里得公理體系（1899）、F.克萊因用變換群觀點(diǎn)完成幾何學(xué)的統(tǒng)一，這些具有劃時(shí)代意義的事件，都蘊(yùn)涵著巨大的美學(xué)意義。19世紀(jì)，數(shù)學(xué)出現(xiàn)了突飛猛進(jìn)的發(fā)展，哈密頓90第六章數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法課件91到了20世紀(jì)，歷史發(fā)展進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，人們對(duì)于數(shù)學(xué)美學(xué)方法的認(rèn)識(shí)更為全面深刻，數(shù)學(xué)家在對(duì)數(shù)學(xué)成果評(píng)價(jià)與數(shù)學(xué)創(chuàng)造中的美學(xué)方法的運(yùn)用更為自覺，并認(rèn)為對(duì)數(shù)學(xué)美的追求是進(jìn)行數(shù)學(xué)創(chuàng)造的驅(qū)策力。作為一個(gè)偉大的科學(xué)家，龐加萊對(duì)于數(shù)學(xué)美（更為一般地說，就是科學(xué)美）也有著強(qiáng)烈的感受。他寫道：“一個(gè)名符其實(shí)的科學(xué)家，尤其是數(shù)學(xué)家，他在他的工作中體驗(yàn)到和藝術(shù)家一樣的印象，他的樂趣和藝術(shù)家的樂趣具有相同的性質(zhì)，是同樣偉大的東西?！边@種“偉大的東西”就是與藝術(shù)美相提并論的科學(xué)美（數(shù)學(xué)美）。”

到了20世紀(jì)，歷史發(fā)展進(jìn)入了現(xiàn)代數(shù)學(xué)階段，人92龐加萊并對(duì)數(shù)學(xué)美（科學(xué)美）的性質(zhì)作了具體說明：“我在這里所說的美，不是給我們感官以印象的美，也不是質(zhì)地美和表現(xiàn)美。并顯而易見我小看上述那種美，完全不是，而是這種美與科學(xué)無關(guān)。我的意思是那種比較深?yuàn)W的美，這種美在于各部分的和諧秩序，并且純粹的理智能夠把握它，正是這種美使物體，也可以說使結(jié)構(gòu)具有讓我們感官滿意的彩虹般的外表。沒有這種支持，這些倏忽即逝的夢(mèng)幻之美其結(jié)果就不是完美的，因?yàn)樗悄：?、總是短暫的。相反，理性美可以充分達(dá)到其自身”。顯然，與羅素的論述相比，龐加萊關(guān)于數(shù)學(xué)美性質(zhì)的這一分析是更為深刻的。龐加萊并對(duì)數(shù)學(xué)美（科學(xué)美）的性質(zhì)作了具體說93數(shù)學(xué)家是如何去作出所說的選擇的呢？龐加萊認(rèn)為：“數(shù)學(xué)的美感、數(shù)和形的和諧感、幾何學(xué)的雅致感，這是一切真正的數(shù)學(xué)家都知道的審美感……正是這樣特殊的美感，起著我已經(jīng)說過和微妙的篩選作用?！币虼耍叭狈@種審美感的人永遠(yuǎn)不會(huì)成為真正的創(chuàng)造者?！?/p>

按照龐加萊的觀點(diǎn)，所說的審美感主要地是在無意識(shí)（或下意識(shí)）的狀態(tài)下進(jìn)行工作的。這就如同阿達(dá)瑪在對(duì)龐加萊的有關(guān)觀點(diǎn)進(jìn)行總結(jié)時(shí)所指出的：“龐加萊認(rèn)為，無意識(shí)不僅要擔(dān)負(fù)起構(gòu)造各種各樣的思想組合的復(fù)雜任務(wù)，而且還要根據(jù)我們的審美原則去作最細(xì)微和最本質(zhì)的選擇?！睌?shù)學(xué)家是如何去作出所說的選擇的呢？龐加萊認(rèn)為：“94所謂數(shù)學(xué)中的美學(xué)中的美學(xué)方法，并非是指與數(shù)學(xué)研究并無直接聯(lián)系的純粹美學(xué)（“數(shù)學(xué)美學(xué)”）的研究，如關(guān)于主體的審美機(jī)制的討論等，而是指在數(shù)學(xué)研究中可以自覺的運(yùn)用美學(xué)的考慮去決定可能的研究方向或?qū)碚摰囊饬x作出判斷。所謂數(shù)學(xué)中的美學(xué)中的美學(xué)方法，并非是指與數(shù)95著名數(shù)學(xué)家馮·諾意曼曾指出：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論是選擇題材還是判斷成功的標(biāo)準(zhǔn)，主要地都是美學(xué)的?！庇郑皵?shù)學(xué)家成功與否和他的努力是否值得的主觀標(biāo)準(zhǔn)，是非常自足的、美學(xué)的、不受（或近乎不受）經(jīng)驗(yàn)的影響?！敝麛?shù)學(xué)家馮·諾意曼曾指出：“我認(rèn)為數(shù)學(xué)家無論96著名數(shù)學(xué)家、非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)建者魯濱遜也曾寫道：“這是一個(gè)事實(shí)，就是組織起來的純粹數(shù)學(xué)的世界在很大程度上是由我們關(guān)于數(shù)學(xué)美及純粹數(shù)學(xué)的重要性的含糊的直覺來調(diào)整的?！卑⑦_(dá)瑪則更寫道：“若要問及研究工作的未來是否能產(chǎn)生卓有成效的結(jié)果，嚴(yán)格地說，我們對(duì)此真是一無所知，但審美感是可以告訴我們的。除了美感以外，就看不出有任何東西能夠幫助我們?nèi)プ黝A(yù)見了?！庇纱丝梢?，對(duì)數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法作出深入的研究就是一項(xiàng)十分重要的任務(wù)。著名數(shù)學(xué)家、非標(biāo)準(zhǔn)分析的創(chuàng)建者魯濱遜也曾寫道：97§6.2數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法一、數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容及美的追求對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的促進(jìn)作用為了對(duì)數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法作出具體說明，必須首先對(duì)數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容作出分析。和任何美感一樣，人們對(duì)于數(shù)學(xué)的美感也具有強(qiáng)烈的感情色彩，而且，不同的人關(guān)于數(shù)學(xué)美的標(biāo)準(zhǔn)也是各不相同的；但是，從整體上說，數(shù)學(xué)美感又不是什么虛無飄渺、忽有忽無的東西，數(shù)學(xué)美也不是什么純粹主觀、不可捉摸的東西，而是有其確定的客觀內(nèi)容的?！?.2數(shù)學(xué)中的美學(xué)方法一、數(shù)學(xué)美的客觀內(nèi)容及美的追求對(duì)于98由于數(shù)學(xué)的發(fā)展及人類文明的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美的概念也必然有一定的發(fā)展和演變；但是，它的基本內(nèi)容又是相對(duì)穩(wěn)定的，這就是：統(tǒng)一性（對(duì)稱性）、簡(jiǎn)單性、奇異性和抽象性。由以下的實(shí)例又可看出，對(duì)于統(tǒng)一美、簡(jiǎn)單美、奇異美和抽象美的追求的確在很大程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。由于數(shù)學(xué)的發(fā)展及人類文明的進(jìn)步，數(shù)學(xué)美的概念也99（1）統(tǒng)一性（對(duì)稱性）所謂統(tǒng)一性，是指部分與部分、部分與整體之間的和諧一致。顯然，按這樣的理解，對(duì)稱性也就可以看成統(tǒng)一的一個(gè)基本內(nèi)容。在原始的意義上，對(duì)稱性是指組成一事物或?qū)ο蟮膬蓚€(gè)部分的對(duì)等性。從古希臘的時(shí)代起，對(duì)稱性就被認(rèn)為是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本形式。（1）統(tǒng)一性（對(duì)稱性）所謂統(tǒng)一性，是指部分與部分、100隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)稱性的概念也得到了不斷的發(fā)展，即由一個(gè)含糊的概念發(fā)展成為精確的幾何概念（包括雙側(cè)的、旋轉(zhuǎn)的、平移的對(duì)稱等），直到更為一般的現(xiàn)代概念（指元素的構(gòu)形在自相變換群下的不變性）；另外，由數(shù)學(xué)歷史可以看出，以于對(duì)稱性的追求的確在具體的數(shù)學(xué)研究中發(fā)揮了重要的作用。隨著數(shù)學(xué)的發(fā)展，對(duì)稱性的概念也得到了不斷的發(fā)展101在初等數(shù)學(xué)中也可以找到很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的具體例子。例如，在體積計(jì)算中就有所謂的“萬能計(jì)算公式”，它能統(tǒng)一地應(yīng)用于棱（圓）柱、棱（圓）錐及棱（圓）臺(tái)的體積計(jì)算：在初等數(shù)學(xué)中也可以找到很多體現(xiàn)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的具體例子。例如，在102高等數(shù)學(xué)中更充滿了表明數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如，在看到泰勒公式時(shí)，我們就會(huì)深切地感到數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性：各種彼此完全不同的函數(shù)（只要它們?cè)谀骋话瑇0在內(nèi)的開區(qū)間(a,b)內(nèi)具有直到n+1階的導(dǎo)數(shù)）居然都能表示成如下的“統(tǒng)一形式”：高等數(shù)學(xué)中更充滿了表明數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的例子。例如103德國(guó)著名數(shù)學(xué)家F.克萊因的幾何研究的成果也說明了對(duì)統(tǒng)一性的追求對(duì)于數(shù)學(xué)發(fā)展的意義。F.克萊因的幾何觀以《愛爾朗根綱要》聞名于世的，這是他于1872年在愛爾朗根大學(xué)的一次講演中提出的。F.克萊因指出：“幾何學(xué)盡管本質(zhì)上是一個(gè)整體，可是，由于最近期間所取得的飛速發(fā)展，卻被分割成為許多幾乎互不相干的分科，其中每一個(gè)分科幾乎都是獨(dú)立地繼續(xù)發(fā)展著，于是，公開發(fā)表旨在建立幾何學(xué)的這樣一種內(nèi)在聯(lián)系的各種考慮，就顯得更加必要了。德國(guó)著名數(shù)學(xué)家F.克萊因的幾何研究的成果也說104具體地說，F(xiàn).克萊因提出了如下的關(guān)于幾何的新觀點(diǎn)：各種幾何（歐氏幾何、仿射幾何、射影幾何等）都是由變換群所決定的，因?yàn)椋鼈兯芯康氖聦?shí)上就是各種變換群之下的不變量。例如，歐氏幾何所研究的就是剛體變換群（平移、旋轉(zhuǎn)、反射）下的不變量；射影幾何研究的則是射影變換下的不變量；等等。這樣，原先被分割開來的幾何學(xué)在群的觀念下就重新被統(tǒng)一起來了。F.克萊因的這一工作在數(shù)學(xué)史上得到了很高的評(píng)價(jià)。具體地說，F(xiàn).克萊因提出了如下的關(guān)于幾何的新觀105（2）簡(jiǎn)單性和統(tǒng)一性一樣，簡(jiǎn)單性也是數(shù)學(xué)美的一個(gè)基本內(nèi)容。例如，在日常的數(shù)學(xué)活動(dòng)中經(jīng)?？梢月牭竭@樣的談?wù)摚骸斑@個(gè)證明很美”，而所說的“美”則往往包含了簡(jiǎn)單性的涵義。狄德羅曾經(jīng)指出：“數(shù)學(xué)中所謂美的問題是指一個(gè)難于解決的問題，所謂美的解答則是指一個(gè)困難、復(fù)雜問題的簡(jiǎn)單回答?！保?）簡(jiǎn)單性106一般地說，數(shù)學(xué)家常常以簡(jiǎn)單性作為自己的追求目標(biāo)。馮?諾意曼就指出：“人們要求一個(gè)數(shù)學(xué)定理或數(shù)學(xué)理論，不僅能用簡(jiǎn)單和優(yōu)美的方法對(duì)大量的先天彼此無聯(lián)系的個(gè)別情況加以描述，并進(jìn)行分類，而且也期望它和探討它在‘建筑’結(jié)構(gòu)上‘優(yōu)美’。在陳述這個(gè)問題時(shí)平易輕松，然后在解決它和探討它的所有嘗試中遇到巨大困難，然后再出現(xiàn)某種非常驚人的轉(zhuǎn)折，使探討或一部分探討一下子容易起來，等等。同樣，如果推演是冗長(zhǎng)或復(fù)雜的話，那么就應(yīng)該包含某種簡(jiǎn)單的一般原理，用以‘說明’各種復(fù)雜和曲折的情況，把明顯的武斷化為少數(shù)幾條簡(jiǎn)單的指導(dǎo)性的推動(dòng)因素，等等?！币话愕卣f，數(shù)學(xué)家常常以簡(jiǎn)單性作為自己的追求目標(biāo)。107對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求也曾在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，對(duì)數(shù)計(jì)算法顯然就是這方面的一個(gè)典型例子。事實(shí)上，不僅對(duì)數(shù)計(jì)算法是這樣，就是乘法、冪等概念的產(chǎn)生也可看成追求簡(jiǎn)單性的產(chǎn)物。應(yīng)當(dāng)注意的是，數(shù)學(xué)中所說的簡(jiǎn)單性并不只是純粹數(shù)學(xué)方面的考慮，如證明、計(jì)算的簡(jiǎn)單性，而且也包括了邏輯方面的考慮，即要求數(shù)學(xué)理論在邏輯結(jié)構(gòu)方面也應(yīng)是簡(jiǎn)單的。對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求也曾在一定程度上促進(jìn)了數(shù)學(xué)的發(fā)展108例如，由于數(shù)學(xué)理論是邏輯地展開的，因此，出于簡(jiǎn)單性的考慮，數(shù)學(xué)家們就提出了公理的獨(dú)立性問題，即認(rèn)為如果一條公理能由其他的公理推導(dǎo)出來，這一公理在邏輯上就是不必要的；類似地，如果一個(gè)初始概念能借助于其他的初始概念得到明確的定義，這一概念在邏輯上也是不必要的。另外，就每一個(gè)公理及初始概念而言，數(shù)學(xué)家們又認(rèn)為它們應(yīng)當(dāng)是簡(jiǎn)單的、清晰的，而不應(yīng)當(dāng)是復(fù)雜的、難以捉摸的。這樣，（邏輯）簡(jiǎn)單性的考慮就直接促進(jìn)了公理化方法及數(shù)學(xué)的發(fā)展。例如，由于數(shù)學(xué)理論是邏輯地展開的，因此，出于109還應(yīng)指出的是，對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求事實(shí)上已滲透到了數(shù)學(xué)研究的各個(gè)方面，例如，數(shù)學(xué)理論與問題的表述而言，希爾伯特就曾轉(zhuǎn)引一位法國(guó)數(shù)學(xué)家的話說：“要使一種數(shù)學(xué)理論變得這樣清晰，以致你能向大街上遇到的第一人解釋它。在此之前，這一數(shù)學(xué)理論不能被認(rèn)為是完善的。”又，“這里對(duì)數(shù)學(xué)理論所堅(jiān)持的清晰性易懂性，我想更應(yīng)以之作為對(duì)一個(gè)堪稱完善的數(shù)學(xué)問題的要求?！边€應(yīng)指出的是，對(duì)于簡(jiǎn)單美的追求事實(shí)上已滲透到了110希爾伯特并對(duì)“簡(jiǎn)單化”與“嚴(yán)格性”的關(guān)系進(jìn)行了分析，他指出：“把證明的嚴(yán)格化與簡(jiǎn)單化絕然對(duì)立起來是錯(cuò)誤的。相反，我們可以通過大量例子來證實(shí)：嚴(yán)格的方法同時(shí)也是比較簡(jiǎn)單、比較容易理解的方法。正是追求嚴(yán)格化的努力驅(qū)使我們?nèi)で蟊容^簡(jiǎn)單的推理方法?！睂?duì)于簡(jiǎn)單性的追求事實(shí)上導(dǎo)致了數(shù)學(xué)符號(hào)包括記數(shù)方法的歷史發(fā)展的演變。例如，現(xiàn)今人們之所以普遍地使用了“進(jìn)位制”的記數(shù)方法，就是因?yàn)檫@種記數(shù)方法使運(yùn)算得到了極大的簡(jiǎn)化。希爾伯特并對(duì)“簡(jiǎn)單化”與“嚴(yán)格性”的關(guān)系進(jìn)行了分111（3）奇異性。奇異性是數(shù)學(xué)美的另一基本內(nèi)容。所謂奇異是指所得的結(jié)果或有關(guān)的發(fā)展是如此地出人預(yù)料，從而引起了極大驚愕和詫異；然而，這種發(fā)展有時(shí)又贏得了人們的贊賞與嘆服，從而，在這樣的意義上，奇異也就是一種美，而奇異到了極度則更是一種美。（3）奇異性。112在代數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾關(guān)于“五次及五次以上的方程不可能有一般形式的根式解”的結(jié)論無疑是一個(gè)令人難以置信的結(jié)果，因?yàn)?，盡管人們始終未能找到這樣的求解公式，但大部分?jǐn)?shù)學(xué)家仍然認(rèn)為這樣的公式是存在的，而且，只要堅(jiān)持作深入的研究，人們最終又總能發(fā)現(xiàn)所說的公式。然而，阿貝爾卻證明了這種公式是根本不存在的在代數(shù)學(xué)的發(fā)展史上，挪威數(shù)學(xué)家阿貝爾關(guān)于“五次及113這一奇異的結(jié)論并沒有使代數(shù)學(xué)的研究陷入困境；恰恰相反，數(shù)學(xué)家們卻因此開始了新的研究。例如，他們更為集中地研究了代數(shù)方程何時(shí)存在有根式解的問題，而又正是通過這種研究，伽羅華（E.Galois）創(chuàng)立了群論，從而使代數(shù)學(xué)的研究進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)代，即從局部性的研究轉(zhuǎn)向了系統(tǒng)結(jié)構(gòu)的整體性分析。這一奇異的結(jié)論并沒有使代數(shù)學(xué)的研究陷入困境；恰114奇異性結(jié)果會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生這樣的影響是不足為奇的，因?yàn)椋娈愋越Y(jié)果的獲得事實(shí)上就意味著舊的觀念（例如，“任何代數(shù)方程必然有根式解”）的崩潰，從而，只要敢于面對(duì)現(xiàn)實(shí)，善于分析研究，人們的認(rèn)識(shí)就可能因此而產(chǎn)生新的飛躍。作為又一個(gè)例子，我們?cè)賮砜粗母绲聽柌煌陚湫远ɡ?。奇異性結(jié)果會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)發(fā)展產(chǎn)生這樣的影響是不足為奇的115在具有傳統(tǒng)觀點(diǎn)的人看來，美藉奧地利邏輯學(xué)家哥德爾于1931年發(fā)表的“不完備性定理”也是一個(gè)奇異性的結(jié)果，因?yàn)椋踔翉墓畔ＥD的時(shí)代起，人們即已建立了這樣的信念：只要作出足夠的努力，我們就可在任一特定的數(shù)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)建立起這樣的公理系統(tǒng)，它是相容的，同時(shí)也是完備的，也即在這一系統(tǒng)中可以把所說領(lǐng)域內(nèi)的所有數(shù)學(xué)真理都作為定理推演出來。在具有傳統(tǒng)觀點(diǎn)的人看來，美藉奧地利邏輯學(xué)家哥德爾116然而，哥德爾的不完備性定理卻表明了這樣的事實(shí)，對(duì)任何足夠豐富的形式數(shù)學(xué)理論來說（即只要足以在其中開展出形式算術(shù)理論），如果它是相容的，就一定是不完備的，從而，相容性與完備性就是兩個(gè)不可能同時(shí)實(shí)現(xiàn)的目標(biāo)。從不完備性定理還可推出如下的結(jié)論：為了證明一個(gè)足夠豐富的形式系統(tǒng)的相容性，必須利用另一更大、更為豐富的系統(tǒng)；為了證明后者的相容性，又必須利用第三個(gè)更大、更豐富的系統(tǒng)……從而，我們?cè)诖耸聦?shí)上就陷入了某種“無窮倒退”，而這種無窮倒退則從一個(gè)側(cè)面清楚地表明了數(shù)學(xué)的局限性。然而，哥德爾的不完備性定理卻表明了這樣的事實(shí)，117但是，不完備性定理不應(yīng)被看做一個(gè)純粹消極性的結(jié)論；恰恰相反，這一定理具有十分重要的數(shù)學(xué)意義和哲學(xué)意義。例如，紐曼(I.Newman)和耐格爾(E.Nagel)就曾把這一定理稱為“數(shù)學(xué)與邏輯學(xué)發(fā)展史中的里程石碑”。著名物理學(xué)家惠勒則更認(rèn)為：“即使到了公元5000年，如果宇宙仍然存在，知識(shí)也仍然放射出光芒的話，人們就將仍然把哥德爾的工作……看成一切知識(shí)的中心。”從而，這也就是由于奇異美的追求而導(dǎo)致數(shù)學(xué)重大發(fā)展的一個(gè)典型例子。但是，不完備性定理不應(yīng)被看做一個(gè)純粹消極性的118一般地說，奇異性結(jié)果的獲得往往是自覺或不自覺地運(yùn)用悖向思維的結(jié)果，反之，悖向思維則可以說是對(duì)于奇異美的一種追求，從而，由悖向思維在數(shù)學(xué)中的重要性，我們也就可以更為清楚地看出奇異美的追求對(duì)于數(shù)學(xué)研究的意義。一般地說，奇異性結(jié)果的獲得往往是自覺或不自覺119又如；康托爾關(guān)于無窮集合與超窮數(shù)論的研究，簡(jiǎn)單地說，就是把數(shù)（基數(shù)與序數(shù)）的概念由有限擴(kuò)展到無限性對(duì)象。由于（實(shí)）無限的概念似乎包含了明顯的矛盾，因此，在康托爾以前，占主導(dǎo)地位的一直是這樣一種觀點(diǎn)：（實(shí)）無限性對(duì)象不能成為數(shù)學(xué)的研究對(duì)象。例如，伽利略在《兩門新科學(xué)》這一著作中指出，在自然數(shù)與其平方數(shù)的集合（后者顯然是前者的一個(gè)部分）之間可以建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。由于這是與“整體大于部分”的原則直接相抵觸的，而后者在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是無可懷疑的真理，因此，在伽利略看來，上述的事實(shí)就表明無限是“不可理解的”。又如；康托爾關(guān)于無窮集合與超窮數(shù)論的研究，簡(jiǎn)單120由于康托爾的研究是與當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)觀念直接相違背的，因此，他所得出的一些結(jié)論在當(dāng)時(shí)看來是十分“奇異的”。例如，按照康托爾關(guān)于基數(shù)的定義（如果在兩個(gè)集合的元素之間能夠建立一一對(duì)應(yīng)，就稱這兩個(gè)集合具有相同的基數(shù)），一個(gè)集合與它的一個(gè)部分（子集）具有相同的基數(shù)就是“經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)的”，因?yàn)?，這事實(shí)上正是無窮集合的特征性質(zhì)。另外，康托又證明了如下的結(jié)論：?自然數(shù)集與有理數(shù)集具有相同的基數(shù)；?一條直線的點(diǎn)集與n維空間中的點(diǎn)集具有相同的基數(shù)。由于康托爾的研究是與當(dāng)時(shí)的傳統(tǒng)觀念直接相違背的，121康托爾對(duì)于自己所采取的立場(chǎng)，一度也曾感到猶豫和不安，如他所說：“我是經(jīng)過多年科學(xué)上的努力和研究，幾乎違背我的意愿……邏輯地被迫承認(rèn)（實(shí)無限）的?！钡?，出于數(shù)學(xué)研究的實(shí)際需要，康托爾最終堅(jiān)定地邁出了這“艱難的一步”?？低袪枌懙溃骸拔也粌H希望而且堅(jiān)信，到了適當(dāng)時(shí)機(jī)，這個(gè)擴(kuò)展就會(huì)被承認(rèn)是十分簡(jiǎn)單，適宜而又自然的一步?！笨低袪柕钠谕]有落空。在現(xiàn)代，集合論事實(shí)上已經(jīng)成為整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，從而，就如希爾伯特所說：“在弗雷格、戴德金和康托爾的全力扶持下，無限的觀念可謂盛極一時(shí)，并終于被推上了皇位，無限在它的扶搖直上的發(fā)展中達(dá)到了令人眩暈的高度的成功。”康托爾對(duì)于自己所采取的立場(chǎng)，一度也曾感到猶豫和122在幾何學(xué)中，我們學(xué)過“黃金分割”，即把線段a分成x和a-x兩段，使其比滿足：中世紀(jì)學(xué)者、藝術(shù)家達(dá)·芬奇譽(yù)為“黃金數(shù)”。黃金分割與勾股定理曾被德國(guó)科學(xué)家開卜勒贊為幾何學(xué)中的兩大瑰寶。顧名思義，黃金數(shù)當(dāng)有著黃金一樣的價(jià)值，人們喜歡它。一些著名的藝術(shù)佳作處處體現(xiàn)了黃金比值——許多名畫的主題都是在畫面的黃金分割點(diǎn)處，不少著名的樂章的高潮在全曲的0.618處。在幾何學(xué)中，我們學(xué)過“黃金分割”，即把線段a分123黃金比值還一直統(tǒng)治著中世紀(jì)西方的建筑藝術(shù)，無論是古埃及的金字塔，還是古雅典的他儂神廟：無論是印度的泰姬陵，還是今日的巴黎埃菲爾鐵塔，這些世人矚目的建筑中都蘊(yùn)藏著0.618…這一黃金比值（這顯然展示了數(shù)學(xué)美感）。德國(guó)科學(xué)家開卜勒再研究植物葉序問題（即葉子在莖上的排列順序）時(shí)發(fā)現(xiàn)：葉子在莖上的排列也遵循黃金比值。黃