排列組合和排列組合計算公式

排列P和順序有關(guān)組合C——不牽涉到順序的問題排列分順序，組合不分例如把5本不同的書分給3個人，有幾種分法."排列"把5本書分給3個人，有幾種分法"組合"1排列及計算公式從n個不同元素中，任取m(mcn)個元素按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列；從n個不同元素中取出m(mcn)個元素的所有排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用符號p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2).....(n-m+1)=n!/(n-m)!(規(guī)定0!=1).組合及計算公式從n個不同元素中，任取m(mcn)個元素并成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合；從n個不同元素中取出m(貳n)個元素的所有組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù).用符號c(n,m)表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);其他排列與組合公式從n個元素中取出r個元素的循環(huán)排列數(shù)=p(n,r)/r二n!/r(n-r)!.n個元素被分成k類，每類的個數(shù)分別是n1,n2,...nk這n個元素的全排列數(shù)為n!/(n1!*n2!*..*nk!).k類元素，每類的個數(shù)無限，從中取出m個元素的組合數(shù)為c（m+k-1,m）.排列（Pnm（n為下標，m為上標））Pnm=rX（n-1）....（n-m+1）;Pnm=n/（n-m）!（注：!是階乘符號）；Pnn（兩個n分別為上標和下標）=n!;0!=1;Pn1（n為下標1為上標）=n組合（Cnm（n為下標，m為上標））Cnm二Pnm/PmmCnm二n/m!（n-m）!;Cnn（兩個n分別為上標和下標）=1;Cn1（n為下標1為上標）二n;Cnm二Cnn-m2008-07-0813:30公式P是指排列，從N個元素取R個進行排列。公式C是指組合，從N個元素取R個，不進行排列N-元素的總個數(shù)R參與選擇的元素個數(shù)!-階乘，如9!=9*8*7*6*5*4*3*2*1從N倒數(shù)r個，表達式應(yīng)該為n*（n-1）*（n-2）..（n-r+1）;因為從n至U（n-葉1）個數(shù)為n—（n-葉1）=r舉例:Q1:有從1到9共計9個號碼球，請問，可以組成多少個三位數(shù)？A1:123和213是兩個不同的排列數(shù)。即對排列順序有要求的，既屬于“排列P'計算范疇。上問題中，任何一個號碼只能用一次，顯然不會出現(xiàn)988,997之類的組合，我們可以這么看，百位數(shù)有9種可能，十位數(shù)則應(yīng)該有9-1種可能，個位數(shù)則應(yīng)該只有9-1-1種可能，最終共有9*8*7個三位數(shù)。計算公式=?（3,9）=9*8*7,（從9倒數(shù)3個的乘積）Q2:有從1到9共計9個號碼球，請問，如果三個一組，代表“三國聯(lián)盟”，可以組合成多少個“三國聯(lián)盟”？A2:213組合和312組合，代表同一個組合，只要有三個號碼球在一起即可。即不要求順序的，屬于“組合C'計算范疇。上問題中，將所有的包括排列數(shù)的個數(shù)去除掉屬于重復(fù)的個數(shù)即為最終組合數(shù)C（3,9）=9*8*7/3*2*1排列、組合的概念和公式典型例題分析例1設(shè)有3名學生和4個課外小組.（1）每名學生都只參加一個課外小組；（2）每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加.各有多少種不同方法？解（1）由于每名學生都可以參加4個課外小組中的任何一個，而不限制每個課外小組的人數(shù)，因此共有種不同方法.（2）由于每名學生都只參加一個課外小組，而且每個小組至多有一名學生參加，因此共有種不同方法.點評由于要讓3名學生逐個選擇課外小組，故兩問都用乘法原理進行計算.例2排成一行，其中不排第一，不排第二，不排第三，不排第四的不同排法共有多少種？解依題意，符合要求的排法可分為第一個排、、中的某一個，共3類，每一類中不同排法可采用畫“樹圖”的方式逐一排出：二符合題意的不同排法共有9種.點評按照分“類”的思路，本題應(yīng)用了加法原理.為把握不同排法的規(guī)律，“樹圖"是一種具有直觀形象的有效做法，也是解決計數(shù)問題的一種數(shù)學模型.例3判斷下列問題是排列問題還是組合問題？并計算出結(jié)果.高三年級學生會有11人：①每兩人互通一封信，共通了多少封信？②每兩人互握了一次手，共握了多少次手？高二年級數(shù)學課外小組共10人：①從中選一名正組長和一名副組長，共有多少種不同的選法？②從中選2名參加省數(shù)學競賽，有多少種不同的選法？有2,3,5,7，11，13，17，19八個質(zhì)數(shù)：①從中任取兩個數(shù)求它們的商可以有多少種不同的商？②從中任取兩個求它的積，可以得到多少個不同的積？有8盆花：①從中選出2盆分別給甲乙兩人每人一盆，有多少種不同的選法？②從中選出2盆放在教室有多少種不同的選法？分析(1)①由于每人互通一封信，甲給乙的信與乙給甲的信是不同的兩封信，所以與順序有關(guān)是排列；②由于每兩人互握一次手，甲與乙握手，乙與甲握手是同一次握手，與順序無關(guān)，所以是組合問題.其他類似分析.(1)①是排列問題，共用了封信；②是組合問題，共需握手(次).①是排列問題，共有(種)不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法.①是排列問題，共有種不同的商；②是組合問題，共有種不同的積.①是排列問題，共有種不同的選法；②是組合問題，共有種不同的選法.例4證明.證明左式右式.二等式成立.點評這是一個排列數(shù)等式的證明問題，選用階乘之商的形式，并利用階乘的性質(zhì)，可使變形過程得以簡化.例5化簡.解法一原式解法二原式點評解法一選用了組合數(shù)公式的階乘形式，并利用階乘的性質(zhì)；解法二選用了組合數(shù)的兩個性質(zhì)，都使變形過程得以簡化.例6解方程：(1)；(2)解(1)原方程解得.(2)原方程可變?yōu)?>>???原方程可化為.即，解得第六章排列組合、二項式定理一、考綱要求掌握加法原理及乘法原理，并能用這兩個原理分析解決一些簡單的問題.理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)的計算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能用它們解決一些簡單的問題.掌握二項式定理和二項式系數(shù)的性質(zhì)，并能用它們計算和論證一些簡單問題.二、知識結(jié)構(gòu)三、知識點、能力點提示(一)加法原理乘法原理說明加法原理、乘法原理是學習排列組合的基礎(chǔ)，掌握此兩原理為處理排列、組合中有關(guān)問題提供了理論根據(jù)例15位高中畢業(yè)生，準備報考3所高等院校，每人報且只報一所，不同的報名方法共有多少種？解：5個學生中每人都可以在3所高等院校中任選一所報名，因而每個學生都有3種不同的報名方法，根據(jù)乘法原理，得到不同報名方法總共有3X3X3X3X3=35（種）（二）排列、排列數(shù)公式說明排列、排列數(shù)公式及解排列的應(yīng)用題，在中學代數(shù)中較為獨特，它研究的對象以及研究問題的方法都和前面掌握的知識不同，內(nèi)容抽象，解題方法比較靈活，歷屆高考主要考查排列的應(yīng)用題，都是選擇題或填空題考查.例2由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有（）解因為要求是偶數(shù)，個位數(shù)只能是2或4的排法有Pi2；小于50000的五位數(shù)，萬位只能是1、3或2、4中剩下的一個的排法有Pi；在首末3兩位數(shù)排定后，中間3個位數(shù)的排法有月3,得Pi3P33Pi2=36（個）由此可知此題應(yīng)選C.例3將數(shù)字1、2、3、4填入標號為1、2、3、4的四個方格里，每格填一個數(shù)字，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填法有多少種？解：將數(shù)字1填入第2方格，則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不相同的填法有3種，即2143，3142，4123；同樣將數(shù)字1填入第3方格，也對應(yīng)著3種填法；將數(shù)字1填入第4方格，也對應(yīng)3種填法，因此共有填法為3P1=9（種）.3例四例五可能有問題，等思考三）組合、組合數(shù)公式、組合數(shù)的兩個性質(zhì)說明歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查排列組合的應(yīng)用題，且基本上都是由選擇題或填空題考查?例4從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少有甲型與乙型電視機各1臺，則不同的取法共有（）種種種種解：抽出的3臺電視機中甲型1臺乙型2臺的取法有Ci4-C?5種；甲型2臺乙型1臺的取法有戊-C,種45根據(jù)加法原理可得總的取法有戊?戊+芒?C；=40+30=70（種）4可知此題應(yīng)選C.例5甲、乙、丙、丁四個公司承包8項工程，甲公司承包3項，乙公司承包1項，丙、丁公司各承包2項，問共有多少種承包方式？解：甲公司從8項工程中選出3項工程的方式C%種；乙公司從甲公司挑選后余下的5項工程中選出1項工程的方式有C15種；丙公司從甲乙兩公司挑選后余下的4項工程中選出2項工程的方式有戊種；丁公司從甲、乙、丙三個公司挑選后余下的2項工程中選出2項工程的方式有人2種.根據(jù)乘法原理可得承包方式的種數(shù)有C38xC5xC4xC22=x1=1680(種).二項式定理、二項展開式的性質(zhì)說明二項式定理揭示了二項式的正整數(shù)次幕的展開法則，在數(shù)學中它是常用的基礎(chǔ)知識，從1985年至1998年歷屆高考均有這方面的題目出現(xiàn)，主要考查二項展開式中通項公式等，題型主要為選擇題或填空題.例6在(x-)10的展開式中，X6的系數(shù)是()-27CB.27C：-9CoD.9&o解設(shè)(x-)10的展開式中第丫+1項含X6,因Ty+1=Cy10X10-Y(-)Y,10-Y=6,y=4于是展開式中第5項含x6,第5項系數(shù)是出。(-)4=9C410故此題應(yīng)選D.例7(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)+(x-1),的展開式中的x2的系數(shù)等于解：此題可視為首項為x-1,公比為-(x-1)的等比數(shù)列的前5項的和，貝9其和為在(x-1)6中含x3的項是C6X3(-1)3=-20x3，因此展開式中x2的系數(shù)是-20.綜合例題賞析例8若(2x+)4二a+aX+aX2+aX3+aiX4，貝H(a+8+8)2-(a+a)2的'/°123'024’'13值為()解：A.例92名醫(yī)生和4名護士被分配到2所學校為學生體檢，每校分配1名醫(yī)生和2名護士，不同的分配方法共有（）種種種種解分醫(yī)生的方法有P22=2種，分護士方法有戊=6種，所以共有6X2=12種不同的分配方法。應(yīng)選B.例10從4臺甲型和5臺乙型電視機中任意取出3臺，其中至少要有甲型與乙型電視機各1臺，則不同取法共有（）.種種種種解：取出的3臺電視機中，甲型電視機分為恰有一臺和恰有二臺兩種情形.?C4?+C5?C4=5X6+10X4=70.二應(yīng)選C.例11某小組共有10名學生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少TOC\o"1-5"\h\z有1名女生當選的不同選法有（）解：分恰有1名女生和恰有2名女生代表兩類：?C?C17+C2=3X7+3=24,33二應(yīng)選D.例12由數(shù)學0，1,2,3，4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十位數(shù)字的共有（）.解：先考慮可組成無限制條件的六位數(shù)有多少個？應(yīng)有Pi5-P55=600個.55由對稱性，個位數(shù)小于十位數(shù)的六位數(shù)和個位數(shù)大于十位數(shù)的六位數(shù)各占一半.???有x600=300個符合題設(shè)的六位數(shù).應(yīng)選B.例13以一個正方體的頂點為頂點的四面體共有（）.個個解：如圖，正方體有8個頂點，任取4個的組合數(shù)為戊=70個.其中共面四點分3類：構(gòu)成側(cè)面的有6組；構(gòu)成垂直底面的對角面的有2組；形如（ADBQ）的有4組.?能形成四面體的有70-6-2-4=58（組）應(yīng)選C.例14如果把兩條異面直線看成“一對”，那么六棱錐的棱所在的12條直線中，異面直線共有（）.對對解：設(shè)正六棱錐為O—ABCDEF.任取一側(cè)棱OA（Ce）則0A與BCCDDEEF均形成異面直線對???共有C6x4=24對異面直線.應(yīng)選B.例15正六邊形的中心和頂點共7個點，以其中三個點為頂點的三角形共個（以數(shù)字作答）.解：7點中任取3個則有C,7=35組.其中三點共線的有3組（正六邊形有3條直徑）.?三角形個數(shù)為35-3=32個.例16設(shè)含有10個元素的集合的全部子集數(shù)為S,其中由3個元素組成的子集數(shù)為T,則的值為。解10個元素的集合的全部子集數(shù)有：S=C+C+C+C+C+C+C+C+C+C+C0=210=10241010101010101010101010其中，含3個元素的子集數(shù)有T=&=1200故二例17例17在50件產(chǎn)品n中有4件是次品，從中任意抽了5件，至少有3件是次品的抽法共_種（用數(shù)字作答）.解：“至少3件次品”即“有3件次品”或“有4件次品”.?C?4?戊6+戊?C46=4186（種）例18有甲、乙、丙三項任務(wù)，甲需2人承擔，乙、丙各需1人承擔，從10人中選派4人承擔這三項任務(wù)，不同的選法共有（）?種種種種解：先從10人中選2個承擔任務(wù)甲（C210）再從剩余8人中選1人承擔任務(wù)乙（C18）又從剩余7人中選1人承擔任務(wù)乙（C17）???有C%，c8C17=2520（種）.應(yīng)選C.例19集合｛1,2,3｝子集總共有（）.解三個元素的集合的子集中，不含任何元素的子集有一個，由一個元素組成的子集數(shù)C3,由二個元素組成的子集數(shù)戊。由3個元素組成的子集數(shù)C3。由加法原理可得集合子集的總個數(shù)是C3+C3+C3+1=