Matlab微分方程的應(yīng)用課件1

藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué)

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體1何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。以下我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采2藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的3情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長率的Malthus模型

在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃4情況2恒速靜脈點滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對于多次點滴，設(shè)點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時間設(shè)為T2，則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時間內(nèi)為情況1。故：0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況2恒速靜脈點滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點滴5情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以解得：從而藥物濃度情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外6圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。7

上述研究是將機(jī)體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進(jìn)入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。當(dāng)差異較大的部分較多時，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)，包括：中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)上述研究是將機(jī)體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱8

油畫真假辨別歷史背景：

二戰(zhàn)后,荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者,于1945年5月以通敵罪逮捕了一名三流畫家H.A.Vanmeegren,此人曾將荷蘭著名畫家創(chuàng)作的一批名貴油畫盜賣給德國.但此人被捕后稱自己從未出賣過荷蘭利益,所有油畫均是自己偽造的.這件事在當(dāng)時轟動了全世界,為了證明自己是一個高明的偽造者,他開始在牢房里作畫.當(dāng)畫快要完成時,他又得悉通敵罪可能會改為偽造罪,為了逃避判決,他末將此畫畫完,并拒絕將畫老化,以免留下罪證.油畫真假辨別歷史背景：9

為審理此案,法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組,采用了當(dāng)時最先進(jìn)的科學(xué)方法,如X-光線透視等對顏料成份進(jìn)行分析,終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì),如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡.這樣偽造罪成立,Vanmeegren被判一年徒刑.1947年11月30日他在獄中因心臟病發(fā)作死去.但許多人還是不相信其余名畫是偽造的,因為他在獄中作的畫質(zhì)量實在太差,所找理由都不能使懷疑者滿意.直到1967年,卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了此問題。為審理此案,法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家10放射物質(zhì)衰變原理：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N(t)為t時刻存在的原子數(shù)，則dN/dt為單位時間內(nèi)蛻變的原子數(shù)，因此有：半衰期T:給定數(shù)量的放射性原子蛻變一半所需的時間λ：衰變系數(shù)假設(shè)N(t0)＝N0，于是得初值問題：兩邊取對數(shù)后：放射性物質(zhì)測定半衰期：碳-14鐳-226鈾-238鉛-210放射物質(zhì)衰變原理：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N11油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的12衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛-210以及更少量的鐳-226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛-鉛礦石金屬13鑒別油畫的方法：

要區(qū)別17世紀(jì)的油畫和現(xiàn)代膺品，可根據(jù)下述簡單事實：如果顏料的年頭比起鉛的半衰期22年長得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每分鐘蛻變的原子數(shù)應(yīng)非常接近;如果油畫是現(xiàn)代作品(大約20年左右),那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。因此，一般只要測得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。鑒別油畫的方法：要區(qū)別17世紀(jì)的油畫和現(xiàn)代膺14假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)15模型建立：記y(t)為t時刻每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，y0為制造時刻t0每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，r為鐳在每克鉛白中鐳-226在每分鐘的蛻變量，λ是鉛-210的衰變常數(shù)，則油畫中鉛-210含量應(yīng)滿足：解：因為鐳-226衰變?yōu)殂U-210模型建立：記y(t)為t時刻每克鉛白所含鉛-210的數(shù)量，y16求解均可測出。求解均可測出。17是否現(xiàn)代膺品的判別

取t-t0=300年，可算出鉛白中鉛-210的蛻變值λy0，然后再與當(dāng)時的礦物質(zhì)比較,能分析發(fā)現(xiàn)原礦中含鈾量是否合理。

由于礦石中含鈾量達(dá)2-3%已極罕見，而由鉛-210單位時間蛻變的原子數(shù)來計算礦石中含鈾量的方法也不難，只要鉛白中鉛-210每分鐘蛻變超過3萬個原子，就知礦石中含鈾超過4%，就判定出必為膺品。是否現(xiàn)代膺品的判別18測定結(jié)果與分析畫名鉛210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Emmaus的信徒們8.50.82洗足12.60.26讀樂譜的婦人10.30.3彈曼陀林的婦人8.20.17做花邊的人1.51.4歡笑的女孩5.26.0測定結(jié)果與分析畫名鉛210衰變原子數(shù)鐳226衰變原子數(shù)Emm19若第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰變不合理，為贗品若第一幅畫是真品，鉛210每分鐘每克衰20其它鑒定結(jié)果：油畫名稱鉛-210蛻變原子數(shù)（λy）鐳226蛻變原于數(shù)（r）λy0結(jié)果濯足12.60.26157130膺品看樂譜的女人10.30.3127340膺品演奏曼陀琳的女人8.20.17102250膺品花邊織工1.51.41270真品笑女5.26.0-10180真品取t-t0=300，鉛-210的λ=ln2/22后兩幅畫不可能是偽制品，因為鉛-210和鐳-226非常接近于放射性平衡，這種平衡在19世紀(jì)或20世紀(jì)油畫的任何樣品中都觀察不到。其它鑒定結(jié)果：油畫名稱鉛-210蛻變原子數(shù)（λy）鐳226蛻21

藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體積血液的藥物量)血藥濃度需保持在一定范圍內(nèi)——給藥方案設(shè)計

藥物在體內(nèi)吸收、分布和排除過程——藥物動力學(xué)

建立房室模型——藥物動力學(xué)的基本步驟藥物在體內(nèi)的分布藥物進(jìn)入機(jī)體形成血藥濃度(單位體22何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采用一種叫“房室系統(tǒng)”的觀點來考察問題。根據(jù)研究對象的特征或研究的不同精度要求，我們把研究對象看成一個整體（單房室系統(tǒng)）或?qū)⑵淦史殖扇舾蓚€相互存在著某種聯(lián)系的部分（多房室系統(tǒng)）。房室具有以下特征：它由考察對象均勻分布而成，房室中考察對象的數(shù)量或濃度（密度）的變化率與外部環(huán)境有關(guān)，這種關(guān)系被稱為“交換”且交換滿足著總量守衡。以下我們將用房室系統(tǒng)的方法來研究藥物在體內(nèi)的分布。交換環(huán)境內(nèi)部單房室系統(tǒng)均勻分布房室——機(jī)體的一部分，藥物在一個房室內(nèi)均勻分布(血藥濃度為常數(shù))，在房室間按一定規(guī)律轉(zhuǎn)移何為房室系統(tǒng)？在用微分方程研究實際問題時，人們常常采23藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的濃度成正比的，即：藥物分布的單房室模型

單房室模型是最簡單的模型，它假設(shè)：體內(nèi)藥物在任一時刻都是均勻分布的，設(shè)t時刻體內(nèi)藥物的總量為x(t)；系統(tǒng)處于一種動態(tài)平衡中，即成立著關(guān)系式：

藥物的輸入規(guī)律與給藥的方式有關(guān)。下面，我們來研究一下在幾種常見的給藥方式下體內(nèi)藥體的變化規(guī)律。機(jī)體環(huán)境藥物總量圖3-8

假設(shè)藥物均勻分布藥物的分解與排泄（輸出）速率通常被認(rèn)為是與藥物當(dāng)前的24情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃度：

與放射性物質(zhì)類似，醫(yī)學(xué)上將血漿藥物濃度衰減一半所需的時間稱為藥物的血漿半衰期：負(fù)增長率的Malthus模型

在快速靜脈注射時，總量為D的藥物在瞬間被注入體內(nèi)。設(shè)機(jī)體的體積為V，則我們可以近似地將系統(tǒng)看成初始總量為D，濃度為D/V，只輸出不輸入的房室，即系統(tǒng)可看成近似地滿足微分方程：情況1快速靜脈注射機(jī)體環(huán)境只輸出不輸入房室其解為：藥物的濃25情況2恒速靜脈點滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點滴方式進(jìn)入體內(nèi)，即:則體內(nèi)藥物總量滿足：（x(0)=0）

這是一個一階常系數(shù)線性方程，其解為：或易見：稱為穩(wěn)態(tài)血藥濃度

對于多次點滴，設(shè)點滴時間為T1，兩次點滴之間的間隔時間設(shè)為T2，則在第一次點滴結(jié)束時病人體內(nèi)的藥物濃度可由上式得出。其后T2時間內(nèi)為情況1。故：0≤t≤T1

T1≤t≤T1

+T2

類似可討論以后各次點滴時的情況，區(qū)別只在初值上的不同。第二次點滴起，患者體內(nèi)的初始藥物濃度不為零。情況2恒速靜脈點滴機(jī)體環(huán)境恒定速率輸入房室藥物以恒速點滴26情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外部藥物

口服藥或肌肉注射時，藥物的吸收方式與點滴時不同，藥物雖然瞬間進(jìn)入了體內(nèi)，但它一般都集中與身體的某一部位，靠其表面與肌體接觸而逐步被吸收。設(shè)藥物被吸收的速率與存量藥物的數(shù)量成正比，記比例系數(shù)為K1，即若記t時刻殘留藥物量為y(t)，則y滿足：D為口服或肌注藥物總量

因而：所以解得：從而藥物濃度情況3口服藥或肌注y(t)x(t)K1yK1x環(huán)境機(jī)體外27圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達(dá)到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同。圖3-9

我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。圖3-9給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。28

上述研究是將機(jī)體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱單房室模型，但機(jī)體事實上并不是這樣。藥物進(jìn)入血液，通過血液循環(huán)藥物被帶到身體的各個部位，又通過交換進(jìn)入各個器官。因此，要建立更接近實際情況的數(shù)學(xué)模型就必須正視機(jī)體部位之間的差異及相互之間的關(guān)聯(lián)關(guān)系，這就需要多房室系統(tǒng)模型。IIIk12k21兩房室系統(tǒng)

圖3-10表示的是一種常見的兩房室模型，其間的k12表示由室I滲透到室II的變化率前的系數(shù)，而k21則表示由室II返回室I的變化率前的系數(shù)，它們刻劃了兩室間的內(nèi)在聯(lián)系，其值應(yīng)當(dāng)用實驗測定，使之盡可能地接近實際情況。當(dāng)差異較大的部分較多時，可以類似建立多房室系統(tǒng)，即N房室系統(tǒng)，包括：中心室(心、肺、腎等)和周邊室(四肢、肌肉等)上述研究是將機(jī)體看成一個均勻分布的同質(zhì)單元，故被稱29

油畫真假辨別歷史背景：

二戰(zhàn)后,荷蘭保安機(jī)關(guān)開始搜捕納粹分子的合作者,于1945年5月以通敵罪逮捕了一名三流畫家H.A.Vanmeegren,此人曾將荷蘭著名畫家創(chuàng)作的一批名貴油畫盜賣給德國.但此人被捕后稱自己從未出賣過荷蘭利益,所有油畫均是自己偽造的.這件事在當(dāng)時轟動了全世界,為了證明自己是一個高明的偽造者,他開始在牢房里作畫.當(dāng)畫快要完成時,他又得悉通敵罪可能會改為偽造罪,為了逃避判決,他末將此畫畫完,并拒絕將畫老化,以免留下罪證.油畫真假辨別歷史背景：30

為審理此案,法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家等參加的國際專門小組,采用了當(dāng)時最先進(jìn)的科學(xué)方法,如X-光線透視等對顏料成份進(jìn)行分析,終于在幾幅畫中發(fā)現(xiàn)了現(xiàn)代物質(zhì),如現(xiàn)代顏料鈷藍(lán)的痕跡.這樣偽造罪成立,Vanmeegren被判一年徒刑.1947年11月30日他在獄中因心臟病發(fā)作死去.但許多人還是不相信其余名畫是偽造的,因為他在獄中作的畫質(zhì)量實在太差,所找理由都不能使懷疑者滿意.直到1967年,卡內(nèi)基梅隆大學(xué)的科學(xué)家們用微分方程模型解決了此問題。為審理此案,法庭組織了一個由化學(xué)家、物理學(xué)家、藝術(shù)史學(xué)家31放射物質(zhì)衰變原理：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N(t)為t時刻存在的原子數(shù)，則dN/dt為單位時間內(nèi)蛻變的原子數(shù)，因此有：半衰期T:給定數(shù)量的放射性原子蛻變一半所需的時間λ：衰變系數(shù)假設(shè)N(t0)＝N0，于是得初值問題：兩邊取對數(shù)后：放射性物質(zhì)測定半衰期：碳-14鐳-226鈾-238鉛-210放射物質(zhì)衰變原理：物質(zhì)的放射性正比于現(xiàn)存物質(zhì)的原子數(shù)

記N32油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的顏料之一，應(yīng)用已有2000余年，白鉛中含有少量的鉛(Pb210)和更少量的鐳(Ra226)。白鉛是由鉛金屬產(chǎn)生的，而鉛金屬是經(jīng)過熔煉從鉛礦中提取來出的。當(dāng)白鉛從處于放射性平衡狀態(tài)的礦中提取出來時，Pb210的絕大多數(shù)來源被切斷，因而要迅速蛻變，直到Pb210與少量的鐳再度處于放射平衡，這時Pb210的蛻變正好等于鐳蛻變所補(bǔ)足的為止。油畫中的放射性物質(zhì)白鉛（鉛的氧化物）是油畫中的33衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛-210以及更少量的鐳-226。鉛礦石金屬鉛鉛白鉛-210半衰期：22年鐳-226半衰期：1600年化煉鉛-206衰變衰變衰變史：油畫小知識：所有油畫都含少量放射性元素鉛-鉛礦石金屬34鑒別油畫的方法：

要區(qū)別17世紀(jì)的油畫和現(xiàn)代膺品，可根據(jù)下述簡單事實：如果顏料的年頭比起鉛的半衰期22年長得多，那么顏料中鉛-210的放射作用量就幾乎接近于顏料中鐳的放射作用量，即兩者每分鐘蛻變的原子數(shù)應(yīng)非常接近;如果油畫是現(xiàn)代作品(大約20年左右),那么鉛-210的放射作用量就要比鐳的放射作用量大得多。因此，一般只要測得每克鉛白中鉛-210及鐳的衰變率就能判定。鑒別油畫的方法：要區(qū)別17世紀(jì)的油畫和現(xiàn)代膺35假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)的油畫感興趣，時經(jīng)300多年，白鉛中鐳至少還有原量的90%以上，所以每克白鉛中每分鐘鐳的衰變數(shù)可視為常數(shù)，用表示。假設(shè)鐳的半衰期為1600年，我們只對17世紀(jì)36模