M03第三講-微分法建模-杭州電子科技大學(xué)-數(shù)學(xué)建模課件

第三講微分法建模處理靜態(tài)優(yōu)化問題

?靜態(tài)優(yōu)化問題現(xiàn)實世界中普遍存在建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)?求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法第三講微分法建模處理靜態(tài)優(yōu)化問題?靜態(tài)優(yōu)化問題現(xiàn)實世界3.1存貯問題3.2生豬的出售時機3.3森林救火3.4路燈安置優(yōu)化問題3.1存貯問題3.1存貯問題問題背景1.工廠要定期地訂購各種原料，存在倉庫里供生產(chǎn)之用。2.商店要成批地購進各種商品，放在貨柜中以零售。3.水庫在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航運。3.1存貯問題問題背景1.工廠要定期地訂購各種原料，存實例配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系。實例配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)已知某產(chǎn)問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元問題分析與思考每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準(zhǔn)備費多準(zhǔn)備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答問題模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費注：上述模型需改進，對象涉及一次性訂貨費、貨物價格、貨物儲存費和資金占用費。資金占用費由資金量和時間決定。

R：每天利率k:單位貨物價格注：上述模型需改進，對象涉及一次性訂貨費、貨物價格、貨物儲存允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’每天總費用一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初3.2生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大3.2生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。問題關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,c23.4

路燈安置優(yōu)化問題

背景目前大多數(shù)公共場所都安裝了路燈，

路燈的高度和路燈之間的間距一般是依靠經(jīng)驗進行設(shè)置的，

并沒有從優(yōu)化的角度進行考慮。1）一盞路燈的優(yōu)化問題；2）兩盞路燈間距最大的優(yōu)化問題（即考慮當(dāng)高度為何值時，兩燈的距離可達最大值）3）一排路燈的優(yōu)化問題（即確定路燈高度，使得路燈之間的距離最大）；4）兩排路燈的優(yōu)化

問題3.4路燈安置優(yōu)化問題背景目前大多數(shù)公共場所都安裝背景知識

1.光強度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的物理量。以光源在某一方向上單位立體角所輻射的能量來量度，單位：坎德拉2.照度：單位面積上得到的光通量，單位：勒克司

3.照度定律：點光源O預(yù)備照明平面中心A的距離為h時，平面上A點的照度

背景知識1.光強度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的其中，p為O點的光強度，a為平面的法線方向與光源到A點的連線之間的夾角,h為光源的高度，s為光源到A點的距離4.為保證在該路段上處處都能有滿足正?；顒有枰恼彰鲝姸?，取照度的最小值為其中，p為O點的光強度，a為平面的法線方向與光源到A點的連模型假設(shè)1.主要考慮高度和間距的優(yōu)化問題為簡化模型設(shè)路燈的額定功率為定值

注：數(shù)據(jù)來源A路的路燈標(biāo)簽

額定電壓為220伏，額定電流為10安2.在考慮一排路燈的情況時，假設(shè)為完全規(guī)范的，即處處等寬。即寬度為5米（數(shù)據(jù)來源：實地測量A路的寬度.）3.經(jīng)查閱物理知識，照明強度直接影響可見度，只有照明強度不低于某定值時，才能認(rèn)為物體可見。在這里認(rèn)為對所有物體照明強度不低于某定值

模型假設(shè)1.主要考慮高度和間距的優(yōu)化問題為簡化模型設(shè)路燈的模型假設(shè)4.經(jīng)觀測路長L=260米p:路燈的功率

L:路長

h:路燈的高度l:路燈的間距d:路的寬度記號模型假設(shè)4.經(jīng)觀測路長L=260米p:路燈的功率模型建立與求解一.一盞路燈的優(yōu)化問題

由物理學(xué)知識可知，被光線照射的物體的亮度依賴于它與光源之間的距離平方的倒數(shù)和光線的投射角度。路燈到某點A的照明強度為：

其中p為燈的功率，h為燈的高度，r為燈在地面投映點到點A的距離.模型建立與求解一.一盞路燈的優(yōu)化問題由物理學(xué)知識地面上物體可見的區(qū)域為：

有解條件：物體可見區(qū)域條件：物體可見區(qū)域的面積為以O(shè)為圓心，以r為半徑的圓

地面上物體可見的區(qū)域為：有解條件：物體可見區(qū)域條件：物體模型為：

求解對s關(guān)于h求導(dǎo)可得：

此時面積達最大值，可求得路燈得最優(yōu)高度。

代入，結(jié)果為：最優(yōu)高度h為4.60米模型為：求解對s關(guān)于h求導(dǎo)可得：此時面積達最大值，可二兩盞路燈間距最大的的優(yōu)化問題主要考慮當(dāng)高度為何值時，兩燈的距離可達最大值

目的如圖1A二兩盞路燈間距最大的的優(yōu)化問題主要考慮當(dāng)高度為何值時，如圖，A點的照度在路面的各點中最小，所以l和h的只需滿足:目的只需求當(dāng)cA=c0時，使l最大的h值求解

如圖，A點的照度在路面的各點中最小，所以l和h的只需滿足對上式關(guān)于h求導(dǎo)得:h=6.5米時，l最大為15.5米

結(jié)果對上式關(guān)于h求導(dǎo)得:h=6.5米時，l最大為15.5米結(jié)三一排路燈的優(yōu)化問題目的確定路燈高度h和路燈之間的距離l，使得路燈之間的距離最大

1.求最大的路燈間距

圖2三一排路燈的優(yōu)化問題目的確定路燈高度h和路燈之間的距離由上圖可知,路燈l和m之間的路段，與中點Q相對的R點的照明強度最小，并且計算該點照明強度時，只需考慮路燈K,L,M,N對其的影響，其他較遠的路燈對其的影響可忽略。

R點的照明強度為

且要使R點的物體可見應(yīng)有：

從而只需求當(dāng)cR=c0時,求使得l最大的h值

由上圖可知,路燈l和m之間的路段，與中點Q相對的R點的照明強同第二部分，用Matlab求解

得h=6.6米時，l最大。最大值為16.5米。

結(jié)果2．考慮邊界問題

圖3

同第二部分，用Matlab求解得h=6.6米時，l最大。最可解得：

x=3.5時c=20，此時x最大

3．計算所需的總的燈數(shù)

260-3.5=256.5因為9>3.5所以路的另一端還需一盞燈

256.5=15*16.5+9結(jié)果所需燈的總數(shù)為17盞

可解得：x=3.5時c=20，此時x最大3．計算所需的總四兩排路燈的優(yōu)化問題

路燈的布點是否適當(dāng)直接關(guān)系到照明的效果

雙側(cè)布燈大體有兩種方式：

對稱布置

交錯布置

對稱布置的優(yōu)點是比較美觀，但不足之處是照度不夠均勻，適合較寬的道路

交錯布置美觀上不如對稱布燈，但照度比較均勻

選擇交錯布置

四兩排路燈的優(yōu)化問題路燈的布點是否適當(dāng)直接關(guān)系到照1.求最大的路燈間距

圖41.求最大的路燈間距圖4由圖可知，照明強度最低的點一定出現(xiàn)在路的中線上，且對圖中AB段照明強度呈周期性變化

所以只需使AB的中點C照明強度大于等于

?計算該點照明強度時，只需考慮路燈J,H,M,N對其的影響，其他較遠的路燈對其的影響可忽略

C點的照明強度為

由圖可知，照明強度最低的點一定出現(xiàn)在路的中線上，且對圖中AB且要使C點的物體可見應(yīng)有：

只需求當(dāng)c=c0時,求使得l最大的h值

同第二部分，用Matlab求解

結(jié)果得h=6米時，l最大。最大值為36.9米

2考慮邊界問題

圖5且要使C點的物體可見應(yīng)有：只需求當(dāng)c=c0時,求使得lA、C兩點為路的邊界，設(shè)距A點最近的燈E與A的距離為x米

J點的照明強度為：（只考慮E和H兩燈的影響）滿足結(jié)果x=6時c=20，此時x最大

3計算所需的燈數(shù)

如圖5，在AE邊上，AE=6米，260=6+36.9*6+32.6所以該邊需裝燈7盞

A、C兩點為路的邊界，設(shè)距A點最近的燈E與A的距離為x米J?另一端剩余32.6米。在CG邊上CH=6+l/2=24.45米260=24.45+36.9*6+13.15?該邊裝燈7盞時距另一端13.15米，13.15>6米，

另一端總需8盞

安裝兩排燈時所需總數(shù)為15盞

結(jié)果注：大范圍、復(fù)雜環(huán)境的路燈設(shè)計需考慮的因素非常多。需要認(rèn)真調(diào)查，認(rèn)真思考，同時還要多方面聽取意見，進行多次討論，按照多方面的要求統(tǒng)一協(xié)調(diào)，綜合考慮，要根據(jù)實際發(fā)生的情況解決具體施工問題。校園不同的區(qū)域有不同的功能，同時環(huán)境也比較復(fù)雜。在設(shè)計室外照照時需要考慮的方面非常多。并且應(yīng)考慮所選燈的類型，校園中一些支路上照度要求不很高，同時需要營造比較幽靜的氣氛，白幟燈正好滿足這些要求。我相信通過大家的努力校園的夜景一定會更加美麗。?另一端剩余32.6米。在CG邊上CH=6+l/2=24.4第三講微分法建模處理靜態(tài)優(yōu)化問題

?靜態(tài)優(yōu)化問題現(xiàn)實世界中普遍存在建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當(dāng)?shù)哪繕?biāo)函數(shù)?求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法第三講微分法建模處理靜態(tài)優(yōu)化問題?靜態(tài)優(yōu)化問題現(xiàn)實世界3.1存貯問題3.2生豬的出售時機3.3森林救火3.4路燈安置優(yōu)化問題3.1存貯問題3.1存貯問題問題背景1.工廠要定期地訂購各種原料，存在倉庫里供生產(chǎn)之用。2.商店要成批地購進各種商品，放在貨柜中以零售。3.水庫在雨季蓄水用于旱季的灌溉和航運。3.1存貯問題問題背景1.工廠要定期地訂購各種原料，存實例配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)備要付生產(chǎn)準(zhǔn)備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。要求不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與需求量、準(zhǔn)備費、貯存費之間的關(guān)系。實例配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè)已知某產(chǎn)問題分析與思考

每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費5000元。日需求100件，準(zhǔn)備費5000元，貯存費每日每件1元。

10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+…+100=4500元，準(zhǔn)備費5000元，總計9500元。

50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+…+100=122500元，準(zhǔn)備費5000元，總計127500元。平均每天費用950元平均每天費用2550元10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?每天費用5000元問題分析與思考每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準(zhǔn)備費這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的總費用作為目標(biāo)函數(shù)目標(biāo)函數(shù)——每天總費用的平均值周期短，產(chǎn)量小周期長，產(chǎn)量大問題分析與思考貯存費少，準(zhǔn)備費多準(zhǔn)備費少，貯存費多存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標(biāo)函數(shù)。顯然不能用一個周期的模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生產(chǎn)準(zhǔn)備費為c1,每天每件產(chǎn)品貯存費為c2；3.T天生產(chǎn)一次（周期）,每次生產(chǎn)Q件，當(dāng)貯存量為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；建模目的設(shè)r,c1,c2已知，求T,Q

使每天總費用的平均值最小。4.為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。模型假設(shè)1.產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)r；2.每次生模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q,q(t)以需求速率r遞減，q(T)=0.一周期總費用每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）離散問題連續(xù)化一周期貯存費為A=QT/2模型建立0tq貯存量表示為時間的函數(shù)q(t)TQrt模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=1，r=100T=10(天),Q=1000(件),C=1000(元)回答問題模型求解求T使模型分析模型應(yīng)用c1=5000,c2=經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費c1,每天每件貯存費c2，用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形不允許缺貨的存貯模型

問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？T天訂貨一次(周期),每次訂貨Q件，當(dāng)貯存量降到零時，Q件立即到貨。經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）每天需求量r，每次訂貨費注：上述模型需改進，對象涉及一次性訂貨費、貨物價格、貨物儲存費和資金占用費。資金占用費由資金量和時間決定。

R：每天利率k:單位貨物價格注：上述模型需改進，對象涉及一次性訂貨費、貨物價格、貨物儲存允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求r,出現(xiàn)缺貨，造成損失原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨)現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨,每天每件缺貨損失費c3,缺貨需補足T一周期貯存費一周期缺貨費周期T,t=T1貯存量降到零一周期總費用允許缺貨的存貯模型AB0qQrT1t當(dāng)貯存量降到零時仍有需求每天總費用平均值（目標(biāo)函數(shù)）一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T’,Q記作Q’每天總費用一周期總費用求T,Q使為與不允許缺貨的存貯模不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨不允許缺貨模型記允許缺貨模型不允許缺貨允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初的存貯量R每周期的生產(chǎn)量R（或訂貨量）Q~不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量)允許缺貨模型0qQrT1tT注意：缺貨需補足Q~每周期初3.2生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。問題市場價格目前為每千克8元，但是預(yù)測每天會降低0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。如果估計和預(yù)測有誤差，對結(jié)果有何影響。分析投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大3.2生豬的出售時機飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求解生豬體重w=80+rt出售價格p=8-gt銷售收入R=pw資金投入C=4t利潤Q=R-C=pw-C估計r=2，若當(dāng)前出售，利潤為80×8=640（元）t天出售=10Q(10)=660>640g=0.1求t使Q(t)最大10天后出售，可多得利潤20元建模及求敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，g=0.1設(shè)g=0.1不變t對r的（相對）敏感度生豬每天體重增加量r增加1%，出售時間推遲3%。rt敏感性分析研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響估計r=2，敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)果的影響設(shè)r=2不變t對g的（相對）敏感度生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。gt敏感性分析估計r=2，g=0.1研究r,g變化時對模型結(jié)強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(t,r)=3建議過一周后(t=7)重新估計,再作計算。研究r,g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響w=80+rtw=w(t)p=8-gtp=p(t)若(10%),則（30%）每天利潤的增值每天投入的資金強健性分析保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售由S(3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員少，森林損失大，救援費用小。綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量。問題分析問題記隊員人數(shù)x,失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,時刻t森林燒毀面積B(t).損失費f1(x)是x的減函數(shù),由燒毀面積B(t2)決定.救援費f2(x)是x的增函數(shù),由隊員人數(shù)和救火時間決定.存在恰當(dāng)?shù)膞，使f1(x),f2(x)之和最小3.3森林救火森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量。問題關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0,開始救火時刻t1,滅火時刻t2,畫出時刻t森林燒毀面積B(t)的大致圖形t1t20tBB(t2)分析B(t)比較困難,轉(zhuǎn)而討論森林燒毀速度dB/dt.關(guān)鍵是對B(t)作出合理的簡化假設(shè).問題分析失火時刻t=0模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀單位面積損失費）1）0tt1,dB/dt

與t成正比，系數(shù)

(火勢蔓延速度）2）t1tt2,降為-x

(為隊員的平均滅火速度）4）每個隊員的單位時間滅火費用c2,一次性費用c3假設(shè)1）的解釋rB火勢以失火點為中心，均勻向四周呈圓形蔓延，半徑r與t成正比面積B與t2成正比，dB/dt與t成正比.模型假設(shè)3）f1(x)與B(t2)成正比，系數(shù)c1(燒毀模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）假設(shè)2）模型建立b0t1tt2假設(shè)1）目標(biāo)函數(shù)——總費用假設(shè)3）4）模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果解釋

/

是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)b0t1t2t其中c1,c2,c3,t1,,為已知參數(shù)模型建立目標(biāo)函數(shù)——總費用模型求解求x使C(x)最小結(jié)果模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,

c2x

c1,t1,

x

c3,x

結(jié)果解釋c1~燒毀單位面積損失費,c2~每個隊員單位時間滅火費,c3~每個隊員一次性費用,t1~開始救火時刻,~火勢蔓延速度,~每個隊員平均滅火速度.為什么?

,可設(shè)置一系列數(shù)值由模型決定隊員數(shù)量x模型應(yīng)用c1,c2,c3已知,t1可估計,c23.4

路燈安置優(yōu)化問題

背景目前大多數(shù)公共場所都安裝了路燈，

路燈的高度和路燈之間的間距一般是依靠經(jīng)驗進行設(shè)置的，

并沒有從優(yōu)化的角度進行考慮。1）一盞路燈的優(yōu)化問題；2）兩盞路燈間距最大的優(yōu)化問題（即考慮當(dāng)高度為何值時，兩燈的距離可達最大值）3）一排路燈的優(yōu)化問題（即確定路燈高度，使得路燈之間的距離最大）；4）兩排路燈的優(yōu)化

問題3.4路燈安置優(yōu)化問題背景目前大多數(shù)公共場所都安裝背景知識

1.光強度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的物理量。以光源在某一方向上單位立體角所輻射的能量來量度，單位：坎德拉2.照度：單位面積上得到的光通量，單位：勒克司

3.照度定律：點光源O預(yù)備照明平面中心A的距離為h時，平面上A點的照度

背景知識1.光強度：光源在一定范圍內(nèi)發(fā)出可見光輻射強弱的其中，p為O點的光強度，a為平面的法線方向與光源到A點的連線之間的夾角,h為光源的高度，s為光源到A點的距離4.為保證在該路段上處處都能有滿足正?；顒有枰恼彰鲝姸?，取照度的最小值為其中，p為O點的光強度，a為平面的法線方向與光源到A點的連模型假設(shè)1.主要考慮高度和間距的優(yōu)化問題為簡化模型設(shè)路燈的額定功率為定值

注：數(shù)據(jù)來源A路的路燈標(biāo)簽

額定電壓為220伏，額定電流為10安2.在考慮一排路燈的情況時，假設(shè)為完全規(guī)范的，即處處等寬。即寬度為5米（數(shù)據(jù)來源：實地測量A路的寬度.）3.經(jīng)查閱物理知識，照明強度直接影響可見度，只有照明強度不低于某定值時，才能認(rèn)為物體可見。在這里認(rèn)為對所有物體照明強度不低于某定值

模型假設(shè)1.主要考慮高度和間距的優(yōu)化問題為簡化模型設(shè)路燈的模型假設(shè)4.經(jīng)觀測路長L=260米p:路燈的功率

L:路長

h:路燈的高度l:路燈的間距d:路的寬度記號模型假設(shè)4.經(jīng)觀測路長L=260米p:路燈的功率模型建立與求解一.一盞路燈的優(yōu)化問題

由物理學(xué)知識可知，被光線照射的物體的亮度依賴于它與光源之間的距離平方的倒數(shù)和光線的投射角度。路燈到某點A的照明強度為：

其中p為燈的功率，h為燈的高度，r為燈在地面投映點到點A的距離.模型建立與求解一.一盞路燈的優(yōu)化問題由物理學(xué)知識地面上物體可見的區(qū)域為：

有解條件：物體可見區(qū)域條件：物體可見區(qū)域的面積為以O(shè)為圓心，以r為半徑的圓

地面上物體可見的區(qū)域為：有解條件：物體可見區(qū)域條件：物體模型為：

求解對s關(guān)于h求導(dǎo)可得：

此時面積達最大值，可求得路燈得最優(yōu)高度。

代入，結(jié)果為：最優(yōu)高度h為4.60米模型為：求解對s關(guān)于h求導(dǎo)可得：此時面積達最大值，可二兩盞路燈間距最大的的優(yōu)化問題主要考慮當(dāng)高度為何值時，兩燈的距離可達最大值

目的如圖1A二兩盞路燈間距最大的的優(yōu)化問題主要考慮當(dāng)高度為何值時，如圖，A點的照度在路面的各點中最小，所以l和h的只需滿足:目的只需求當(dāng)cA=c0時，使l最大的h值求解

如圖，A點的照度在路面的各點中最小，所以l和h的只需滿足對上式關(guān)于h求導(dǎo)得:h=6.5米時，l最大為15.5米

結(jié)果對上式關(guān)于h求導(dǎo)得:h=6.5米時，l最大為15.5米結(jié)三一排路燈的優(yōu)化問題目的確定路燈高度h和路燈之間的距離l，使得路燈之間的距離最大

1.求最大的路燈間距

圖2三一排路燈的優(yōu)化問題目的確定路燈高度h和路燈之間的距離由上圖可知