控制測量概述及坐標計算

第十講控制測量概述及坐標計算一控制測量概述L1一rm一匚■根據(jù)測量工作的基本原則，測繪地形圖或工程放樣，都必須先在整體范圍內(nèi)進行控制測量，然后在控制測量的基礎上進行碎部測量或施工放樣。因此控制測量的目的就是為地形圖測繪和各種工程測量提供控制基礎和起算基準，其實質(zhì)是測定具有較高精度的平面坐標和高程的點位，這些點稱L1為控制點,控制測量提供了控制點的精確位置，并以控制點的位置來確定碎部點的位置.測定地物地貌特征點位置的工作稱為碎部測量.L1一rm一匚■L1riLJ=控制測量分為平面控制測量和高程控制測量.平面控制riLJ=一,國家控制測量一rm一匚■家測繪部門按照逐級控制逐級加密的原則，在全國范一rm一匚■家平面控制網(wǎng)建立的主要方法有三角測量、精密導線^量及GPS定位^量.三角測量是將相鄰控制點連接成三角形，組成網(wǎng)狀，稱平面三角控制網(wǎng)，三角形的頂點稱為三角點，如圖形5-1()所示。在平面三角控制網(wǎng)中，量出一條邊的長度，測出各三角形的內(nèi)角，然后用三角學中的正弦定理逐一推算出各三角形的邊長，再根據(jù)起始點的坐標和起始邊方位角以及各邊的邊長，推算出各控制點的平面坐標，這種測量方法稱為三角測量。精密導線測量是將一系列相鄰控制點連成折線，如圖形5-1(b)所示。采用精密儀器測角并用測距儀測距，然后根據(jù)已知坐標和坐標方位角精確地計算出各點的平面位置，這種測量稱為精密導線測量精密導線已成為國家高級網(wǎng)的布設形式之一，因為它比三角測量方便,迅速■靈活。GPS定位是衛(wèi)星全球定位系統(tǒng)的簡稱。GPS定位測量具有高精度、全天候,高效率,多功能,操作簡便的特點，可局時精確測定點的三維坐標(X,Y,H),與常規(guī)控制測量(三角測量.三邊測量.導線測量)相比，有許多優(yōu)點。目前，經(jīng)典的平面控制測量正逐漸被GPS定位測量所取代。圖5—1三角網(wǎng)與導線國家控制網(wǎng)根據(jù)它的精度不同，分為一、二、三、四等。一等三角網(wǎng)為條帶形的鎖狀，稱一等三角鎖，沿著經(jīng)緯線方向縱橫交叉地布滿全國，形成統(tǒng)一的骨干控制網(wǎng)。在一等鎖環(huán)內(nèi)逐級布測二、三、四等三角網(wǎng)。一等三角網(wǎng)的精度最高，除作低等級的平面控制外，還為研究地球形狀和大小以及人造衛(wèi)星的發(fā)射等科研問題提供資料;二等三角網(wǎng)作為三、四等三角測量的基礎；三、四等三角網(wǎng)是測圖時加密控制點和其他工程測量之基礎。各點均埋設有標石，豎立覘標。這些控制點將長期保存，作為全國一切測量工作的基本依據(jù)。新中國成立后，我國的測繪工作者通過艱苦奮斗，按照中華人民共和國大地測量法式和規(guī)范，在全國布測了一、二等三角點和導線點約五萬個；根據(jù)地形測圖和工程測量的需要，在一、二等網(wǎng)內(nèi)加密了數(shù)以萬計的三、四等三角點。在我國幅員遼闊的土地上，已經(jīng)形成了一個以三角網(wǎng)和精密導線網(wǎng)混合組成的高精度的平面控制體系。1982年我國測繪工作者采用了大型電子計算機計算全國大地控制網(wǎng)，將一百多萬個原始數(shù)據(jù)輸入計算機，解算了三十一萬個矛盾方程組，解出了十六萬個未知數(shù)，從而完成了五萬個三角點和導線點的大地平面坐標計算任務。其計算規(guī)模之大不僅在我國前所未有，在國際上也實屬罕見。這些控制測量成果在我國四個現(xiàn)代化的建設中，起著十分重要的作用。國家高程控制網(wǎng)是用水準測量方法建立的，所以又稱為國家水準網(wǎng)。國家水準網(wǎng)按控制次序和施測精度分為一、二、三、四等，其中一、二等構(gòu)成全國高程控制的骨干，三、四等直接為測圖和工程提供高程控制點。一等水準網(wǎng)：沿地質(zhì)構(gòu)造穩(wěn)定、交通不太繁忙、地勢平緩的交通路線布設構(gòu)成網(wǎng)狀，環(huán)線周長1000-2000km,視地形條件而定。二等水準網(wǎng)：是國家高程控制的全面基礎，在一等水準環(huán)內(nèi)沿主要公路、鐵路及河流布設，環(huán)線周長500-750km。三、四等水準網(wǎng)：在高等水準環(huán)內(nèi)進一步加密。三等水準網(wǎng)布設成附合路線，并盡量交叉，環(huán)線長不超過300km,單獨的附合路線不超過200km。四等水準一般以附合路線形式布設在高等水準點之間，附合路線長不超過80屈。二、礦區(qū)控制測量概述在一個礦區(qū)內(nèi)，當國家控制點較少時，為了滿足地質(zhì)勘探、礦井建設和生產(chǎn)的需要，應根據(jù)礦區(qū)范圍的大小，顧及發(fā)展遠景，在國家控制點的基礎上，加密礦區(qū)首級控制網(wǎng)網(wǎng)中的控制點也要埋石造標，永久保存?？刂泣c的測算成果是礦區(qū)一切測量工作的基本依據(jù)。礦區(qū)控制網(wǎng)的主要作用在于保證礦區(qū)開發(fā)的各個階段中所進行的地形測圖和工程測量的需要。例如在地質(zhì)勘探階段，需要測繪比例尺為1:5000或者1:10000的地形圖；在礦井設計、施工和生產(chǎn)階段，需要測繪1：500~1：5000的地形圖。而且各個階段有許多工程需要進行施工測量，例如鉆孔位置的標定，礦區(qū)內(nèi)的公路、鐵路、輸電線測量，井口定位、工業(yè)廣場的布置以及兩井間的巷道貫通等等，都要以礦區(qū)控制網(wǎng)為依據(jù)。我國礦區(qū)進行的大量的平面控制測量工作，都是嚴格按照國家有關(guān)規(guī)范測設的，例如《1:10001:20001:5000比例尺地形測量規(guī)范》、《工程測量規(guī)范》、《城市測量規(guī)范》等等。這些都是建立礦區(qū)測量控制網(wǎng)的重要技術(shù)文件。表5-1是礦區(qū)平面控制測量的主要技術(shù)規(guī)格與精度要求。表5-1平面控制測量的主要技術(shù)規(guī)格與精度要求等平均測角最弱邊的測回數(shù)三角形最級邊長KM中誤差(")相對中誤差J1J2J6大閉合差"四5~81.61/8000091275"2~52.51/5000069910"0.8~251/200003615

目前，各地小煤礦發(fā)展較快。那些面積小于10平方公里的小礦區(qū)，由于附近缺少國家控制點，又缺少原始測量資料，聯(lián)測比較困難。遇到這種情況時，參照表5-1測設獨立的5”或10”小三角作為礦區(qū)首級平面控制網(wǎng)（參見第一章第一節(jié)％采用獨立平面直角坐標系統(tǒng)，合理選擇坐標原點，將測區(qū)置于第一象限內(nèi)，避免X,Y值出現(xiàn)負數(shù)。可假定網(wǎng)中某點的起算坐標精確測量出網(wǎng)中三角形某邊的磁方位角作為起算方位角該邊的磁北方向即為坐標縱軸方向。這樣布測的小礦區(qū)首級控制網(wǎng)是小礦區(qū)一切測量工作的基本依據(jù)。礦區(qū)基本高程控制應在國家等級水準點的基礎上建立。一般來說，大礦區(qū)應測設三等水準作為基本高程控制，中等礦區(qū)應測設四等水準，小礦區(qū)可用等外水準作為基本高程控制。由于礦區(qū)需要測繪大比例尺的地形圖，以及要進行井上、下各種工程建筑物的定位和施工放樣工作，因此，作為礦區(qū)基本高程控制的水準路線長度應予適當縮短，以加大水準點的密度，保證各種高程測量的精度。礦區(qū)各級水準路線的布設長度，一般不應超過表5-2的規(guī)定。三、圖根控制測量概述直接用于測繪地形圖的控制點稱為圖根控制點，簡稱圖根點。對圖根點進行的平面測表5-2表5-2礦區(qū)各級水準路線的布設要求閉合環(huán)線周長與高級點間路線長結(jié)點間路線長支線長kmkmkm級量和高程測量稱為圖根控制測量，其任務是通過測量和計算，得到各點的平面坐標和高程，并將這些點精確地展繪在有坐標方格網(wǎng)的圖紙上，作為測圖控制。測圖平面控制網(wǎng)（或稱圖根網(wǎng)）是在國家三、四等三角點或礦區(qū)首級控制點的基礎之上加密測設的。這些高等級點的分布密度比較稀，不能滿足測圖的要求。以四等三角點為例，相鄰兩點間的距離通常為2~5Km，而地形圖要求兩圖根點的平均距離對1:5000的比例尺來說應不大于500m，對1:2000的比例尺應不大于350m，對1;1000的比例尺應不大于170m，對1;500的比例尺應不大于100m，因此需要在等級控制網(wǎng)以下進一步加密，建立等級更低的控制。加密圖根控制點的主要方法有小三角測量、導線測量，其次是交會定點。目前多數(shù)測繪單位已用GPS測量代替圖根控制測量。圖根高程控制測量是以三、四等水準網(wǎng)作為基本高程控制，其下布設等外水準和三角高程網(wǎng)即可作為小測區(qū)的首級控制，又可作為測圖控制。等外水準測量和三角高程測量的精度施測要求見本書第三章。二計算坐標與坐標方位角的基本公式控制測量的主要目的是通過測量和計算求出控制點的坐標控制點的坐標是根據(jù)邊長及方位角計算出來的。下面介紹計算坐標與坐標方位角的基本公式，這些公式是礦山測量工中最基本最常用的公式。一、坐標正算和坐標反算公式根據(jù)已知點的坐標和已知點到待定點的坐標方位角、邊長計算待定點的坐標，這種計算在測量中稱為坐標正算。如圖5—5所示，已知^的坐標為、，A到B的邊長和坐標方位角分別為以和七則待定點B的坐標為X廣七+AXAB}(5—1)*=yA+^AB式中AxAB、AyAB坐標增量。由圖5—5可知USABC0SaAB}(5—2)Ay=Ssina式中sab——水平邊長；aab——坐標方位角。將式(5-2)代入式(5-1),則有XB=XA+SABC0SaAB}(5—3)y=y+Ssina當A點的坐標、和邊長Sab及其坐標方位角aab為已知時，就可以用上述公式計算出待定點B的坐標。式(5—2)是計算坐標增量的基本公式，式(5—3)是計算坐標的基本公式，稱為坐標正算公式。從圖5—5可以看出％是邊長Sab在x軸上的投影長度，"是邊長Sab在y軸上的投影長度，邊長是有向線段，是在實地由A量到B得到的正值。而公式中的坐標方位角可以從0°到360°變化，根據(jù)三角函數(shù)定義，坐標方位角的正弦值和余弦值就有正負兩種情況，其正負符號取決于坐標方位角所在的象限，如圖5—6所示。從式(5—2)知，由于三角函數(shù)值的正負決定了坐標增量的正負，其符號歸納成表5—3。

圖5—5坐標計算圖5—6坐標增量符號表5—3坐標增量符號表坐標方位角所在象限坐標增量的正負號(°)/x/y0?90I++90?180II—+180?270m——270?360W+—例1已知A點坐標=100.00m,=300.10m；邊長=100m，方位角a^^=330°O求B點的坐標、。解：根據(jù)公式(5—3)有X=X+scosa=100+100-cos330°=186.1myB=yA+sBsinaAB=300.1+100-sin330o=249.6m2、坐標反算由兩個已知點的坐標計算出這兩個點連線的坐標方位角和邊長，這種計算稱為坐標反算。由式算。由式（5—1）有(5—4)Ax=x-x}(5—4)該式說明坐標增量就是兩點的坐標之差。在圖5—5中AxAB表示由A點到達B點的縱坐標之差稱縱坐標增量；Ay〃表示由A點到B點的橫坐標之差稱橫坐標增量。坐標增量也有正負兩種情況，它們決定于起點和終點坐標值的大小。在圖5—5中如果A點到B點的坐標已知，需要計算AB邊的坐標方位角aAB和邊長時則有tana二＞廣一二土ABx-xAx}(5—5)S=Mb=A，ab

ABcosasina}(5—5)SABSAB公式（5—5）稱為坐標反算公式。應當指出，使用公式（5—5）中第一式計算的角是象限角R,應根據(jù)/x、Ay的正負號，確定所在象限，再將象限角換算為方位角。因此公式（5—5）中的第一式還可表示為：R-arctan^b__1-a=arctan"'abABx-xAx例2.已知=300m,二500m,二500m,二300m求A、B二點連線的坐標方位角aAB和邊長SAB。解：由公式(5-5)有RAB=arctany——L=arctan~理^=arctan(-l)Xb-Xa500-RAB因為、為正、"為負，直線AB位于第四象限。所以Rab=NW45。根據(jù)第四象限的坐標方位角與象限角的關(guān)系得：aAB=360。-45。=315。AB邊長為：SAB=y!(xB-XA)2+(yB-yA)2=J(500-300)2+(300-500)2=282.8m坐標正算公式和坐標反算公式都是礦山測量中最基本的公式，應用十分廣泛。在測量計算時，由于公式中各元素的數(shù)字較多，測量規(guī)范對數(shù)字取位及計算成果作了規(guī)定。例如圖根控制點要求邊長計算取至毫米；角度計算取至秒；坐標計算取至厘米。二、坐標方位角的推算公式由公式(5-2)知，計算坐標增量需要邊長和該邊的坐標方位角兩個要素，其中邊長是在野外直接測量或通過三角學的公式計算得到的坐標方位角則是根據(jù)已知坐標方位角和水平角推算出來的。下面介紹坐標方位角的推算公式。如圖5-7所示，箭頭所指的方向為"前進"方向，位于前進方向左側(cè)的觀測角稱為左觀測角，簡稱左角；位于前進方向右側(cè)的角稱為右觀測角，簡稱右角。1.觀測左角時的坐標方位角計算公式在圖5—7與5—8中，已知AB邊的方位角為aAB，為左觀測角，需要求得BC邊的方位角aBe。是外業(yè)觀測得到的水平角，從圖上可以看出已知方位角a人聲左觀測角之和有兩種情況：即大于180°或小于180°。圖5—7中為大于180°的情況，圖5—8中為小于

LA/Zltr(9g一。。9￡=g用皇窣z-sSIW葛艮強目旦當夜陽朗強0曜雎.乙°o08I丁叩回朗。081￡「/'o08IWW0oO8I壬￥也茸'強曜雎孕丁叩強目旦當夜陽隼涉一導壬會強目旦當衣陽隼涉一膽彰盲：前頊。羊口宰青陽強目旦隼涉一膽墓艮強目旦B白陽隼涉一旦僧｛宙，回旦忠奧陽隼期毋晉（9-S）￥（9—S）孕當41°osi+g+g=f身釁毆坦捎58VDS°osi+q+q=q實強目旦當折祁日隼D礦Blk8—SSW孕SVDS°08I-。+Q=Q實強目旦當折祁日隼D礦BlkZ—SSW墓我強目旦當衣8-Sffi墓我強目旦當衣Z-SffiLA/Zl（9—S）°吆皇I，陽。081a前=(a—P+180°)+360°當方位角大于360°時，應減去360°，方向不變。所以上式變?yōu)閍前=以后一P右±180°(5—7)上式說明：導線中，前一條邊的坐標方位角等于后一條邊的坐標方位角減去右觀測角，其差大于180°時應減去180°，小于180°時應加上180°。使用式(5-6)與(5-7)時，還應注意相應兩條邊的前進方向必須一致，計算結(jié)果大于360°時，則應減去360°，方向不變。例3圖5-9為一條支導線，已知A點的坐標方位角a=101°28\導線A點的左觀BA測角=108°32'，M點的右觀測角=75°。試推算坐標方位角aAM、amn。圖5—9支導線解：由式（5-6）得a=a+P左土180°則有a=101°28'+108°32'—180°=30°AM由式（5-7）得a=a-P右土180°則有a釧=30°—75°+180°=135°

利用多面體的頂點坐標計算多邊形面積南海區(qū)大瀝高級中學江福松2006年6月26日在平面直角坐標系或空間直角坐標系中，經(jīng)常會遇到需要求某個多邊形的面積或多面體的體積問題。但是有時題目給的卻是多面體或多邊形的頂點的坐標。尤其是三維空間坐標。計算其面積時會比較麻煩。下面利用多面體的頂點坐標利用向量方法推導多邊形的面積。一、平面直角坐標系中坐標求面積公式的推導：(1)三角形面積：設三角形ABC的三個頂點坐標分別是(乂的),(x2,y2),(x3,y3)則AB=(x—x,j—j),AC=(x—x,j—j)。21213131令x2-x1=m,y2-y1=n；x3-x1=p,y3-y1=貝。AB=(m,n),AC=(p,q)設AB,AC夾角為，則三角形ABC的面積為:S=11AB||AC|sin=11AB||ACE1—C0S20TOC\o"1-5"\h\z22(m,n)?(p,q)、FAB||AC|：1—(,"")2I\m2+n2.%；p2+q2!mmr、^q，—(.(mn).(p,q))22Y\：m2+n2?%p2+q2~—~~一、，一.~~T；~~7:T-=—、:(m2+n2)-(p2+q2)—(mp+nq)2'1.=—\,(mq—np)2=|mq—np|2'(2)平行四邊形ABCD面積：(可以看作兩個相等三角形面積之和)S=SABD+SBCD=2SA^Bi=^mq-np|同理，對梯形，五邊形，六邊形等平面圖形，都可以將它們轉(zhuǎn)化為求三角形面積進行求解。二、空間直角坐標系中用坐標求面積公式的推導：在空間直角坐標系中由三角形ABC的三個頂點坐標分別求得z.),(x2,y2z2),(xy3z3).,,,AB=(m,n,e),AC=(p,q,f)則三角形ABC的面積為：S=11AB||AC|sin=11AB||AC|司—cos2022

TOC\o"1-5"\h\z=!|屜||d—(.(m'n，e)?(p'q'f))22tv：m2+n2+e2.、；p2+q2+f2，■,(m,n,e)-(p,q,f)、=—tm2+n2+e2?%，'p2+q2+f2.1—(——)2V\m2+n2+e2、p2+q2+f2■■-~~7-~~7~~=—弋(m2+n2+e2)-(p2+q2+f2)—(mp+nq+ef)2'■-~7~-~7~~-—=—^(mq—np)2+(mf—ep)2+(nf—ep)2'與求平面圖形面積一樣可以求出四邊形，五邊形，六邊形面積等?；蛘呖梢赃@樣記法：若AB=(x,y,z)，AC=(x,y,z)則三角形ABC的面積為111222S=iAxy—xy)2+(S=iAxy—xy)2+(xz—xz)2+(yz—yz)22122112211221公式中三組數(shù)的平方對應如下：(氣,y「z1)(X1,y1,Z(%2,y2,2)((221)2)、例題應用：例1（二維空間面積的求法）：已知平行四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別是：A（1，2），B（3，4），C（4，7），D（2，5）。求平行四邊形ABCD的面積。解：由已知：aB=（2，2）AD=（1，3）所以，平行四邊形ABCD的面積：S=S+S=2S=|^mq-np|=|2x3-2x11=4例2（三維空間面積的求法）：在空間直角坐標系中，已知三角形ABC的坐標分別是A（2，1，3），B（3，1，-2），C（5，2，4）求三角形ABC的面積。解：由已知：aB=（1，0，-5），AC=(3，1，1)所以，三角形ABC的面積為:

S=1L，(X>—xJ)2+(xz—xz)2+(yz—〉Z)22122112211221■=—.(1X1—0X3)2+(1X1—(—