控制測量中三角鎖推算元素的精度估算

§2.3三角鎖推算元素的精度估算在1.1.2小節(jié)中已經(jīng)提到，控制測量工作的第一階段就是控制網(wǎng)的設(shè)計(jì)階段。論述控制網(wǎng)的精度是否能滿足需要是技術(shù)設(shè)計(jì)報(bào)告的主要內(nèi)容之一。雖然對于評定控制網(wǎng)的優(yōu)劣、費(fèi)用的高低也是一項(xiàng)重要的指標(biāo)，但是，通常首先考慮的是精度，只有在精度指標(biāo)滿足要求的情況下，才考慮選擇費(fèi)用較低廉的布設(shè)方案。本節(jié)著重介紹估算三角鎖邊長精度的方法。近20年來，隨著電子計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用，以近代平差理論為基礎(chǔ)的控制網(wǎng)優(yōu)化設(shè)計(jì)理論獲得了迅速地發(fā)展。例如，僅在表達(dá)控制網(wǎng)質(zhì)量的指標(biāo)方面，無論在廣度和深度上，均非過去所能比。2.3.1精度估算的目的和方法精度估算的目的是推求控制網(wǎng)中邊長、方位角或點(diǎn)位坐標(biāo)等的中誤差，它們都是觀測量平差值的函數(shù)，統(tǒng)稱為推算元素。估算的方法有兩種。公式估算法此法是針對某一類網(wǎng)形導(dǎo)出計(jì)算某種推算元素(例如最弱邊長中誤差)的普遍公式。由于這種推算過程通常相當(dāng)復(fù)雜，需經(jīng)過許多簡化才能得出有價值的實(shí)用公式，所以得出的結(jié)果都是近似的。而對另外一些推算元素，則難以得出有實(shí)用意義的公式。公式估算法的好處是，不僅能用于定量地估算精度值，而且能定性地表達(dá)出各主要因素對最后精度的影響，從而為網(wǎng)的設(shè)計(jì)提供有用的參考。推導(dǎo)估算公式的方法以最小二乘法中條件分組平差的精度計(jì)算公式為依據(jù)，現(xiàn)列出公式如下。設(shè)控制網(wǎng)滿足下列兩組條件方程式av+av+…+av+w=0122nna(I)bv+bv+…+bv+w-022nnbrv+rv+…+rv+w-01122nnr(II)推算元素F是觀測元素平差值的函數(shù)，其一般形式為F=9(1+v,l+v,…，l+v)式中，1為觀測值，P為其權(quán)，￥為其相應(yīng)的改正數(shù)：實(shí)際上v的數(shù)值很小，可將上式iiii按臺勞級數(shù)展開，并舍去二次以上各項(xiàng)，得到其線性式式中F=F+fv+fv+…+fv01122(I)式中F=F+fv+fv+…+fv01122nn(2-1)根據(jù)兩組平差的步驟，首先按第一組條件式進(jìn)行平差，求得第一次改正后的觀測值，然后改化第二組條件方程式。設(shè)改化后的第二組條件方程式為則F的權(quán)倒數(shù)為Av+則F的權(quán)倒數(shù)為Av+Av+?--+Av+w二A=01122Bv+Bv+.?+Bv+W二=01122nnB「1「心Laf12「p1L虬J2「PT1AL]2P1BL「-1P2P~PF—aa]]PI—..,—bb1]P—「AA]]Pi「BB-1P如果平差不是按克呂格分組平差法進(jìn)行的，（2-2）即全部條件都是第一組，沒有第二組條件，則在計(jì)算權(quán)倒數(shù)時應(yīng)將上式的后兩項(xiàng)去掉。（2-3）F的中誤差為（2-3）'_Lm=±p,|F式中，日為觀測值單位權(quán)中誤差。程序估算法此法根據(jù)控制網(wǎng)略圖，利用已有程序在計(jì)算機(jī)上進(jìn)行計(jì)算。在計(jì)算過程中，使程序僅針對所需的推算元素計(jì)算精度并輸出供使用。通常這些程序所用的平差方法都是間接平差法。設(shè)待求推算元素的中誤差、權(quán)（或權(quán)系數(shù)）分別為M、P（Q），后者與網(wǎng)形和邊角觀測值權(quán)的比例有關(guān)（對邊角網(wǎng)而言），不具有隨機(jī)性。至于單位權(quán)中誤差目，對驗(yàn)后網(wǎng)平差來說，是由觀測值改正數(shù)求出的單位權(quán)標(biāo)準(zhǔn)差的估值，具有隨機(jī)性。但對于設(shè)計(jì)的控制網(wǎng)來說，用于網(wǎng)的精度估算，可取有關(guān)規(guī)范規(guī)定的觀測中誤差或經(jīng)驗(yàn)值。這時需要計(jì)算的主要是了:或‘‘a(chǎn)，所用程i2.3.2三角鎖推算邊長的精度估算序最好具有精度估算功能。否則，應(yīng)加適當(dāng)修改，以使其自動跳過用觀測值改正數(shù)計(jì)算目的程序段，而直接由用戶將指定值賦給日。如此計(jì)算出的M即為所需結(jié)果。在這種情況下，運(yùn)行程序開始時應(yīng)輸入由網(wǎng)圖量取的方向和邊長作為觀測值，各觀測值的精度也應(yīng)按設(shè)計(jì)值給出。輸入方式按程序規(guī)定進(jìn)行。2.3.2三角鎖推算邊長的精度估算單三角形中推算邊長的中誤差圖2-8中，設(shè)s為三角形的起算邊，s為推算邊，A、B、C為角度觀測值，于是由s°推算s的函數(shù)式為

sinAs-s0sinB單三角形中有下列圖形條件A+B+C-180=0按角度平差時，條件方程式的系數(shù)為a=+1，a=+1，a=+1s對角度a、B、C的偏導(dǎo)數(shù)（各角以弧度為單位）如下8scosAsinAcosA人AdA0sinB0sinBsinAf=-scotB，f=0設(shè)角A、B、C為等精度觀測，中誤差為m，，，代入（2-2）式（去掉后兩項(xiàng)）得[ff]=s2(cot2A+cot2B)[af]=s2(cotA一cotBsinAs-s0sinB1=s2（cot2A+cot2B）-1s2（cotA-cotB）2='s2（cot2A+cot2B+cotAcotB）P33s將上式的結(jié)果代入（2-3）式，并注意上式在求導(dǎo)數(shù)時角度是以弧度為單位的，因而相應(yīng)的測角中誤差也應(yīng)化成以弧度為單位，即為丈，于是可得P”m"'1m",‘2m="I=\|—s2（cot2A+cot2B+cotAcotB）s寫成相對中誤差的形式為m=—-（cot2A+cot2B+cotAcotB）（2-4）sp"3過去經(jīng)常使用邊長對數(shù)的中誤差，為此可利用微分式ds

dlgs=p—s式中，p=0.43429為常用對數(shù)的模，將上式換成中誤差的形式有（2-5）（2-6）式中的mi是以對數(shù)第6位為單位的。于是（2-5）式又可改寫為m=m”~\I—(cot2A+cot2B+cotAcotB)（2-6）lgsp"3將上式右端的土虹乘以根號內(nèi)的cotA和cotB可得■2o。…m,,-m勺-(82+52+55)(2-7)式中H?106cotAP”U?106cotBP”(2-8)5的含義可以這樣理解，因?yàn)閐1gsinA=U'cotAdAP”（以以秒為單位）當(dāng)辦=1"時U，cotAd1gsinA=P"左端為正弦對數(shù)每秒的增量，在對數(shù)表上即為相應(yīng)每1”的正弦對數(shù)表列值之差，簡稱為正弦對數(shù)每秒表差。若以對數(shù)第6位為單位，則上式可寫為由此可見若令d1gsinA=U'cotA106=5

p"A5A等于角A的正弦對數(shù)每秒表差（以對數(shù)第6位為單位）。5A+5B+5A5B=R（2-9）則(2-7)式可寫為（2-10）表2-5r=52+8；+%%（以對數(shù)第六位為單位）140,J38136134132130*128126124122120,118116114112110*108106104102100c989620°100625.225.425.625.826.126.426.727.027,327.627.928.228.628.929,329.630.030.330.731.131.S31,832.23；2290.820.420,520.720.921.121.32L521.822.022.322.622.923.223.423.824.124.324.625.025?425-726.12(2483.274.267.116.816.917*017.117.217,517.717.918.118.318.618.819.119.319.619.920.120.420.721.02L4212677.168.361.455.914.014.014.114.214.414.514.714.915,115.315.515.715.916,216.416.616.917.217.417.72872.163.556.851.447.01L81L81L912.012.112.212.312.512.712*813.013.213,413.713-914-114.514.614.92D*68.27&68,78.7&88.97.37.47.41.57.66.36.36.46.46.55.45.55.55.518.94.74-74.88.7810,89.88.98.17.46.710.39.38.47.77.06.49.98.98.07.36.66.09.58.S7.76.96.25.713,81,01.1183.53.20.9053.22,92.6022.92,72.42.22.72.42.22-52.22,02.32.01,82.1】.91,62.01.7L51如果已知的不是測角中誤差初，，，而是方向中誤差r,,（有關(guān)方向和方向觀測的概念見第三章），則利用關(guān)系代入（2-10）式可得■4

m=r-R（2-11）14（2-11）=一RPs3由（2-9）和（2-8）式可知R與三角形的內(nèi)角有關(guān)，亦即與三角形的形狀有關(guān)。通常將工稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)，也就是以方向的權(quán)為單位權(quán)，三角形推算邊（一般是Plgs指精度最差的邊，即最弱邊）邊長對數(shù)的權(quán)倒數(shù)稱為三角形的圖形權(quán)倒數(shù)。關(guān)于圖形權(quán)倒數(shù)的這個定義不僅適用于三角形，也適用于下面講述的大地四邊形等其他圖形。為了便于計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)，已將R列成數(shù)表，以角度A,B為引數(shù)查?。ㄒ姳?-5）。三角形的最有利形狀以上導(dǎo)出了三角形的圖形權(quán)倒數(shù)公式，并說明了它同三角形的形狀有關(guān)。由此，我們自然會提出什么樣的三角形圖形權(quán)倒數(shù)最小，亦即推算出的邊長精度最高的問題。為了便于研究，選取（2-6）式進(jìn)行分析。圖2-9令Q=cot2A+cot2B+cotAcotB。欲使-」最小，亦即m］最小，則應(yīng)使Q最小。圖2-9lgs表面看來這是個多元極值問題，但應(yīng)注意，A,B,C三個角為三角形的內(nèi)角，此外由圖2-8,從已知邊％推求任一邊s或s'應(yīng)使它們精度相等，則應(yīng)使A=C。于是考慮這兩個條件，可寫出B=180?！ˋ+C）=180?！?A因而使Q最小變成了一元極值問題。首先求出1一cot2AcotB=cot(180。—2A)=—cot2A=2cotA將上式代入Q表達(dá)式內(nèi)，得到Q=cot2A+(1—cot2A)2+cotA(1—cot2A)=3cot2A+^tan2A2cotA2cotA44為了求。的極小值，將上式對A取一階導(dǎo)數(shù)，并令其為零，則

=-~cotA-csc2A+—tanAsec2A=0dA22經(jīng)整理得方程tan4A=3因此A=52。46'=C，B=180?！?A=74。28'這個結(jié)果說明，以$0為底邊，角度a=C=52。46'的等腰三角形，對推算邊長的精度最為有利。然而上述結(jié)果只是從推算邊長精度最高這一要求得出的。如果用這種等腰三角形布設(shè)三角鎖，則三角形的邊長將越來越短（見圖2-9），因而將無法擴(kuò)展下去。這說明實(shí)際布網(wǎng)時不能只從精度考慮，而必須顧及各方面的條件。若按正三角形布網(wǎng)，則不僅點(diǎn)位密度均勻而且正三角形的r值（=4.4）與上述最有利圖形（=4.0）也比較接近。因此從兩個方面的要求綜合考慮，可以認(rèn)為正三角形是布網(wǎng)的理想圖形。三角形鎖中推算邊長的中誤差圖2-10代表一段三角形單鎖，其中$為起算邊，$,$,$,...,$為傳距邊。在每個三角形中與傳距邊相對的角為傳距角，用A和B表示。三角形中另一個角用C表示，稱為間隔角，與之相對的邊稱為間隔邊。'''設(shè)三角形單鎖是按角度觀測和按角度平差的，也就是所有A,B,C,A,B,C,...等角都是等精度獨(dú)立觀測值并按此參加平差。現(xiàn)在導(dǎo)出計(jì)算$的邊長對數(shù)中誤差的公式。n圖2-10由圖2-10可以看出$是由$依次經(jīng)過第1，第2，…，第n個三角形推算而得的，由于在平差時只是將第/個三角形的角度閉合差平均分配在三個內(nèi)角a、B、C上，因此平差后只有這三個內(nèi)角是相關(guān)的，而'''不同三角形之間各角是互不相關(guān)的。于是每個三角形對推算邊長，所產(chǎn)生的誤差可以認(rèn)為是互相獨(dú)立的。因而根據(jù)協(xié)因數(shù)傳播律可知，由起始邊$通過各三角形推算最末邊$的權(quán)倒數(shù)將是各三角形圖形權(quán)倒數(shù)之制，即上=4￡R（2-12）P3ig$n1圖2-10大地四邊形和中點(diǎn)多邊形推算邊長的中誤差圖2-11在兩相鄰三角形內(nèi)加測一條對角線所構(gòu)成的圖形，稱為大地四邊形，如圖2-11、2-12所示。這種圖形在工程控制網(wǎng)中應(yīng)用頗廣，例如橋梁三角網(wǎng)，通常就采用一個或幾個大地四邊形構(gòu)成。圖2-13所示的圖形為中點(diǎn)多邊形。大地四邊形和中點(diǎn)多邊形都是構(gòu)成三角網(wǎng)的主要圖形。圖2-11、2-12和2-13中的,是已知邊，s是推算邊。圖2-11和2-12兩種圖形中既含有若干圖形條件(前者有3個)又含有一個極條件.因此不易推出邊長中誤差的普遍公式。圖2-11圖2-12對于大地四邊形，此處只給出兩種典型情況的圖形權(quán)倒數(shù)公式。一種是圖2-11(a)所示的矩形大地四邊形和圖2-12(a)所示的菱形大地四邊形(由兩個等邊三角形加測對角線所構(gòu)成的圖形)。按方向平差時它們的圖形權(quán)倒數(shù)如下：矩形大地四邊形1=0.75￡R(2-13)P矩菱形大地四邊形=1.25￡R(2-14)，菱式中￡R=R+R(見圖2-11(b)和圖2-12(b)、(c))。在圖2-12(a)中，如果不加測長對角線II-W，而按圖2-12(b)計(jì)算三角形單鎖的圖形權(quán)倒數(shù)，則得上=1.33￡R(見(2-12)式)。與(2-14)式比較，可見加測長P對角線后，￡R前面的系數(shù)僅由1.33降低為1.25,這說明圖形強(qiáng)度增強(qiáng)很少。但長對角線給觀測帶來困難，如在平地還須增加覘標(biāo)高度。由此可見，在兩個近似等邊的三角形內(nèi)一般不宜加測長對角線。雖然對于任意角度的大地四邊形計(jì)算圖形權(quán)倒數(shù)的普遍公式不易求得，但是在實(shí)際作業(yè)中所選出的大地四邊形通?？偸墙橛诰匦闻c菱形大地四邊形之間，因此可近似地取(2-13)式和(2-14)式中系數(shù)的平均值，作為計(jì)算任意角度大地四邊形圖形權(quán)倒數(shù)的系數(shù)，即—=￡R(2-15)P四按上式計(jì)算大地四邊形權(quán)倒數(shù)時有兩個不同的推算路線(見圖2-11(b)和圖2-12(c))，應(yīng)取其中較小的￡r?！阹較小的那條推算路線又稱最佳推算路線。對于中點(diǎn)多邊形，現(xiàn)給出三種圖形的最弱邊邊長對數(shù)的權(quán)倒數(shù)如下：中點(diǎn)五邊形-=0.75￡RP

中點(diǎn)六邊形—=0.72ZRP中點(diǎn)七邊形—=1.05ZRP圖2-13可見采用中點(diǎn)五邊形或中點(diǎn)六邊形較為有利。實(shí)際作業(yè)時所選定的中點(diǎn)多邊形一般不符合等邊情況，因此計(jì)算權(quán)倒數(shù)時常采用近似公式=Zr（2-16）P中用上式計(jì)算中點(diǎn)多邊形圖形權(quán)倒數(shù)，同樣存在兩條推算路線（見圖2-13（b）和圖2-13（c）），應(yīng)取其中較小的Zr?；旌湘i段圖形權(quán)倒數(shù)的計(jì)算實(shí)際作業(yè)時，由于受地形條件限制等原因，所選定的三角鎖段常常是由幾種圖形混合組成的三角鎖（見圖2-14）。估算這種鎖段的圖形權(quán)倒數(shù)時，先按下列各式計(jì)算出每種圖形的圖形權(quán)倒數(shù)：三角形p=；Zr（2-17）大地四邊形-1=Zr（2-18）P四中點(diǎn)多邊形工=ZR（2-19）P中式中的R根據(jù)傳距角由表2-5查出。但應(yīng)注意，對后兩種圖形應(yīng)取最佳推算路線求ZR。然后取鎖段傳算路線上各圖形權(quán)倒數(shù)之和，即為推算邊長s的圖形權(quán)倒數(shù)L=Z-1（2-20）pPlgs對圖2-14所示的鎖段，推算邊長s的圖形權(quán)倒數(shù)為1P

lgs4vV"Vvv=一(ZR+ZR+ZR)+Z1P

lgs113111圖2-14圖2-14應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是（2-17）?（2-19）各式的單位權(quán)中誤差應(yīng)為方向中誤差「，，，于是最弱邊邊長對數(shù)的中誤差為mig$rr”\件mig$rr”\件￡R3(2-21)又由（2-5）式可知(2-22)m

ig$(2-22)^?106以上的分析均未顧及起算邊邊長誤差的影響。然而三角網(wǎng)平差后推算邊長的精度不僅受水平角觀測誤差的影響，而且還受起算邊邊長誤差的影響。在獨(dú)立三角網(wǎng)中，這兩種誤差影響是彼此無關(guān)的、互相獨(dú)立的。設(shè)起算邊長相對中誤差為堯，其邊長對數(shù)中b誤差為mib，當(dāng)顧及起算邊長誤差的影響時，按誤差傳播定律，（2-21）式應(yīng)改寫為migmig$兩端有起算邊的三角形單鎖最弱傳距邊邊長的中誤差建立控制網(wǎng)時，為了提高精度，常在三角鎖的兩端布設(shè)起算邊。當(dāng)鎖兩端有起算邊$和$時，最弱傳距邊大體上在鎖的中央，即$（見圖2-15）。12中圖2-15圖2-15設(shè)該鎖按角度觀測和按角度平差，可設(shè)想把全鎖分為互相獨(dú)立、大體相等的兩個分段，分界邊為$（見圖2-15）。由兩端起算邊$和$分別推算$邊長，可以得到兩個中12中互相獨(dú)立的數(shù)值s，和S”，然后取其帶權(quán)平均值。中中(2-24)式中p，、p"分別為s、s中的權(quán)，則s中的權(quán)為P'+P”。設(shè)m、m"分別為s,、s”的中誤差，單位權(quán)中誤差為H2,則有s中s(2-24)式中p，、p"分別為s、s中的權(quán)，則s中的權(quán)為P'+P”。設(shè)m、m"分別為s,、s”的中誤差，單位權(quán)中誤差為H2,則有s中s中中中口2P'=^—，H2=P，m，中s中此外，由于權(quán)與誤差的平方成反比，故有(2-25)P"m2=s中P'm"2s中（2-26）已知s中的權(quán)，再由（2-25）式可寫出s中的中誤差