等比數(shù)列等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用NO課下檢測(cè)

一、選擇題1．將公比為q的等比數(shù)列{an}依次取相鄰兩項(xiàng)的乘積組成新的數(shù)列a1a2，a2a3，a3a4，…A．公比為q的等比數(shù)列 B．公比為q2的等比數(shù)列C．公比為q3的等比數(shù)列 D．不一定是等比數(shù)列解析：設(shè)新數(shù)列為{bn}，{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝anan＋1.所以eq\f(an＋1an＋2,anan＋1)＝eq\f(an＋2,an)＝q2，數(shù)列{bn}是公比為q2的等比數(shù)列．答案：B2．(2022·烏魯木齊高二檢測(cè))等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a5a6＋a4a7＝18，則log3a1＋log3a2＋…＋log3aA．12 B．10C．8 D．2＋log35解析：由a5a6＋a4a7＝18，得2a5a6＝18，即a∴l(xiāng)og3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1·a2·…·a10)＝log3(a5·a6)5＝5log39＝10.答案：B3．等比數(shù)列{an}中，a3＝12，a2＋a4＝30，則a10的值為()A．3×10－5 B．3×29C．128 D．3×5－2或3×29解析：∵a2＝eq\f(a3,q)，a4＝a3q，∴a2＝eq\f(12,q)，a4＝12q.∴eq\f(12,q)＋12q＝30.即：2q2－5q＋2＝0.∴q＝eq\f(1,2)或q＝2.當(dāng)q＝eq\f(1,2)時(shí)，a2＝24，∴a10＝a2·q8＝24×(eq\f(1,2))8＝3×2－5；當(dāng)q＝2時(shí)，a2＝6，∴a10＝a2q8＝6×28＝3×29.答案：D4．在等比數(shù)列{an}中，a2012＝8a2009，則公比qA．2 B．3C．4 D．8解析：法一：a2012＝a1q2011，a2009＝a1q2008，所以a1q2011＝8a1q2008，化簡(jiǎn)得q3＝8，所以q法二：因?yàn)閍2012＝a2009·q3，所以a2009·q3＝8a2009，所以q3＝8，q答案：A二、填空題5．在等比數(shù)列{an}中，若an＞0，a1·a100＝100，則lga1＋lga2＋lga3＋…＋lga100＝________.解析：由等比數(shù)列性質(zhì)知：a1·a100＝a2·a99＝…＝a50·a51＝100.∴l(xiāng)ga1＋lga2＋lga3＋…＋lga100＝lg(a1·a2·a3·…·a100)＝lg(a1·a100)50＝lg10050＝lg10100＝100.答案：1006．三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列，公比q＝3，又a，b＋8，c成等差數(shù)列，則這三個(gè)數(shù)依次為_(kāi)_______．解析：∵a，b，c成等比數(shù)列，公比是q＝3，∴b＝3a，c＝a·32＝9a又由等差中項(xiàng)公式有：2(b＋8)＝a＋c，∴2(3a＋8)＝a＋9a.∴a∴b＝12，c＝36.答案：4,12,367.在右列表格中，每格填上一個(gè)數(shù)字后，使每一橫行成等差數(shù)列，每縱列成等比數(shù)列，則x＋y＋z的值為_(kāi)_______．2412xyz解析：∵eq\f(x,2)＝eq\f(2,4)，∴x＝1.∵第一行中的數(shù)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為1，故后兩格中數(shù)字分別為5,6.同理，第二行后兩格中數(shù)字分別為,3.∴y＝5·(eq\f(1,2))3，z＝6·(eq\f(1,2))4.∴x＋y＋z＝1＋5·(eq\f(1,2))3＋6·(eq\f(1,2))4＝eq\f(32,16)＝2.答案：28．某單位某年十二月份的產(chǎn)值是同年一月份產(chǎn)值的m倍，那么該單位此年的月平均增長(zhǎng)率是________．解析：由題意可知，這一年中的每一個(gè)月的產(chǎn)值成等比數(shù)列，求月平均增長(zhǎng)率只需利用eq\f(a12,a1)＝m，所以月平均增長(zhǎng)率為eq\r(11,m)－1.答案：eq\r(11,m)－1三、解答題9．已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，a2a4－2a3a5＋a4a解：∵a1a5＝a2a4＝aeq\o\al(2,3)，a2a6＝a3a5，a3a7＝a4a6＝aeq\o\al(2,5)，∴由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1a5＋2a2a6＋a3a7＝100，,a2a4－2a3a5＋a4a6＝36.))得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a\o\al(2,3)＋2a3a5＋a\o\al(2,5)＝100，,a\o\al(2,3)－2a3a5＋a\o\al(2,5)＝36.))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a52＝100，,a3－a52＝36，))∵數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＋a5＝10,a3－a5＝±6))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝8,a5＝2))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a3＝2，,a5＝8.))∴公比q＝eq\r(\f(a5,a3))＝eq\f(1,2)或2.∴an＝a3·qn－3＝8×(eq\f(1,2))n－3＝26－n或an＝2×2n－3＝2n－2.即an＝26－n或an＝2n－2.10．某市2022年新建住房400萬(wàn)m2，其中250萬(wàn)m2是中低價(jià)房，預(yù)計(jì)2022后的若干年內(nèi)，該市每年新建住房面積平均比上一年增長(zhǎng)8%.另外，每年新建住房中，中低價(jià)房的面積比上一年增加50萬(wàn)m2，那么到哪一年底(1)該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積(以2022年為累計(jì)的第一年)將首次不少于4750萬(wàn)m2?(2)當(dāng)年建造的中低價(jià)房的面積占該年建造住房面積的比例首次大于85%.解：(1)設(shè)中低價(jià)房面積構(gòu)成數(shù)列{an}，由題意可知，{an}是等差數(shù)列，其中a1＝250，d＝50，則Sn＝250n＋eq\f(nn－1,2)×50＝25n2＋225n，令25n2＋225n≥4750，即n2＋9n－190≥0，解得n≤－19或n≥10，而n是正整數(shù)．∴n≥10.故到2022年年底，該市歷年所建中低價(jià)房的累計(jì)面積將首次不少于4750萬(wàn)平方米．(2)設(shè)新建住房面積構(gòu)成數(shù)