中等數(shù)學(xué)-奧林匹克問題

數(shù)數(shù) 問 3(b-c)2+(c-a)2+(a-b)本期問 2+4 (a+b+c) 初 如圖1,在銳角△ABC中,CEAB于點(diǎn)E,F,∠A<∠BFC=45°,ED∠BEC的平分線∠EDB=∠FDCGBC的中點(diǎn),EB=cEC=bBC=a.abc表示FG的 圖度的平方(瞿飛市初級(jí)中學(xué)初三(5),200050)初208ABC,AB=AC⊙OABC,且與ABAC,切點(diǎn)B1C1.P1,P2,?,PnBC,P1,P2,?,PnOP1Q1,P2Q2,?,PnQn,Q1,Q2,?,Qn.設(shè)m=iPQ2i+iBP·iP(ii=1,2,?,n.若BB1=a,m1+m2+?+mn的值(郭璋市朝陽(yáng)區(qū)教育,高207ABCDO,,OABCD上.ADBCMN,△OAB的外OCDOE證明O、EMN四點(diǎn)共圓.(浙江省余姚市余姚中學(xué)高高 已知abc∈R+.求證 b+ c+ a+

(李 2052PABC,PD、PEPF是過(guò)點(diǎn)P所BC、CA、AB垂足D、E、F,D、E、F三點(diǎn)的圓BC、CA、AB于另外三點(diǎn)D,D分別作所 圖l1l2l3求證l1l2l3三線共點(diǎn):先證明一個(gè)引理引理如圖3,直lOA、B過(guò)AB分別lmn,經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線分別mnMN.則MN關(guān)于點(diǎn)O對(duì)稱 圖引理的證明:OOH⊥ABH,H是AB,m∥OH∥n.又根據(jù)平行線等分線段定理知OM=ON,所以,引理成立.下面證明原題2設(shè)直l1l2l3分別與直線PO交于點(diǎn)D″F″由引理D″都是P關(guān)于O的對(duì)稱,,D″三點(diǎn)重,即直線l1l2、l3三線共點(diǎn).(沈毅重慶市合川區(qū)太和中學(xué)206已知圓內(nèi)接△ABC是銳角三角形圓AA1∥BB1∥CC1A1A2B1B22007年第8 C1C2BCCAAB成軸對(duì)稱求證△A2B2C2

∠A、∠C成等差數(shù)列.IABC,交ACD,CI交AB1+1DEH為垂心HE成軸對(duì)稱

DE1

的值證明:1)5,2∠A=∠B+∠C.A+∠B+∠C=∠A=∠B+∠C=∠A=2AB1AB2BA1BA2AE,BE交AA1于點(diǎn)K,延長(zhǎng)BAX.B1B2HEAC,

IBC=1∠ABC∠ICB=1∠ACB ∠IBC+=1(∠ABC+∠ACB)∠BAH=∠BAE=180°-∠BB =∠B+∠C=60 ∠B2AX=∠B2AH-=(180°-∠AKE)-(180°-=∠BAD-∠A=(90°-∠ABC)-(90°-∠A1=∠A1AC-∠ABC∠A2BX=∠A2BC-=∠A1BC-=∠A1AC-∠ABC∠B2AX=∠A2BX,AB2∥BA2 學(xué)205ABC∠B>∠A>∠C,B

∠BIC=∠EIDA∠EID180°,AEID四=CD四點(diǎn)共圓BEI=∠IDA=∠IMC,IMB=D,IE=ID,EIDIE=ID=33BIC,由余弦定BC2=BI2+CI2-2BI·CIcos=BI2+CI2+ 再由(1BC2=BI·BD+=BI(BI+ID)+CI(CI+=BI2+BI·ID+CI2+ 1ID=IE,1IE1 =

fx)=gt的值域是(-∞,2-2k當(dāng)k=1時(shí),f(x)=g(t) >0t t2- gtt,g(2)2-2gt)→0(DE1+

=3 ( ( t→+∞時(shí),fx=gt0,2-2(師范大學(xué)附屬中學(xué)206k是一個(gè)實(shí)數(shù)

g(函數(shù),且x2+f(x)=x+1- (x> g(2)=2x2+(1(1-k2)t2+2t+ t2-的取值范圍

g(t)解:令x+1=t, (1-k2)t

2t→+∞(t→+∞時(shí)t≥2,f(x)=g(t)=t- t2-2(t≥2),gtt≥2的取值范圍.對(duì)g(t)求導(dǎo)數(shù)得

1+ 1-下面再細(xì)分為兩種情況g(

t2-

=1

21-2

0k≤1g(t)0有唯一t=2 2≤2g(21-

≥0(

≥2

g(t)(

1-

是t的嚴(yán)格遞增函數(shù)

是嚴(yán)格遞增函數(shù)fx)=gt

2g(t)是關(guān)于t的嚴(yán)格遞增函數(shù)(當(dāng)k>0時(shí))或嚴(yán) [2-k2,+∞)221-遞減函數(shù)(k0時(shí)),g(t)0的實(shí)根為t=(t≥2的要21-

1<k1g(t)0有唯一的t (

>2,所以,g(t)≥0(當(dāng)t 時(shí))1-k1-k1-1-

g

=1-下面對(duì)k分三種情況k0fx的值域是2,+∞

gtt

上是嚴(yán)格遞增的k0fx)=gtt的嚴(yán)格遞,f(x)=gt的值域是2-2k,+∞).k0,又分為三種情況g(g(

g(21-2≤t 2221-1-

時(shí)),gt)

g(t1k ,

2 2(1-k2).f(x)t→+g(t+ t2-f(x)=g(t)=t2-k2t+ t2-

1-g(t)的值域是 2(1-k2),+∞)fx)=gtt≥2的值域?yàn)椤躘2-2k+∞)(k );2(1-k2(k2-12(1-k22t+ t