同角三角函數(shù)基本關(guān)系

§1.2.2

同角三角函數(shù)的基本關(guān)系1.單位圓中任意角的三角函數(shù)是怎樣定義的？sin

cos

tan

xosin

,cos和tan

之間有什么關(guān)系？這個關(guān)系對于任意角都成立嗎？設(shè)P（x,y）是角終邊與單位圓的交點，x和y之間有什么關(guān)系？sin

和cos之間有什么關(guān)系？這個關(guān)系對于任意角都成立嗎？y角

的終邊P(x,y)A(1,0)M同角三角函數(shù)的基本關(guān)系平方關(guān)系:sin

2

cos2

1商數(shù)關(guān)系:costan

sin

(

k

,

k

Z

)2同一個角

的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角

的正切?；咀冃嗡伎?：對于平方關(guān)系可作哪些變形？sin2

cos2

1sin2

1

cos2

,cos2

1sin2

,(sin

a

+

cos

a

)2

= 1

+

2

sin

a

cos

a,(sin

a

-

cos

a

)2

= 1

- 2

sin

a

cos

a,,1

+

cos

a

=sin

asin

a1

-

cos

a.1

+

sin

a

=cos

acos

a1

-

sin

a哪些變形？cos思考2：對于商數(shù)關(guān)系

sin

tan

可作sin

cos

tan,tan

cos

sin

.思考3：結(jié)合平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，可得到哪些新的恒等式？,cos2

a

=11

+

tan2

a2sin

a

=tan2

a1

+

tan2

a

.例1、已知sin

1，并且是第二象限角，求cos,tan的值。

892

3

3解：由sin

2

cos2

1得cos2

1

sin

2

1

1

又是第二象限角，cos

032cos

242313

2

2cos

tan

sin

從而解:因為sin

0,

sin

1,

所以

是第三或第四象限角.由sin

2

cos2

1

得16

.5

253

2cos2

1

sin

2

1

如果

是第三象限角,那么

cos

16

425

5

4

5

4

costan

sin

3

5

3如果

是第四象限角,那么

cos

4

,tan

35

45例2.已知sin

3

,求cos,tan的值。，求sinα、tanα的值.17例3．已知

cos

8分析：∵cosα＜0

∴α是第二或第三象限角．因此要對α所在象限分類

.解：當(dāng)α是第二象限角時，

15

,17

17sin

1

cos2

1

(

8

)215costan

sin

17

88

15

.17當(dāng)α是第三象限角時，17sin

1

cos2

1

(

8

)217

15

,

15tan

sin

17

15

.

8cos817練習(xí)13cos,

tan,cot51．（1）已知sin

12

，并且

是第二象限角，求（2）已知cos

4

，求sin,tancos

013又∵是第二象限角，∴，即有cos

5從而tan

sin

121cot

tan

12

52

22212

513cos

513cos

1

sin

1

(

)

(

)解：（1）∵sin2

cos2

1∴4355（2）∵sin2

cos2

1∴sin2

1

cos2

1

(

)2

(

)25又∵cos

4

0∴

在第二或三象限角。3

sin53tan

cos

4

當(dāng)在第二象限時，即有sin

0，從而sin

5cos

4當(dāng)在第四象限時，即有sin

0，從而sin

3

tan

sin

3已知，的值。4tan

3

求sin

,解：tan

y

3

0

I或

IIIx

0,

y

0y

3r

5sin

不妨設(shè)x=4，y=3x2x

4（1）當(dāng)

I

時r

y2

5x

4r

5cos

x

0,sin

y

3r

5x2（2）當(dāng)

III

時不妨設(shè)x=-4，y=-3

r

y2

5cos

x

4r

5分類討論變式訓(xùn)練：P20

練P20

練習(xí)2分類1.已知tan

2

,求sin

,cos

的值.sin

cos例4、已知tan

2,求下面各式的值。）（1

sin

coscos解：方法1

tan

sin

2sin

2

cos原式

2

cos

cos

3cos

32

cos

cos

cos方法2cos

0原式分子分母同除以cossin

cos原式

cos

cossin

coscos

costan

1

tan

1

2

12

1

3(2)

sin

cos

4

cos2

cos2

sin

2

cos

2

方法1:

將sin

2

cos代入原式

2

cos

cos

3cos

2

2

cos

2

23sin

coscos2

cos2

cos2

sin

2

cos2

方法2:分子分母同除以cos2

原式tan2

122

-1

tan

2

23例4、已知tan

2，(3)

sin

cos

4

cos2

cos2

sin

2

cos

2

方法1將sin

2

cos代入原式

2

cos

cos

5

cos

2

2

cos

2

25sin

coscos2

cos2

cos2

sin

2

cos2

方法2分子分母同除以cos2

原式tan2

122

1

tan

2

25例4、已知tan

2，5

2(4)sin

cos例3、已知tan

2，cos2

(1)(3) 2

sin

2

3cos

sin

5

cos2

(2)4

sin

2

2

sin

cos

37

sin

9

cos練習(xí).已知：tan

5，求下列各式的值.5sin

3cos(1)

12(2)

132(3)

20137

tan

9

5

tan

31的替換—3

31

3(sin

2

cos2

)1的替換—看作分母為1

sin

2

cos2(1)已知tan

3求2

sin

3

cossin

4

cos1換為sin

2

cos2

1sin2

cos2

(2)已知tan

3求(3)已知tan

3求2

sin2

3cos2

1注意：“1”的靈活代換，特別是關(guān)于sina

、cosa齊次式（1）

；（2）1sin

a

×cos

a111

- sin

a1

+ sin

a+3cos

sin2

cos

sin練

、已知tanα=4，求值：。3sin

5cos2.已知

sin

2

cos

5,

求tan）3、已知5cos

3sin求（1

5sin

2cos1

tan4

51；（2）

sin

12

2316257（1）12；（2）2）

，（2）104、已知tanα=2，求下列各式的值（1

5例5求證cos

x

1

sin

x1

sin

xcos

x恒等式證明常用方法?基本思路:由繁到簡

可以從左邊往右邊證，可以從右邊往左邊證，也可以證明等價式。

cos

1

sin

p19例5．求證：

1

sin

cos證明：

cos

1

sin

1

sin

cos(1

sin

)

cos

cos

(1

sin

)2

20(1

sin

)

cos

cos

cos

2

2因此

cos

1

sin

1

sin

cos作差法同角關(guān)系式的應(yīng)用（3）證明恒等式比較法證法二：因為(1

sin

)(1

sin

)

1

sin

2

cos2

cos因此

cos

1

sin

1

sin

cos由原題知：1sin

0,

cos

0恒等變形的條件分析法證法三：由原題知：則cos

0

sin

1原式左邊=cos

(1

sin

)(1

sin

)(1

sin

)

cos

(1

sin

)

cos

(1

sin

)

1

sin

2

cos2

cos

1

sin

=右邊因此

cos

1

sin

1

sin

cos恒等變形的條件練習(xí).求證：(1)sin4α－cos4α=2sin2α－1；(2)

cos

1

sin

1

sin

cos證明：（1）原式左邊=(sin2α+cos2α)(sin2α－cos2α)=sin2α－cos2α=sin2α－(1－sin2α)=2sin2α－1=右邊.所以原等式成立.(3)

cos

1

sin

1sin

cos證明：左邊cos

x

cos

x(1

sin

x)

cos

x

1

sin

xcos

x=右邊∴原等式成立.21

sin

x(1

sin

x)

cos

x求證sin

4

cos4

sin

2

cos2

sin

4

sin

2

cos2

cos2

1(1)

cos

tan(2)1

2sin

2

2

cos2

11.化簡

2例6．已知sin

x

cos

x

13

(0

x

)，求sin

x,cos

x2解：由

sin

x

cos

x

1 3

(0

x

)

等式兩邊平方：)21

3sin2

x

cos2

x

2

sin

x

cos

x

(

2sin

x

cos

x

231

3sin

x

cos

x

434∴sin

x

cos

x

（*），即z

1

,

z

31

2

2

2

123

z

4sin

x,cos

x

可看作方程z23

0的兩個根，解得又∵0

x

，∴sin

x

0．又由（*）式知cos

x

0322因此，sin

x

1

,cos

x

構(gòu)造方程組的方法例3．化簡1

sin2

440解：原式

1

sin2

(360

80

)

1

sin2

80 cos2

80