拉普拉斯變換課件-002

第六章拉普拉斯變換1ppt課件第六章拉普拉斯變換1ppt課件本章基本要求理解和掌握導數(shù)和積分的拉普拉斯變換掌握有理分式反演法掌握延遲定理，位移定理和卷積定理理解黎曼-梅林反演公式；運算微積方法求解微積分方程。2ppt課件本章基本要求理解和掌握導數(shù)和積分的拉普拉斯變換2ppt課件6.1拉普拉斯變換的概念3ppt課件6.1拉普拉斯變換的概念3ppt課件一Laplace變換的定義1傅里葉變換的限制：1）函數(shù)滿足狄利克雷條件2）在（-∞，+∞）上滿足絕對可積的條件

3）在整個數(shù)軸上有定義實際應用中，絕對可積的條件比較強，許多函數(shù)都不滿足該條件，如正弦，余弦，階躍，線性函數(shù)等；另外，在無線電技術(shù)中，函數(shù)往往以t作為自變量，t<0無意義。4ppt課件一Laplace變換的定義1傅里葉變換的限制：1）函2拉普拉斯變換研究的對象函數(shù)1）函數(shù)滿足這樣的條件:a)t<0時，f(t)=0b)t=0時，f(t)右側(cè)連續(xù)，2）設單位階躍函數(shù)，則原函數(shù)f(t)，研究函數(shù)為f(t)u(t)。5ppt課件2拉普拉斯變換研究的對象函數(shù)1）函數(shù)滿足這樣的條件:2）設3從傅里葉變換推導拉普拉斯變換6ppt課件3從傅里葉變換推導拉普拉斯變換6ppt課件從上面推導可知，函數(shù)f(t)(t≥0)拉普拉斯變換，實際上就是函數(shù)f(t)u(t)e-δt的傅里葉變換。7ppt課件從上面推導可知，函數(shù)f(t)(t≥0)拉普7ppt課件4Laplace變換的定義設f(t)為定義在[0，∞）上的實變函數(shù)或復值函數(shù)，若含復變量的積分在s的某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復函數(shù)稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換或像函數(shù)，記作F(s)=L[f(t)]，8ppt課件4Laplace變換的定義設f(t)為定義在[0，∞）而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或原函數(shù)，記作f(t)=L-[F(s)]，上式也稱作黎曼-梅林反演公式。9ppt課件而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或原函數(shù)，9ppt課件二Laplace變換的存在條件Laplace變換存在的充分條件是：（1）在0t<的任一有限區(qū)間上，除了有限個第一類間斷點外，函數(shù)f(t)及其導數(shù)是處處連續(xù)的。（2）

存在常數(shù)M>0和0，使對于任何t(0t<),有

的下界稱為收斂橫標，以0表示。大多數(shù)函數(shù)都滿足這個充分條件。10ppt課件二Laplace變換的存在條件Laplace變換存在的充0+i0-is平面o收斂橫標11ppt課件0+i0-is平面o收斂橫標11ppt課件2定理：若f(t)滿足上述條件，則像函數(shù)F(s)在半平面Res>δ上有意義，而且是一個解析函數(shù)。12ppt課件2定理：若f(t)滿足上述條件，則像函數(shù)12ppt課件三例題例1指數(shù)函數(shù)eat(a為復常數(shù))13ppt課件三例題例1指數(shù)函數(shù)eat(a為復常數(shù))13pp例2Heaviside階躍函數(shù):14ppt課件例2Heaviside階躍函數(shù):14ppt課件例3線性函數(shù)f(t)=t(t>0):15ppt課件例3線性函數(shù)f(t)=t(t>0):15p例4同理16ppt課件例4同理16ppt課件解：從而類推?例5??17ppt課件解：從而類推?例5??17ppt課件6.2基本函數(shù)的拉普拉斯變換18ppt課件6.2基本函數(shù)的拉普拉斯變換18ppt課件一單位階躍函數(shù)二δ(t)函數(shù)19ppt課件一單位階躍函數(shù)二δ(t)函數(shù)19ppt課件三函數(shù)tn（n>-1)的拉氏變換20ppt課件三函數(shù)tn（n>-1)的拉氏變換20ppt課件6.3Laplace變換的基本性質(zhì)21ppt課件6.3Laplace變換的基本性質(zhì)21ppt課件Laplace變換F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)>0的半平面代表一個解析函數(shù)。（2）當

|Args|/2-ε(ε>0)時：且滿足0+i0-is平面o解析區(qū)域22ppt課件且滿足0+i0-is平面o解析區(qū)域22ppt課????????一線性定理：與Fourier變換一樣。例23ppt課件????????一線性定理：與Fourier變注意：一、初始條件進入Lapace變換公式中，這一點在實際應用中非常重要。二、原函數(shù)對t的求導，變成像函數(shù)與p相乘。??二原函數(shù)導數(shù)定理:24ppt課件注意：??二原函數(shù)導數(shù)定理:24ppt課件原函數(shù)對t的積分變成像函數(shù)與s相除??三原函數(shù)積分定理:25ppt課件原函數(shù)對t的積分變成像函數(shù)與s相除??三原函數(shù)積分四相似性定理五位移定理：

六延遲定理：

???26ppt課件四相似性定理???26ppt課件七卷積定理:???27ppt課件七卷積定理:???27ppt課件八像函數(shù)微分性質(zhì)?28ppt課件八像函數(shù)微分性質(zhì)?28ppt課件即：像函數(shù)求積分，相當于原函數(shù)除t的像函數(shù)。?九像函數(shù)積分定理29ppt課件即：像函數(shù)求積分，相當于原函數(shù)除t的像函數(shù)。?九十關(guān)于參數(shù)的運算對于含參數(shù)α的函數(shù)f(t,α)的拉氏變換來說，由于關(guān)于t的積分（即拉氏變換）與關(guān)于α的運算順序可以交換，所以30ppt課件十關(guān)于參數(shù)的運算對于含參數(shù)α的函數(shù)f(t,α)的拉氏變換來十一初值定理31ppt課件十一初值定理31ppt課件十二終值定理32ppt課件十二終值定理32ppt課件例1（P205例10.3.4）33ppt課件例1（P205例10.3.4）33ppt課件例2（P206例10.3.5）34ppt課件例2（P206例10.3.5）34ppt課件例3（補充例題）求解初始問題35ppt課件例3（補充例題）求解初始問題35ppt課件例4（補充例題）求解初始問題36ppt課件例4（補充例題）求解初始問題36ppt課件例5（補充題，利用原函數(shù)積分法求解積分方程）設C，R，E為正常數(shù)，求解積分方程（該方程來自電路理論）37ppt課件例5（補充題，利用原函數(shù)積分法求解37ppt課件6.3Laplace變換的反演38ppt課件6.3Laplace變換的反演38ppt課件關(guān)于t的微分方程關(guān)于p的代數(shù)方程關(guān)于p的代數(shù)方程原微分方程的解Laplace變換Laplace變換的反演

39ppt課件關(guān)于t的微分方程關(guān)于p的代數(shù)方程一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace變換的性質(zhì)求原函數(shù)。

一般步驟：1）化簡，使分子冪次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系數(shù)法進行部分分式展開4）利用拉氏變換表求解注：需要注意多階極點和共軛極點的情況。40ppt課件一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式例1求的原函數(shù)（p208例10.4.1）41ppt課件例1求的原函數(shù)41ppt例2求的原函數(shù)（p208例10.4.2）42ppt課件例2求的原函數(shù)42ppt例3求的原函數(shù)解因此原函數(shù)為43ppt課件例3求的原函數(shù)解因此原函通分后比較p的同次冪系數(shù)得：44ppt課件通分后比較p的同次冪系數(shù)得：44ppt課件二查表法反演例4：求 的原函數(shù)。由表查得解又由延遲定理??45ppt課件二查表法反演例4：求 的原函數(shù)。由表例5求 的原函數(shù)。解：由表查得

由位移定理：因此原函數(shù)為?????46ppt課件例5求例6求的原函數(shù)（p210例10.4.5）47ppt課件例6求的原函數(shù)47p*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式

在L右邊，像函數(shù)解析，無奇點。故作圍道(L+CR)

在L的左邊。設在L的左邊只有有限個孤立奇點pk，由留數(shù)定理因在L的右邊無奇點，所以可以說：pk是全平面上像函數(shù)的奇點。(如果像是多值函數(shù)，問題比較復雜)48ppt課件*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式48ppt課件Fourier變換與Laplace變換的比較1Fourier變換與逆變換比較對稱，但Fourier變換對函數(shù)要求較嚴；數(shù)值計算比較成熟（FFT）;2盡管Laplace逆變換是復變積分，因像函數(shù)是一個解析函數(shù)，可以利用復變函數(shù)理論的公式;無現(xiàn)成的數(shù)值計算程序；每個問題的極點分布不一樣。49ppt課件Fourier變換與Laplace變換的比較1Fourie6.4拉普拉斯變換應用舉例50ppt課件6.4拉普拉斯變換應用舉例50ppt課件一利用拉氏變換求積分（1）如求的積分，先求的積分，然后令t=1。例1（p215例10.5.2）51ppt課件一利用拉氏變換求積分（1）如求的積分（2）若，則例2（p216例10.5.3）52ppt課件（2）若，則例2（p216例10.（3）若，則利用基本公式11和初值定理，得到例2（p216例10.5.4）53ppt課件（3）若，則利用基本公式11例2（二利用拉氏變換求解微分方程，積分方程例1（p217例10.5.6）解方程54ppt課件二利用拉氏變換求解微分方程，積分方程例1（p217例10例2L-R串聯(lián)電路有交流源E=E0sinωt,求電路中的電流。LRE(t)K解：電流方程：兩邊作Laplace變換：解得：55ppt課件例2L-R串聯(lián)電路有交流源E=E0sinωt,求電路應用卷積定理第一項：穩(wěn)定振蕩，第二項：衰減??見下頁??56ppt課件應用卷積定理第一項：穩(wěn)定振蕩，第二項：衰減??見下頁??5657ppt課件57ppt課件其中第一項改寫：58ppt課件其中第一項改寫：58ppt課件例3（簡明教程p61）求解積分方程解方程兩邊進行拉普拉斯變換則59ppt課件例3（簡明教程p61）求解積分方程解方程兩邊進行拉普拉斯例4（簡明教程p60）求解方程組解方程兩邊進行拉普拉斯變換60ppt課件例4（簡明教程p60）求解方程組解方程兩邊進行拉普拉斯變第六章拉普拉斯變換61ppt課件第六章拉普拉斯變換1ppt課件本章基本要求理解和掌握導數(shù)和積分的拉普拉斯變換掌握有理分式反演法掌握延遲定理，位移定理和卷積定理理解黎曼-梅林反演公式；運算微積方法求解微積分方程。62ppt課件本章基本要求理解和掌握導數(shù)和積分的拉普拉斯變換2ppt課件6.1拉普拉斯變換的概念63ppt課件6.1拉普拉斯變換的概念3ppt課件一Laplace變換的定義1傅里葉變換的限制：1）函數(shù)滿足狄利克雷條件2）在（-∞，+∞）上滿足絕對可積的條件

3）在整個數(shù)軸上有定義實際應用中，絕對可積的條件比較強，許多函數(shù)都不滿足該條件，如正弦，余弦，階躍，線性函數(shù)等；另外，在無線電技術(shù)中，函數(shù)往往以t作為自變量，t<0無意義。64ppt課件一Laplace變換的定義1傅里葉變換的限制：1）函2拉普拉斯變換研究的對象函數(shù)1）函數(shù)滿足這樣的條件:a)t<0時，f(t)=0b)t=0時，f(t)右側(cè)連續(xù)，2）設單位階躍函數(shù)，則原函數(shù)f(t)，研究函數(shù)為f(t)u(t)。65ppt課件2拉普拉斯變換研究的對象函數(shù)1）函數(shù)滿足這樣的條件:2）設3從傅里葉變換推導拉普拉斯變換66ppt課件3從傅里葉變換推導拉普拉斯變換6ppt課件從上面推導可知，函數(shù)f(t)(t≥0)拉普拉斯變換，實際上就是函數(shù)f(t)u(t)e-δt的傅里葉變換。67ppt課件從上面推導可知，函數(shù)f(t)(t≥0)拉普7ppt課件4Laplace變換的定義設f(t)為定義在[0，∞）上的實變函數(shù)或復值函數(shù)，若含復變量的積分在s的某個區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復函數(shù)稱為函數(shù)f(t)的Laplace變換或像函數(shù)，記作F(s)=L[f(t)]，68ppt課件4Laplace變換的定義設f(t)為定義在[0，∞）而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或原函數(shù)，記作f(t)=L-[F(s)]，上式也稱作黎曼-梅林反演公式。69ppt課件而f(t)稱為F(s)的拉氏逆變換或原函數(shù)，9ppt課件二Laplace變換的存在條件Laplace變換存在的充分條件是：（1）在0t<的任一有限區(qū)間上，除了有限個第一類間斷點外，函數(shù)f(t)及其導數(shù)是處處連續(xù)的。（2）

存在常數(shù)M>0和0，使對于任何t(0t<),有

的下界稱為收斂橫標，以0表示。大多數(shù)函數(shù)都滿足這個充分條件。70ppt課件二Laplace變換的存在條件Laplace變換存在的充0+i0-is平面o收斂橫標71ppt課件0+i0-is平面o收斂橫標11ppt課件2定理：若f(t)滿足上述條件，則像函數(shù)F(s)在半平面Res>δ上有意義，而且是一個解析函數(shù)。72ppt課件2定理：若f(t)滿足上述條件，則像函數(shù)12ppt課件三例題例1指數(shù)函數(shù)eat(a為復常數(shù))73ppt課件三例題例1指數(shù)函數(shù)eat(a為復常數(shù))13pp例2Heaviside階躍函數(shù):74ppt課件例2Heaviside階躍函數(shù):14ppt課件例3線性函數(shù)f(t)=t(t>0):75ppt課件例3線性函數(shù)f(t)=t(t>0):15p例4同理76ppt課件例4同理16ppt課件解：從而類推?例5??77ppt課件解：從而類推?例5??17ppt課件6.2基本函數(shù)的拉普拉斯變換78ppt課件6.2基本函數(shù)的拉普拉斯變換18ppt課件一單位階躍函數(shù)二δ(t)函數(shù)79ppt課件一單位階躍函數(shù)二δ(t)函數(shù)19ppt課件三函數(shù)tn（n>-1)的拉氏變換80ppt課件三函數(shù)tn（n>-1)的拉氏變換20ppt課件6.3Laplace變換的基本性質(zhì)81ppt課件6.3Laplace變換的基本性質(zhì)21ppt課件Laplace變換F(s)的特性：（1）F(s)在Re(s)>0的半平面代表一個解析函數(shù)。（2）當

|Args|/2-ε(ε>0)時：且滿足0+i0-is平面o解析區(qū)域82ppt課件且滿足0+i0-is平面o解析區(qū)域22ppt課????????一線性定理：與Fourier變換一樣。例83ppt課件????????一線性定理：與Fourier變注意：一、初始條件進入Lapace變換公式中，這一點在實際應用中非常重要。二、原函數(shù)對t的求導，變成像函數(shù)與p相乘。??二原函數(shù)導數(shù)定理:84ppt課件注意：??二原函數(shù)導數(shù)定理:24ppt課件原函數(shù)對t的積分變成像函數(shù)與s相除??三原函數(shù)積分定理:85ppt課件原函數(shù)對t的積分變成像函數(shù)與s相除??三原函數(shù)積分四相似性定理五位移定理：

六延遲定理：

???86ppt課件四相似性定理???26ppt課件七卷積定理:???87ppt課件七卷積定理:???27ppt課件八像函數(shù)微分性質(zhì)?88ppt課件八像函數(shù)微分性質(zhì)?28ppt課件即：像函數(shù)求積分，相當于原函數(shù)除t的像函數(shù)。?九像函數(shù)積分定理89ppt課件即：像函數(shù)求積分，相當于原函數(shù)除t的像函數(shù)。?九十關(guān)于參數(shù)的運算對于含參數(shù)α的函數(shù)f(t,α)的拉氏變換來說，由于關(guān)于t的積分（即拉氏變換）與關(guān)于α的運算順序可以交換，所以90ppt課件十關(guān)于參數(shù)的運算對于含參數(shù)α的函數(shù)f(t,α)的拉氏變換來十一初值定理91ppt課件十一初值定理31ppt課件十二終值定理92ppt課件十二終值定理32ppt課件例1（P205例10.3.4）93ppt課件例1（P205例10.3.4）33ppt課件例2（P206例10.3.5）94ppt課件例2（P206例10.3.5）34ppt課件例3（補充例題）求解初始問題95ppt課件例3（補充例題）求解初始問題35ppt課件例4（補充例題）求解初始問題96ppt課件例4（補充例題）求解初始問題36ppt課件例5（補充題，利用原函數(shù)積分法求解積分方程）設C，R，E為正常數(shù)，求解積分方程（該方程來自電路理論）97ppt課件例5（補充題，利用原函數(shù)積分法求解37ppt課件6.3Laplace變換的反演98ppt課件6.3Laplace變換的反演38ppt課件關(guān)于t的微分方程關(guān)于p的代數(shù)方程關(guān)于p的代數(shù)方程原微分方程的解Laplace變換Laplace變換的反演

99ppt課件關(guān)于t的微分方程關(guān)于p的代數(shù)方程一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式和Laplace變換的性質(zhì)求原函數(shù)。

一般步驟：1）化簡，使分子冪次低于分母；2）分母分解因式；3）利用待定系數(shù)法進行部分分式展開4）利用拉氏變換表求解注：需要注意多階極點和共軛極點的情況。100ppt課件一有理分式的反演把有理分式分解,然后利用一些基本公式例1求的原函數(shù)（p208例10.4.1）101ppt課件例1求的原函數(shù)41ppt例2求的原函數(shù)（p208例10.4.2）102ppt課件例2求的原函數(shù)42ppt例3求的原函數(shù)解因此原函數(shù)為103ppt課件例3求的原函數(shù)解因此原函通分后比較p的同次冪系數(shù)得：104ppt課件通分后比較p的同次冪系數(shù)得：44ppt課件二查表法反演例4：求 的原函數(shù)。由表查得解又由延遲定理??105ppt課件二查表法反演例4：求 的原函數(shù)。由表例5求 的原函數(shù)。解：由表查得

由位移定理：因此原函數(shù)為?????106ppt課件例5求例6求的原函數(shù)（p210例10.4.5）107ppt課件例6求的原函數(shù)47p*三一般反演方法：黎曼-梅林反演公式

在L右邊，像函數(shù)解析，無奇點。故作圍道(L+CR)

在L的左邊。設在L的左邊只有有限個孤立奇點pk，由留數(shù)定理因在L的右邊無奇點，所以可以說：pk是全平面上像函數(shù)的奇點。(如果像是多值函數(shù)，問題比較復雜)108ppt課件