固體物理-習題課

電子論相比1.布洛赫理論作了哪些基本近似？它與金屬有哪些改進？答：布洛赫理論作了3條基本假設，即①認為離子實固定在其瞬時位置上，可把電子的運動與離子實的運動分開來處理，這就是絕熱近似

；②認為一個電子在離子實和其它電子所形成的勢場中運動，這就是單電子近似

；③假設所有電子及離子實產生的場都具有晶格周期性，這就是周期場近似

。布洛赫電子論相比于金屬 電子論，考慮了電子和離子實之間的相互作用，也考慮了電子與電子的相互作用。2.周期場對能帶形成是必要條件嗎？答：周期場對能帶的形成是必要條件，這是由于在周期場中運動的電子的波函數是一個周期性調幅的平面波，即是一個布洛赫波。由此使能量本征值也稱為波矢的周期函數，從而形成了一系列的能帶。3.一個能帶有N個準連續(xù)能級的物理原因是什么？答：這是由于晶體中含有的總原胞數N通常都是很大的，所以k的取值是十分密集的，相應的能級也同樣十分密集，因而便形成了準連續(xù)的能級。4.禁帶形成的原因如何？您能否用一物理圖像來描述？答：對于在倒格矢Kh中垂面及其附近的波矢k，即布里淵區(qū)OABCDkE(k)Δ>0Δ<0界面附近的波矢k，由于采用簡并微擾計算，致使能級間產生排斥作用，從而使

E(K)函數在布里淵區(qū)界面處“斷開”，即發(fā)生突變，從而產生了禁帶。模型各有何特點？它們有相同解：所謂近 電子模型就是認為電子接近于 電子狀態(tài)的情況，而緊 模型則認為電子在一個原子附近時，將主要受到該原子場的作用，把其它原子場的作用看成微擾作用。這兩種模型的相同之處是：選取一個適當的具有正交性和完備性的布洛赫波形式的函數集，然后將電子的波函數在所選取的函數集中展開，其展開式中有一組特定的展開系數，將展開后的電子的波函數代入薛定諤方程，利用函數集中各基函數間的正交性，可以得到一組各展開系數滿足的久期方程。這個久期方程組是一組齊次方程組，由齊次方程組有解條件可求出電子能量的本征值，由此便揭示出了系統(tǒng)中電子的能帶結構。5.近 電子模型與緊之處？6.試述晶體中的電子作準經典運動的條件和準經典運動的基本公式。解：在實際問題中，只有當波包的尺寸遠大于原胞的尺寸，才能把晶體中的電子看做準經典粒子。準經典運動的基本公式有：晶體電子的準動量為:晶體電子受到的外力為:晶體電子的速度為:在外加電磁場作用下，晶體電子的狀態(tài)變化滿足：1v

E(k)

kdtp

kF

dkk

k晶體電子的倒有效質量張量為:1

1

2

E(k)m*

2dk

e

(Ε

v

B)dt

m*dtdv

e

(Ε

v

B)解：有效質量實際上是包含了晶體周期勢場作用的電子質量，它的引入使得晶體中電子準經典運動的加速度與外力直接聯系起來了，就像經典力學中牛頓第二定律一樣，這樣便于處理外力作用下晶體電子的動力學問題。當滿帶頂附近有空狀態(tài)k時，整個能帶中的電流，以及電流在外電磁場作用下的變化，完全如同存在一個帶正電荷e和具有正質量|m*|、速度v(k)的粒子的情況一樣，這樣一個假想的粒子稱為空穴。空穴的引入使得滿帶頂附近缺少一些電子的問題和導帶底有少數電子的問題十分相似，給研究半導體和某些金屬的導電性能帶來了很大的方便。7.試述有效質量、空穴的意義。引入它們有何用處？答：在導體中，除去完全充滿的一系列能帶外，還有只是部分地被電子填充的能帶，后者可以起導電作用，稱為導帶。在半導體中，由于存在一定的雜質，或由于熱激發(fā)使導帶中存有少數電子，或滿帶中缺了少數電子，從而導致一定的導電性。在絕緣體中，電子恰好填滿了最低的一系列能帶，再高的各帶全部都是空的，由于滿帶不產生電流，所以盡管存在很多電子，并不導電。8.試述導體、半導體和絕緣體能帶結構的基本特征。格常數為a，電子的波函數為：；；ak

(x)

sin

xa3

k

(x)

i

cos

xi試求電子在這些狀態(tài)的波矢。解：布洛赫函數可寫成：

k

(x)

e

uk

(x)ikx其中

uk

(x

a)

uk

(x)

或寫成

k

(x

a)

e

(x)ikak(1)aakk

(x

a)

sin

x

a

sin

x

(x)9.一維周期場中電子的波函數應當滿足布洛赫定理。若晶（1）（2）（3）

k

(x)

f

(x

ia)（其中為f某個確定的函數）。

1eikak

ae

sin

xakai

xaak

e u

(x)

(x)

ei x

i

xuk

(x

a)

uk

(x)顯然有：aka故

(x)

sin

x

的波矢是

。(2)kk

(x

a)

i

cos

3(x

a)

i

cos

3x

(x)a

a

1eikak

aa3xi

cosa

e

a

uk

(x)

i

x

k

(x)

e

a

ei x

i

xuk

(x

a)

uk

(x)顯然有：故。ax

的波矢是ak3

(x)

i

cos(3)

(x

a)

f

(x

a

ia)

f

[x

(i

1)a]

f

(x

ma)

(x)k

k

i

i

meika

1k

0ki

0

xi

0ak

e u

(x)f

(

x

ia)

i

(x)

e故

k

(x)

f

(x

ia)的波矢是0。i要說明的是，上述所確定的波矢k并不是唯一的，這些k

值加上任一倒格矢都是所需的解。因為k空間中相差任一倒格矢的兩個k

值所描述的狀態(tài)是一樣的。10.已知電子在周期場中的勢能為：xb

na

b時2(xbmxU)2

]，當nana，當

1)(0)(

xbanxaUb時2(

)

1

2

[其中：a

4b

，為常數。畫出勢能曲線，并求出其平均值；用近 電子模型求出此晶體的第1及第2個禁帶寬度。解：(1)該周期場的勢能曲線如下所示：7b

5b3bbO

b3b5b21

m

2b2xU64bb

1

1

m

2b2m

2

(b2

x

2

)dxU

b

dxbU

(x)dx3b3b

b2

dx其勢能平均值為：U

(x)dx

(2)根據近電子模型，此晶體的第1及第2個禁帶寬度為:E1

2U1

E2

2U

23211

14mb

22b其中U1和U2表示周期場U(x)展開成傅立葉級數的第一和第二個傅立葉系數。于是有:b

meb2d2(2)

()

U1

eUd

4b4b

bi

214b4b

3bi

2122112m

2b

2b4bb

m

2(b2

2

)d

U

(

)d

eU

2

e4b

bi

2

2

14b

3bi

2

2

4b故此晶體的第1及第2個禁帶寬度為:8m

2b2

3E1

2U1

m

2b2

2E2

2U

2

式中a是晶格常數。試求（1）能帶的寬度；87

1ma

2

8E(k)

(

cos

ka

cos

2ka)

2電子在波矢k的狀態(tài)時的速度；能帶底部和頂部電子的有效質量。解：（1）在能帶底k=0處，電子能量為：在能帶頂k=/a處，電子能量為:故能帶寬度為:E(0)

0E( )

a

ma

2

2

2ma

2a2

2E

E( )

E(0)

11.已知一維晶體的電子能帶可寫成：（2）電子在波矢k的狀態(tài)時的速度為v(k)

1

dE

(sin

ka

1

sin

2ka)

dk

ma

4（3）電子的有效質量為:在能帶頂部電子的有效質量為:2于是有在能帶底部電子的有效質量為:dk

2d

2

E

mcos

ka

1

cos

2kam*

2

/1m*

2m32*2m

m12.設二維正三角形晶格中原子間距為a，試根據緊近似的結果，求出s能帶E(k)的表達式，并求出相應的電子速度v(k)和有效質量的各個分量m。解：當只計及最近鄰格點的相互作用時，根據緊近似可得該晶格由原子s態(tài)的形成的能帶表達式為：sR

s

近鄰kRJ

(R

)es

0

sE(k)

J

(1)上式中:2J

0

i

(ξ)

[U

(ξ)

V

(ξ)]dξ

0*ξ

dξ

(0i

s

isJ

(R

)

(ξ

R

)[U

ξ

V(()ξ)](其中U

(ξ)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。V

(ξ)為某格點的原子勢場）在此二維晶格中，取原點為參考點，則其六個近鄰格點坐標值為:223

a）2222（

1

a

，3

a） （

1

a

，23

a

） （

1

a，2（a，0） （

-a，0）

（

1

a

，

3

a

），2

2x

yxe

1

ak

3

ak

1

ak

把近鄰格式代入（1）式，并考慮到s態(tài)波函數的球對稱性:E(

s

J0

J

e2

s

J

0

2J1[(2)上式中J1表示原點所處格點與任一最近鄰格點的波函數的積分的負值，并有J1

>0。由此可知相應的電子速度為:kv(k)

1

E(k)21yyx

x3

ak

)j]3

cos

ak

sin2

x3

ak

)i

(

2J1a

[(sin

ak

sin

1

ak

cos

2

2xy選取k

，k

軸沿張量主軸方向，則有*xy

yxm

m*

0

，而:232

21

12yx1

x2xak

)mxx2J

a

2(cos

ak

cos

ak

cosk

2

E

2*

/yakmyy23213J

a

2

cos

ak

cos1

x2y*2

2k

2

E

/13.用緊 方法處理面心立方的s態(tài)電子，若只計及最近鄰相互作用，試導出其能帶為:2

2

2

2

2

20E(k)

E

A

4J

(cos

kx

a

cos

ky

a

cos

ky

a

cos

kz

a

cos

kz

a

cos

kx

a

)近似方法并求能帶底部電子的有效質量。解：當只計及最近鄰格點的相互作用時，用緊處理晶體的s態(tài)電子，其能帶

E(k

)

的表達式可寫為0E(k)

E

A

JekRsRs

近鄰上式中:2A

i

(ξ)

[U

(ξ)

V

(ξ)]dξ

0*i

siJ

(ξ

R

)[U

(ξ)

V

(ξ)]

(ξ)dξ

0(a/2,-a/2,0),

(-a/2,a/2,0),

(-a/2,-a/2,0)(a/2,a/2,0),(a/2,

0,

a/2),(0,

a/2,

a/2),(a/2,

0,

-a/2),(0,

-a/2,

a/2),(-a/2,

0,

a/2),(0,

a/2,

-a/2),(-a/2,

0,

-a/2)(0,

-a/2,

-a/2)(其中U

(ξ)表示晶體中的周期性勢場，也即各格點原子勢場之和。V

(ξ)為最近鄰格點的原子勢場；R

s

為最近鄰格點的位矢）對面心立方晶格，取原點為參考點，則其最近鄰的12個格點的位矢坐標值為：將上述的12套坐標值代入上述的E(k)表達式，可得:0a

ai

a

(k

k

)

i

a

(k

k

)

e

2

x

y

e

2

x

y

]i

(k

k

)

e

2

x

yi

(k

k

)E(k)

E

A

J{[e

2

x

yaaa

aaaaai

(k

k

)

e

2

x z

]i

(k

k

)

e

2

y z

]}i

(k

k

)

e

2

x

zi

(k

k

)

e

2

y

zi

(k

k

)

e

2

x

zi

(k

k

)

e

2

y

zi

(k

k

)[e

2

x

zi

(k

k

)[e

2

y

z2220zxyxyx

k

)

cos

a

(k

k

)

k

)

cos

a

(k

E

A

2J[cosa

(ka

a

a

cos

(kx

kz

)

cos

(ky

kz

)

cos

(ky

kz

)]2

2

22

2

2

2

2

20

E

A

4J

(cos

kx

a

cos

ky

a

cos

ky

a

cos

kz

a

cos

kz

a

cos

kx

a

)

ky

kz由于J

0

，所以當kx

0時，E(k

)有最小值:Emin

E0

A

12J即為能帶底部。選取kx

,ky

,kx軸沿張量主軸方向，則有:而在能帶底部有:xy

m*

m*

m*

m*

m*

0yx

xz

zx

yz

zym*2*)2cos

cos22k

ak

ak

axzy2xmxx

22

k

a

2Ja

2

cos

Ja

2

(cos

x

cos2k

2

E

/2*)2cos

cos22k

ak

ak

azyy2ymyy22

k

a

2Ja2

cos

Ja2

(cos

x

cos2k

2

E

/2*2cos

cos

)222k

ak

ak

axzzy2zmzz22

k

a

2Ja2

cos

Ja

2

(cos

cosk

2

E

/的電子在外場作用下不產生電流的原因。答：導帶中只有部分狀態(tài)被電子填充，外場的作用會使布里淵區(qū)的狀態(tài)分布發(fā)生變化。所有的電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運動，但由于能帶是不滿帶，逆電場方向上運動的電子較多，因此產生電流。有外場E時，所有的電子狀態(tài)以相同的速度沿著電場的反方向運動。在滿帶的情形中，電子的運動不改變布里淵區(qū)中電子的分布。所以在有外場作用的情形時，滿帶中的電子不產生宏觀的電流。14.

簡述導帶中的電子在外場作用下產生電流的原因和滿帶中對于絕緣體：價電子剛好填滿了的能帶，形成滿帶。導帶和價帶之間存在一個很寬的禁帶，所以在電場的作用下沒有電

生。對于半導體：從能帶結構來看與絕緣體的相似，但半導體禁帶寬度較絕緣體的窄，依靠熱激發(fā)即可以將滿帶中的電子激發(fā)到導帶中，因而具有導電能力。15.

根據能帶理論簡述金屬、半導體和絕緣體的導電性。

答：對于金屬：電子在能帶中的填充可以形成不滿帶，即導帶，因此它們一般是導體。16.

當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時，其有效質量何以與真實質量有顯著差別?答：晶體中的電子除受外場力的作用外,還和晶格相互作用.設外場力為F,晶格對電子的作用力為Fl,電子的加速度為：lma

1

(F

F

)但Fl的具體形式是難以得知的。要使上式中不顯含Fl,又要保持上式左右恒等，則只有：m*a

F顯然,晶格對電子的作用越弱,有效質量m*與真實質量m的差別就越小.相反,晶格對電子的作用越強,有效質量m*與真實質量m的差別就越大。當電子的波矢落在布里淵區(qū)邊界上時,與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對電子的散射作用最強烈。在晶面族的反射方向上,各格點的散射波相位相同,迭加形成很強的反射波