數(shù)列的概念與通項(xiàng)公式

第二章數(shù)列【選題明細(xì)表】知識點(diǎn)、方法題號數(shù)列的有關(guān)概念1數(shù)列的分類2數(shù)列的通項(xiàng)公式3、6、8、9數(shù)列通項(xiàng)公式的應(yīng)用4、5、7、10、11、12基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.下列說法中正確的是(C)(A)數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}(B)數(shù)列1,0,-1,-2與-2,-1,0,1是相同的數(shù)列(C)數(shù)列｛QUOTE｝的第k項(xiàng)為1+QUOTE(D)數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n}解析:{1,3,5,7}是一項(xiàng)A錯(cuò);數(shù)雖相同,但順序不同,不是相同的數(shù)列,故選項(xiàng)B錯(cuò);數(shù)列0,2,4,6,…可記為{2n-2},故選項(xiàng)D錯(cuò),故選C.2.下列四個(gè)數(shù)列中,既是無窮數(shù)列又是遞增數(shù)列的是(C)(A)1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,…(B)sinQUOTEπ,sinQUOTEπ,sinQUOTEπ,…(C)-1,-QUOTE,-QUOTE,-QUOTE,…(D)1,QUOTE,QUOTE,…,QUOTE解析:A選項(xiàng)中的數(shù)列是遞減數(shù)列,B選項(xiàng)中的數(shù)列是擺動(dòng)數(shù)列,D選項(xiàng)中的數(shù)列是有窮數(shù)列,只有C選項(xiàng)中的數(shù)列是無窮數(shù)列且是遞增數(shù)列,故選C.3.(2022福州八縣一中高三聯(lián)考)若數(shù)列的前4項(xiàng)分別是QUOTE,-QUOTE,QUOTE,-QUOTE,則該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為(A)(A)QUOTE (B)QUOTE(C)QUOTE (D)QUOTE解析:數(shù)列中項(xiàng)的符號是先正后負(fù),故可用(-1)n+1或(-1)n-1表示,又每項(xiàng)分式的分母與項(xiàng)數(shù)n之間的關(guān)系為n+1.故選A.4.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=QUOTE,則a2022·a2022·a2022等于(C)(A)QUOTE (B)QUOTE (C)QUOTE (D)QUOTE解析:a2022·a2022·a2022=QUOTE·QUOTE·QUOTE=QUOTE,故選C.5.(2022焦作一中高二第一次月考)下列四個(gè)數(shù)中,是數(shù)列{n(n+2)}中的項(xiàng)的是(A)(A)399 (B)380 (C)39(D)23解析:令n(n+2)分別等于399,380,39,23,能求出整數(shù)解的只有399,n(n+2)=399,求得n=19.故選A.6.數(shù)列3,33,333,3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是.

解析:數(shù)列9,99,999,9999,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=10n-1,因此3,33,333,3333,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=QUOTE(10n-1).答案:an=QUOTE(10n-1)7.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=QUOTE,那么QUOTE是它的第項(xiàng).

解析:令QUOTE=QUOTE,解得n=4(n=-5舍去),所以QUOTE是第4項(xiàng).答案:4能力提升8.一張長方形桌子可坐a1=6人,按如圖所示把桌子拼在一起,n張桌子可坐人數(shù)an等于(B)(A)2n+2 (B)2n+4 (C)4n+2 (D)4n+4解析:一張桌子可坐2×1+4人,兩張桌子可坐2×2+4人,三張桌子可坐2×3+4人,依此類推,n張桌子可坐2n+4人.故選B.9.已知數(shù)列{an}的前4項(xiàng)為11,102,1003,10004,…,則它的一個(gè)通項(xiàng)公式為.

解析:由于11=10+1,102,1003=103+3,10004=104+4,…,所以該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是an=10n+n.答案:an=10n+n10.在數(shù)列QUOTE,QUOTE,-QUOTE,-QUOTE,-QUOTE,…中,-QUOTE是它的第項(xiàng).

解析:易知數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an=QUOTE,令QUOTE=-QUOTE,解得n=10,所以-QUOTE是數(shù)列的第10項(xiàng).答案:1011.已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an=pn+q(p,q∈R),且a1=-QUOTE,a2=-QUOTE.(1)求{an}的通項(xiàng)公式;(2)-QUOTE是{an}中的第幾項(xiàng)?(3)該數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列?解:(1)∵an=pn+q,又a1=-QUOTE,a2=-QUOTE,∴QUOTE解得QUOTE因此{(lán)an}的通項(xiàng)公式是an=(QUOTE)n-1.(2)令an=-QUOTE,即(QUOTE)n-1=-QUOTE,所以(QUOTE)n=QUOTE,n=8.故-QUOTE是{an}中的第8項(xiàng).(3)由于an=(QUOTE)n-1,且(QUOTE)n隨n的增大而減小,因此an的值隨n的增大而減小,故{an}是遞減數(shù)列.探究創(chuàng)新12.已知數(shù)列{QUOTE};(1)求這個(gè)數(shù)列的第10項(xiàng);(2)QUOTE是不是該數(shù)列中的項(xiàng),為什么?(3)求證:數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)間(0,1)內(nèi);(4)在區(qū)間(QUOTE,QUOTE)內(nèi)有無數(shù)列中的項(xiàng)?若有,是第幾項(xiàng)?若沒有,說明理由.(1)解:設(shè)an=f(n)=QUOTE=QUOTE=QUOTE.令n=10,得第10項(xiàng)a10=f(10)=QUOTE.(2)解:令QUOTE=QUOTE,得9n=300.此方程無正整數(shù)解,所以QUOTE不是該數(shù)列中的項(xiàng).(3)證明:∵an=QUOTE=1-QUOTE,又n∈N*,∴0<1-QUOTE<1,∴0<an<1.∴數(shù)列中的各項(xiàng)都在區(qū)