百分等級與標準分數(shù)課件

心理與教育統(tǒng)計學

第五章

百分等級與標準分數(shù)心理與教育統(tǒng)計學

第五章

百分等級與標準分數(shù)1第五章百分等級與標準分數(shù)為了理解該內容對于教育問題的重要性，我們先來看兩個日常教學中經(jīng)常面臨的問題。某同學數(shù)學成績班上排名15，你能對此成績進行評價嗎？為什么？兩名小學生語文和數(shù)學兩科的總分均為180，能否說明兩人的學習水平一樣？為什么？第五章百分等級與標準分數(shù)為了理解該內容對于教育問題的重要2第五章百分等級與標準分數(shù)一、原始分數(shù)的缺陷二、百分等級三、標準分數(shù)四、統(tǒng)計軟件操作第五章百分等級與標準分數(shù)一、原始分數(shù)的缺陷3一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)，又稱觀測分數(shù)，它是觀測所得的、未經(jīng)任何加工的分數(shù)。在我國當前學校教育中，經(jīng)常用原始分數(shù)作為評價學生的標準，但是對于原始分數(shù)本身的固有的缺陷造成使用和評價上的失誤，卻很少引起基層學校的重視。一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)，又稱觀測分數(shù)，它是觀測所得的、未4一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)的缺陷主要表現(xiàn)在四個方面。原始分數(shù)無明確的意義原始分數(shù)的單位不等值原始分數(shù)不具可比性原始分數(shù)沒有可加性一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)的缺陷主要表現(xiàn)在四個方面。5二、百分等級百分等級的定義百分等級的計算應用與局限二、百分等級6二、百分等級（一）百分等級的定義普通的等級順序是難以看出成績優(yōu)劣的。百分等級不同，它能表示一個學生的成績在他所屬的團體中的相對地位。百分等級（percentilerank），用符號PR表示。百分等級是將全體人數(shù)作為100來計算的，以確定每一個個體分數(shù)在這100中的位置如何。百分等級越大，所代表的等級越高，反之則越低。百分等級和前面所學的百分位數(shù)是對應的關系。P82二、百分等級（一）百分等級的定義普通的等級順序是難以看出成績7二、百分等級（二）百分等級的計算原始數(shù)據(jù)計算百分等級公式中，R表示某一原始分數(shù)在按大小排列的數(shù)列中的順序或名次，N表示總次數(shù)。二、百分等級（二）百分等級的計算原始數(shù)據(jù)計算百分等級公式中，8二、百分等級（二）百分等級的計算例題：假設某團體有5個人，依次排序為1，2，3，4，5。試問每個人的百分等級是多少呢？二、百分等級（二）百分等級的計算9二、百分等級（二）百分等級的計算例題：假設某團體有5個人，依次排序為1，2，3，4，5。試問每個人的百分等級是多少呢？根據(jù)公式計算得出，5名學生的百分等級分別為90，70，50，30，10。如何理解這個結果？P83二、百分等級（二）百分等級的計算10二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理測驗，現(xiàn)隨機從中抽取10名學生的成績并按大小順序排列90，89，85，78，77，73，69，66，65，60。試求得分為85分的百分等級。二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理11二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理測驗，現(xiàn)隨機從中抽取10名學生的成績并按大小順序排列90，89，85，78，77，73，69，66，65，60。試求得分為85分的百分等級。因為85分排名第3，總人數(shù)為10，代入公式得75。這個75表示什么涵義？二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理12課堂練習例題：分別計算第2名和第15名在40名學生和60名學生中的百分等級。課堂練習13二、百分等級（二）百分等級的計算分組數(shù)據(jù)對分組數(shù)列中某一分數(shù)求百分等級單項式數(shù)列組距式數(shù)列二、百分等級（二）百分等級的計算14二、百分等級（二）百分等級的計算單項式數(shù)列對單項式數(shù)列中某一分數(shù)求百分等級，可以將其視為未分組數(shù)列來處理，根據(jù)累計次數(shù)，算出該分數(shù)的第一個取值的排名，按公式計算百分等級，再根據(jù)該分數(shù)的頻數(shù)計算最后一個取值的排名，計算百分等級，然后把兩個等級求算術平均即可。由于分數(shù)一般不會用單項式數(shù)列，所以這種情況不太多見。二、百分等級（二）百分等級的計算單項式數(shù)列15二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績計算成績“中”的百分等級。等級人數(shù)優(yōu)8良12中18及格10不及格2合計50二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績等級人數(shù)優(yōu)16二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績計算成績“中”的百分等級。分別計算R=21和38的百分等級，然后求算術平均等級人數(shù)累計人數(shù)優(yōu)88良1220中1838及格1048不及格250合計50——二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績等級人數(shù)累17二、百分等級（二）百分等級的計算組距式數(shù)列百分等級實際上與百分位數(shù)互為關系。百分位數(shù)是由百分位求具體分數(shù)，百分等級是由具體分數(shù)求對應的百分位。所以，根據(jù)組距式數(shù)列百分位數(shù)的公式可以推導出百分等級的公式。請試根據(jù)百分位數(shù)公式P81公式4-2推導百分等級公式P83公式4-3二、百分等級（二）百分等級的計算組距式數(shù)列18二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成績的分布如表所示。試求81分的百分等級。分數(shù)人數(shù)50-55155-60260-65665-70970-751575-801380-85885-903合計57二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成19二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成績的分布如表所示。試求81分的百分等級。答案：84分數(shù)人數(shù)50-55155-60260-65665-70970-751575-801380-85885-903合計57二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成20二、百分等級（二）應用與局限百分等級具有意義明確，容易理解，計算簡明等優(yōu)點。不論原始分數(shù)是什么樣的分布形態(tài)，計算出來的百分等級都有同樣的作用。因此在心理與教育學方面有著廣泛的用途。建立百分等級常模衡量考績的優(yōu)劣，確定學生的相對地位比較兩個或多個群體成績的優(yōu)劣二、百分等級（二）應用與局限百分等級具有意義明確，容易理解，21二、百分等級（二）應用與局限局限百分等級還只是一種順序量表，單位不等距，因此各個百分等級不能進行代數(shù)法的運算，也不能進行綜合指標、變異指標的統(tǒng)計處理。對于不同被試總體而來說，因分數(shù)轉換的參照標準不同，故百分等級之間無法比較。也就是說，只能進行同一測驗中同一原始分數(shù)百分等級的比較，無法進行不同測驗百分等級的比較。二、百分等級（二）應用與局限局限22三、標準分數(shù)標準分數(shù)standardscore在教育領域中應用極其廣泛。標準分數(shù)計算的原理是基于正態(tài)分布的有關理論。這里只談談有關標準分數(shù)的計算和應用。三、標準分數(shù)標準分數(shù)standardscore在教育領域中23三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)P95標準分數(shù)有很多種，都是按照一定標準將原始分數(shù)轉換得來。其中，最基本的標準分數(shù)稱為Z分數(shù)。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)P9524三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)計算Z分數(shù)是以標準差為單位所表示的“原始分數(shù)”與平均數(shù)的偏差，亦即原始分數(shù)與其平均數(shù)之差除以標準差所得的商，其公式為注意，Z分數(shù)是有正有負的。例題P96例4-7、P98例4-8三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)計算25三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的性質P96一組數(shù)據(jù)Z分數(shù)的平均數(shù)為0一組數(shù)據(jù)Z分數(shù)的標準差為1Z分數(shù)的優(yōu)點P97三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的性質P9626三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)如何根據(jù)Z分數(shù)得到名次？P449附表1：正態(tài)分布表Z分數(shù)為正分時，查表得到相應的P值，加上0.5即為所求Z分數(shù)為負分時，查表得到相應的P值，用0.5減去該數(shù)值即可三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)如何根據(jù)Z分數(shù)得到名次？27三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)請觀察表中Z分數(shù)為2.99和3.99時的P值注意，P值無限趨近于0.5，但是永遠不能達到0.5。在日常應用中，常把3或4作為Z分數(shù)的最高值來處理。這和后面的導出分數(shù)范圍有關。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)請觀察表中Z分數(shù)為2.99和3.9928三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用是因為正態(tài)分布的性質。正態(tài)分布的有關問題以后再講。應該明確，如果總體中個體數(shù)量太少的話，例如只有幾個人、十幾個人，應用Z分數(shù)是沒有價值的。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用是因為正態(tài)分布的性質。正29三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的實質Z分數(shù)是將某一原始分數(shù)的離均差變?yōu)橐詷藴什顬閱挝坏牧繑?shù)，表示此原始分數(shù)離開平均數(shù)的遠近，即它在均數(shù)以上或以下多少個標準差的位置上，以此說明原始分數(shù)的相對地位。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的實質30三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)將原始分數(shù)轉化為Z分數(shù)的實質就是把單位不等距和缺乏明確參照點的分數(shù)轉成以標準差為單位，以平均數(shù)為參照點的量表分數(shù)。在一個數(shù)據(jù)分布中，標準差所表示的距離是相等的，而以標準差為單位就使得計量單位等距了。以均數(shù)為參照點，也就是將均數(shù)視為原點0。所以Z分數(shù)相當于將原始分數(shù)轉變后放在以平均數(shù)為原點、標準差為計量單位的一維數(shù)軸上。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)將原始分數(shù)轉化為Z分數(shù)的實質就是把單31三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用Z分數(shù)不僅能反映原始分數(shù)在分布中的相對地位，而且也能比較不同分布的原始分數(shù)，同時還可以進行代數(shù)法的處理（即可以相加、相減和平均），對樣本中的值得懷疑異常值進行取舍，因此它在心理與教育領域的應用極為廣泛。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用32三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用一：比較不同測量單位的變量值的相對位置例題：某班進行體質檢查，測得學生平均身高為160公分，標準差為8.2公分；平均體重60公斤，標準差3.5公斤。某生身高170公分，體重65公斤，試問該生的身高和體重在班上那方面更突出一些？三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用一：比較不同測量單位的變量值的相33三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用二：學績評估標準分數(shù)不僅可以比較不僅可以評估個體在不同學科學業(yè)成績的優(yōu)劣，而且還可以評價不同個體在不同學科上學業(yè)成績的高低，同時還可以對學業(yè)成績進行加權處理。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用二：學績評估34三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學業(yè)成績如前所述，當測驗內容、學科性質不同時，原始分數(shù)是無法直接比較的。但是，經(jīng)過轉換后的標準分數(shù)因單位統(tǒng)一、等值，則是可以比較的。例題：某班算術能力測驗的平均成績是60分，標準差7分；閱讀能力測驗的平均成績是25分，標準差是3分。甲生兩項成績分別為74分和30分，試問甲生哪項能力更突出一些？答案三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學35三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學業(yè)成績如前所述，當測驗內容、學科性質不同時，原始分數(shù)是無法直接比較的。但是，經(jīng)過轉換后的標準分數(shù)因單位統(tǒng)一、等值，則是可以比較的。例題：某班算術能力測驗的平均成績是60分，標準差7分；閱讀能力測驗的平均成績是25分，標準差是3分。甲生兩項成績分別為74分和30分，試問甲生哪項能力更突出一些？計算結果表明，該生的算術Z分數(shù)為2.00，閱讀能力Z分數(shù)為1.67三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學36三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之二：評價不同個體多科成績優(yōu)劣不同個體的各學科之間一方面因難易程度不同，分散程度不同而無法直接相加求和，另一方面則因各科之間沒有參照點，難以分辨學生的特色科目。轉換成Z分數(shù)后，各學科的標準分不僅可以直接相加，而且還可以使分析比較更細致、更深入。例題：P99例4-9和例4-10三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之二：評價不同個體多科成績優(yōu)37三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用三：進行加權處理在各種考試中，測驗時間長短不同或比重不同，說明在成績的重要性程度不同，因此在成績評價時應考慮權數(shù)的影響作用，更好地反映實際情況。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用三：進行加權處理38三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例題：某課程第一次測驗40分鐘，班級平均數(shù)為90分，標準差6分；第二次測驗60分鐘，班平均分88分，標準差9分；第三次測驗90分鐘，班平均分80分，標準差13分。某生在三次測驗中的得分分別為90，85，82，他的成績在班上處于什么水平？三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例題：某課程第一次測驗40分鐘，班級39三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用四：異常數(shù)據(jù)的取舍一般來說，來自同一總體的樣本資料，雖然數(shù)據(jù)會千差萬別，大小不一，但是總會呈現(xiàn)出一定的趨勢來。假如在這樣一個樣本中出現(xiàn)個別極端的數(shù)據(jù)，那么其可靠性就會有問題，而這種數(shù)據(jù)被稱為異常數(shù)據(jù)或異常值。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用四：異常數(shù)據(jù)的取舍40三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例：調查一群正常人脈搏，其分布應在每分鐘70次左右，如果樣本中有一例脈搏為每分鐘130次，不得不懷疑該數(shù)據(jù)。樣本中出現(xiàn)異常數(shù)據(jù)的原因和后果異常數(shù)據(jù)的舍棄方法三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例：調查一群正常人脈搏，其分布應在每41三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)Z分數(shù)的不足雖然Z分數(shù)與原始分數(shù)相比有意義明確、單位等距等許多優(yōu)勢，但仍存在一些不足，造成應用上的不便。具體來說有四點。三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)Z分數(shù)的不足42三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)Z分數(shù)計算所依據(jù)的原理較為復雜，不懂統(tǒng)計的人對此難以理解，解釋起來也非常麻煩。Z分數(shù)的取值中，有一半負值，一半正值，使用上很不方便。如在成績評定中，告知學生或家長其成績?yōu)?或為負，很難被人接受，也令一般人感到不可思議。因Z分數(shù)取值范圍有限，容易出現(xiàn)小數(shù)，這給計算帶來麻煩，同時計算中進行四舍五入也會使誤差增大。用Z分數(shù)進行比較時，原則上要求兩個測驗原始分數(shù)的分布形態(tài)相同或相似，若相異也不能直接比較。三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)Z分數(shù)計算所依據(jù)的原理較為復雜，不43三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)通過百分等級來計算Z分數(shù)針對上述的第4點不足，如果原始分數(shù)服從正態(tài)分布,可以直接用原始分數(shù)求Z分數(shù),再進行相應的變換；當原始分數(shù)不服從正態(tài)分布或分布形態(tài)未知時，須先將原始分數(shù)化為百分等級，經(jīng)過查正態(tài)分布表，將其轉換為Z分數(shù)，而不是直接求Z分數(shù)。原始數(shù)據(jù)是否服從或近似服從正態(tài)分布，統(tǒng)計上有檢驗的標準，我們以后再學習。在日常工作中，如學生的考試成績，我們通過觀察分布圖的方法粗略地判斷即可，不必要嚴格運用檢驗標準。三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)通過百分等級來計算Z分數(shù)44三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)導出分數(shù)P101為了克服Z分數(shù)的上述缺陷，需要其作進一步的線性轉換，這種轉換后的標準分數(shù)稱導出分數(shù)。用T表示導出分數(shù)，一般的公式為T=aZ+b其中，ab均為人為設定的參數(shù)。實際上，a為導出分數(shù)的標準差，b為算術平均數(shù)三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)導出分數(shù)P10145三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)常用的導出分數(shù)有韋克斯離差智商，a=15，b=100學科測驗標準分，a=10，b=50（有的為60）美國高考和研究生考試，a=100，b=500根據(jù)設定的Z分數(shù)取值范圍不同（一般為正負3或4），導出分數(shù)的最高最低分也由此決定三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)常用的導出分數(shù)有46三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)這是2008年美國德克薩斯州八年級某學生的全州統(tǒng)考科學學科成績單三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)這是2008年美國德克薩斯州八年級47三、標準分數(shù)

（三）我國當前的標準分數(shù)應用我國的高考標準分高考的各科標準分T=100Z+500廣東的情況對于高考標準分數(shù)和原始分數(shù)在我國當前應用的看法三、標準分數(shù)

（三）我國當前的標準分數(shù)應用我國的高考標準分48三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)我國的英語四、六級報告分數(shù)計算步驟T=70Z+500分數(shù)常模三、標準分數(shù)（二）導出分數(shù)我國的英語四、六級報告分數(shù)49四、統(tǒng)計軟件操作EXCEL操作standardiveSPSS操作菜單[Analyze]-[DescriptiveStatistics]-[Descriptives]，勾選對話框下方的選項四、統(tǒng)計軟件操作EXCEL操作50心理與教育統(tǒng)計學

第五章

百分等級與標準分數(shù)心理與教育統(tǒng)計學

第五章

百分等級與標準分數(shù)51第五章百分等級與標準分數(shù)為了理解該內容對于教育問題的重要性，我們先來看兩個日常教學中經(jīng)常面臨的問題。某同學數(shù)學成績班上排名15，你能對此成績進行評價嗎？為什么？兩名小學生語文和數(shù)學兩科的總分均為180，能否說明兩人的學習水平一樣？為什么？第五章百分等級與標準分數(shù)為了理解該內容對于教育問題的重要52第五章百分等級與標準分數(shù)一、原始分數(shù)的缺陷二、百分等級三、標準分數(shù)四、統(tǒng)計軟件操作第五章百分等級與標準分數(shù)一、原始分數(shù)的缺陷53一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)，又稱觀測分數(shù)，它是觀測所得的、未經(jīng)任何加工的分數(shù)。在我國當前學校教育中，經(jīng)常用原始分數(shù)作為評價學生的標準，但是對于原始分數(shù)本身的固有的缺陷造成使用和評價上的失誤，卻很少引起基層學校的重視。一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)，又稱觀測分數(shù)，它是觀測所得的、未54一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)的缺陷主要表現(xiàn)在四個方面。原始分數(shù)無明確的意義原始分數(shù)的單位不等值原始分數(shù)不具可比性原始分數(shù)沒有可加性一、原始分數(shù)的缺陷原始分數(shù)的缺陷主要表現(xiàn)在四個方面。55二、百分等級百分等級的定義百分等級的計算應用與局限二、百分等級56二、百分等級（一）百分等級的定義普通的等級順序是難以看出成績優(yōu)劣的。百分等級不同，它能表示一個學生的成績在他所屬的團體中的相對地位。百分等級（percentilerank），用符號PR表示。百分等級是將全體人數(shù)作為100來計算的，以確定每一個個體分數(shù)在這100中的位置如何。百分等級越大，所代表的等級越高，反之則越低。百分等級和前面所學的百分位數(shù)是對應的關系。P82二、百分等級（一）百分等級的定義普通的等級順序是難以看出成績57二、百分等級（二）百分等級的計算原始數(shù)據(jù)計算百分等級公式中，R表示某一原始分數(shù)在按大小排列的數(shù)列中的順序或名次，N表示總次數(shù)。二、百分等級（二）百分等級的計算原始數(shù)據(jù)計算百分等級公式中，58二、百分等級（二）百分等級的計算例題：假設某團體有5個人，依次排序為1，2，3，4，5。試問每個人的百分等級是多少呢？二、百分等級（二）百分等級的計算59二、百分等級（二）百分等級的計算例題：假設某團體有5個人，依次排序為1，2，3，4，5。試問每個人的百分等級是多少呢？根據(jù)公式計算得出，5名學生的百分等級分別為90，70，50，30，10。如何理解這個結果？P83二、百分等級（二）百分等級的計算60二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理測驗，現(xiàn)隨機從中抽取10名學生的成績并按大小順序排列90，89，85，78，77，73，69，66，65，60。試求得分為85分的百分等級。二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理61二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理測驗，現(xiàn)隨機從中抽取10名學生的成績并按大小順序排列90，89，85，78，77，73，69，66，65，60。試求得分為85分的百分等級。因為85分排名第3，總人數(shù)為10，代入公式得75。這個75表示什么涵義？二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某班學生參加了數(shù)學推理62課堂練習例題：分別計算第2名和第15名在40名學生和60名學生中的百分等級。課堂練習63二、百分等級（二）百分等級的計算分組數(shù)據(jù)對分組數(shù)列中某一分數(shù)求百分等級單項式數(shù)列組距式數(shù)列二、百分等級（二）百分等級的計算64二、百分等級（二）百分等級的計算單項式數(shù)列對單項式數(shù)列中某一分數(shù)求百分等級，可以將其視為未分組數(shù)列來處理，根據(jù)累計次數(shù)，算出該分數(shù)的第一個取值的排名，按公式計算百分等級，再根據(jù)該分數(shù)的頻數(shù)計算最后一個取值的排名，計算百分等級，然后把兩個等級求算術平均即可。由于分數(shù)一般不會用單項式數(shù)列，所以這種情況不太多見。二、百分等級（二）百分等級的計算單項式數(shù)列65二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績計算成績“中”的百分等級。等級人數(shù)優(yōu)8良12中18及格10不及格2合計50二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績等級人數(shù)優(yōu)66二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績計算成績“中”的百分等級。分別計算R=21和38的百分等級，然后求算術平均等級人數(shù)累計人數(shù)優(yōu)88良1220中1838及格1048不及格250合計50——二、百分等級（二）百分等級的計算例題：某考查課成績等級人數(shù)累67二、百分等級（二）百分等級的計算組距式數(shù)列百分等級實際上與百分位數(shù)互為關系。百分位數(shù)是由百分位求具體分數(shù)，百分等級是由具體分數(shù)求對應的百分位。所以，根據(jù)組距式數(shù)列百分位數(shù)的公式可以推導出百分等級的公式。請試根據(jù)百分位數(shù)公式P81公式4-2推導百分等級公式P83公式4-3二、百分等級（二）百分等級的計算組距式數(shù)列68二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成績的分布如表所示。試求81分的百分等級。分數(shù)人數(shù)50-55155-60260-65665-70970-751575-801380-85885-903合計57二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成69二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成績的分布如表所示。試求81分的百分等級。答案：84分數(shù)人數(shù)50-55155-60260-65665-70970-751575-801380-85885-903合計57二、百分等級（二）百分等級的計算例題：57名學生的高等數(shù)學成70二、百分等級（二）應用與局限百分等級具有意義明確，容易理解，計算簡明等優(yōu)點。不論原始分數(shù)是什么樣的分布形態(tài)，計算出來的百分等級都有同樣的作用。因此在心理與教育學方面有著廣泛的用途。建立百分等級常模衡量考績的優(yōu)劣，確定學生的相對地位比較兩個或多個群體成績的優(yōu)劣二、百分等級（二）應用與局限百分等級具有意義明確，容易理解，71二、百分等級（二）應用與局限局限百分等級還只是一種順序量表，單位不等距，因此各個百分等級不能進行代數(shù)法的運算，也不能進行綜合指標、變異指標的統(tǒng)計處理。對于不同被試總體而來說，因分數(shù)轉換的參照標準不同，故百分等級之間無法比較。也就是說，只能進行同一測驗中同一原始分數(shù)百分等級的比較，無法進行不同測驗百分等級的比較。二、百分等級（二）應用與局限局限72三、標準分數(shù)標準分數(shù)standardscore在教育領域中應用極其廣泛。標準分數(shù)計算的原理是基于正態(tài)分布的有關理論。這里只談談有關標準分數(shù)的計算和應用。三、標準分數(shù)標準分數(shù)standardscore在教育領域中73三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)P95標準分數(shù)有很多種，都是按照一定標準將原始分數(shù)轉換得來。其中，最基本的標準分數(shù)稱為Z分數(shù)。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)P9574三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)計算Z分數(shù)是以標準差為單位所表示的“原始分數(shù)”與平均數(shù)的偏差，亦即原始分數(shù)與其平均數(shù)之差除以標準差所得的商，其公式為注意，Z分數(shù)是有正有負的。例題P96例4-7、P98例4-8三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)計算75三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的性質P96一組數(shù)據(jù)Z分數(shù)的平均數(shù)為0一組數(shù)據(jù)Z分數(shù)的標準差為1Z分數(shù)的優(yōu)點P97三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的性質P9676三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)如何根據(jù)Z分數(shù)得到名次？P449附表1：正態(tài)分布表Z分數(shù)為正分時，查表得到相應的P值，加上0.5即為所求Z分數(shù)為負分時，查表得到相應的P值，用0.5減去該數(shù)值即可三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)如何根據(jù)Z分數(shù)得到名次？77三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)請觀察表中Z分數(shù)為2.99和3.99時的P值注意，P值無限趨近于0.5，但是永遠不能達到0.5。在日常應用中，常把3或4作為Z分數(shù)的最高值來處理。這和后面的導出分數(shù)范圍有關。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)請觀察表中Z分數(shù)為2.99和3.9978三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用是因為正態(tài)分布的性質。正態(tài)分布的有關問題以后再講。應該明確，如果總體中個體數(shù)量太少的話，例如只有幾個人、十幾個人，應用Z分數(shù)是沒有價值的。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用是因為正態(tài)分布的性質。正79三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的實質Z分數(shù)是將某一原始分數(shù)的離均差變?yōu)橐詷藴什顬閱挝坏牧繑?shù)，表示此原始分數(shù)離開平均數(shù)的遠近，即它在均數(shù)以上或以下多少個標準差的位置上，以此說明原始分數(shù)的相對地位。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的實質80三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)將原始分數(shù)轉化為Z分數(shù)的實質就是把單位不等距和缺乏明確參照點的分數(shù)轉成以標準差為單位，以平均數(shù)為參照點的量表分數(shù)。在一個數(shù)據(jù)分布中，標準差所表示的距離是相等的，而以標準差為單位就使得計量單位等距了。以均數(shù)為參照點，也就是將均數(shù)視為原點0。所以Z分數(shù)相當于將原始分數(shù)轉變后放在以平均數(shù)為原點、標準差為計量單位的一維數(shù)軸上。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)將原始分數(shù)轉化為Z分數(shù)的實質就是把單81三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用Z分數(shù)不僅能反映原始分數(shù)在分布中的相對地位，而且也能比較不同分布的原始分數(shù)，同時還可以進行代數(shù)法的處理（即可以相加、相減和平均），對樣本中的值得懷疑異常值進行取舍，因此它在心理與教育領域的應用極為廣泛。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)Z分數(shù)的應用82三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用一：比較不同測量單位的變量值的相對位置例題：某班進行體質檢查，測得學生平均身高為160公分，標準差為8.2公分；平均體重60公斤，標準差3.5公斤。某生身高170公分，體重65公斤，試問該生的身高和體重在班上那方面更突出一些？三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用一：比較不同測量單位的變量值的相83三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用二：學績評估標準分數(shù)不僅可以比較不僅可以評估個體在不同學科學業(yè)成績的優(yōu)劣，而且還可以評價不同個體在不同學科上學業(yè)成績的高低，同時還可以對學業(yè)成績進行加權處理。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用二：學績評估84三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學業(yè)成績如前所述，當測驗內容、學科性質不同時，原始分數(shù)是無法直接比較的。但是，經(jīng)過轉換后的標準分數(shù)因單位統(tǒng)一、等值，則是可以比較的。例題：某班算術能力測驗的平均成績是60分，標準差7分；閱讀能力測驗的平均成績是25分，標準差是3分。甲生兩項成績分別為74分和30分，試問甲生哪項能力更突出一些？答案三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學85三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學業(yè)成績如前所述，當測驗內容、學科性質不同時，原始分數(shù)是無法直接比較的。但是，經(jīng)過轉換后的標準分數(shù)因單位統(tǒng)一、等值，則是可以比較的。例題：某班算術能力測驗的平均成績是60分，標準差7分；閱讀能力測驗的平均成績是25分，標準差是3分。甲生兩項成績分別為74分和30分，試問甲生哪項能力更突出一些？計算結果表明，該生的算術Z分數(shù)為2.00，閱讀能力Z分數(shù)為1.67三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之一：評估同一個體不同學科學86三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之二：評價不同個體多科成績優(yōu)劣不同個體的各學科之間一方面因難易程度不同，分散程度不同而無法直接相加求和，另一方面則因各科之間沒有參照點，難以分辨學生的特色科目。轉換成Z分數(shù)后，各學科的標準分不僅可以直接相加，而且還可以使分析比較更細致、更深入。例題：P99例4-9和例4-10三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)學績評估之二：評價不同個體多科成績優(yōu)87三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用三：進行加權處理在各種考試中，測驗時間長短不同或比重不同，說明在成績的重要性程度不同，因此在成績評價時應考慮權數(shù)的影響作用，更好地反映實際情況。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用三：進行加權處理88三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例題：某課程第一次測驗40分鐘，班級平均數(shù)為90分，標準差6分；第二次測驗60分鐘，班平均分88分，標準差9分；第三次測驗90分鐘，班平均分80分，標準差13分。某生在三次測驗中的得分分別為90，85，82，他的成績在班上處于什么水平？三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例題：某課程第一次測驗40分鐘，班級89三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用四：異常數(shù)據(jù)的取舍一般來說，來自同一總體的樣本資料，雖然數(shù)據(jù)會千差萬別，大小不一，但是總會呈現(xiàn)出一定的趨勢來。假如在這樣一個樣本中出現(xiàn)個別極端的數(shù)據(jù)，那么其可靠性就會有問題，而這種數(shù)據(jù)被稱為異常數(shù)據(jù)或異常值。三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)應用四：異常數(shù)據(jù)的取舍90三、標準分數(shù)（一）Z分數(shù)例：調查一群正常人脈搏，其分布應在每分鐘70次左右，如果樣本中有一例脈搏為每分鐘130次，不得不懷疑該數(shù)據(jù)