高中數(shù)學(xué)第三章不等式34不等式的實際應(yīng)用名師講義-8225

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精3。4不等式的實質(zhì)應(yīng)用比較法在實責(zé)問題中的應(yīng)用[典例］某單位組織職工去某地參觀學(xué)習(xí)需包車前往．甲車隊說：“如領(lǐng)隊買全票一張，其他人可享受7。5折優(yōu)惠”．乙車隊說：“你們屬集體票，按原價的8折優(yōu)惠”．這兩車隊的原價、車型都是相同的，試依照單位去的人數(shù),比較兩車隊的收費哪家更優(yōu)惠．［解]設(shè)該單位有職工n人（n∈N），全票價為x元，坐甲車需花y元,坐乙車需花y2＋1元，則y1＝x＋錯誤!x(n－1）＝錯誤!x＋錯誤!xn,y2＝錯誤!xn，因此y1－y2＝錯誤!x＋錯誤!xn－錯誤!xn＝錯誤!x－錯誤!xn1x錯誤!.4當(dāng)n＝5時，y1＝y(tǒng)2;當(dāng)n＞5時,y1＜y2；當(dāng)0＜n＜5時，y1＞y2。因此當(dāng)單位人數(shù)為5時，兩車隊收費相同；多于5人時,選甲車隊更優(yōu)惠；少于5人時，選乙車隊更優(yōu)惠．有關(guān)不等式的應(yīng)用中，若涉及誰優(yōu)、誰劣、誰省、哪一種方案更好等問題，都可歸納為依照不等式的性質(zhì)比較大小的問題,解題時常常用作差法比較，從而獲得正確結(jié)論．［活學(xué)活用］有一批貨物成本為a元,若是本月初銷售,可贏收益100元；若是下月初銷售，可贏收益120元．若本月初銷售后把本利投資某小商品，月收益為2%；若下月初銷售，則要付5元保管費，試問是本月初銷售好，還是下月初銷售好？并說明原由．解:若本月初銷售，則在下月初可盈利100＋（100＋a)×2%＝102＋0。02a（元)；若下月初銷售，則可盈利120－5＝115(元）．∵0。02a＋102－115＝0。02a－13，∴當(dāng)0.02a－13＞0，即a＞650時，本月初銷售好；當(dāng)a＝650時,本月初銷售和下月初銷售盈利相同；當(dāng)a＜650時,下月初銷售好。一元二次不等式的實質(zhì)應(yīng)用[典例]某摩托車生產(chǎn)企業(yè)，上年度生產(chǎn)摩托車的投入成本為1萬元/輛，出廠價為1。2萬元/輛，年銷售量為1000輛．今年度為適應(yīng)市場需求，計劃提高產(chǎn)品品位，適當(dāng)增加投入成本．若每輛車投入成本增加的比率為x(0<x<1），則出廠價相應(yīng)的提高比率為0.75x,同時預(yù)計年銷售量增加的比率為0.6x。已知年收益＝(出廠價－投入成本）×年銷售量．(1)寫出今年度預(yù)計的年收益y與投入成本增加的比率x的關(guān)系式；-1-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精(2)為使今年度的年收益比上年度有所增加，問投入成本增加的比率x應(yīng)在什么范圍內(nèi)？［解］（1)由題意，得y＝［1.2×（1＋0.75x)－1×(1＋x)]×1000×(1＋0.6x）（0<x1)，整理得y＝－60x2＋20x＋200（0〈x〈1)．要保證今年度的收益比上年度有所增加，當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!即錯誤!解不等式組，得0〈x<錯誤!，因此為保證今年度的年收益比上年度有所增加，投入成本增加的比率x的范圍為錯誤!。用一元二次不等式解決實責(zé)問題的步驟(1）理解題意，搞清量與量之間的關(guān)系；(2）建立相應(yīng)的不等關(guān)系,把實責(zé)問題抽象為數(shù)學(xué)中的一元二次不等式問題；3)解這個一元二次不等式，獲得實責(zé)問題的解．[活學(xué)活用］某校園內(nèi)有一塊長為800m,寬為600m的長方形地面,現(xiàn)要對該地面進(jìn)行綠化，規(guī)劃四周種花卉(花卉帶的寬度相同)，中間種草坪，若要求草坪的面積不小于總面積的一半，求花卉帶寬度的范圍．解：設(shè)花卉帶的寬度為xm（0<<600)，則中間草坪的長為（800－2）m，寬為(600－2）xxxm.依照題意可得(800－2x）(600－2x)≥錯誤!×800×600，整理得x2－700x＋600×100≥0，即(x－600）(x－100)≥0，因此0＜x≤100或x≥600，x≥600不吻合題意，舍去．故所求花卉帶寬度的范圍為（0,100］m。均值不等式在實責(zé)問題中的應(yīng)用［典例]某汽車企業(yè)購買了4輛大客車，每輛200萬元，用于長途客運，預(yù)計每輛車每年收入約100萬元,每輛車第一年各種花銷約為16萬元，且從第二年開始每年比上一年所需花銷要增加16萬元．（1)寫出4輛車運營的總收益y（萬元）與運營年數(shù)x(x∈N＋)的函數(shù)關(guān)系式；（2）這4輛車運營多少年,可使年平均運營收益最大?[解]（1)由于每輛車x年總收入為100x萬元，總支出為200＋16×（1＋2＋＋x)＝200＋錯誤!x（x＋1)·16＝200＋8x(x＋1）(萬元）．則y＝4[100x－200－8x(x＋1)]16（－2x2＋23x－50)(萬元）．（2)年平均收益為錯誤!＝16錯誤!16錯誤!.∵x∈N＋,∴x＋錯誤!≥2錯誤!＝10,-2-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng)且僅當(dāng)x＝5時,等號建立，此時錯誤!≤16×(23－20)＝48。因此，運營5年可使年平均運營收益最大，最大收益為48萬元．（1)圖析解不等式應(yīng)用問題的步驟錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!錯誤!(2）利用均值不等式求最值．要注意等號建立的條件以及合理的對式子進(jìn)行分解、組合等．［活學(xué)活用］某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建筑一棟最少10層、每層2000平方米的樓房．經(jīng)測算，若是將樓房建為(x≥10）層，則每平方米的平均建筑花銷為560＋48xx（單位：元）．為了使樓房每平方米的平均綜合花銷最少,該樓房應(yīng)建為多少層？錯誤!解：設(shè)樓房每平方米的平均綜合花銷為f（x）元，則f（x）＝（560＋48x）＋錯誤!＝560＋48x＋錯誤!＝560＋48錯誤!≥560＋48×2錯誤!＝2000.當(dāng)且僅當(dāng)x＝錯誤!，即x＝15∈[10,＋∞）時取等號，因此當(dāng)x＝15時，f（x）取最小值f（15)＝2000.答：為了使樓房每平方米的平均綜合花銷最少，該樓房應(yīng)建為15層．層級一學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)1．某工人共加工300個零件．在加工100個零件后，改進(jìn)了操作方法，每天多加工15個，用了不到20天的時間就完成了任務(wù)．則改進(jìn)操作方法前，每天最少要加工零件的個數(shù)為( )A．9B．10C．8D．11剖析：選A設(shè)每天最少要加工x零件．由題意得：錯誤!＋錯誤!<20，解得x〉5錯誤!或x〈－5錯誤!，設(shè)每天最少要加工9個零件．行駛中的汽車,在剎車時由于慣性作用，要連續(xù)往前滑行一段距離才能停下，這段距離叫做剎車距離．在某種路面上，某種型號汽-3-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精nv車的剎車距離s（m)與汽車的車速v(km/h)滿足以下關(guān)系：s＝100＋錯誤!（n為常數(shù)，且n∈N），做了兩次剎車試驗，有關(guān)試驗數(shù)據(jù)以下列圖，其中錯誤!則n為（）A．7B．5C．6D．8剖析：選C依題意得錯誤!解得錯誤!又n∈N，因此n＝6.3．某初版社,若是以每本2。50元的價格刊行一種圖書，可刊行80000本．若是一本書的定價每高升0.1元，刊行量就減少2000本,那么要使收入不低于200000元，這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)是（）A．2B．3C．4D．5剖析：選C設(shè)這種書的最高定價應(yīng)當(dāng)為x元，由題意得：[80000－（x－2.5）×20000］×x≥200000，解得：錯誤!≤x≤4，因此最高定價為4元．4．某產(chǎn)品的總成本y（萬元）與產(chǎn)量x（臺)之間的函數(shù)關(guān)系式為y＝3000＋20x－0。1x20＜x＜240，x∈R），若每臺產(chǎn)品的售價為25萬元,則生產(chǎn)者不虧本（銷售收入不小于總成本)時最低產(chǎn)量是（)A．100臺B．120臺C．150臺D．180臺剖析：選C由題意知3000＋20x－0.1x2≤25x?x2＋50x－30000≥0，解得x≤－200（舍去）或x≥150。5．某商場的某種商品的年進(jìn)貨量為1萬件,分若干次進(jìn)貨，每次進(jìn)貨的量相同，且需運費100元，運來的貨物除銷售外,還需租庫房存放，一年的租金按一次進(jìn)貨時的一半來計算每件2元,為使一年的運費和租金最省,每次進(jìn)貨量應(yīng)為( )A．500件B．1000件C．2500件D．5000件剖析:選B設(shè)每次進(jìn)x件花銷為y元，由y＝錯誤!＋錯誤!×2≥2錯誤!＝2000，當(dāng)錯誤!＝x，x＝1000時，y最?。?．某家庭用14。4萬元購買了一輛汽車，使用中維修花銷逐年上升，第n年維修花銷約為0.2n萬元,每年其他花銷為0。9萬元．報廢損失最小指的是購車費、維修費及其他花銷之和的年平均值最小，則這輛車應(yīng)在________年后報廢損失最?。饰觯耗昶骄靛e誤!＝錯誤!＝錯誤!＋0。1n＋1≥3。4，-4-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!＝0.1n，即n＝12時，年平均值最小，因此12年后報廢損失最?。鸢?127．某地每年銷售木材約20萬m3,每立方米價格為2400元．為了減少木材耗資，決定按銷售收入的t％征收木材稅，這樣每年的木材銷售量減少錯誤!t萬m3.為了既減少木材耗資又保證稅金收入每年很多于900萬元,則t的取值范圍是________．剖析：設(shè)按銷售收入的t%征收木材稅時，稅金收入為y萬元，則y＝2400錯誤!×t%＝60(8t－t2）．令y≥900,即60(8t－t2)≥900,解得3≤t≤5.答案：［3，5］8．某企業(yè)一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，運費為4萬元/次，一年的總存儲花銷為4x萬元，要使一年的總運費與總儲藏花銷之和最小，則x＝________噸．剖析:某企業(yè)一年購買某種貨物400噸，每次都購買x噸，則需要購買錯誤!次,運費為4萬元/次,一年的總儲藏花銷為4x萬元，因此一年的總運費與總儲藏花銷之和為錯誤!萬元，而錯誤!＋4x≥160，當(dāng)且僅當(dāng)錯誤!＝4x，即x＝20時,一年的總運費與總儲藏花銷之和最?。鸢?209．甲、乙兩家飯館的老板同去商場購買兩次大米，這兩次大米的價格不相同，兩家飯館老板購買的方式也不相同，其中甲每次購進(jìn)100kg大米，而乙每次用去100元錢．問：誰的購買方式更合算？解：設(shè)兩次大米的價格分別為a元/千克,b元/千克（a，>0，≠),則甲兩次購買大米bab的平均價格是錯誤!＝錯誤!元/千克；乙兩次購買大米的平均價格是錯誤!＝錯誤!＝錯誤!元/千克．∵錯誤!－錯誤!＝錯誤!＝錯誤!>0,a＋b〉錯誤!。2∴乙飯館的老板購買大米的方式更合算．10．某同學(xué)要把自己的計算機(jī)接入因特網(wǎng)．現(xiàn)有兩家ISP企業(yè)可供選擇．企業(yè)A每小時收費1.5元；企業(yè)B在用戶每次上網(wǎng)的第1小時內(nèi)收費1.7元,第2小時內(nèi)收費1。6元,今后每小時減少0.1元(若用戶一次上網(wǎng)時間高出17小時，按17小時計算)．假設(shè)該同學(xué)一次上網(wǎng)時間總是小于17小時,那么該同學(xué)如何選擇ISP企業(yè)較省錢?解：假設(shè)一次上網(wǎng)x小時,則企業(yè)A收取的花銷為1.5x元，企業(yè)B收取的花銷為錯誤!元．若可以保證選擇A比選擇B花銷少，則錯誤!>1.5x（0〈x〈17),整理得x2－5〈0，解得0〈<5，xx-5-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精因此當(dāng)一次上網(wǎng)時間在5小時以內(nèi)時，選擇企業(yè)A的花銷少；高出5小時，選擇企業(yè)B的花銷少．層級二應(yīng)試能力達(dá)標(biāo)1．某商品在近來30天內(nèi)的價格f（t）與時間t（單位：天)的函數(shù)關(guān)系是f(t)＝t＋10（0〈t≤20，t∈N）；銷售量（)與時間t的函數(shù)關(guān)系是(）＝－t＋35（0〈≤30，t∈gtgttN),則使這種商品日銷售金額不小于500元的t的范圍為()A．[15,20］B．[10,15］C．（10,15）D．（0,10]剖析:選B由日銷售金額為（t＋10）(－t＋35)≥500，解得10≤t≤15。2。在以下列圖的銳角三角形空地中,欲建一個面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分),則其邊長x（單位：m)的取值范圍是（）A．[15,30]B．［12，25］C．［10，30]D．［20,30]剖析：選C設(shè)矩形的另一邊長為ym，則由三角形相似知,錯誤!＝錯誤!，∴y＝40－x，xy≥300，∴x（40－x)≥300，∴x2－40x＋300≤0，∴10≤x≤30。3．一種產(chǎn)品的年產(chǎn)量情況是第一年為a件,第二年比第一年增加P1%，第三年比第二年增長P2%，且P1＞0，P2＞0，P1＋P2＝2P，若是年平均增加x％，則有( )A．x＝PB．x≤PC．x≥PD．x＜P剖析：選B設(shè)三年后產(chǎn)量為y，則y＝a（1＋P1%)(1＋P2％）≤a·錯誤!2＝a·(1＋P%)2。2又∵年平均增加x%，則y＝a（1＋x%)，a(1＋x%)2≤a（1＋P%)2，∴x≤P.4．某商店銷售某種商品,每件盈利20元時,銷售量為m件，為了促銷，擬采用每銷售1件商品向顧客贈予1件小禮品的方法．試驗表示贈予價值為n(n∈N＋）元的禮品比贈予價值為n－1元的禮品銷售量增加了10％，為了獲得最大收益，應(yīng)贈予的禮品價值為（）A．9元或10元B．10元或11元C．8元或9元D．8元或10元剖析：選A設(shè)禮品價值為n元時，總收益為an，則an＝（20－n）m（1＋10％)n＝m(20－n)1.1n(0＜n＜20，n∈N＋)．依題意得錯誤!即錯誤!解得9≤≤10.由n∈N＋，知＝9或＝10。應(yīng)選A。nnn5．現(xiàn)有含鹽7%的食鹽水200克，生產(chǎn)上需要含鹽5％以上、6％以下的食鹽水，設(shè)需要-6-學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精加入含鹽4%的食鹽水為x克，則x的取值范圍是________．剖析:5%〈錯誤!〈6％,解得x的范圍是（100，400）．答案:(100，400)6．某商家一月份至五月份累計銷售額達(dá)3860萬元，展望六月份銷售額為500萬元，七月份銷售額比六月份遞加x％,八月份銷售額比七月份遞加x％，九、十月份銷售總數(shù)與七、八月份銷售總數(shù)相等．若一月份至十月份銷售總數(shù)最少達(dá)7000萬元，則x的最小值是________．剖析：七月份的銷售額為500(1＋x％），八月份的銷售額為500（1＋x％）2,則一月份到十月份的銷售總數(shù)是3860＋500＋2[500（1＋x％）＋500（1＋x%）2]，依照題意有3860＋500＋2［500(1＋x％)＋500(1＋x%）2]≥7000，即25(1＋x％)＋25（1＋x％)2≥66，令t＝1＋x％，則25t2＋25t－66≥0，解得t≥錯誤!也許t≤－錯誤!(舍去）,故1＋x%≥錯誤!，解得x≥20.答案:207．某商場預(yù)計全年分批購入每臺價值為2000元的電視機(jī)共3600臺，每批都購入x臺(x是正整數(shù)）,且每批均需付運費400元，儲藏購入的電視機(jī)全年所付保留費與每批購入電視機(jī)的總價值(不含運費)成正比，若每批購入400臺，則全年需用去運輸費和保留費共43600元．現(xiàn)在全年只有24000元資本可以用于支付這筆花銷,請問：能否合適安排每批進(jìn)貨的數(shù)量使資本夠用？寫出你的結(jié)論，并說明原由．解：設(shè)每批購入x臺，運輸費和保留費共y元，則需進(jìn)貨錯誤!次,每批進(jìn)貨總價值為2000x3600元，設(shè)全年保留費為2000kx(k＞0)元．依題意得，43600＝2000×400k