人教版八年級(jí)下《第18章平行四邊形》專項(xiàng)訓(xùn)練(2)含答案

第章平行四形專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1.矩性質(zhì)與判定靈活運(yùn)名師點(diǎn)金：矩形是特殊的平行四邊形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)時(shí)還具有一些獨(dú)特的性質(zhì)．它的性質(zhì)可歸結(jié)為三個(gè)方面1)從邊看矩形的對(duì)邊平行且相等；2)從角看矩形的四個(gè)角都是直角；對(duì)角線看：矩形的對(duì)角線互相平分且相等．判定一個(gè)四邊形是矩形可從兩個(gè)角度考慮是判定它有三個(gè)角為直角二是先判定它為平行四邊形，再判定它有一個(gè)角為直角或兩條對(duì)角線相等．利用矩形的性質(zhì)與判定求線段的長(轉(zhuǎn)化思想)1．如圖，矩形紙ABCD四個(gè)角向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B在點(diǎn)M處，點(diǎn)C，D落在點(diǎn)N處，恰好拼成一個(gè)無縫隙無重疊的四邊EFGH，EH＝3cm＝4，求AD的長．(第1)利用矩形的性質(zhì)與判定判斷線段的數(shù)量關(guān)系2．如圖，ABC，∠＝，D是AC上的一點(diǎn)，BD＝，上的任意一點(diǎn)，BD，PF⊥AC，，F(xiàn)為垂足．試判線段PE，，AB間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(第2)利用矩形的性質(zhì)與判定證明角相等3．如圖，ABCD中，過點(diǎn)D⊥AB于點(diǎn)，點(diǎn)F在邊，DF＝BE，連接，BF.求證：四邊形矩形；若CF＝3，BF＝4，DF＝，求證：AF分∠(第3)利用矩形的性質(zhì)與判定求面積4．如圖，知點(diǎn)E是ABCD中邊的中點(diǎn)，連接AE并延長交DC的延長線于點(diǎn)F.連接AC，，若∠＝2ABC，求證：四邊形ABFC為矩形；在(1)的條件下，若△AFD是等邊三角形，且邊長為，求四邊形ABFC的面積．(第4)專訓(xùn)2.菱性質(zhì)與判定靈活運(yùn)名師點(diǎn)金：菱形具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)同時(shí)又具有一些特性可以歸納為三個(gè)方面：從邊看：對(duì)邊平行，四邊相等2)從角看對(duì)角相等，鄰角補(bǔ)；(3)從對(duì)角線看：對(duì)角線互相垂直平分，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．判定一個(gè)四邊形是菱形可先判定這個(gè)四邊形是平行四邊形再判定一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直，也可直接判定四邊相等．利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形的高1．如圖，eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠ACB＝，D為AB的中點(diǎn)，且AE，∥求證：四邊形是菱形；若∠B，＝6，求菱形的高．(計(jì)算結(jié)果保留根號(hào))(第1)利用菱形的性質(zhì)與判定求菱形對(duì)角線長2．如圖，矩形中，BD垂直平分對(duì)角線AC，交CGD交于B交AC于O.連接AD，求證：四邊形ABCD菱形；若為AB的中點(diǎn)，DE⊥，求∠BDC的度數(shù)；在(的條件下，若＝1，求菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD長．(第2)利用菱形的性質(zhì)與判定解決周長問題3．如圖，eq\o\ac(△,Rt)ABC中，∠＝，DE分別為AB，AC邊的中點(diǎn)，連接DE，將△繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE，連接AF.求證：四邊形ADCF是菱形；若BC8，6，求四邊形ABCF的周長．(第3)利用菱形的性質(zhì)與判定解決面積問題4如圖在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠＝90°D是的中點(diǎn)是AD中點(diǎn)，過點(diǎn)A作AF∥BC交的延長線于點(diǎn)F.求證：△AEF≌△DEB證明四邊形ADCF是菱形；若AC＝，AB＝5，求菱形ADCF面積．(第4)專訓(xùn)3.正形性質(zhì)與判的靈活用名師點(diǎn)金：正方形既是矩形又是菱形它具有矩形菱形的所有性質(zhì)判定一個(gè)四邊形是正方形，只需保證它既是矩形又是菱形即可．利用正方形的性質(zhì)解決線段和差倍分問題1．已知：正方ABCD，∠＝45°，MAN繞點(diǎn)A時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB，DC(或它們的延長線)于點(diǎn)M，N.如圖①，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A轉(zhuǎn)到BM＝DN，易證：＋當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到≠DN時(shí)圖②問圖①中的結(jié)論是否還成立？如果成立，請(qǐng)給予證明；如果不成立，請(qǐng)說明理由．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖③的位置時(shí)，線段BM，DN和間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．(第1)利用正方形的性質(zhì)證明線段位置關(guān)系2．如圖，正方形中，對(duì)角線，BD交于點(diǎn)，E，分別在OD，OC上，且DE＝CF，連接，AEAE的延長線DF于點(diǎn)求證：AM⊥(第2)正方形性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用3．如圖，P，，，S個(gè)小球分別從正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A，，C，時(shí)出發(fā)以同樣的速度分別沿CDDA的方向滾動(dòng)其終點(diǎn)分別是B，C，D，不管滾動(dòng)多長時(shí)間，求證：連接四個(gè)小球所得的四邊形總是正方形．四邊形在什么時(shí)候面積最大？四邊形在什么時(shí)候面積為原正方形面積的一半？并說明理由．(第3)專訓(xùn)特殊平行四形性質(zhì)判定的靈活用名師點(diǎn)金：特殊平行四邊形的性質(zhì)區(qū)別主要從邊及對(duì)角線三個(gè)方面進(jìn)行區(qū)分而判定主要從建立在其他特殊四邊形的基礎(chǔ)上再附加什么條件方面進(jìn)行判定．矩形的綜合性問題a．矩形性質(zhì)的應(yīng)用1．如圖，矩形紙片ABCD沿對(duì)角線AC折疊，使點(diǎn)到點(diǎn)B′位置，AB與CD交于點(diǎn)試找出一個(gè)與△AED等的三角形，并加以證明；若AB＝8DE＝3線段AC上的任意一點(diǎn)，⊥AE于點(diǎn)，⊥于點(diǎn)H，試求的值．(第1)b．矩形定的應(yīng)用2如圖，O是菱ABCD對(duì)線的交點(diǎn)∥AC∥BD，連OE.求證：四邊形OCED是矩形；＝(第2)c．矩形性質(zhì)和判定的應(yīng)用3．如圖①在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)上任意一點(diǎn)(不與B，重合)，PE⊥AB，⊥AC，BD⊥AC.垂足分別為，，D.求證：BD＝＋PF.當(dāng)點(diǎn)的延長線上時(shí)，其他條件不變．如圖②，，PF之間的上述關(guān)系還成立嗎？若不成立，請(qǐng)說明理由．(第3)菱形的綜合性問題a．菱形質(zhì)的應(yīng)用ABCDABCD4．已知：圖，在菱形中，F(xiàn)是BC上任意一點(diǎn)，連接AF交對(duì)角線BD點(diǎn)，連接EC.求證：AE＝當(dāng)∠ABC60°∠CEF＝60°時(shí)，點(diǎn)F在線段上的什么位置？并說明理由．(第4)b．菱形定的應(yīng)用5．如圖，Rt△ABC中，B＝BC5，∠C點(diǎn)從點(diǎn)C出發(fā)沿方向以每秒2個(gè)單位長的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)E從A出發(fā)沿AB方向以每1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)B速運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(t>0)過點(diǎn)D作⊥BC于點(diǎn)F，連接DE，求證：AE＝四邊形AEFD夠成為菱形嗎？如果能求出相應(yīng)的t值如果不能請(qǐng)說明理由．當(dāng)t為何值時(shí)，△為直角三角形？請(qǐng)說明理由．(第5)c．菱形性質(zhì)和判定的應(yīng)用6．(1)如圖①，紙片ABCD中，＝，＝15.過點(diǎn)A作AE⊥，?垂足為E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為()．平行四邊形

．菱形C．矩形

D．正方形如圖②，在的四邊形紙片AEE′D中，在EE上取一點(diǎn)，使EF＝4，剪下△，將它平移至△′F的位置，拼成四邊形′D.求證：四邊形′D是菱形；求四邊形AFF′D的兩條對(duì)角線的長．(第6)正方形的綜合性問題a．正方性質(zhì)的應(yīng)用7．如圖，正方形ABCD中，是上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，∥DEAG于點(diǎn)，探究線段BF，EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(第7)b．正方判定的應(yīng)用8．兩個(gè)長2，寬為的矩形擺放在直線l上(如圖①)，CE＝2，22222222將矩形ABCD繞著點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角，將矩EFGH繞著點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)相同的角度．當(dāng)旋轉(zhuǎn)到頂點(diǎn)DH重合時(shí)(如圖②)，連接，CG，求證：AED△GCD；當(dāng)α＝時(shí)(如圖③)求證：四邊形為正方形．(第8)答案專訓(xùn)11．解：折疊的性質(zhì)知∠HEM∠AEH，∠＝∠，∴∠＝∠1HEM＋∠FEM＝×＝90°.同理可得∠EHG＝∠HGF＝∠＝90°，∴四邊形EFGH為矩形HG∥EFHG＝EF.∴∠GHN∠又∵∠＝∠FME＝90°∴△HNG≌△HN＝MF.又∵HN＝∴HDMF.∴AD＝＋HD＝＋MF＝＋EF＝3＋4＝5(cm，∴AD＝5cm點(diǎn)撥：此題利用折疊提供的角相等，可證明四邊形EFGH為矩形，然后利用三角形全等來證明HN＝，進(jìn)而證明HDMF，從而將AD轉(zhuǎn)化為直角三角形EFH的斜邊HF，進(jìn)而得解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想．(第2)2．解：PEPF＝理由：過點(diǎn)作⊥ABG交于，如圖所示．∵PG⊥AB，PF⊥AC，∠＝90°∴∠A＝∠AGP＝∠＝90°.∴四邊形是矩形．∴AG，PGAC.∴∠C＝∠GPB.又∵＝DC，∴∠＝∠222222DBP.∴∠＝∠DBP.OB＝OP.∵PG⊥AB，PE⊥BD，∴∠BGO∠90°.在△BGO△PEO中，∠BGO∠＝∠OB＝OP，∴△BGO△PEO.∴BG＝PE.∵AB＝BG＋AG＝PE＋PF.3．證明∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥∴∥又∵＝DF，∴四邊形是平行四邊形．∵DEAB，∴∠＝90°.∴四邊形是矩形．∵四邊形ABCD平行四邊形，∴AB∥DC，AD＝BC.∴∠DFA＝∠FAB.由(易得△BCF為直角角形，在eq\o\ac(△,Rt)，由勾股定理，得BCCF＋BF＝3＋＝5∴＝＝5.∴∠DAF＝∠∴∠DAF＝∠FAB，即AF平分∠DAB.4證明∵四邊形ABCD為平行四邊形∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠又∵點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE.在△ABE和△FCE，∠ABE＝∠FCE，∵＝，∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝又AB∥CF四邊形ABFC為平行四邊形∴AE＝∵∠AEC為△ABE的外角∴∠＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC2∠ABC∠ABC∠EAB.∴AE＝∴AE＋EF＝＋，即AF∴邊形為矩形．222222解：∵四邊形ABFC是矩形，∴AC⊥又∵△AFD是等邊三角形，∴CF＝CD＝＝2.AC－＝23.∴

＝23×2＝43.四邊專訓(xùn)21．(1)證明：∵AE∥CD∥，∴四邊形是平行四邊形，又∵∠ACB＝90°DAB中點(diǎn)∴＝BD＝AD∴平行四邊形ADCE菱形．解如圖過點(diǎn)D作DF⊥垂足為則DF即為菱形的高，∵∠B，CD＝BD，∴BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝60°.∵∥AB，∴∠＝180°－∠，∴∠DCE＝60°，∵CDBC＝6，∴在Rt△CDF，易求得DF3，即菱形的高為33.(第1)2．(1)證明：∵垂直平分AC，∴＝，＝CDAB＝∵四邊形是矩形，∴∥AF.∴∠＝∠ABO，∠DCO∠BAO.∴△≌△AOB(AAS)．∴＝AB.∴AB＝BC＝CD＝DA.∴四邊形ABCD是菱形．解：∵E為AB的中點(diǎn)，⊥AB，∴DE垂直平分∴AD＝DB.又∵＝AB，∴△ADB等邊三角形，∴∠＝∵∥AB，∴∠∠＝1解：由菱形性質(zhì)知，OAB＝∠＝在Rt△中AB＝1，∴22222222222222221＝，∴OA＝∴BD1，3.3(1)證明∵將△點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE∴AE＝DE＝FE.∴四邊形平行四邊形．∵，分別為AB，邊的中點(diǎn)，∴DE是△ABC的中位線．∴DE∥BC.∠ACB，∴∠AED＝90°.∴⊥四邊形菱形．解在△ABC中＝AC6AB＝10.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴＝5.∵四邊形ADCF是菱形，∴AF＝FC＝AD＝5.四邊形ABCF的周長為8＋10＋5＋5＝28.4．(1)證明：∵是點(diǎn)，∴AE＝DE.∵AF∥，∴∠＝∠BDE，又∵∠AEF＝∠DEB，∴△≌△．證明：由(知，△AEF≌△DEB，則AF＝，∵D是的中點(diǎn)，∴DB＝∴AF＝CD又∵AF∥∴四邊形ADCF平行四邊形∵∠BAC1＝90°，D是的中點(diǎn)，∴AD＝DC＝BC，∴四邊形ADCF菱形．解：設(shè)菱形ADCFDC邊上的高為h，則△ABC斜邊BC的高也1×520為h∵BC＝5＋4＝41∴＝＝h＝∴菱形ADCF414141的面積為：＝×＝10.41專訓(xùn)31．解：仍有＋＝MN成立．證明如下：如圖(1)，過點(diǎn)A作AE⊥交的延長線于點(diǎn)E,易證△ABE≌△∴DN＝BEAE＝又∵∠MAN＝45°，∴∠EAM∠NAM＝，AM＝，∴EAM≌△NAM.∴ME＝MN.∵＝＋BM＝DNBM，∴BM＋DNMN.(2)DN－BM＝證明如下：如圖(2)，在上截取＝，連接AE.∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABM＝∠D＝，＝又∵BM＝DE，∴△ABM≌△ADE.∴AM＝，∠BAM＝∠DAE.∠DAB＝90°∴∠＝∵∠MAN＝，∴∠EAN＝＝∠MAN.∵AM＝AE，AN＝AN，∴△AMN≌△AEN.MNEN.∴DNDEENBM＋∴DNBM(1)(2)(第1)2．證明∵AC，BD是正方形的兩條對(duì)角線，∴⊥，OA＝OD＝OC＝OB.∵＝，∴＝在Rt△AOE與△中，OA＝OD，＝∠DOF＝90°，OE＝，∴Rt△≌△DOF.∴OAE＝ODF.∵＝，∴＋∠＝90°.∴∠DFO∠＝90°.∴∠AMF＝，即AM⊥DF.3．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠B∠＝∠D＝，AB＝＝CD又∵不管滾動(dòng)多長時(shí)間，APBQDS∴＝PB＝QC＝∴△△≌△CQR≌△DRS.∴＝QP＝，∠∠∴不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊是菱形∵∠APS∠ASP＝90°APS＋∠BPQ＝∴∠＝－(∠APS∠＝180°－＝90°.∴不管滾動(dòng)多長時(shí)間，四邊形PQRS總是正方形．解：當(dāng)Q，R，在出發(fā)時(shí)或在到達(dá)終點(diǎn)時(shí)面積最大，此時(shí)的面積就等于原正方形ABCD面積．解：當(dāng)Q，R，四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形四邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形PQRS的面積是原正方形ABCD積的一半．理由：設(shè)原正方形的邊長為222222222222222222221當(dāng)＝時(shí)，在RtAPS中，＝a－SD＝－AP.由勾股定理，得AS

2

＋AP

2

＝

，即(－AP)AP

2

1＝

，11解得AP＝同理可得＝CR＝＝∴當(dāng)，R，四點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到正方形ABCD各邊中點(diǎn)時(shí)，四邊形的面積為原正方形面積的一半．專訓(xùn)41．解：△AED≌△CEB′.證明：∵四邊形是矩形，∴＝DA，∠B＝∠D.由折疊的性質(zhì)，知BCB′C，∠B＝∠，∴B′C＝DA，∠′＝∠D.在△AED和△CEB中，＝∠B′EC，∠B，＝B′C，∴△AED≌△CEB(第1)如圖，延長HPAB于點(diǎn)M，則AB.∵∠1＝∠2，AB′，∴PM＝∵∥AB，∴∠2＝∠3，∴∠1＝∠3，∴AE＝＝8－35.在Rt△ADE中，DE＝3AE＝5，∴＝5

2

－3

＝4.∵＋PM＝，∴＋＝＝4.2．證明∵DEAC，∥BD，∴四邊形OCED是平行四邊形．∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠＝∴四邊形OCED是矩形．∵四邊形ABCD菱形，∴BCCD.∵四邊形OCED是矩形，∴OE＝CD，∴OE＝BC.(第3)3．(1)證明：如圖，過點(diǎn)B作BH⊥交FP的延長線于點(diǎn)H.∵⊥AC，PF⊥AC⊥PF，∴四邊BDFH是矩形．BD＝∵AB＝，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，AC，∴∠＝90°.∴∠EPB＝∠又∵∠＝∠FPC∴∠∵AB⊥BH∴∠PHB＝又∵PB＝，∴△PEB≌△∴PE＝，∴BD＝＝＋＝＋PE.BD＝PF.解：不成立，此時(shí)PEBDPF.理由點(diǎn)BBH⊥PF交PF的延長線于點(diǎn)H.與(同理可得BD＝HF.∴PE＝＋＝BD＋(第4)4．(1)證明：連接，如圖．∵菱形對(duì)角線，∴BD線段AC的垂直平分線，∴AE＝EC.解：點(diǎn)是段BC中點(diǎn)．理由：∵四邊形是菱形，∴AB＝CB.又∵∠ABC＝，22223322222332∴△ABC是等邊三角形，∴∠BAC＝∵AE＝，∴∠EAC＝∠∵∠CEF＝，∴∠EAC＝，∴∠EAC＝∠EAB.∴AF是△ABC角平分線．∴BF＝CF.∴點(diǎn)F線段的中點(diǎn)．5．證明：在△，∠DFC＝90°，∠C＝30°，＝2t，∴DFt，又∵AE＝t，∴＝解：能．理由如下：∵AB⊥，DF⊥，∴AE∥又∵AE＝，∴四邊形平行四邊形．在Rt△中，設(shè)AB＝x，則由∠C＝，得AC＝，由勾股定理AB＋＝AC＋(53)＝4xx＝負(fù)根舍去)，∴AB＝5.∴AC＝2AB＝∴＝AC－DC10－2t.由已知得點(diǎn)D從點(diǎn)C動(dòng)到點(diǎn)A的時(shí)間為＝5()點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)間為＝5()．10若使AEFD菱形，則需＝AD，即t＝－，解得t.符合題意．10故當(dāng)t＝s時(shí)，四邊形AEFD菱形．解：①當(dāng)∠EDF＝時(shí)，四邊形為矩形．在Rt△AED中，∠＝∠＝，5∴＝2A