計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條(施法中長安大學(xué))

2013-2014學(xué)年第二學(xué)期碩士研究生課程《NURBS曲線曲面基礎(chǔ)》大作業(yè)課程大作業(yè)內(nèi)容：請同學(xué)們結(jié)合所學(xué)的《NURBS曲線曲面基礎(chǔ)》和《數(shù)值分析》等課程知識，研讀施法中編著的《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條》一書，寫一篇3-5萬字左右的《計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)與非均勻有理B樣條》研讀報(bào)告。報(bào)告要把握全局，重點(diǎn)研究曲線曲面的基本理論和貝齊爾一B樣條一NURBS方法；要著重論述它們的由來、基本思路或解決問題的途徑、基本概念、基本性質(zhì)、數(shù)學(xué)模型及其計(jì)算算法。報(bào)告還要對本學(xué)科的發(fā)展進(jìn)行綜述和展望。二.交卷日期：2014年6月20日前三.交卷形式：同時(shí)提高紙質(zhì)文檔和與紙質(zhì)文檔相同版本的電子文檔。四.文檔格式：要求文檔具有長安大學(xué)研究生大作業(yè)首頁、試題頁、中英文摘要、目錄和具體章節(jié)內(nèi)容，可參考長安大學(xué)碩士學(xué)位研究生論文撰寫規(guī)范的相關(guān)要求。TOC\o"1-5"\h\z摘要 8ABSTRACT 9\o"CurrentDocument"第一章緒論 10\o"CurrentDocument"CAGD的發(fā)展史研讀 10\o"CurrentDocument".CAGD研究問題描述 11\o"CurrentDocument".計(jì)算機(jī)對形狀處理的要求 12\o"CurrentDocument"第二章曲線和曲面的基本理論 13\o"CurrentDocument"1CAGD中矢量、點(diǎn)與直線 13\o"CurrentDocument"2曲線與曲面的參數(shù)表示 142.1曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識 152.2顯式、隱式和參數(shù)表示 152.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率 16\o"CurrentDocument"3曲線論知識點(diǎn) 16\o"CurrentDocument"2.4曲面論 23第三章NURBS曲線 30\o"CurrentDocument"1曲線應(yīng)用概述 30\o"CurrentDocument"2參數(shù)有理曲線 312.1參數(shù)有理曲線的定義 312.2參數(shù)有理曲線的性質(zhì) 32\o"CurrentDocument"3.3權(quán)因子的幾何意義 33\o"CurrentDocument"3.4二次曲線的NURBS表示 354.1二次曲線的隱式方程 354.2二次曲線的有理Bezier表示 364.3圓的NURBS表示 394.4有理Bezier曲線的參數(shù)變換 424.5有理二次Bezier曲線的確定 43\o"CurrentDocument"第四章曲線的幾何處理技術(shù) 46\o"CurrentDocument"1曲線求交 461.1兩直線段相交 46L2直線段與曲線段相交 461.3曲線與曲線相交 471.4Bezier曲線的離散求交算法 48\o"CurrentDocument"4.2曲線的等距線 49\o"CurrentDocument"4.3曲線的過渡 50\o"CurrentDocument"第五章參數(shù)多項(xiàng)式插值與逼近 52\o"CurrentDocument"5.1插值與逼近的問題引入 52\o"CurrentDocument"2參數(shù)差值方法簡述 522.1對數(shù)據(jù)點(diǎn)實(shí)行參數(shù)化 522.2其它方法概述 53\o"CurrentDocument"第六章參數(shù)樣條曲線曲面 55\o"CurrentDocument"2參數(shù)雙三次樣條曲面 566.2.1曲面設(shè)計(jì)技術(shù)概述 566.2.2曲面模型 576.2.3曲面造型的要求 586.2.4高維曲面 586.2.5曲面表示形式的選取 586.2.6曲面造型方法及顯示 59\o"CurrentDocument"6.3雙三次樣條函數(shù) 596.3.1雙三次樣條函數(shù)的定義 596.3.2雙三次插值樣條函數(shù)的確定 60雙三次樣條函數(shù)的表示 60邊界條件 6存在唯一性定理 6三次插值樣條函數(shù)的求解 62\o"CurrentDocument"6.4參數(shù)雙三次樣條曲面 656.4.1曲面數(shù)據(jù)點(diǎn)的參數(shù)化 656.4.2參數(shù)雙三次樣條曲面方程 676.4.3未知偏導(dǎo)矢的求解 676.4.4計(jì)算插值曲面 68\o"CurrentDocument"5FERGUSON樣條曲面 68\o"CurrentDocument"6C00NS雙三次樣條曲面 69第七章BEZIER曲面 71\o"CurrentDocument"IBfiZIER曲面的定義及性質(zhì) 71\o"CurrentDocument"7.2低次BEZIER曲面 717.2.1雙一次Bezier曲面 727.2.2雙二次Bezier曲面 727.2.3雙三次Bezier曲面 73\o"CurrentDocument"7.3DECASTELJAU算法 74\o"CurrentDocument"7.4BEZIER曲面的分割 75\o"CurrentDocument"7.5BEZIER曲面的升階 76\o"CurrentDocument"7.6BEZIER曲面的偏導(dǎo)矢與法矢 777.7非參數(shù)BEZIER曲面 78\o"CurrentDocument"7.8BEZIER曲面的矩陣表示 79\o"CurrentDocument"7.9BEZIER曲面片的C'連續(xù)性 80\o"CurrentDocument"7.10BEZIER曲面片的幾何連續(xù)性 827.10.1Gi連續(xù)性條件 827.10.2G，連續(xù)性條件 837.10.3參數(shù)曲面的G，連續(xù)性 86\o"CurrentDocument"7.11具有〃面角點(diǎn)的BfiZIER曲面片的G】拼接 86\o"CurrentDocument"第八章幾何連續(xù)性 91\o"CurrentDocument"8.3NU三次樣條曲線 93\o"CurrentDocument"8.4參數(shù)曲線幾何連續(xù)性定義 958.5幾何連續(xù)的組合BfiZIER曲線 998.5.IBezier曲線G?連續(xù)的幾何關(guān)系 998.5.2G2組合三次Bezier曲線的構(gòu)造 1018.5.3G1二次Beta樣條曲線 1078.5.4Gz三次Beta樣條曲線 108\o"CurrentDocument"8.6有理參數(shù)曲線的連續(xù)性 1098.6.1有理參數(shù)連續(xù)性條件 1108.6.2有理幾何連續(xù)性條件 1118.6.3Frenet標(biāo)架連續(xù)性 1118.6.4有理Frenet標(biāo)架連續(xù)性約束 113\o"CurrentDocument"8.7幾何連續(xù)的有理參數(shù)樣條曲線 1137.1曲率連續(xù)的有理二次樣條曲線 1137.2曲率連續(xù)的有理三次樣條曲線 1177.2.1幾何連續(xù)性條件 1177.2.2曲率連續(xù)的有理三次樣條曲線的構(gòu)造 118\o"CurrentDocument"第九章B樣條曲線曲面I 120\o"CurrentDocument"1B樣條曲線方程 120\o"CurrentDocument"9.2B樣條曲線與貝齊爾曲線差別 120\o"CurrentDocument"第十章B樣條曲線曲面II 122\o"CurrentDocument"1K次B樣條曲線 122\o"CurrentDocument"2確定問題新控制頂點(diǎn)方法 122\o"CurrentDocument"3用B樣條曲線對數(shù)據(jù)點(diǎn)整體逼近 123\o"CurrentDocument"第H^一章有理B樣條曲線曲面 124IL1有理B樣條曲線曲面（一） 1241.1基本概念 1241.2NURBS方法的優(yōu)缺點(diǎn)； 12411.1.3三種等價(jià)的NURBS曲線方程 12411.1.4權(quán)因子 12511.1.5二次曲線 12611.1.6反求曲線參數(shù)與權(quán)因子 127\o"CurrentDocument"1L2有理B樣條曲線曲面（二） 12711.2.1NURBS圓弧 12711.2.2有理三次貝齊爾曲線 128.3有理三次貝齊爾曲線方程 129\o"CurrentDocument"有理B樣條曲線曲面（三） 13111.3.1有理曲線連續(xù)性 13111.3.2齊次曲線 13111.3.3標(biāo)準(zhǔn)型有理二次貝齊爾曲線 1323.4整體有理插值 1333.5局部有理二次、三次插值步驟 1343.6NURBS曲線形狀修改方法 134\o"CurrentDocument"11.4有理B樣條曲線曲面（四） 1351k*l次NURBS曲面等價(jià)表示 135有理雙變量基函數(shù) 136曲面權(quán)因子 136常用曲面的NURBS表示 1374.5相關(guān)算法 138\o"CurrentDocument"第十二章孔斯曲面 140\o"CurrentDocument"第十三章三邊貝齊爾曲面片 141\o"CurrentDocument"第十四章個(gè)人感悟與總結(jié) 142\o"CurrentDocument"致謝 144摘要計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)系統(tǒng)的根本任務(wù)就是為產(chǎn)品的設(shè)計(jì)和開發(fā)建立起…個(gè)信息模型，曲線曲面的精確描述以及靈活操作能力是評定計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)(CAD)系統(tǒng)功能強(qiáng)大與否的重要因素。計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)制造(CAD/CAM)技術(shù)起源于汽車制造業(yè)和航天工業(yè)，正是由于汽車和飛機(jī)包含大量的復(fù)雜自由曲面，CAD/CAM技術(shù)從剛開始就和自由型曲線曲面的造型技術(shù)緊密地聯(lián)系起來，至今，曲線曲面造型模塊仍是CAD/CAM系統(tǒng)的關(guān)鍵模塊之一。NURBS就是專門做曲面物體的一種造型方法。NURBS造型總是由曲線和曲面來定義的，所以要在NURBS表面里生成一條有棱角的邊是很困難的。就是因?yàn)檫@一特點(diǎn)，我們可以用它做出各種復(fù)雜的曲面造型和表現(xiàn)特殊的效果，如人的皮膚，面貌或流線型的跑車等。精煉一條NURBS曲線的方法是在上面加更多的可控點(diǎn)。精煉能更精細(xì)地控制曲線。當(dāng)在3DMAX里精煉一條曲線的時(shí)候，軟件會保持原始的曲率(從技術(shù)上說，它保持著統(tǒng)一的節(jié)點(diǎn)矢量)。換句話說，曲線的形狀不會改變，但是相鄰的可控點(diǎn)會從新加的可控點(diǎn)那里移開。NURBS曲面與NURBS曲線本質(zhì)上有??樣的屬性。關(guān)鍵字：NURBS：造型方法；參數(shù)；曲面曲線ABSTRACTComputeraideddesign(CAD)systemisafundamentaltaskforproductdesignanddevelopmenttoestablishaninformationmodel,accuratedescriptionofcurvesandsurfacesandflexibleoperationabilityistheassessmentofcomputeraideddesign(CAD)systemisanimportantfactorandnotpowerful.Computeraideddesign/computeraidedmanufacturing(CAD/CAM)technologyoriginatedintheautomobilemanufacturingindustryandaerospaceindustry,becauseofautomobileandaircraftcontainsalotofcomplexfreesurface,theCAD/CAMtechnologyfromthebeginningandfreecurveandsurfacemodelingtechnologyclosely,sofar,oneofthekeymoduleofcurveandsurfacemodelingmoduleisCAD/CAMsystem.ANURBScurveisdefinedbyitsorder,asetofweightedcontrolpoints,andaknotvector.NURBScurvesandsurfacesaregeneralizationsofbothB-splinesandBeziercurvesandsurfaces,theprimarydifferencebeingtheweightingofthecontrolpointswhichmakesNURBScurvesrational(non-rationalB-splinesareaspecialcaseofrationalB-splines).WhereasBdziercurvesevolveintoonlyoneparametricdirection,usuallycalledsoru,NURBSsurfacesevolveintotwoparametricdirections,calledsandtoruandv.ByevaluatingaBdzieroraNURBScurveatvariousvaluesoftheparameter,thecurvecanberepresentedinCartesiantwo-orthree-dimensionalspace.Likewise,byevaluatingaNURBSsurfaceatvariousvaluesofthetwoparameters,thesurfacecanberepresentedinCartesianspace.Keywords:NURBS；modeling；parameter；surfaceandcurve第一章緒論.CAGD的發(fā)展史研讀計(jì)算機(jī)圖形學(xué)作為計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)科的一個(gè)獨(dú)立分支已經(jīng)歷了近40年的發(fā)展歷程。一方面，作為一個(gè)學(xué)科，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)在圖形基礎(chǔ)算法、圖形軟件與圖形硬件三方面取得了長足的進(jìn)步，成為當(dāng)代兒乎所有科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域用來加強(qiáng)信息理解和傳遞的技術(shù)和工具。另一方面，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的硬件和軟件本身已發(fā)展成為一個(gè)巨大的產(chǎn)業(yè),1996年總產(chǎn)值達(dá)500億美元，而到2000年已達(dá)到1000億美元。因此,當(dāng)前全世界從事計(jì)算機(jī)圖形學(xué)研究、應(yīng)用和產(chǎn)業(yè)的隊(duì)伍十分龐大，這也是為什么每年參加SIG-GRAPH年會的人數(shù)多達(dá)3?4萬人的理由。計(jì)算機(jī)圖形學(xué)在我國雖然起步較晚，然而它的發(fā)展卻十分迅速。我國的主要高校都開設(shè)了多門計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的課程,并有一批從事圖形學(xué)基礎(chǔ)和應(yīng)用研究的研究所。我國學(xué)者的論文從80年代后期開始進(jìn)入國際一流的SIGGRAPH和Eurographics等學(xué)術(shù)會議和重要的學(xué)術(shù)刊物,標(biāo)志著我國在這一領(lǐng)域的研究水平已接近或部分達(dá)到國際先進(jìn)水平。CAGD是一門迅速發(fā)展的新興學(xué)科。它的出現(xiàn)和發(fā)展既是現(xiàn)代工業(yè)發(fā)展的要求，又對現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展起到了巨大的促進(jìn)作用。它使幾何學(xué)從傳統(tǒng)時(shí)代進(jìn)入數(shù)字化定義的信息時(shí)代，煥發(fā)出勃勃生機(jī)。自20世紀(jì)80年代中期以后，國際上看準(zhǔn)這一領(lǐng)域內(nèi)最有發(fā)展前景的非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline,簡稱NURBS)方法。國際標(biāo)準(zhǔn)化組織(InternationalStandardizationOrganization,簡稱ISO)于1991年正式頒布了關(guān)于工業(yè)產(chǎn)品幾何定義的STEP(StandardforTheExchangeofProd-uctmodeldata,產(chǎn)品模型數(shù)據(jù)交換標(biāo)準(zhǔn))作為國際標(biāo)準(zhǔn)，把NURBS方法作為定義產(chǎn)品形狀的惟一一數(shù)學(xué)方法。在對該方法的研究不斷深入的同時(shí)，越來越多的商用CAD/CAM系統(tǒng)，如國際上著名的CATIA、UGII、Pro/Engineer,l-DEAS、Solidworks>Solidedge,CIMATRON、MDT等三維CAD/CAM軟件及內(nèi)核ACIS與Parasolid,都先后開發(fā)、擴(kuò)充了NURBS功能，國內(nèi)也先后推出了分別以ACIS與Parasolid為內(nèi)核的廣州紅地公司的金銀花、北航-海爾公司的CAXA三維電子圖板與制造工程師等三維CAD軟件,迅速將科研成果轉(zhuǎn)化為實(shí)際生產(chǎn)力。國際上對NURBS有突出貢獻(xiàn)的皮格爾(Piegl)與蒂勒(Tiller)在所合著TheNURBSBook一書序言中指出，NURBS起著類似于科技英語和商貿(mào)英語角色的作用。當(dāng)今，還可看到NURBS應(yīng)用于可視藝術(shù)如電影、動畫、娛樂、藝術(shù)、雕塑中的物體造型，在虛擬現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中制做場景等。可以預(yù)見，NURBS將會在越來越廣闊的范圍內(nèi)獲得應(yīng)用。CAGD是隨著航空、汽車等現(xiàn)代工業(yè)的發(fā)展與計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)而產(chǎn)生與發(fā)展起來的一門新興學(xué)科。盡管研究對象擴(kuò)展到四維曲面的表示與顯示等，但其主要研究對象仍是工業(yè)產(chǎn)品的幾何形狀。工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致上可分為兩類：?類是僅由初等解析曲面(例如平面、圓柱面、圓錐面、球面、圓環(huán)面等)組成，大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一類，可以用畫法幾何與機(jī)械制圖的方法完全清楚表達(dá)和傳遞所包含的全部形狀信息；第二類是不能由初等解析曲面組成，而以復(fù)雜方式自由變化的曲線曲面即所謂自由型曲線曲面組成，例如飛機(jī)、汽車、船舶的外形零件。顯然，后一類形狀單純用畫法幾何與普通制圖是不能表達(dá)清楚的。CAGD在一個(gè)國家的發(fā)展水平上往往與該國工業(yè)發(fā)展水平緊密相關(guān)。以工業(yè)產(chǎn)品的兒何形狀為CAGD的研究對象表明它要解決的為題是兒何問題，更確切地說是工業(yè)產(chǎn)品的兒何問題。其核心問題就是要找到既適合于計(jì)算機(jī)處理且有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。這些問題和要求是隨著CAGD理論和時(shí)間的發(fā)展不斷提出來的。.CAGD研究問題才苗述在形狀信息的計(jì)算機(jī)表示、分析與綜合中，核心問題是計(jì)算機(jī)表示，即要找到既適合計(jì)算機(jī)處理且有效地滿足形狀表示與幾何設(shè)計(jì)要求，又便于形狀信息傳遞和產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的形狀描述的數(shù)學(xué)方法。NURBS仍在發(fā)展中，一些問題(如權(quán)因子怎樣影響曲線曲面的參數(shù)及怎樣確定合適的權(quán)因子等)有待深入研究。20世紀(jì)80年代后期，非均勻有理B樣條(Non-UniformRationalB-Spline)方法成為用于曲線曲面描述的最廣為流行的數(shù)學(xué)方法。非有理與有理貝齊爾曲線曲面和非有理B樣條曲線曲面都被統(tǒng)一在NURBS標(biāo)準(zhǔn)形式之中，因而可以采用統(tǒng)一的數(shù)據(jù)庫。.計(jì)算機(jī)對形狀處理的要求要在計(jì)算機(jī)內(nèi)表示某一工業(yè)產(chǎn)品的形狀，其數(shù)學(xué)描述應(yīng)保留產(chǎn)品形狀的盡可能多的性質(zhì)。從實(shí)現(xiàn)計(jì)算機(jī)對形狀處理、便于形狀信息傳遞與產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換的角度來看，應(yīng)滿足以下兒個(gè)要求：1）唯?性自由型曲線曲面?zhèn)鹘y(tǒng)上采用模線樣板法按模擬量傳遞，不能保證形狀定義的唯一性,才轉(zhuǎn)而采用數(shù)字描述。可見唯性是對形狀數(shù)學(xué)描述的首相要求。唯一性對采用的數(shù)學(xué)方法的要求是，由已給定的優(yōu)先信息決定的形狀應(yīng)是唯一的。2）幾何不變性當(dāng)用有限的信息決定一個(gè)形狀（例如3點(diǎn)決定一條拋物線，4個(gè)點(diǎn)決定一條三次曲線）時(shí)，如果這些點(diǎn)的相對位置確定，所決定的形狀也就固定下來，它不隨所取得坐標(biāo)系的改變而改變。若采用顯函數(shù)表示，就不具有這樣的性質(zhì)。3）易于定界產(chǎn)品的形狀總是有界的，形狀的數(shù)學(xué)描述應(yīng)易于定界。這個(gè)要求能否得到滿足也與描述形狀的數(shù)學(xué)方法有關(guān)。4）統(tǒng)一性能統(tǒng)一表示各種形狀及處理各種情況，包括各種特殊情況。5）計(jì)算處理簡便易行易于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)和易于推廣應(yīng)用。第二章曲線和曲面的基本理論2.1CAGD中矢量、點(diǎn)與直線矢量依其始端是否位于原點(diǎn)分為絕對矢量與相對矢量。在CAGD中，絕對矢量用來表示定義形狀的點(diǎn)或形狀上的點(diǎn)。一個(gè)點(diǎn)意味著空間的一個(gè)位置，由絕對矢量的末端即矢端表示。表示空間點(diǎn)的絕對矢量稱為該點(diǎn)的位置矢量(positionvector)o相對矢量是表示點(diǎn)與點(diǎn)間相互位置關(guān)系和矢量與矢量間相互關(guān)系的矢量。相對矢量又稱自由矢量，可在空間內(nèi)任意平移。(P32)當(dāng)對矢量進(jìn)行變換時(shí)，用列陣與行陣表示矢量的差別，前者是前乘變換矩陣，后者是后乘以變換矩陣。兩種相乘方式中的變換矩陣互為轉(zhuǎn)置關(guān)系。用單位矢量表示方向，單位矢量就是具有單位長度的矢量。-個(gè)矢量a除以其長度Ia|(又稱模長)就得到沿該矢量方向的單位矢量(P33)O若干絕矢量分別配以權(quán)巾日=0,1,...,疝若滿足規(guī)律性條件￡%三1,則稱p=￡〃必為這些矢量的重心組合；若又滿足非負(fù)性條件^,.>0(i=0,l，…,n)則稱為凸組合，兩者都是絕對矢量。(P33)O直線方程p(u)=(l-u)p0+upi,ue[1,0] (2.1)該式表明po與Pi兩點(diǎn)連線上用位置矢量，表示的點(diǎn)p是參數(shù)u的矢函數(shù)。(P34)曲線的一般的矢函數(shù)形式p=p(u)......(2.2)笛卡爾分量表示p(u)=x(u)i+y(u)j+z(u)k(P35) 曲線大都采用稱為基表示的一種特殊的矢函數(shù)形式p(〃)=￡60(〃)..../=0(2.3)其中q(“)(i=0,l,...,n)稱為基函數(shù)，它決定了曲線的整體性質(zhì)；ai(i=0,l,...,n)

稱為系數(shù)矢量。(P36)在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)u和v的矢函數(shù)

p=p(u,v)......(2.4)在CAGD里，曲面大都采用基表示的一種特殊矢函數(shù)形式p(〃,y)= /……(2.5)其中已(〃)(i=0,l,...,m)為以u為變量的一-組基/=0；=0函數(shù)，匕(v)(j=O,l,.,n)為以v為變量的?組基函數(shù)。(P37)與非參數(shù)表示相比，曲線曲面采用基表示的特殊參數(shù)矢函數(shù)形式就具有如下一系列優(yōu)點(diǎn)，因而能較好地滿足形狀數(shù)學(xué)描述的要求：①總是能夠選取那些具有兒何不變性的曲線曲面基表示形式，且能通過某種變換處理使那些不具有兒何形狀不變性的形式變換成具有兒何不變性的形式，從而滿足幾何不變性要求。②易于規(guī)定曲線曲面的范圍。③易于表示空間曲線。④仿射變換(一個(gè)一般的仿射變換由一個(gè)比例、旋轉(zhuǎn)或剪切等線性變換加上「個(gè)平移變換)和投影變換容易執(zhí)行。⑤易于計(jì)算曲線、曲面上的點(diǎn)及其他信息。⑥易于處理多值問題。⑦易于處理無窮大斜率。⑧便于曲線、曲面的分段、分片描述。⑨提高對曲線、曲面形狀控制的較多自由度。⑩為向高維問題推廣提供了可能性。(P37)2.2曲線與曲面的參數(shù)表示在空間解析幾何里，空間曲線常采用參數(shù)表示，即把空間曲線上一點(diǎn)P的3個(gè)坐標(biāo)都寫成某個(gè)參數(shù)”的標(biāo)量函數(shù)x=x(〃),y=y(u),z=z(w).在微分幾何里，它們被合寫在一起，列矢量轉(zhuǎn)置成行矢量，左端就是該點(diǎn)的位置矢量0=[%/],右端p(M)=[工(〃)'(〃”(“)]表示它是參數(shù)”的矢函數(shù)。于是，就有微分幾何里表示曲線的一般的矢函數(shù)形式P=p(〃).在CAGD中，縱觀所采用的形狀描述數(shù)學(xué)方法，可以見到，曲線大都采用稱為基表示的一種特殊的矢函數(shù)形式p(〃)=fa"4")其中，e.(“)(i=O,l, ,")稱為/=0基函數(shù)，它決定了曲線的整體性質(zhì)，＜/,(/=0,1,2 ,")稱為系數(shù)矢量。點(diǎn)動成線。如果把參數(shù)〃視為時(shí)間，p(〃)可看做一質(zhì)點(diǎn)隨時(shí)間變化的軌跡。曲面是曲線的推廣。類似的，在微分幾何里，把曲面表示成雙參數(shù)〃和n的矢函數(shù)p=〃(〃/).1曲線曲面參數(shù)表示的基礎(chǔ)知識曲線、曲面可以用顯式、隱式和參數(shù)表示，由于參數(shù)表示的曲線、曲面具有幾何不變性等優(yōu)點(diǎn)，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中通常用參數(shù)形式描述曲線、曲面，本小節(jié)討論一些參數(shù)曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識。2.2.2顯式、隱式和參數(shù)表不曲線和曲的表示面方程有參數(shù)表示和非參數(shù)表示之分，非參數(shù)表示又分為顯式表示和隱式表示。對于一個(gè)平面曲線，顯式表示一般形式是：j=/(x)o在此方程中，一個(gè)x值與一個(gè)y值對應(yīng)，所以顯式方程不能表示封閉或多值曲線，例如，不能用顯式方程表示一個(gè)圓。如果一個(gè)平面曲線方程，表示成/(x,y)=O的形式，我們稱之為隱式表示。隱式表示的優(yōu)點(diǎn)是易于判斷函數(shù)/(x,y)是否大于、小于或等于零，也就易于判斷點(diǎn)是落在所表示曲線上或在曲線的哪一側(cè)。對于非參數(shù)表示形式方程(無論是顯式還是隱式)存在下述問題：.與坐標(biāo)軸相關(guān)；.會出現(xiàn)斜率為無窮大的情形(如垂線)；.對于非平面曲線、曲面，難以用常系數(shù)的非參數(shù)化函數(shù)表示；.不便于計(jì)算機(jī)編程。在兒何造型系統(tǒng)中，曲線曲面方程通常表示成參數(shù)的形式，即曲線上任一點(diǎn)的坐標(biāo)均表示成給定參數(shù)的函數(shù)。假定用t表示參數(shù)，平面曲線上任一點(diǎn)P可表示為：p(r)=[x(r),y(r)]空間曲線上任一三維點(diǎn)P可表示為：p(t)=[x(t),最簡單的參數(shù)曲線是直線段，端點(diǎn)為Pl、P2的直線段參數(shù)方程可表示為：，⑺=P1+(P2-P1?([0,1]圓在計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中應(yīng)用十分廣泛，其在第一象限內(nèi)的單位圓弧的非參數(shù)顯式表示為：y=yl\-x2(0<x<l)1_/22t其參數(shù)形式可表示為：〃(。=[二,二]re[0,1]在曲線、曲面的表示上，參數(shù)方程比顯式、隱式方程有更多的優(yōu)越性，主要表現(xiàn)在：(1)可以滿足幾何不變性的要求。(2)有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。如一條二維三次曲線的顯式表示為：y=ax3+bx2+cx+d只有四個(gè)系數(shù)控制曲線的形狀。而二維三次曲線的參數(shù)表達(dá)式為：n(f\=「叩+&2，+a3t+a4-I'-b^+b2t2+b3t+b4 ，w[0,1]有8個(gè)系數(shù)可用來控制此曲線的形狀。(3)對非參數(shù)方程表示的曲線、曲面進(jìn)行變換，必須對曲線、曲面上的每個(gè)型值點(diǎn)進(jìn)行幾何變換；而對參數(shù)表示的曲線、曲面可對其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換。(4)便于處理斜率為無窮大的情形，不會因此而中斷計(jì)算。(5)參數(shù)方程中，代數(shù)、兒何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。這種變量分離的特點(diǎn)使我們可以用數(shù)學(xué)公式處理幾何分量。(6)規(guī)格化的參數(shù)變量re[0,1],使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界。(7)易于用矢量和矩陣表示兒何分量，簡化了計(jì)算。2.3位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和撓率一條用參數(shù)表示的三維曲線是一個(gè)有界點(diǎn)集，可寫成一個(gè)帶參數(shù)的、連續(xù)的、單值的數(shù)學(xué)函數(shù)，其形式為：x=x(r),y=y(t),z=z(r),0<x<1曲線論知識點(diǎn)a")v //<*>? — —各階導(dǎo)數(shù)安換成各階導(dǎo)失“，但這種對應(yīng)關(guān)系和替換絕不是等價(jià)的。(P38)一般地，當(dāng)曲線取任意參數(shù)時(shí)，參數(shù)域內(nèi)線段長度之比既不等于曲線上對應(yīng)曲線弧長之比，也不等于對應(yīng)曲線段的弦長之比。(P39)在正常情況下，曲線上參數(shù)為"的p(")與參數(shù)"軸上定義域內(nèi)的點(diǎn)一-一對應(yīng)。在曲線上凡這種映射關(guān)系不成立的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)(singularpoint)o曲線的自交點(diǎn)即重點(diǎn)對應(yīng)的兩個(gè)參數(shù)值就是奇點(diǎn)。(P39)同一曲線的參數(shù)化是不惟一的，用不同的曲線方程描述同一?條曲線，一般地其差別在于曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)之間的對關(guān)系不同。(P40)曲線對參數(shù)“求導(dǎo)等于各分量分別對參數(shù)“求導(dǎo)，即對于曲線p?)=[x(m),y(w),z(w)J有p(")=4=產(chǎn)?辦(“)龍(〃)]曲線在u=Uo的一階導(dǎo)數(shù)dudududup("o)=limP("o+Aw)：p3o),矢量p(“0+Am)-p(w0)表示曲線上從點(diǎn)p(uQ)到點(diǎn)a“->oAmp(“o+A〃)的一個(gè)矢量，除以A"后方向不變。(P40)曲線在?點(diǎn)的方向即曲線在該點(diǎn)的切線方向，也就是曲線在該點(diǎn)的切矢的方向。如果〃(%)=0,則曲線在p(u0)點(diǎn)處的切線方向就不能由該點(diǎn)處的一階導(dǎo)矢確定。這是曲線在該點(diǎn)的切線方向可由曲線在該點(diǎn)處的最低階的非零導(dǎo)矢的方向決定。曲線上一點(diǎn)關(guān)于參數(shù)u的一階導(dǎo)矢為零矢量，稱之為切矢消失，這樣的點(diǎn)也是奇點(diǎn)。曲線上切矢為非零矢量的點(diǎn)稱為正則點(diǎn)(regularpoint)o若給定一個(gè)曲線參數(shù)化，在其參數(shù)域內(nèi)處處一階導(dǎo)矢為非零矢量，則稱該參數(shù)化為正則的，所定義的曲線稱為正則曲線。(P41)若兩曲線ci與C2在公共點(diǎn)po,對弧長直到n階的導(dǎo)矢相同，則稱ci與C2在該點(diǎn)具有n階切觸(contactofordern)或稱n階接觸。它表明兩曲線在公共點(diǎn)相切接觸的程度。兩曲線在公共點(diǎn)對任意參數(shù)直到n階的導(dǎo)矢相等，是兩曲線在該點(diǎn)具有n階切觸的充分條件，不是充要條件。當(dāng)曲線表示為一般參數(shù)的矢函數(shù)p=p(〃)時(shí)，需要求解3個(gè)基本矢的公式如下：a=g.........(2.6)似復(fù)法矢由一階導(dǎo)矢和二階導(dǎo)矢所在的稱為密切面的平面的單位法矢決定

「泛……(2.7)|；x；|過曲線切矢的平面都是切平面，有無數(shù)個(gè)，密切面就是其中一個(gè)，它是和曲線最貼近的一個(gè)切平面。有了a與v，就得到主法矢將曲線在p(u)處作泰勒展開〃(〃+△〃)=p(")+P(M)Am+^-/7(M)Am2+???則平p(u+Au)點(diǎn)到曲線在p(u)點(diǎn)處的密切面的距離7(p(M+△“)一〃("))就是關(guān)于Au的三階無窮小。(P43)單位變矢量恒垂直于它的-階導(dǎo)矢。把3個(gè)基矢量a、0、V分別再對弧長s求導(dǎo)，就得到曲線論的基本公式(即Frenet-Serret公式)。(2.9)ap'y'(2.9)右端系數(shù)矩陣為反對稱方陣，其中兩個(gè)系數(shù)K與T即曲率與撓率。其基本公式的兒何意義如圖2.6在…般參數(shù)表示下，更多應(yīng)用如下曲率與撓率計(jì)算公式(2.10)(2.11)P，P，P(2.11)???pxp(??????\??????其中P，P,p為三矢量p,p,p的混合基。曲線的弧長s、曲率K、撓率T是曲線的集合不變量，3個(gè)基矢量*依V及其對弧長的各階導(dǎo)矢量是曲線的不變矢，都與參數(shù)選取無關(guān)。 （P45）對于平面曲線p（u）=[x（u）y（u）],因采用絕對曲率K不能反映其彎曲方向，特引進(jìn)相對曲率（又稱為帶符號曲率）KTOKt與K絕對值相同，但右可正可負(fù)。人大于小于0分別意味著曲線沿正向前進(jìn)時(shí)逆時(shí)針（或向左轉(zhuǎn)）與順時(shí)針（或向右轉(zhuǎn)）。平面曲線上相對曲率變號點(diǎn)&=0稱為拐點(diǎn)。（P45）deJpP????相對曲率計(jì)算公式L3」=「"二"I （2.12）口 3+y手式中detj二表示j%轉(zhuǎn)置后取行列式值，如果其中矢量用列陣表示，則不必轉(zhuǎn)置。雖然平面參數(shù)曲線與非參數(shù)曲線y=y（x）存在含義相同的拐點(diǎn)，但仍有差別。y=y（x）上的拐點(diǎn)由一^=0決定，而p=p（u）上的拐點(diǎn)可能由pxp=0,pw0決定，從dx而導(dǎo)致拐點(diǎn)數(shù)量上的差別。（P46）在微分幾何里，研究的曲線（與曲面）都是整體解析的。分別有關(guān)于平面曲線論語空間曲線論的兩個(gè)基本定理。其一、兩條有向平面曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s的始點(diǎn)與取向后，它們有相同的相對曲率函數(shù)￡（s）。②兩條不含逗留點(diǎn)（即曲線上--階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢叉積為零矢量的點(diǎn)）的空間曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)s后，它們有相同的曲率函數(shù)k（s）與撓率函數(shù)7（5）。其二、兩條有向平面曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)S的始點(diǎn)與取向后，它們有相同的相對曲率函數(shù)勺⑸與連續(xù)的弗朗內(nèi)特標(biāo)架。兩條不含逗留點(diǎn)（即曲線上一階導(dǎo)矢與二階導(dǎo)矢叉積為零矢量的點(diǎn)）的空間曲線可重合的充要條件是：在適當(dāng)?shù)剡x擇自然參數(shù)S后，它們有相同的曲率函數(shù)K（s）與撓率函數(shù)7（5）與連續(xù)的弗朗內(nèi)特標(biāo)架。（P47）位置矢量如圖3.1.1所示，曲線上任一點(diǎn)的位置矢量可表示為：其一階、二階和k階導(dǎo)數(shù)矢量(如果存在的話)可分別表示為:圖3.1.1表示一條參數(shù)曲線的有關(guān)矢量切矢量若曲線上R、Q兩點(diǎn)的參數(shù)分別是t和r+Ar,矢量Ap=p(r+Ar)-p⑺，其大小以連接RQ的弦長表示。如果在R處有確定的切線，則當(dāng)Q趨向于R,即0-0時(shí)，導(dǎo)數(shù)矢量趨向于該點(diǎn)的切線方向。如選擇弧長s作為參數(shù)T=四=lim包是單dsAs位切矢量。因?yàn)?，根?jù)弧長微分公式有：(/)2=@)2+(切2+(龍)2引入?yún)?shù)t,上式可改寫為：(陟I)'=(歡+("%尸+(鄉(xiāng)4)2考慮到矢量的模非負(fù)，所以：^=|p(r)|>0at1 1故弧長S是t的單調(diào)增函數(shù)，其反函數(shù)t⑸存在，且一一對應(yīng)，得UIULUL1

= ? = P(f)=P“(s))=P(s)于是：ds*杰|P(Z)|即t是單位切矢量。法矢量：對于空間參數(shù)曲線任意一點(diǎn)，所有垂直切矢量T的矢量有一束，且位于同一平面上，該平面稱為法平面，若對曲線上任一點(diǎn)的單位切矢為T,因?yàn)閐T[T(s)r=1，兩邊對s求導(dǎo)矢得：2T(s>T'(s)=0，可見五是一個(gè)與T垂直的矢量。dT與石平行的法矢稱為曲線在該點(diǎn)的主法矢，主法矢的單位矢量稱為單位主法矢量,記為No矢量積8=TxN是第三個(gè)單位矢量，它垂直于T和N。把平行于矢量B的法矢稱為曲線的副法矢，B則稱為單位副法失量。對于一般參數(shù)t,我們可以推導(dǎo)產(chǎn)‘⑺tj~ 尸⑺xp，(研“。丁(尸(￡區(qū)尸"(?雙尸(。"=3x7=———— - —出： |(尸，〃,區(qū)尸"(??尸，(磯T(切矢)、N(主法矢)和B(副法矢)構(gòu)成了曲線上的活動坐標(biāo)架，且N、B構(gòu)成的平面稱為法平面，N、T構(gòu)成的平面稱為密切平面，B、T構(gòu)成的平面稱為從切平面。dT曲率和撓率我們已經(jīng)知道五與N平行，令7=W,K=r卜蚣，即*=蚣。|今|稱為曲率，其兒何意義是曲線的單位1切矢對弧長的轉(zhuǎn)動率(如圖3.1.3(a)),與主法矢同向。曲率的倒數(shù)0=k，稱為曲率半徑。又8(s)1(s)=0,兩邊對s求導(dǎo)矢得：8'(s)，7(s)+3(s)7(s)=0,將T=曲代入上式，并注意到B(s＞方⑸=0.因?yàn)橐?s)F=1,所以兩邊對s求導(dǎo)得到：3'(5)8(S)=0可見，8'⑸既垂直于T(s),又垂直于B(s),故有*(s)"用(s)，再令卜卜吧七，所以撓率的絕對值等于副法線方向(或密切平面)對于弧長的轉(zhuǎn)動率(如圖3.1.3(b))o撓率大于0、等于0和小于。分別表示曲線為右旋空間曲線、平面曲線和左旋空間曲線。插值、逼近和擬合給定-一組有序的數(shù)據(jù)點(diǎn)Pi,i=0,1,???,n,構(gòu)造--條曲線順序通過這些數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行插值，所構(gòu)造的曲線稱為插值曲線。線性插值假設(shè)給定函數(shù)f(x)在兩個(gè)不同點(diǎn)xl和x2的值，用一個(gè)線形函數(shù)：y==ax+b＞近似代替f(x),稱p(x)為f(x)的線性插值函數(shù)。其中線性函數(shù)函數(shù)的系數(shù)a,b,通過條件、0(盯)=為確定。如圖3.1.4(a)所示。拋物線插值拋物線插值又稱為二次插值。設(shè)已知f(x)在三個(gè)互異點(diǎn)xl,x2,x3的函數(shù)值為yl,y2,y3.要求構(gòu)造一個(gè)函數(shù)：p(x)=ax*+Z>x+c，使p(x)在結(jié)點(diǎn)xi(i=l,2,3)處與f(x)在xi處的值相等，如圖3.1.4(b)所示。由此可構(gòu)造=/(勺)=乂(，=1,2,3)在結(jié)點(diǎn)xi(i=l,2,3)處與f(x)在xi處的值相等，由此可構(gòu)造p(x)的插值函數(shù)。構(gòu)造一條曲線使之在某種意義下最接近給定的數(shù)據(jù)點(diǎn)，稱為對這些數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行逼近，所構(gòu)造的曲線為逼近曲線。插值和逼近則統(tǒng)稱為擬合。光順(Firing)光順通俗的含義是指曲線的拐點(diǎn)不能太多，曲線拐來拐去，就會不順眼，對平面曲線而言，相對光順的條件是：a.具有二階兒何連續(xù)性(G2)；b.不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；c.曲率變化較小。參數(shù)化過三點(diǎn)PO、P1和P2構(gòu)造參數(shù)多項(xiàng)式插值拋物線可以有無數(shù)條，其原因是：參數(shù)t,在［0,1］區(qū)間的分割可以有無數(shù)種。因?yàn)镻0、P1和P2可對［弓=0"=：,%=1］;［^=0,it2=1］;應(yīng)： 2 3 其中每個(gè)參數(shù)值稱為節(jié)點(diǎn)(knot)o對于一條插值曲線，型值點(diǎn)PO,P1,…，Pn與其參數(shù)域￡曰4&］內(nèi)的節(jié)點(diǎn)之間有一種對應(yīng)關(guān)系。對于一組有序的型值點(diǎn)，確定一種參數(shù)分割，稱之對這組型值點(diǎn)參數(shù)化。對…組型值點(diǎn)(PO,P1,…，Pn)參數(shù)化常用方法有以下幾種。均勻參數(shù)化(等距參數(shù)化)使每個(gè)節(jié)點(diǎn)區(qū)間長度=&i一,正常數(shù)，i=0,1,n-1為正常數(shù)，節(jié)點(diǎn)在參數(shù)軸上呈等距分布，+正常數(shù)。卜=0累加弦長參數(shù)化卜=%+|母"1，"=1，2」，口其中儆=耳“-耳向前差分矢量，即弦邊矢量。這種參數(shù)法此如實(shí)反映了型值點(diǎn)按弦長的分布情況，能夠克服型值點(diǎn)按弦長分布不均勻的情況下采用均勻參數(shù)化所出現(xiàn)的問題。向心參數(shù)化法紇a+|空也if2,n 累加弦長法沒有考慮相鄰弦邊的拐折情況，而向心參數(shù)化法假設(shè)在一段曲線弧上的向心力與曲線切矢從該弧段始端至末端的轉(zhuǎn)角成正比，加上一些簡化假設(shè)，得到向心參數(shù)化法。此法尤其適用于非均勻型值點(diǎn)分布。%=0修正弦長參數(shù)化法卜=%+局狀」，-1，2,…一其機(jī) J 2[|—』+|—』+2=min，-/P4pp2,卜=0I 2} 弦長修正系數(shù)(21。從公式可知，與前后鄰弦長|△巳及|M|相比，若|母"|越小，且與前后鄰弦邊夾角的外角i-1和i(不超過時(shí))越大，則修正系數(shù)就Ki就越大。曲面論如果U向切矢與V向切矢不平行，則Pu(Uo,Vo)xpv(U0,Vo)*Oo于是得到曲面在點(diǎn)p(Uo,Vo)處的切平面的單位法矢*，%)=甘*”嗎 (2.14)其方向隨叉乘的兩個(gè)偏導(dǎo)矢互換位置而取反，那是人為的。曲面上一點(diǎn)處兩個(gè)一階偏導(dǎo)矢不平行即PuXPvHO的點(diǎn)稱為曲面的正則點(diǎn)。曲面上puxpv=O的點(diǎn)是曲面上的一種奇點(diǎn)，由曲線的重新參數(shù)化可能消除不了。沿曲面P=P(U,V)上每一-點(diǎn)的法矢正向(或負(fù)向)移動一個(gè)固定距離d,就得到該曲面的等距面p(uzv)=p(uzv)±dn (2.15) (P49)沿準(zhǔn)線上每個(gè)點(diǎn)的母線方向給定一個(gè)非零矢量T(U),則直紋面方程可寫為p(u,v)=p(u)±VT(U) (2.16)當(dāng)T(u)為固定矢量時(shí)，直紋面為柱面。當(dāng)T(u)為變矢量，但準(zhǔn)線縮成一點(diǎn)時(shí)，直紋面稱為錐面。(P50)直紋面為可展曲面的充要條件是：r；)=0 (2.17) 可展曲面包括錐面、柱面和切線曲面三種類型?；￠L微分公式可得ds2=dp2=pu2du2+2pupvdudv+pv2dv2E=pu2,F=pupv,G=Pv?....(2.19)稱為第?類基本量。貝lj1=ds2=dp2=Edu2+2Fdudv+Gdv2.…(2.20)稱為曲面p（u,v）的第一基本形式。（P50）曲面上對應(yīng)uv參數(shù)平面上一個(gè)區(qū)域鞏的部分面積可由如下積分得到A=^EG-F2dudv（2.21）A=^EG-F2dudv其等于零，可得如下確定主曲率的方程 (2.29)KnE-Lk?F-M" " =0 (2.29)k“F-MKnG-N和所在主方向的方程dv2-dudv2du2E F G=0 （2.30）L M N就可導(dǎo)出兩個(gè)主曲率及其所在的兩個(gè)主方向。這兩個(gè)方程都是二次方程，主曲率與主方向分別就是它們的實(shí)根。這兩個(gè)主方向互相垂直。求出曲面在一-點(diǎn)的兩個(gè)主曲率勺與勺，就可由歐拉（Euler）公式Kn=K]cos2夕+七sin2(p (2.31)求出曲面在該點(diǎn)沿任意方向的法曲率K”，其中。為所選取方向與主曲率勺所在主方向的夾角。兩個(gè)主曲率的乘積與中值分別為高斯（Gaussian）曲率（或全曲率，或總曲率）K與平均曲率（或中曲率）HoH;2 2（EG-尸） 2）曄）K=LN-M2EG-F2 (2.32)K>0K=0K<0雙曲點(diǎn)拋物點(diǎn)橢圓點(diǎn)高斯曲率K>0是曲面在該點(diǎn)為局部凸的充要條件。按照所采用的基函數(shù)具有怎樣的規(guī)范性，基表示可以分為3種類型:①規(guī)范基表示滿足支口三1，稱為柯西（Cauchy）條件（又稱為權(quán)性或一的分/=0割。例如，線性插值p(u)=(l-u)po+upi。②部分規(guī)范基表示滿足Z/三1，其中04kVn。例如，p(u)=ao+aiUoi=0③非規(guī)范基表示上述兩種情況以外的情況。例如，p(u)=(l-u)2po+u2P1凡與規(guī)范基表示或部分規(guī)范基表示中具有規(guī)范性的那些基函數(shù)相聯(lián)系的系數(shù)矢量為絕對矢量,否則為相對矢量。(P55)規(guī)范基具有兒何不變性，對于部分規(guī)范基表示，可先將其改寫為n k nP=Z"，％=工%夕，+夕，/=0 /=0 i=A+l其中，Z0三1；ao’ai,…,3k為絕對矢量；ak+i,ak+2,…,an為相對矢量。作旋轉(zhuǎn)平移1=0變換就有p*=( +Z%/W+ci=O=z(a，M+c%,+i(aiM購i=Q i=k+\于是 P*=*,*9,/=o其中q*=a,M+c(i=l,2，…,k)為原表示中的絕對矢量經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后的絕對矢量，a,*-《M(i=k+l,k+2,...n)為原表示中的相對矢量經(jīng)變換后的相對矢量。證明了部分規(guī)范基表示也具有幾何不變性。但人們更愿意采用規(guī)范基表示。非規(guī)范基表示不具有兒何不變性。(P57)u=u(t)是對曲線進(jìn)行的參數(shù)變換，將曲線對新參數(shù)t求導(dǎo)，由鏈?zhǔn)椒▌t”=半半因在老參數(shù)u下，曲線是正則的，即有半/0,故當(dāng)N0保證變換后的atduat du at曲線也是正則的。如果經(jīng)＞0,曲線取向不變；如果包＜0,則取向相反。但是不dt dt合適的參數(shù)變換，可能遇到兩種情況：一是出現(xiàn)包=0；另一是可能某個(gè)老參數(shù)對dt

應(yīng)多個(gè)新參數(shù)。兩種情況均引起變換后的曲線出現(xiàn)奇異。給定一正則曲面p=p(u,v)其中(u,v)w火，令<"一"￡也，(?,v)e9?V= V)滿足雅可比(滿足雅可比(Jacobi)行列式不為零的條件且況=>況則得到一個(gè)以〃,y為參數(shù)的曲面p=p(w(w,v),v(w,V)),(w,V)G9?,這一過程稱之為曲面的重新參數(shù)化，雅可比行列式不為零的條件保證變換后得到的曲面也是正則的。這時(shí)有曲面法矢〃“入心=華"幾xp,用不同方程描述同一曲面，其間差別在于曲面上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系不同。(P62)曲面表示曲面的范圍常用兩個(gè)參數(shù)的變化區(qū)間所表示的。uv參數(shù)平面上的一個(gè)矩形區(qū)域Hlsw4“2，匕4y4匕給出。這樣就相應(yīng)得到具有四條邊界的曲面即四邊曲面。曲面也可定義在uv參數(shù)平面的某一區(qū)域上。正常情況下，參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)與曲面上的點(diǎn)構(gòu)成--對應(yīng)的映射關(guān)系。曲面上這種映射關(guān)系不成立的點(diǎn)稱為曲面的奇點(diǎn)。給定一個(gè)具體的曲面方程，稱之為給定了一個(gè)曲面參數(shù)化。它既決定了所表示的由面的形狀，也決定了該曲而上的點(diǎn)與其參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的一種對應(yīng)關(guān)系。同樣地，曲面的參數(shù)化不是惟一的。沿曲面p=p(“,y)上每一點(diǎn)的法矢正向(或負(fù)向)移動一個(gè)固定距離d就得到該曲面的等距面p(?,v)=p(u,v)±dn直紋面與可展曲面如果曲面p(u,v)的兩族等參數(shù)線U線與V線中，有--族是直線，則該曲面稱為直紋面。它可看成直線段在空間連續(xù)運(yùn)動掃出的軌跡。直紋面上的這族直線稱為母線。柱面(母線互相平行)、錐面(母線都經(jīng)過同一點(diǎn))都是直紋面。在直紋面上取一條曲線夕=夕(均和所有母線相交，稱之為準(zhǔn)線。沿準(zhǔn)線上每個(gè)點(diǎn)的母線方向給定一個(gè)非零矢量7(")，則直紋面方程可寫為p(u,v)=p(u)+vt(u)曲線曲面的兒何不變性曲線曲面的兒何不變性是指它們的數(shù)學(xué)表示及其所表達(dá)的形狀不依賴于坐標(biāo)系的選擇或者說在旋轉(zhuǎn)與平移變換下不變的性質(zhì)。不失一般性，假定坐標(biāo)系固定，曲線、曲面相對于坐標(biāo)系先旋轉(zhuǎn)后平移，旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矢量分別為M與c。又設(shè)經(jīng)旋轉(zhuǎn)與平移后，曲線、曲面上點(diǎn)的位置矢量為P*。對于規(guī)范基表示則有TOC\o"1-5"\h\z,〃 、 np=pM4-c= 仍 +c= +[i=0 ） i=0于是 p*=%Mi=0可見，對于規(guī)范基表示，欲獲得經(jīng)旋轉(zhuǎn)平移變換后的曲線、曲面表示，僅需將表示中的系數(shù)矢量（都是絕對矢量）作相同的旋轉(zhuǎn)平移變換即可。這就證明了規(guī)范基表示具有兒何不變性。在規(guī)范基表示里，把作為絕對矢量的系數(shù)矢量看做質(zhì)點(diǎn)，基函數(shù)看做配置在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)處的重量，則曲線就可看做質(zhì)點(diǎn)系的重心隨參數(shù)變化的軌跡。這給出了規(guī)范基表示曲線的物理解釋。由此也可以得出結(jié)論:規(guī)范基表示的曲線不隨坐標(biāo)系選取而改變，因而具有幾何不變性。對于非規(guī)范基表示，因不能判定其中的系數(shù)矢量為絕對欠量還是相對量，對它們的旋轉(zhuǎn)平移變換無法執(zhí)行。因此，非規(guī)范基表示不具有兒何不變性。然而，人們總可以經(jīng)過簡單的處理將非規(guī)范基表示改寫成等價(jià)的部分規(guī)范基表示或規(guī)范基表示。例如，叮在非規(guī)范基表示中加上一項(xiàng)零矢量。這樣，該項(xiàng)的基函數(shù)就可取成任意值。如取成1或與其他若干項(xiàng)的基函數(shù)的和為1就成了部分規(guī)范基表示。如取成與其他所有項(xiàng)的基函數(shù)的和為｝t就成了規(guī)范基表示。因此，也就具有了兒何不變性。曲線、曲面的幾何不變性有其理論和實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。首先，如前所述，它是形狀描述的基本要求。應(yīng)用幾何不變性就可視需要與方便任意選取合適的坐標(biāo)系從而保證獲得不變的形狀。這樣，在實(shí)物測量造型中，在不同的測量坐標(biāo)系中測量得的同一組數(shù)據(jù)點(diǎn)，采用相同的具有幾何不變性的數(shù)學(xué)方法處理，就可以得到同樣的形狀，另外，對于組合幾何體（例如飛機(jī)）而言，有其總體坐標(biāo)系。而其中某一特定部件或部位形狀（如翼型曲線）有其方便的局部坐標(biāo)系。應(yīng)用幾何不變性就可將在局部坐標(biāo)系里的曲線、曲面表示經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q而得到在總體坐標(biāo)系里的表示。其次，應(yīng)用幾何不變性，可將位于坐標(biāo)系里規(guī)范位置的形狀（例如xOy平面上圓心在原點(diǎn)的圓;中心在原點(diǎn)，長短軸分別與二軸I軸重合的橢圓。以及其他各種初等曲線、曲面)方便地變換到空間任意位置。其次，可應(yīng)用于曲線曲面的兒何特征分析。最后，在生成任意方向的投影視圖與軸測圖時(shí)，不必計(jì)算并變換所有需繪制或顯示的點(diǎn)，而僅需變換基表示中那些系數(shù)矢量，再計(jì)算需繪制或顯示的點(diǎn)，這就節(jié)省了大量的變換計(jì)算，提高了圖形的生成速度。參數(shù)化與參數(shù)變換設(shè)給定一正則曲線p=p(〃)其中〃若令"="(f),滿足qH0,且=則0=。("")),，€口(),外曲線從表示為參數(shù)U的矢函數(shù)變成參數(shù)t的矢函數(shù)，稱為重新參數(shù)化。這里"=〃")是對曲線進(jìn)行的參數(shù)變換。曲線經(jīng)重新參數(shù)化后，其形狀保持不變:描述同一條曲線的不同曲線方程由其間的參數(shù)變換聯(lián)系起來。一般地，用不同方程描述同?條曲線其間差別在于，曲線上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系不同。特殊地，僅在方向不變的域變換下，這種對應(yīng)關(guān)系保持不變。從上可以清楚地看到，曲線的各階導(dǎo)矢是與參數(shù)有關(guān)的。人們希望找到反映曲線內(nèi)在性質(zhì)的參數(shù)，這就是前面敘述中提到的弧長參數(shù)。曲線取自身弧長為參數(shù)，稱為弧長參數(shù)化?；￠L參數(shù)化及以弧長的線性函數(shù)為參數(shù)的曲線參數(shù)化都是均勻的曲線參數(shù)化，即參數(shù)域內(nèi)均勻分布的點(diǎn)對應(yīng)曲線上沿曲線弧長均勻分布的點(diǎn)?；￠L參數(shù)化引出曲線的一個(gè)重要性質(zhì)，切矢成為單位矢量。由此簡化了微分幾何中一系列重要公式及其導(dǎo)出過程。曲線曲面形狀上的點(diǎn)用位置矢量表示，CAGD中的曲線和曲面分別采用單參數(shù)和雙參數(shù)的基表示矢函數(shù)形式。其中的基函數(shù)決定了曲線曲面的性質(zhì)，系數(shù)矢量決定了曲線曲面的形狀。盡管曲線曲面與所取坐標(biāo)系相對位置關(guān)系改變時(shí)，各個(gè)坐標(biāo)及坐標(biāo)函數(shù)都發(fā)生了變化。它們的基表示及所表達(dá)的形狀都應(yīng)與所取的坐標(biāo)系無關(guān)。在理論上，分析研究曲線曲面的微分性質(zhì)和整體性質(zhì)時(shí)，總是把形狀上點(diǎn)的位置矢量與表示曲線曲面形狀的矢函數(shù)看成一個(gè)整體。這反映形狀本來就是與所取坐標(biāo)系無關(guān)的實(shí)際情況。但在計(jì)算和編程時(shí)，作為手段，要在各個(gè)分量上分別進(jìn)行，然后將結(jié)果合在一起。曲線曲面采用基表示的矢函數(shù)形式后，就出現(xiàn)了許多與用非參數(shù)表示的曲線曲面不同的性質(zhì)，較好地滿足了工業(yè)產(chǎn)品形狀數(shù)學(xué)描述的要求，從而成為形狀數(shù)學(xué)描述的標(biāo)準(zhǔn)形式。曲線論的基本公式和引出的曲率與撓率對曲線在一點(diǎn)鄰近的性態(tài)給出定量描述。無論是曲面的度量性質(zhì)還是曲率性質(zhì)，都是由由面上的曲線引人的。法曲率、主曲率、高斯曲率給出了曲面在一點(diǎn)鄰近的性態(tài)的描述。在曲線曲面的3種基表示形式中，具有幾何不變性的規(guī)范基表示，是人們在CAGD實(shí)踐中最愿意采用的。正則的參數(shù)變換不改變曲線曲面的形狀，但改變了形狀上的點(diǎn)與參數(shù)域內(nèi)的點(diǎn)間的對應(yīng)關(guān)系。盡管曲線引人弧長參數(shù)給微分兒何的研究帶來莫大的方便，但是在CAGD中廣泛應(yīng)用的參數(shù)多項(xiàng)式曲線.與有理參數(shù)多項(xiàng)式曲線卻不能取自身弧一長為參數(shù)。第三章NURBS曲線曲線應(yīng)用概述眾所周知，工業(yè)產(chǎn)品的形狀大致可分為兩類或由這兩類組成，一類僅由初等解析曲線曲面如二次曲線、二次曲面等組成。大多數(shù)機(jī)械零件屬于這一-類，可以用畫法兒何與機(jī)械制圖完全表達(dá)清楚和傳遞所包含的全部形狀信息。第二類是不能由初等解析曲線曲面組成，而是由以復(fù)雜方式自由地變化的曲線曲面組成一即所謂的自由型曲線曲面。例如象飛機(jī)、汽車、船舶等的外形零件。顯然，這后一類曲線曲面不能單純用畫法兒何與機(jī)械制圖完全表達(dá)清楚，而必須采用參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面方法。由于這兩種類型的曲線曲面其數(shù)學(xué)上的表示完全不同，這就給CAD/CAM系統(tǒng)的開發(fā)與研制帶來困難和麻煩。一個(gè)商品化的CAD/CAM系統(tǒng)應(yīng)能滿足工業(yè)設(shè)計(jì)的各種需求，無論什么類型的曲線曲面都能精確表示。由于參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面無法精確表示除拋物線外的初等解析曲線曲面，只能近似地逼近，因此若采用參數(shù)多項(xiàng)式曲線曲面作為兒何造型的工具，則使得外形的設(shè)計(jì)“精度”大大降低。因?yàn)閷AD/CAM而言，除了計(jì)算機(jī)數(shù)值表示引起的誤差外，形狀的表示應(yīng)當(dāng)是精確的。而采用參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面和初等解析曲線曲面的混合模型，由于這兩類方法數(shù)學(xué)表示上的不統(tǒng)」則給編程帶來了麻煩。進(jìn)而，采用混合模型的CAD/CAM系統(tǒng)會隨著所處理兒何元素的增加，其所需的時(shí)間與空間事次增加。對于采用單一模型的CAD/CAM系統(tǒng)，這種計(jì)算量的增加只是線性的。因此，為了建立一種既能包含參數(shù)多項(xiàng)式樣條曲線曲面，又能精確表示初等解析曲線曲面的單一幾何模型，人們提出了新的曲線曲面表示與設(shè)計(jì)方法，這就是NURBS曲線曲面。最早嘗試在幾何形狀設(shè)計(jì)中使用NURBS曲線曲面方法的是Boeing公司的Rowin，64和MIT的Coons，67,就其應(yīng)用而言，他們的主要興趣是把二次曲線和參數(shù)三次多項(xiàng)式曲線統(tǒng)…到參數(shù)有理三次曲線之中，以解決前兩種曲線因算式不統(tǒng)一而引起的編程麻煩。而真正面向CAD/CAM實(shí)際應(yīng)用的研究則始于美國SDRC(StructureDynamicsResearchCorporation）的THK83,他是第一位采用NURBS曲線曲面方法解決曲線曲面的表示和設(shè)計(jì)問題的，并將其用于該公司的GEOMOD系統(tǒng)和I-DEAS系統(tǒng)之中。鑒于NURBS技術(shù)在形狀定義方面的強(qiáng)大功能和潛力，不等該技術(shù)完全成熟，美國國家標(biāo)準(zhǔn)局在1983年制訂的初始圖形交換規(guī)范IGES（InitialGraphicsExchangeSpecification）第二版中就將NUTBS列為優(yōu)化類型。1988年頒布的產(chǎn)品定義交換規(guī)范STEP/PDES（1.0版）只規(guī)定了惟的?種自由型參數(shù)曲線曲面，即NURBS。1991年國際標(biāo)準(zhǔn)化委員會正式頒布了工業(yè)產(chǎn)品數(shù)據(jù)交換于表達(dá)的國際標(biāo)準(zhǔn)STEPo在STEP中，NURBS作為定義工業(yè)產(chǎn)品幾何形狀的惟一數(shù)學(xué)方法。參數(shù)有理曲線3.2.1參數(shù)有理曲線的定義參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線曲面方法是參數(shù)多項(xiàng)式曲線曲面的直接推廣。從數(shù)學(xué)角度看，它的定義以齊次坐標(biāo)為基礎(chǔ)，即用火4\｛（0,0,0,0）｝中的點(diǎn)表示肝中的點(diǎn)。齊次坐標(biāo)對于點(diǎn)尸（x,y,z）w況3,它的齊次坐標(biāo)（為,々多m4）€況4\｛（0,0,0,0）｝是滿足關(guān)系X=工，尸立，z=E （3.2.1）x4x4x4的四元有序組。如果（3,々,七,七）是（x,y,z）的齊次坐標(biāo)，那么對任意非零常數(shù)0X0,四元有序組（明，/，曬?/亦是（X,y,z）的齊次坐標(biāo)。顯然，要使式（3.2.1）有意義，必有x/O。而當(dāng)x4fO時(shí)，點(diǎn)（五，三，旦）沿x4x4x4向徑區(qū),和*3）方向趨于無窮遠(yuǎn)。因而，點(diǎn)（內(nèi),々,》3,0）表示了向徑（西,々,七）方向上的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，該點(diǎn)可用膽中的方向矢量區(qū),孫七）表示之。式（3.2.1）的本質(zhì)是…個(gè)*4的原點(diǎn)到超平面x4=1的透視映射中：見4\｛（0,0,0,0）｝_＞由3、| 卜*/七，X2〃4，5/七），X4XO23 1從點(diǎn)（0,0,0）到（為,9,引的矢量，匕=0因此，況4\｛（0。0,0）｝中任一點(diǎn)在況3中都有惟一的映射像，它或者是鞏3中的點(diǎn),或者是譏3中的一個(gè)向量。反之，員3中任一點(diǎn)（對孫工3）都是猊4\｛（0,0,0,0）｝中一點(diǎn)的映射像，例如（為,入2，知1）就是，一般地有（見,田,明,3）（0/0）?；谶@一討論，我們便可用獷中的參數(shù)多項(xiàng)式曲線來定義界中的參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線，其中應(yīng)用最廣泛的參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線有有理Bezier曲線和NURBS曲線兩種，下面分別給出其定義。定義在射影空間況4\｛（0,0,0,0）｝中給定〃+1個(gè)點(diǎn)球=（用如0M%）,i=0,…,〃,則一條參數(shù)〃次的有理Bezier曲線定義為下述的參數(shù)〃次有理多項(xiàng)式矢值函數(shù)：?⑺?"）=力（2>；"年（。｝='^ ,0</<1i=O其中Pi=（x”％,Zj）稱為曲線尸⑺的Bezier點(diǎn)，?稱為權(quán)因子。實(shí)際應(yīng)用中，為了保證曲線不出現(xiàn)漸近線，通常取。（）>0,a>n>0,a）i>0,z=l,???,?-1o定義在射影空間 \｛（0,0,0,0）｝中給定L+k個(gè)點(diǎn)4"=（呵,例如%）,i=0,…,L+J并給定-節(jié)點(diǎn)矢量7=｛2%4…432*｝，則一條參數(shù)&次NURBS曲線定義為如下的參數(shù)分段2次有理多項(xiàng)式矢值函數(shù)：3 '玄％4M⑺d（r）=?｛Z4"呼"）｝=饋 ，te[tk,tM] 中4=（號,力㈤稱為曲線d（f）5 ￡0,M”）?=0的deBoor點(diǎn)，?亦稱為權(quán)因子。2.2參數(shù)有理曲線的性質(zhì)參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線除了具有參數(shù)多項(xiàng)式曲線的全部性質(zhì)之外，還具有以下重要的性質(zhì)：當(dāng)豌=回=…=q時(shí)，參數(shù)有理多項(xiàng)式曲線即為參數(shù)多項(xiàng)式曲線；能夠精確表示初等二次曲線（圓錐曲線）；權(quán)因子的引入增加了曲線設(shè)計(jì)的靈活性。權(quán)因子不是一數(shù)值而是幾何量一四點(diǎn)的交比，它是射影不變量，因而在控制多邊形不變的情況下，借助于圖形輸入設(shè)備可以以兒何的方式進(jìn)行交互修改；

參數(shù)有理多項(xiàng)式具有射影不變性。例如，參數(shù)有理多項(xiàng)式的透視投影還是參數(shù)有理多項(xiàng)式，這一點(diǎn)對于圖形顯示來說非常重要。要觀察一個(gè)形體的透視圖時(shí)，只需對定義它的控制頂點(diǎn)進(jìn)行相應(yīng)的透視變換，并適當(dāng)?shù)匦薷臋?quán)因子，然后在觀察平面上計(jì)算其點(diǎn)即可，這大大減少了計(jì)算量，提高了顯示速度。參數(shù)有理多項(xiàng)式方法能直接嵌入到已有的非有理設(shè)計(jì)程序之中，需要增加的存儲和計(jì)算要求最少。權(quán)因子的幾何意義權(quán)因子。，是四點(diǎn)Pj,s=P(t；=1),m=P(r,嗎=0)和P(t\a)iWO,1)的交比,即g=Cross_ratioipi,s,p.m)交比是射影不變量。由射影兒何，共線四點(diǎn)a,4c,d的交比定義為：Cross_ratio(a,b,c,d)==:=這稱之為交比定理。aPy它等于點(diǎn)6分前成兩段的長度之比與點(diǎn)c分而成兩段的長度比的比值，這里的線段均為有向線段，因此線段長度為代數(shù)長度。我們知道，直線段被分成兩子段的長度比在仿射變換下保持不變，然而在射影變換下就不再保持不變，但卻保持上述的交比不變。如圖，有Cross_ratio[a,4c,d)=Cross_ratio(A,B,C,D)這稱之為交比定理。aPy?大?)a力area(^abo)l}l2sinabdarea(^bdo) /2/4sin(夕+/)ac_area(Mco)_//3sin(a+力)cdarea(Acdo)/3/4siny所 以 ..fabacsinasin/Cross_ratio(a.力，c,d)==:== bdcdsin(a+夕)sin(/+y)可見，共線四點(diǎn)a,6,c,d的交比僅與在投影中心。的角度有關(guān)，從。發(fā)出的四條射線可與任一直線相交，所得四個(gè)交點(diǎn)將有相同的交比，不管該直線怎樣選擇。下面我們證明權(quán)因子確實(shí)為交比。令P(t\ 工0,1)=(l-a)m+ap^§=(1-p)m+M那么，由式(6.1.3)可知尸(r；@#O,l)=丹 Z叼引⑺J=0￡a)jPjB；⑴+qp,4"⑺3叼耳⑺+“,"(/)丸(%B；⑴m+gp,B；⑴=j=0J*i 之叼岑⑺+0,坪⑺y=oj*i所以a_ 乞叼花⑺+9用⑺同理B=,B；⑴一j=o.j?i于是Cross_ratio(p,,s,p,m)=磐:鷲=?:1ZE=④smpmP(X由此可以看出，權(quán)因子外明確的兒何意義：權(quán)因子?等于過控制頂點(diǎn)P,的一條直線上分別具有權(quán)因子例=+8,1?0戶｛0,1｝和。的那四個(gè)點(diǎn)0,S,P，?I的交比。弄清了權(quán)因子外的兒何意義之后，就可以容易地分析權(quán)因子對曲線形狀的影響:若固定所有控制頂點(diǎn)，除例外的所有其他權(quán)因子保持不變，那么當(dāng)?變化時(shí)，點(diǎn)尸⑺隨之移動，它在空間掃出一條過控制頂點(diǎn)0的直線。當(dāng)今T+oo時(shí)，尸⑺趨于P,;當(dāng)用=0時(shí)，Pj對曲線不產(chǎn)生任何影響。若。i增大，則a隨之增大，曲線尸⑺被拉向控制頂點(diǎn)P,;若用減小，則a隨之

減小，曲線尸⑺被推離控制頂點(diǎn)即權(quán)因子例的減小與增大起到了對曲線尸⑺相對于控制頂點(diǎn)Pi的推拉作用。二次曲線的NURBS表示3.4.1二次曲線的隱式方程二次曲線又稱為圓錐截線，為平面曲線，其一般方程為Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0它含有六個(gè)系數(shù)，但只有五個(gè)是獨(dú)立的。也就是說，一條二次曲線由五個(gè)獨(dú)立的條件確定，然而這些系數(shù)的兒何意義不明確。對實(shí)際工程應(yīng)用來說，直接采用這種隱式方程顯然是不方便的。因此，需要尋求有明顯幾何意義的、適合工程應(yīng)用的條件和表示形式。既然二次曲線的隱式方程中含有五個(gè)獨(dú)立的自由量，那么最簡單的條件是給定平面上五個(gè)獨(dú)立的點(diǎn)來確定一條二次曲線。由于任意給定的五個(gè)點(diǎn)不一定能確定一條二次曲線（比如五點(diǎn)共線），因而通常用直線族首先定義-二次曲線族，然后再指定一點(diǎn)以確定惟一的一條二次曲線。給定直線：4：OjX+bjy+Cj=0,z=1,2,3,4那么這四條直線便定義了一二次曲線族：（1-團(tuán)仙+//4=0它通過直線對（44）與直線對44）的四個(gè)交點(diǎn)4&CO,再給定第五個(gè)點(diǎn)p,就可確定出族參數(shù)2的值，從而確定了一條二次曲線如果點(diǎn)優(yōu)C分別趨于點(diǎn)A與。，那么弦線而與麗分別就成為曲線在A與O兩點(diǎn)的切線。因此，若直線&與4重合，則方程（1-團(tuán)他+祐=。表示一族過A與。兩點(diǎn)。且在4與。處的切線分別為k6的二次曲線。若兩切線不平行，則有交點(diǎn)E,再給定曲線上另一點(diǎn)尸就可確定參數(shù)與4。如果點(diǎn)尸落在三角形AAE。內(nèi)，則二次曲線在三角形AAE。內(nèi)總是一段連續(xù)的曲線弧，那么兩端點(diǎn)4、。及其切線的交點(diǎn)E,加上曲線上的位于三角形AAEO內(nèi)的一點(diǎn)尸，便是工程上定義一段二次曲線弧的五個(gè)獨(dú)立條件?，F(xiàn)在的問題是怎樣找出它的NURBS表示？4.2二次曲線的有理B6zier表示給定平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)P<1,Pl，P?，則以過Po,,2，在Po,P2處分別與E后、嬴相切為條件，可定義一二次曲線族。若記向E、萩、嬴的方程分別為/,=0,/2=0,/3=0,則二次曲線族的方程為（1-訓(xùn)6+花=0現(xiàn)以Pl為原點(diǎn)，%為（1,0）點(diǎn)，P2為（0,1）點(diǎn)建立平面斜坐標(biāo)系0a夕。在該坐標(biāo)系下,平面上任一點(diǎn)p（a,夕）可表示為p（a,4）=Pi+a（P（>-Pi）+力（P2-Pi）直線標(biāo)、標(biāo)、石五的方程分別為4=0,-a=0,4+4-1=0。因此，二次曲線族的方程為S（a,夕）=（1-QR?- +夕-=0這里嬴的方程取為-a=0,而不是+a=0,其原因是當(dāng)確定二次曲線的第五個(gè)點(diǎn)位于三角形M出P?內(nèi)時(shí)，對應(yīng)的族參數(shù)4e（0,l）o設(shè)，（必夕）是二次曲線上任一點(diǎn)，那么曲線在該點(diǎn)處的切線分別交啟、標(biāo)與A.Bo當(dāng)4、B沿直線E萬、標(biāo)變動時(shí)，p，則沿曲線變動。因此，比率月廣嶼，g2=幽可看作是點(diǎn)P'處的參數(shù)。伊0臼\P2B\由方程S（a,夕）=0可求出曲線在p'的切線與PoPi和Plp2交點(diǎn)A、B的坐標(biāo)。點(diǎn)p'的切線方程為S1（優(yōu),夕）3-優(yōu)）+S'p（優(yōu),6鄧-4'）=0其中，S；（a；P'）=（1--2A（a'+^-1）,51（優(yōu),夕）=（1-2）優(yōu)-2〃優(yōu)+"一1）。交

點(diǎn)4的坐標(biāo)為(a,0),將夕=0代入上式，有。=“二灣：0、(1-X)p-2A(a+p-1)所以0_加聞_a_-24優(yōu)+夕'-1)兩一匚》一 (1一團(tuán)夕,同理g,=她=上_=_2〃儲+/-1）\p,B\\-p（IT）a'因此g|g2=因此g|g2=4萬（優(yōu)+2-I）?

（i_3）2a7r42這表明，對任一二次曲線，g1g2是常量，且當(dāng)?shù)谖妩c(diǎn)位于三角形“0P/2內(nèi)時(shí)，0<2<lo此時(shí)，點(diǎn)p'(a',〃)可以按參數(shù)g”g2表示。由g1,g2的表示式可知:a'=——，夕=—與— 再由的表達(dá)式，便有g(shù)l+2+g2gl+2+g2p'(a',夕)=P|+a'(Po-Pi)+P'(p2-Pi)=(1-a,-。)Pi+ct'po+Sp[現(xiàn)令gi=>°"")，g2=?”、代入上式,便有@[(1一〃)二g|Po+2P|+g2P28\+2+g?"(a：夕)