材料力學(xué)壓桿穩(wěn)定(課堂)課件

第九章壓桿穩(wěn)定1第九章壓桿穩(wěn)定1一、工程中的壓桿二、壓桿的失效形式三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例§9.1

壓桿穩(wěn)定的概念四、壓桿穩(wěn)定的概念2一、工程中的壓桿二、壓桿的失效形式三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例§9.1一、工程中的壓桿：

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿3一、工程中的壓桿：網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿3

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：4網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：4

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：5網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：5

鋼結(jié)構(gòu)橋梁中的桿一、工程中的壓桿：6鋼結(jié)構(gòu)橋梁中的桿一、工程中的壓桿：6

鐵塔中的桿一、工程中的壓桿：7鐵塔中的桿一、工程中的壓桿：7

小亭的立柱一、工程中的壓桿：8小亭的立柱一、工程中的壓桿：8

橋墩一、工程中的壓桿：9橋墩一、工程中的壓桿：9

吊車的頂桿一、工程中的壓桿：10吊車的頂桿一、工程中的壓桿：10

火車臥鋪的撐桿一、工程中的壓桿：11火車臥鋪的撐桿一、工程中的壓桿：11

壓力機(jī)的壓桿一、工程中的壓桿：12壓力機(jī)的壓桿一、工程中的壓桿：12

強(qiáng)度不足

失穩(wěn)————

粗短壓桿細(xì)長(zhǎng)壓桿二、壓桿的失效形式13強(qiáng)度不足失穩(wěn)————粗短壓桿細(xì)長(zhǎng)

1.1907年加拿大圣勞倫斯河在架奎伯克橋時(shí)，由于懸臂桁架中的一根壓桿失穩(wěn)，造成橋梁倒塌，9000噸鋼材變成一堆廢墟。三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例141.1907年加拿大圣勞倫斯河在架奎伯克橋時(shí)，由于懸1907年加拿大魁北克橋的失穩(wěn)(跨度548m,重9000T。86人施工，死75人)151907年加拿大魁北克橋的失穩(wěn)15

2.1922年冬天下大雪，美國(guó)華盛頓尼克爾卜克爾劇院由于屋頂結(jié)構(gòu)中的一根壓桿超載失穩(wěn)，造成劇院倒塌，死98人，傷100余人。162.1922年冬天下大雪，美國(guó)華盛頓尼克爾卜克爾劇院

3.2000年10月25日上午10時(shí)30分，在南京電視臺(tái)演播中心演播廳屋頂?shù)臐仓炷潦┕ぶ校蚰_手架失穩(wěn)，造成演播廳屋頂模板倒塌，死5人，傷35人。173.2000年10月25日上午10時(shí)30分，在南京電第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念18第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念181.穩(wěn)定的分類無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)—隨遇平衡一個(gè)平衡點(diǎn)—穩(wěn)定平衡沒(méi)有平衡點(diǎn)—不穩(wěn)定平衡2.失穩(wěn)的定義壓桿從直軸線狀態(tài)下的穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為微曲狀態(tài)下的不穩(wěn)定平衡成為失穩(wěn)。臨界壓力--使壓桿失穩(wěn)的壓力稱為臨界壓力。四、壓桿穩(wěn)定的概念191.穩(wěn)定的分類無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)—隨遇平衡一個(gè)平衡點(diǎn)—穩(wěn)定平衡沒(méi)F軸壓F（較小）壓彎F（較?。┗謴?fù)直線平衡曲線平衡直線平衡QF（特殊值）壓彎失穩(wěn)曲線平衡曲線平衡F（特殊值）保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)QQQ20F軸壓F（較?。簭滷（較?。┗謴?fù)直線平衡曲線平衡直線平衡Q壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：1.

軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)；2.

軸向壓力增大到某一特殊值時(shí)，直線不再是桿件唯一的平衡狀態(tài)；穩(wěn)定：理想中心壓桿能夠保持穩(wěn)定的（唯一的）（Stable）直線平衡狀態(tài)；失穩(wěn)：理想中心壓桿喪失穩(wěn)定的（唯一的）直（Unstable）線平衡狀態(tài)；壓桿失穩(wěn)時(shí)，兩端軸向壓力的特殊值臨界力（Criticalforce）21壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：1.軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的直線平§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式思路：假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力Fcr作用下在曲線狀態(tài)平衡，1）求得的撓曲函數(shù)≡0，2）求得不為零的撓曲函數(shù)，然后設(shè)法去求撓曲函數(shù)。若：平衡狀態(tài)；說(shuō)明只有直線確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，說(shuō)明壓桿的穩(wěn)現(xiàn)象。即出現(xiàn)失22§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式思路：假設(shè)壓桿在某設(shè)：由壓桿處于微彎狀態(tài)，且p一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力23設(shè)：由壓桿處于微彎狀態(tài)，且p一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的(c)(n

=

0，1，2，)x=0，w=0

x=l，w=0由kl＝p有亦即兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力公式：24(c)(n=0，1，2，)x=0，w=0由kl＝p有討論：失穩(wěn)撓曲線——半正弦波曲線

桿在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)d為不確定的值。這是因?yàn)橥茖?dǎo)過(guò)程中是用的撓曲線近似微分方程。25討論：失穩(wěn)撓曲線——半正弦波曲線桿在任意微彎狀態(tài)下保持臨界壓力的精確解精確解（近似解）歐拉解精確失穩(wěn)撓曲線微分方程？26臨界壓力的精確解精確解（近似解）歐拉解精確失穩(wěn)撓曲線微分方程歐拉公式適用于小變形情況臨界壓力的精確解27歐拉公式適用于小變形情況臨界壓力的精確解27

推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面?！?-3不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)

現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。28推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉1.建立壓桿撓曲的近似微分方程解:2.求解撓曲線的近似微分方程，并求臨界力令由(1)式得291.建立壓桿撓曲的近似微分方程解:2.求解撓曲線的近似微一階導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)邊界條件x=0，w=0得A＝0。由邊界條件x=0，w=0得B=-d。

x=l時(shí)

w=d，由(4)式出30一階導(dǎo)數(shù)為根據(jù)邊界條件x=0，w=0得A＝0得coskl=0。kl的最小值為kl=p/2，亦即從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：31得coskl=0。kl的最小值為kl=p/2，亦

試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。32試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨令k2=Fcr

/EI，將上式改寫(xiě)為33令k2=Fcr/EI，將上式改寫(xiě)為33式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。

由邊界條件x=0，w=0得

A=Fy(kFcr)。

由邊界條件x=0，w=0得

B=-Fyl/Fcr。再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得34式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。由邊界條件x=0，由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得

滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即，從而得到此壓桿臨界力的歐拉公式為亦即35由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得

k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在

x=0.3l處(圖b)。36k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上解：變形如圖，其撓曲線近似微分方程為：邊界條件為:例試由撓曲線近似微分方程，導(dǎo)出下述細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M037解：變形如圖，其撓曲線近似微分方程為：邊界條件為:例試為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即?。核?，臨界力為：=0.538為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即取：所以，臨界0.5l各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀FcrABl臨界力Fcr歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點(diǎn)C、D—撓曲線拐點(diǎn)0.5lFcrFcrl2llC—撓曲線拐點(diǎn)390.5l各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式支承

表中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見(jiàn)，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫(xiě)成了同一的形式：

m---長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)；

ml——壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度，它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為ml的兩端鉸支壓桿的臨界力。40表中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中1.一端固定、另一端自由411.一端固定、另一端自由412.兩端固定422.兩端固定423.一端固定、另一端鉸支433.一端固定、另一端鉸支43

運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的I應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩Imin。當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷44運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：xyz軸銷44對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。xyz軸銷45對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，對(duì)應(yīng)于桿在[例]五根直徑都為d的細(xì)長(zhǎng)圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BCD，如各桿材料相同，彈性模量為E。

求圖(a)、(b)所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。46[例]五根直徑都為d的細(xì)長(zhǎng)圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BC解（a）BD桿受壓其余桿受拉BD桿的臨界壓力47解（a）BD桿受壓其余桿受拉BD桿的臨界壓力47（b）BD桿受拉其余桿受壓四個(gè)桿的臨界壓力48（b）BD桿受拉其余桿受壓四個(gè)桿的臨界壓力48[例]圖示結(jié)構(gòu)，①、②兩桿截面和材料相同，為細(xì)長(zhǎng)壓桿（設(shè)0<θ<π/2）。求載荷P為最大值時(shí)的θ角。②①49[例]圖示結(jié)構(gòu)，①、②兩桿截面和材料相同，為細(xì)長(zhǎng)壓桿（設(shè)0<兩桿的臨界壓力分別為②①50兩桿的臨界壓力分別為②①50§9.4

歐拉公式的使用范圍臨界應(yīng)力總圖歐拉公式一、歐拉臨界應(yīng)力公式及其使用范圍

臨界應(yīng)力——臨界壓力除以橫截面面積

1.臨界應(yīng)力51§9.4歐拉公式的使用范圍臨界應(yīng)力總圖歐拉公式一、歐拉臨即：

——慣性半徑

——壓桿的柔度或細(xì)長(zhǎng)比反映了桿端的約束情況、桿的長(zhǎng)度、橫截面的尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力的綜合影響是無(wú)量綱量52即：——慣性半徑——壓桿的柔度或

2.適用范圍

歐拉公式的適用范圍：即：記：滿足p的壓桿與材料的力學(xué)性能有關(guān)對(duì)于Q235鋼：E=200GPa，p=200MPa大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)桿）——532.適用范圍歐拉公式的適用范圍：即：記：滿足歐拉公式的應(yīng)用條件：大柔度桿二、中柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.直線型經(jīng)驗(yàn)公式P<<S

時(shí)：54歐拉公式的應(yīng)用條件：大柔度桿二、中柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.直2.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式我國(guó)建筑業(yè)常用：P<<s

時(shí)：552.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式我國(guó)建筑業(yè)常用：P<<s時(shí)：553、折減彈性模量公式σsσcrOλσpλp563、折減彈性模量公式σsσcrOλσpλp56三、小柔度桿的臨界應(yīng)力這類壓桿不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題計(jì)算。滿足s的壓桿

臨界應(yīng)力cr

=

s小柔度桿（粗短桿）——57三、小柔度桿的臨界應(yīng)力這類壓桿不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題四、臨界應(yīng)力總圖bass-=sl

PPEspl2

=可見(jiàn)：壓桿的臨界應(yīng)力隨著其柔度的增大而減小58四、臨界應(yīng)力總圖bass-=slPPEspl2例

圖示用No.28a工字鋼制成的立柱，兩端固定，解：

1.求

查表：

試求立柱的臨界壓力。

屬于中柔度桿查表：Q235鋼2.求Fcr查表：59例圖示用No.28a工字鋼制成的立柱，兩端固定，解：解：1）求BC桿的軸力例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求，確定橫梁上均布載荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之許可值。分析AB桿:2）求BC桿的臨界力=707mm2。=181132mm4。=16mm=144.360解：1）求BC桿的軸力例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mmλ>λP=100（前面已求得），用歐拉公式計(jì)算BC桿的臨界力?！?81132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69得：q=15.3kN/m61λ>λP=100（前面已求得），×181132(1.0×2/§9-5壓桿的穩(wěn)定條件

為保證實(shí)際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計(jì)算中需納入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stabilitycondition)為式中，[s]st=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。亦即一、安全因數(shù)法62§9-5壓桿的穩(wěn)定條件為保證實(shí)際壓桿具有足二、穩(wěn)定計(jì)算的三類問(wèn)題

1.穩(wěn)定校核

2.選擇截面

3.確定許用載荷63二、穩(wěn)定計(jì)算的三類問(wèn)題1.穩(wěn)定校核2.選擇截例

一連桿如圖所示，材料為35鋼，最大壓力F=60kN解：

1.求

，確定失穩(wěn)平面(1)在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)

nst=4，試校核此連桿的穩(wěn)定性。

∴連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)(2)在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)查表：為中柔度桿64例一連桿如圖所示，材料為35鋼，最大壓力F=60kN解：2.校核穩(wěn)定性∴連桿安全查表：652.校核穩(wěn)定性∴連桿安全查表：65[例]托架AB桿是圓管，外徑D=50mm，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，E=206GPa,p=100。若規(guī)定nst=3,試確定許可荷載F。（1）分析受力解：BAC1500FD50030o取CBD橫梁研究FABFCB(2)計(jì)算并求臨界荷載66[例]托架AB桿是圓管，外徑D=50mm，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，λp=100,λ＞λp，用歐拉公式(3)根據(jù)穩(wěn)定條件求許可荷載67Q235鋼，λp=100,λ＞λp，用歐拉公式(3)根據(jù)穩(wěn)定1.影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率壓力偏心殘余應(yīng)力2.穩(wěn)定許用應(yīng)力

稱為穩(wěn)定因數(shù)，與柔度λ有關(guān)。

對(duì)于Q235，可查表獲得；為了應(yīng)用方便三、穩(wěn)定因數(shù)法681.影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率壓力偏心殘余應(yīng)力2.穩(wěn)

我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范,根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應(yīng)力所作數(shù)值計(jì)算結(jié)果，選取適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數(shù)j與柔度l的一系列關(guān)系值。

該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應(yīng)力對(duì)臨界應(yīng)力的影響從小到大分為a、b、c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j。69我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范,根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工表9-3

Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j70表9-3Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j70

例：由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，xy面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束接近于兩端鉸支，μz=1.0；xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束接近于兩端固定，μy=0.6。已知連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為F=35kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]=206MPa,并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中a類中心受壓桿的要求。試校核其穩(wěn)定性。

O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

Iz=7.40×104mm4Iy=1.41×104mm4A=522mm271例：由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，xy面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)解：O

l

=580

l

=750

12

22

6

6

24

x

x

y

y

z

1

2

O

Iz=7.40×104mm4Iy=1.41×104mm4A=522mm25225221)計(jì)算慣性半徑2)計(jì)算柔度l2iy5805.05=68.9l1iz75011.58=64.872解：Ol=580l=7501222663)求穩(wěn)定因數(shù)取λy和λz中較大的λy來(lái)查表和計(jì)算：φ=0.849+(0.844-0.849)=0.8454)求穩(wěn)定許用應(yīng)力[σ]st=φ[σ]=0.845×206=174MPa=64.3MPa<[σ]st故該連桿滿足穩(wěn)定性要求。

此題中的連桿在兩個(gè)平面失穩(wěn)時(shí)的約束情況、計(jì)算

長(zhǎng)度和慣性矩都不同，應(yīng)分別計(jì)算其柔度以判斷其穩(wěn)定

性的強(qiáng)弱。

733)求穩(wěn)定因數(shù)取λy和λz中較大的λy來(lái)查表和計(jì)算：φ=0[例]圖示結(jié)構(gòu)，CF為鑄鐵圓桿，直徑d1=10cm

[c]=120MPa,E=120GPa。BE為A3鋼圓桿,直徑d2=5cm，[]=160MPa,E=200GPa,橫梁視為剛性，

求許可荷載F。解：1、結(jié)構(gòu)為一次超靜定，求桿內(nèi)力aaaDEFCFBADCPBANsNc變形條件：74[例]圖示結(jié)構(gòu)，CF為鑄鐵圓桿，直徑d1=10cm

[代入第一式后求解得：2、求桿許可荷載：1）按BE桿：75代入第一式后求解得：2、求桿許可荷載：1）按BE桿：752）按壓桿FC計(jì)算：762）按壓桿FC計(jì)算：76

圖示為簡(jiǎn)易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d=300mm的紅松，長(zhǎng)度

l＝6m，順紋抗壓強(qiáng)度許用應(yīng)力[s]＝10MPa。試求該扒桿所能承受的許用壓力值。例題77圖示為簡(jiǎn)易起重裝置，其扒桿(圖中的斜桿)為平均直徑d1.我國(guó)規(guī)范的有關(guān)規(guī)定

木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)木制壓桿，按樹(shù)種的彎曲強(qiáng)度分兩類給出穩(wěn)定因數(shù)j的計(jì)算公式。紅松屬于樹(shù)種強(qiáng)度TC13級(jí)(“13”表示彎曲強(qiáng)度為13MPa)，該等級(jí)所屬分類的穩(wěn)定因數(shù)計(jì)算公式為時(shí)時(shí)解：781.我國(guó)規(guī)范的有關(guān)規(guī)定木結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中對(duì)木制壓桿，2.求扒桿在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的許用壓力[F1]

該扒桿在軸向壓力作用下如果在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)，則由于其上端受水平鋼絲繩的約束而基本上不能產(chǎn)生側(cè)向位移而只能轉(zhuǎn)動(dòng)，其下端由于銷釘?shù)募s束也只能轉(zhuǎn)動(dòng)，故扒桿大致相當(dāng)于兩端鉸支壓桿，長(zhǎng)度因數(shù)可取為m＝1。792.求扒桿在圖示平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的許用壓力[F1]該扒桿的柔度為式中因?yàn)?，所以扒桿的許用壓力為80扒桿的柔度為式中因?yàn)?，所以扒桿的許用扒桿在垂直于圖示平面的平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，其上端通常沒(méi)有任何約束，而下端由于受銷釘約束基本上不能轉(zhuǎn)動(dòng)而可視為固定端，故長(zhǎng)度因數(shù)可取為m＝2。3.求扒桿在垂直于圖示平面的平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)的許用壓力[F2]81扒桿在垂直于圖示平面的平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，其上端通常沒(méi)有任何約束，扒桿的柔度為因l>91，穩(wěn)定因數(shù)為扒桿的許用壓力為82扒桿的柔度為因l>91，穩(wěn)定因數(shù)為扒桿的許用壓力為824.確定扒桿所能承受的許用壓力[F]因?yàn)閇F2]<[F1]所以[F]=77kN834.確定扒桿所能承受的許用壓力[F]因?yàn)閇F2]<[一、選擇合理的截面形狀二、改變壓桿的約束條件三、減小壓桿的長(zhǎng)度§9.6提高壓桿穩(wěn)定性的措施四、合理選擇材料84一、選擇合理的截面形狀二、改變壓桿的約束條件三、減小壓桿的長(zhǎng)第九章壓桿穩(wěn)定85第九章壓桿穩(wěn)定1一、工程中的壓桿二、壓桿的失效形式三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例§9.1

壓桿穩(wěn)定的概念四、壓桿穩(wěn)定的概念86一、工程中的壓桿二、壓桿的失效形式三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例§9.1一、工程中的壓桿：

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿87一、工程中的壓桿：網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿3

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：88網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：4

網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：89網(wǎng)架結(jié)構(gòu)中的桿一、工程中的壓桿：5

鋼結(jié)構(gòu)橋梁中的桿一、工程中的壓桿：90鋼結(jié)構(gòu)橋梁中的桿一、工程中的壓桿：6

鐵塔中的桿一、工程中的壓桿：91鐵塔中的桿一、工程中的壓桿：7

小亭的立柱一、工程中的壓桿：92小亭的立柱一、工程中的壓桿：8

橋墩一、工程中的壓桿：93橋墩一、工程中的壓桿：9

吊車的頂桿一、工程中的壓桿：94吊車的頂桿一、工程中的壓桿：10

火車臥鋪的撐桿一、工程中的壓桿：95火車臥鋪的撐桿一、工程中的壓桿：11

壓力機(jī)的壓桿一、工程中的壓桿：96壓力機(jī)的壓桿一、工程中的壓桿：12

強(qiáng)度不足

失穩(wěn)————

粗短壓桿細(xì)長(zhǎng)壓桿二、壓桿的失效形式97強(qiáng)度不足失穩(wěn)————粗短壓桿細(xì)長(zhǎng)

1.1907年加拿大圣勞倫斯河在架奎伯克橋時(shí)，由于懸臂桁架中的一根壓桿失穩(wěn)，造成橋梁倒塌，9000噸鋼材變成一堆廢墟。三、壓桿失穩(wěn)的實(shí)例981.1907年加拿大圣勞倫斯河在架奎伯克橋時(shí)，由于懸1907年加拿大魁北克橋的失穩(wěn)(跨度548m,重9000T。86人施工，死75人)991907年加拿大魁北克橋的失穩(wěn)15

2.1922年冬天下大雪，美國(guó)華盛頓尼克爾卜克爾劇院由于屋頂結(jié)構(gòu)中的一根壓桿超載失穩(wěn)，造成劇院倒塌，死98人，傷100余人。1002.1922年冬天下大雪，美國(guó)華盛頓尼克爾卜克爾劇院

3.2000年10月25日上午10時(shí)30分，在南京電視臺(tái)演播中心演播廳屋頂?shù)臐仓炷潦┕ぶ校蚰_手架失穩(wěn)，造成演播廳屋頂模板倒塌，死5人，傷35人。1013.2000年10月25日上午10時(shí)30分，在南京電第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念102第一節(jié)壓桿穩(wěn)定的概念181.穩(wěn)定的分類無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)—隨遇平衡一個(gè)平衡點(diǎn)—穩(wěn)定平衡沒(méi)有平衡點(diǎn)—不穩(wěn)定平衡2.失穩(wěn)的定義壓桿從直軸線狀態(tài)下的穩(wěn)定平衡轉(zhuǎn)化為微曲狀態(tài)下的不穩(wěn)定平衡成為失穩(wěn)。臨界壓力--使壓桿失穩(wěn)的壓力稱為臨界壓力。四、壓桿穩(wěn)定的概念1031.穩(wěn)定的分類無(wú)窮多個(gè)平衡點(diǎn)—隨遇平衡一個(gè)平衡點(diǎn)—穩(wěn)定平衡沒(méi)F軸壓F（較?。簭滷（較小）恢復(fù)直線平衡曲線平衡直線平衡QF（特殊值）壓彎失穩(wěn)曲線平衡曲線平衡F（特殊值）保持常態(tài)、穩(wěn)定失去常態(tài)、失穩(wěn)QQQ104F軸壓F（較?。簭滷（較?。┗謴?fù)直線平衡曲線平衡直線平衡Q壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：1.

軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的直線平衡狀態(tài)；2.

軸向壓力增大到某一特殊值時(shí)，直線不再是桿件唯一的平衡狀態(tài)；穩(wěn)定：理想中心壓桿能夠保持穩(wěn)定的（唯一的）（Stable）直線平衡狀態(tài)；失穩(wěn)：理想中心壓桿喪失穩(wěn)定的（唯一的）直（Unstable）線平衡狀態(tài)；壓桿失穩(wěn)時(shí)，兩端軸向壓力的特殊值臨界力（Criticalforce）105壓桿失穩(wěn)的現(xiàn)象：1.軸向壓力較小時(shí)，桿件能保持穩(wěn)定的直線平§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式思路：假設(shè)壓桿在某個(gè)壓力Fcr作用下在曲線狀態(tài)平衡，1）求得的撓曲函數(shù)≡0，2）求得不為零的撓曲函數(shù)，然后設(shè)法去求撓曲函數(shù)。若：平衡狀態(tài)；說(shuō)明只有直線確能夠在曲線狀態(tài)下平衡，說(shuō)明壓桿的穩(wěn)現(xiàn)象。即出現(xiàn)失106§9-2細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿臨界力的歐拉公式思路：假設(shè)壓桿在某設(shè)：由壓桿處于微彎狀態(tài)，且p一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界壓力107設(shè)：由壓桿處于微彎狀態(tài)，且p一、兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)壓桿的(c)(n

=

0，1，2，)x=0，w=0

x=l，w=0由kl＝p有亦即兩端鉸支細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力公式：108(c)(n=0，1，2，)x=0，w=0由kl＝p有討論：失穩(wěn)撓曲線——半正弦波曲線

桿在任意微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)d為不確定的值。這是因?yàn)橥茖?dǎo)過(guò)程中是用的撓曲線近似微分方程。109討論：失穩(wěn)撓曲線——半正弦波曲線桿在任意微彎狀態(tài)下保持臨界壓力的精確解精確解（近似解）歐拉解精確失穩(wěn)撓曲線微分方程？110臨界壓力的精確解精確解（近似解）歐拉解精確失穩(wěn)撓曲線微分方程歐拉公式適用于小變形情況臨界壓力的精確解111歐拉公式適用于小變形情況臨界壓力的精確解27

推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。圖中xy平面為桿的彎曲剛度最小的平面?！?-3不同桿端約束下細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式·壓桿的長(zhǎng)度因數(shù)

現(xiàn)在來(lái)推導(dǎo)另一些桿端約束條件下求細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。112推導(dǎo)下端固定、上端自由的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉1.建立壓桿撓曲的近似微分方程解:2.求解撓曲線的近似微分方程，并求臨界力令由(1)式得1131.建立壓桿撓曲的近似微分方程解:2.求解撓曲線的近似微一階導(dǎo)數(shù)為

根據(jù)邊界條件x=0，w=0得A＝0。由邊界條件x=0，w=0得B=-d。

x=l時(shí)

w=d，由(4)式出114一階導(dǎo)數(shù)為根據(jù)邊界條件x=0，w=0得A＝0得coskl=0。kl的最小值為kl=p/2，亦即從而得到求此壓桿臨界力的歐拉公式：115得coskl=0。kl的最小值為kl=p/2，亦

試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨界力的歐拉公式。圖(a)中的xy平面為桿的最小彎曲剛度平面。116試推導(dǎo)下端固定、上端鉸支的等直細(xì)長(zhǎng)中心壓桿臨令k2=Fcr

/EI，將上式改寫(xiě)為117令k2=Fcr/EI，將上式改寫(xiě)為33式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。

由邊界條件x=0，w=0得

A=Fy(kFcr)。

由邊界條件x=0，w=0得

B=-Fyl/Fcr。再利用邊界條件x=l，w=0，由上式得118式中共有四個(gè)未知量：A，B，k，F(xiàn)y。由邊界條件x=0，由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得

滿足此條件的最小非零解為kl=4.49，亦即，從而得到此壓桿臨界力的歐拉公式為亦即119由于桿在微彎狀態(tài)下保持平衡時(shí)，F(xiàn)y不可能等于零，故由上式得

k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上列臨界力的撓曲線方程：利用此方程還可以進(jìn)一步求得該壓桿在上列臨界力作用下?lián)锨€上的拐點(diǎn)在

x=0.3l處(圖b)。120k=4.49/l代入式(c)即得此壓桿對(duì)應(yīng)于上解：變形如圖，其撓曲線近似微分方程為：邊界條件為:例試由撓曲線近似微分方程，導(dǎo)出下述細(xì)長(zhǎng)壓桿的臨界力公式。ＦLxＦM0ＦM0ＦM0xＦFw-M0121解：變形如圖，其撓曲線近似微分方程為：邊界條件為:例試為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即?。核裕R界力為：=0.5122為求最小臨界力，“k”應(yīng)取除零以外的最小值，即?。核裕R界0.5l各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式支承情況兩端鉸支一端固定另端鉸支兩端固定一端固定另端自由兩端固定但可沿橫向相對(duì)移動(dòng)失穩(wěn)時(shí)撓曲線形狀FcrABl臨界力Fcr歐拉公式長(zhǎng)度系數(shù)μμ=1μ0.7μ=0.5μ=2μ=1FcrABlFcrABl0.7lCCDC—撓曲線拐點(diǎn)C、D—撓曲線拐點(diǎn)0.5lFcrFcrl2llC—撓曲線拐點(diǎn)1230.5l各種支承約束條件下等截面細(xì)長(zhǎng)壓桿臨界力的歐拉公式支承

表中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中心受壓直桿的歐拉公式。從表中可見(jiàn)，桿端約束越強(qiáng)，壓桿的臨界力也就越高。表中將求臨界力的歐拉公式寫(xiě)成了同一的形式：

m---長(zhǎng)度因數(shù)，它與桿端約束情況有關(guān)；

ml——壓桿的相當(dāng)長(zhǎng)度，它表示某種桿端約束情況下幾何長(zhǎng)度為l的壓桿，其臨界力相當(dāng)于長(zhǎng)度為ml的兩端鉸支壓桿的臨界力。124表中列出了幾種典型的理想桿端約束條件下，等截面細(xì)長(zhǎng)中1.一端固定、另一端自由1251.一端固定、另一端自由412.兩端固定1262.兩端固定423.一端固定、另一端鉸支1273.一端固定、另一端鉸支43

運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：當(dāng)桿端約束情況在各個(gè)縱向平面內(nèi)相同時(shí)(例如球形鉸)，歐拉公式中的I應(yīng)是桿的橫截面的最小形心主慣性矩Imin。當(dāng)桿端約束在各個(gè)縱向平面內(nèi)不同時(shí)，歐拉公式中所取用的I應(yīng)與失穩(wěn)(或可能失穩(wěn))時(shí)的彎曲平面相對(duì)應(yīng)。例如桿的兩端均為如圖所示柱形鉸的情況下：xyz軸銷128運(yùn)用歐拉公式計(jì)算臨界力時(shí)需要注意：xyz軸銷44對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，對(duì)應(yīng)于桿在xz平面內(nèi)的失穩(wěn)，桿端約束相當(dāng)于兩端鉸支，而取用的臨界力值應(yīng)是上列兩種計(jì)算值中的較小者。xyz軸銷129對(duì)應(yīng)于桿在xy平面內(nèi)失穩(wěn)，桿端約束接近于兩端固定，對(duì)應(yīng)于桿在[例]五根直徑都為d的細(xì)長(zhǎng)圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BCD，如各桿材料相同，彈性模量為E。

求圖(a)、(b)所示兩種載荷作用下桿系所能承受的最大載荷。130[例]五根直徑都為d的細(xì)長(zhǎng)圓桿鉸接構(gòu)成平面正方形桿系A(chǔ)BC解（a）BD桿受壓其余桿受拉BD桿的臨界壓力131解（a）BD桿受壓其余桿受拉BD桿的臨界壓力47（b）BD桿受拉其余桿受壓四個(gè)桿的臨界壓力132（b）BD桿受拉其余桿受壓四個(gè)桿的臨界壓力48[例]圖示結(jié)構(gòu)，①、②兩桿截面和材料相同，為細(xì)長(zhǎng)壓桿（設(shè)0<θ<π/2）。求載荷P為最大值時(shí)的θ角。②①133[例]圖示結(jié)構(gòu)，①、②兩桿截面和材料相同，為細(xì)長(zhǎng)壓桿（設(shè)0<兩桿的臨界壓力分別為②①134兩桿的臨界壓力分別為②①50§9.4

歐拉公式的使用范圍臨界應(yīng)力總圖歐拉公式一、歐拉臨界應(yīng)力公式及其使用范圍

臨界應(yīng)力——臨界壓力除以橫截面面積

1.臨界應(yīng)力135§9.4歐拉公式的使用范圍臨界應(yīng)力總圖歐拉公式一、歐拉臨即：

——慣性半徑

——壓桿的柔度或細(xì)長(zhǎng)比反映了桿端的約束情況、桿的長(zhǎng)度、橫截面的尺寸和形狀等因素對(duì)臨界應(yīng)力的綜合影響是無(wú)量綱量136即：——慣性半徑——壓桿的柔度或

2.適用范圍

歐拉公式的適用范圍：即：記：滿足p的壓桿與材料的力學(xué)性能有關(guān)對(duì)于Q235鋼：E=200GPa，p=200MPa大柔度桿（細(xì)長(zhǎng)桿）——1372.適用范圍歐拉公式的適用范圍：即：記：滿足歐拉公式的應(yīng)用條件：大柔度桿二、中柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.直線型經(jīng)驗(yàn)公式P<<S

時(shí)：138歐拉公式的應(yīng)用條件：大柔度桿二、中柔度桿的臨界應(yīng)力計(jì)算1.直2.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式我國(guó)建筑業(yè)常用：P<<s

時(shí)：1392.拋物線型經(jīng)驗(yàn)公式我國(guó)建筑業(yè)常用：P<<s時(shí)：553、折減彈性模量公式σsσcrOλσpλp1403、折減彈性模量公式σsσcrOλσpλp56三、小柔度桿的臨界應(yīng)力這類壓桿不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題計(jì)算。滿足s的壓桿

臨界應(yīng)力cr

=

s小柔度桿（粗短桿）——141三、小柔度桿的臨界應(yīng)力這類壓桿不會(huì)出現(xiàn)失穩(wěn)現(xiàn)象，應(yīng)按強(qiáng)度問(wèn)題四、臨界應(yīng)力總圖bass-=sl

PPEspl2

=可見(jiàn)：壓桿的臨界應(yīng)力隨著其柔度的增大而減小142四、臨界應(yīng)力總圖bass-=slPPEspl2例

圖示用No.28a工字鋼制成的立柱，兩端固定，解：

1.求

查表：

試求立柱的臨界壓力。

屬于中柔度桿查表：Q235鋼2.求Fcr查表：143例圖示用No.28a工字鋼制成的立柱，兩端固定，解：解：1）求BC桿的軸力例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mm，內(nèi)徑d=40mm，兩端鉸支，材料為Q235鋼，E=206GPa。試根據(jù)該桿的穩(wěn)定性要求，確定橫梁上均布載荷集度1m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

Ⅰ-

Ⅰ

截面

A

B

C

q

q之許可值。分析AB桿:2）求BC桿的臨界力=707mm2。=181132mm4。=16mm=144.3144解：1）求BC桿的軸力例：托架的撐桿為鋼管，外徑D=50mmλ>λP=100（前面已求得），用歐拉公式計(jì)算BC桿的臨界力?！?81132(1.0×2/cos30°×103)21m

2m

30

°

Ⅰ

Ⅰ

A

B

C

q

=69kN≤Fcr

=69得：q=15.3kN/m145λ>λP=100（前面已求得），×181132(1.0×2/§9-5壓桿的穩(wěn)定條件

為保證實(shí)際壓桿具有足夠的穩(wěn)定性，在穩(wěn)定計(jì)算中需納入穩(wěn)定安全因數(shù)nst，取穩(wěn)定條件(stabilitycondition)為式中，[s]st=scr/nst為壓桿的穩(wěn)定許用應(yīng)力。亦即一、安全因數(shù)法146§9-5壓桿的穩(wěn)定條件為保證實(shí)際壓桿具有足二、穩(wěn)定計(jì)算的三類問(wèn)題

1.穩(wěn)定校核

2.選擇截面

3.確定許用載荷147二、穩(wěn)定計(jì)算的三類問(wèn)題1.穩(wěn)定校核2.選擇截例

一連桿如圖所示，材料為35鋼，最大壓力F=60kN解：

1.求

，確定失穩(wěn)平面(1)在xy平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)

nst=4，試校核此連桿的穩(wěn)定性。

∴連桿在xz平面內(nèi)失穩(wěn)(2)在xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)查表：為中柔度桿148例一連桿如圖所示，材料為35鋼，最大壓力F=60kN解：2.校核穩(wěn)定性∴連桿安全查表：1492.校核穩(wěn)定性∴連桿安全查表：65[例]托架AB桿是圓管，外徑D=50mm，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，E=206GPa,p=100。若規(guī)定nst=3,試確定許可荷載F。（1）分析受力解：BAC1500FD50030o取CBD橫梁研究FABFCB(2)計(jì)算并求臨界荷載150[例]托架AB桿是圓管，外徑D=50mm，兩端為球鉸，材料為Q235鋼，λp=100,λ＞λp，用歐拉公式(3)根據(jù)穩(wěn)定條件求許可荷載151Q235鋼，λp=100,λ＞λp，用歐拉公式(3)根據(jù)穩(wěn)定1.影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率壓力偏心殘余應(yīng)力2.穩(wěn)定許用應(yīng)力

稱為穩(wěn)定因數(shù)，與柔度λ有關(guān)。

對(duì)于Q235，可查表獲得；為了應(yīng)用方便三、穩(wěn)定因數(shù)法1521.影響實(shí)際壓桿穩(wěn)定性的因素初曲率壓力偏心殘余應(yīng)力2.穩(wěn)

我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范,根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工藝的96根鋼壓桿，考慮初曲率和加工產(chǎn)生的殘余應(yīng)力所作數(shù)值計(jì)算結(jié)果，選取適當(dāng)?shù)陌踩驍?shù)后，給出了鋼壓桿穩(wěn)定因數(shù)j與柔度l的一系列關(guān)系值。

該規(guī)范按鋼壓桿中殘余應(yīng)力對(duì)臨界應(yīng)力的影響從小到大分為a、b、c三類截面。大多數(shù)鋼壓桿可取作b類截面壓桿。表9-3為Q235鋼b類截面中心壓桿隨柔度l變化的穩(wěn)定因數(shù)j。153我國(guó)鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范,根據(jù)對(duì)常用截面形式、尺寸和加工工表9-3

Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j154表9-3Q235鋼b類截面中心受壓直桿的穩(wěn)定因數(shù)j70

例：由Q235鋼加工成的工字型截面桿件，xy面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束接近于兩端鉸支，μz=1.0；xz平面內(nèi)失穩(wěn)時(shí)，桿端約束接近于兩端固定，μy=0.6。已知連桿在工作時(shí)承受的最大壓力為F=35kN，材料的強(qiáng)度許用應(yīng)力[σ]=206MPa,并符合鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)規(guī)范中a類中心受壓桿的要求。試校核其穩(wěn)定性。

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