點(diǎn)到直線地距離公式

點(diǎn)到直線地距離公式點(diǎn)到直線地距離公式點(diǎn)到直線地距離公式V:1.0精細(xì)整理，僅供參考點(diǎn)到直線地距離公式日期：20xx年X月§7向量應(yīng)用舉例7．1點(diǎn)到直線的距離公式7．2向量的應(yīng)用舉例[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.了解直線法向量的概念.2.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題及一些實(shí)際問(wèn)題.3.進(jìn)一步體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具．[知識(shí)鏈接]1．向量可以解決哪些常見(jiàn)的幾何問(wèn)題答(1)解決直線平行、垂直、線段相等、三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等位置關(guān)系．(2)解決有關(guān)夾角、長(zhǎng)度及參數(shù)的值等的計(jì)算或度量問(wèn)題．2．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題的“三步曲”是怎樣的答(1)建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問(wèn)題中涉及的幾何元素，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題；(2)通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素之間的關(guān)系，距離，夾角等問(wèn)題；(3)把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系．[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]1．直線的法向量(1)直線y＝kx＋b的方向向量為(1，k)，法向量為(k，－1)．(2)直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的方向向量為(B，－A)，法向量為(A，B)．2．點(diǎn)到直線的距離公式設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)為平面上任一定點(diǎn)，則點(diǎn)M到直線Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)的距離d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2)).3．向量方法在幾何中的應(yīng)用(1)證明線段平行問(wèn)題，包括相似問(wèn)題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)

a＝λbx1y2－x2y1＝0.(2)證明垂直問(wèn)題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：非零向量a，b，a⊥ba·b＝0?x1x2＋y1y2＝0.(3)求夾角問(wèn)題，往往利用向量的夾角公式cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(x1x2＋y1y2,\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))).(4)求線段的長(zhǎng)度或證明線段相等，可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝eq\r(x2＋y2).4．向量方法在物理中的應(yīng)用(1)力、速度、加速度、位移都是向量．(2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的加、減運(yùn)算，運(yùn)動(dòng)的疊加亦用到向量的合成．(3)動(dòng)量mv是數(shù)乘向量．(4)功即是力F與所產(chǎn)生位移s的數(shù)量積．要點(diǎn)一直線法向量(或方向向量)的應(yīng)用例1已知△ABC的三頂點(diǎn)A(0，－4)，B(4,0)，C(－6,2)，點(diǎn)D、E、F分別為邊BC、CA、AB的中點(diǎn)．(1)求直線DE、EF、FD的方程；(2)求AB邊上的高線CH所在的直線方程．解(1)由已知得點(diǎn)D(－1,1)，E(－3，－1)，F(xiàn)(2，－2)．設(shè)點(diǎn)M(x，y)是直線DE上任一點(diǎn)，則eq\o(DM,\s\up6(→))∥eq\o(DE,\s\up6(→))，eq\o(DM,\s\up6(→))＝(x＋1，y－1)，eq\o(DE,\s\up6(→))＝(－2，－2)，∴(－2)×(x＋1)－(－2)(y－1)＝0，即x－y＋2＝0為直線DE的方程．同理可求，直線EF、FD的方程分別為x＋5y＋8＝0，x＋y＝0.(2)設(shè)點(diǎn)N(x，y)是CH所在的直線上任一點(diǎn)，則eq\o(CN,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))·eq\o(AB,\s\up6(→))＝0，eq\o(CN,\s\up6(→))＝(x＋6，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(4,4)，∴4(x＋6)＋4(y－2)＝0，即x＋y＋4＝0為所求直線CH所在的直線方程．規(guī)律方法對(duì)于解析幾何中的有關(guān)直線平行與垂直問(wèn)題，常?？梢赞D(zhuǎn)而考慮與直線相關(guān)的向量的共線與垂直，這樣一來(lái)將形的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為相關(guān)數(shù)的問(wèn)題，從而容易將問(wèn)題解決．跟蹤演練1求點(diǎn)P0(－1,2)到直線l：2x＋y－10＝0的距離．解方法一取直線l的一個(gè)法向量為n＝(2,1)，在直線l上任取一點(diǎn)P(5,0)，∴eq\o(PP,\s\up6(→))0＝(－6,2)，∴點(diǎn)到直線l的距離d就是eq\o(PP,\s\up6(→))0在法向量n上的射影．設(shè)eq\o(PP,\s\up6(→))0與n的夾角為θ.∴d＝|eq\o(PP,\s\up6(→))0||cosθ|＝|eq\o(PP,\s\up6(→))0|·eq\f(|\o(PP,\s\up6(→))0·n|,|\o(PP,\s\up6(→))0|·|n|)＝eq\f(|\o(PP,\s\up6(→))0·n|,|n|)＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(－12＋2,\r(5))))＝2eq\r(5).故點(diǎn)P0到直線l的距離為2eq\r(5).方法二由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))＝eq\f(|2×－1＋1×2－10|,\r(5))＝2eq\r(5).要點(diǎn)二向量在平面幾何中的應(yīng)用例2如圖，已知Rt△OAB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，M在OB上，且OM＝1，N在OA上，且ON＝1，P為AM與BN的交點(diǎn)，求∠MPN.解設(shè)eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，且eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))的夾角為θ，則eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a，又∵eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)b－a，eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a－b，∴eq\o(AM,\s\up6(→))·eq\o(BN,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)b－a))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)a－b))＝－5，|eq\o(AM,\s\up6(→))|＝eq\r(10)，|eq\o(BN,\s\up6(→))|＝eq\r(5)，∴cosθ＝eq\f(－5,\r(5)·\r(10))＝－eq\f(\r(2),2)，又∵θ∈[0，π]，∴θ＝eq\f(3π,4)，又∵∠MPN即為向量eq\o(AM,\s\up6(→))，eq\o(BN,\s\up6(→))的夾角，∴∠MPN＝eq\f(3π,4).規(guī)律方法(1)本題可以選擇eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))作為基向量，這是兩個(gè)互相垂直的向量，選用這組特殊的基向量可以簡(jiǎn)化運(yùn)算．(2)本題也可以建立平面直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解．把平面幾何中求角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量的夾角問(wèn)題是平面向量的工具性體現(xiàn)之一，轉(zhuǎn)化時(shí)一定要注意向量的方向．跟蹤演練2已知△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝3，求BC的長(zhǎng)．解以A為原點(diǎn)建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(4cos60°，4sin60°)，C(3,0)，∴eq\o(AC,\s\up6(→))＝(3,0)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2，2eq\r(3))，∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))＝(1，－2eq\r(3))，∴|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2\r(3)))2)＝eq\r(13).要點(diǎn)三利用向量解決物理中的問(wèn)題例3在風(fēng)速為75(eq\r(6)－eq\r(2))km/h的西風(fēng)中，飛機(jī)以150km/h的航速向西北方向飛行，求沒(méi)有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速和航向．解設(shè)向量a表示風(fēng)速，b表示無(wú)風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，c表示有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航行速度，則c＝a＋b.如圖，作向量eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，eq\o(OC,\s\up6(→))＝c，則四邊形OACB為平行四邊形．過(guò)C、B分別作OA的垂線，交AO的延長(zhǎng)線于D、E點(diǎn)．由已知，|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝75(eq\r(6)－eq\r(2))，|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝150，∠COD＝45°.在Rt△COD中，OD＝OCcos45°＝75eq\r(2)，CD＝75eq\r(2).又ED＝BC＝OA＝75(eq\r(6)－eq\r(2))，∴OE＝OD＋ED＝75eq\r(6).又BE＝CD＝75eq\r(2).在Rt△OEB中，OB＝eq\r(OE2＋BE2)＝150eq\r(2)，sin∠BOE＝eq\f(BE,OB)＝eq\f(1,2)，∴|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝150eq\r(2)，∠BOE＝30°.故沒(méi)有風(fēng)時(shí)飛機(jī)的航速為150eq\r(2)km/h，航向?yàn)槲髌?0°.規(guī)律方法用向量的有關(guān)知識(shí)研究物理中有關(guān)力與速度等問(wèn)題的基本思路和方法如下：(1)認(rèn)真分析物理現(xiàn)象，深刻把握物理量之間的相互關(guān)系；(2)通過(guò)抽象、概括，把物理現(xiàn)象轉(zhuǎn)化為與之相關(guān)的向量問(wèn)題；(3)利用向量知識(shí)解決這個(gè)向量問(wèn)題，并獲得這個(gè)向量問(wèn)題的解；(4)利用這個(gè)結(jié)果，對(duì)原物理現(xiàn)象作出解釋．跟蹤演練3如圖，在細(xì)繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂方向的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1.(1)求|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況；(2)當(dāng)|F1|≤2|G|時(shí)，求角θ的取值范圍．解(1)如圖，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，|F2|＝|G|tanθ.當(dāng)θ從0°趨向于90°時(shí)，|F1|，|F2|都逐漸變大．(2)由(1)，得|F1|＝eq\f(|G|,cosθ)，由|F1|≤2|G|，得cosθ≥eq\f(1,2).又因?yàn)?°≤θ＜90°，所以0°≤θ≤60°.1．已知直線l1：3x＋y－2＝0與直線l2：mx－y＋1＝0的夾角為45°，則實(shí)數(shù)m的值為_(kāi)_______．答案2或－eq\f(1,2)解析設(shè)直線l1，l2的法向量為n1，n2，則n1＝(3,1)，n2＝(m，－1)．由題意cos45°＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝eq\f(|3m－1|,\r(10)·\r(1＋m2))＝eq\f(\r(2),2).整理得2m2－3m－2＝0，解得m＝2或m＝－eq\f(1,2).2．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB為直徑的圓的方程是______________．答案x2＋y2＋x－3y＝0解析設(shè)P(x，y)為圓上任一點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x－1，y－2)，eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，由eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，化簡(jiǎn)得x2＋y2＋x－3y＝0.3．正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)D、E分別為AB、BC的中點(diǎn)，試求cos∠DOE的值．解以O(shè)A，OC所在直線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，由題意知：eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，故cos∠DOE＝eq\f(\o(OD,\s\up6(→))·\o(OE,\s\up6(→)),|\o(OD,\s\up6(→))|·|\o(OE,\s\up6(→))|)＝eq\f(1×\f(1,2)＋\f(1,2)×1,\f(\r(5),2)×\f(\r(5),2))＝eq\f(4,5).即cos∠DOE的值為eq\f(4,5).4．一艘船從南岸出發(fā)，向北岸橫渡．根據(jù)測(cè)量，這一天水流速度為3km/h，方向正東，風(fēng)的方向?yàn)楸逼?0°，受風(fēng)力影響，靜水中船的漂行速度為3km/h，若要使該船由南向北沿垂直于河岸的方向以2eq\r(3)km/h的速度橫渡，求船本身的速度大小及方向．解如圖，設(shè)水的速度為v1，風(fēng)的速度為v2，v1＋v2＝a.易求得a的方向是北偏東30°，a的大小是3km/h.設(shè)船的實(shí)際航行速度為v.方向由南向北，大小為2eq\r(3)km/h，船本身的速度為v3，則a＋v3＝v，即v3＝v－a，數(shù)形結(jié)合知v3的方向是北偏西60°，大小是3km/h.1.利用向量方法可以解決平面幾何中的平行、垂直、夾角、距離等問(wèn)題．利用向量解決平面幾何問(wèn)題時(shí)，有兩種思路：一種思路是選擇一組基底，利用基向量表示涉及的向量；一種思路是建立坐標(biāo)系，求出題目中涉及到的向量的坐標(biāo)．這兩種思路都是通過(guò)向量的計(jì)算獲得幾何命題的證明．2.用向量理論討論物理中相關(guān)問(wèn)題的步驟一般來(lái)說(shuō)分為四步：(1)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化，把物理問(wèn)題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問(wèn)題；(2)模型的建立，建立以向量為主體的數(shù)學(xué)模型；(3)參數(shù)的獲取，求出數(shù)學(xué)模型的相關(guān)解；(4)得到答案，回到物理現(xiàn)象中，用已經(jīng)獲取的數(shù)值去解釋一些物理現(xiàn)象．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．已知A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)分別是(1,0)，(4,3)，(2,4)，(0,2)，則此四邊形為()A．梯形 B．菱形C．矩形 D．正方形答案A解析∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝(3,3)，eq\o(DC,\s\up6(→))＝(2,2)，∴eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(DC,\s\up6(→))，|eq\o(AB,\s\up6(→))|≠|(zhì)eq\o(DC,\s\up6(→))|，∴四邊形為梯形．2．當(dāng)兩人提起重量為|G|的旅行包時(shí)，夾角為θ，兩人用力都為|F|，若|F|＝|G|，則θ的值為()A．30° B．60°C．90° D．120°答案D解析作eq\o(OA,\s\up6(→))＝F1，eq\o(OB,\s\up6(→))＝F2，eq\o(OC,\s\up6(→))＝－G，則eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))，當(dāng)|F1|＝|F2|＝|G|時(shí)，△OAC為正三角形，∴∠AOC＝60°，從而∠AOB＝120°.3．平面上有四個(gè)互異點(diǎn)A、B、C、D，已知(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，則△ABC的形狀是()A．直角三角形 B．等腰三角形C．等腰直角三角形 D．無(wú)法確定答案B解析由(eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))－2eq\o(DA,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，得[(eq\o(DB,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))＋(eq\o(DC,\s\up6(→))－eq\o(DA,\s\up6(→)))]·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，所以(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))·(eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0.所以|eq\o(AB,\s\up6(→))|2－|eq\o(AC,\s\up6(→))|2＝0，∴|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|，故△ABC是等腰三角形．4．已知直線l1的方向向量為a＝(1,3)，直線l2的方向向量為b＝(－1，k)，若直線l2過(guò)點(diǎn)(0,5)，且l1⊥l2，則直線l2的方程是()A．x＋3y－5＝0 B．x＋3y－15＝0C．x－3y＋5＝0 D．x－3y＋15＝0答案B解析∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝－1＋3k＝0，∴k＝eq\f(1,3)，∴l(xiāng)2的方程為y＝－eq\f(1,3)x＋5，即x＋3y－15＝0.故選B.5．過(guò)點(diǎn)A(－2,1)且平行于向量a＝(3,1)的直線方程為_(kāi)_______．答案x－3y＋5＝0解析設(shè)P(x，y)是所求直線上的任一點(diǎn)，eq\o(AP,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)．∵eq\o(AP,\s\up6(→))∥a.∴(x＋2)×1－3(y－1)＝0.即所求直線方程為x－3y＋5＝0.6．已知點(diǎn)A(－1,2)，B(0，－2)，若點(diǎn)D在線段AB上，且2|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝3|eq\o(BD,\s\up6(→))|，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)_______．答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(2,5)))解析由題意得eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(3,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＝(－1,2)＋eq\f(3,5)(1，－4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(2,5)))，所以Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,5)，－\f(2,5))).7．如圖，點(diǎn)O是?ABCD的對(duì)角線AC，BD的交點(diǎn)，E，F(xiàn)分別在邊CD，AB上，且eq\f(CE,ED)＝eq\f(AF,FB)＝eq\f(1,2).求證：點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上．證明設(shè)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，由E，F(xiàn)分別為對(duì)應(yīng)邊的三等分點(diǎn)，得eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(FA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝－eq\f(1,3)a＋eq\f(1,2)(a＋b)＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(a＋b)－eq\f(1,3)a＝eq\f(1,6)a＋eq\f(1,2)b.所以eq\o(FO,\s\up6(→))＝eq\o(OE,\s\up6(→)).又因?yàn)镺為其公共點(diǎn)，所以點(diǎn)E，O，F(xiàn)在同一直線上．二、能力提升8．已知直線l1：(m＋2)x＋3my＋1＝0與直線l2：(m－2)x＋(m＋2)y－3＝0相互垂直，則實(shí)數(shù)m的值是()A．－2 \f(1,2)C．－2或eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)或2答案C解析(m＋2)(m－2)＋3m(m＋2)＝(m＋2)(4m－2)＝0.∴m＝－2或eq\f(1,2).9．在四邊形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，則四邊形的面積為()\r(5) B．2eq\r(5)C．5 D．10答案C解因?yàn)樵谒倪呅蜛BCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1,2)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－4,2)，eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，所以四邊形ABCD的對(duì)角線互相垂直，又|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋22)＝eq\r(5)，|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(－42＋22)＝2eq\r(5)，該四邊形的面積：eq\f(1,2)|eq\o(AC,\s\up6(→))|·|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×2eq\r(5)＝5.10．已知曲線C：x＝－eq\r(4－y2)，直線l：x＝6.若對(duì)于點(diǎn)A(m,0)，存在C上的點(diǎn)P和l上的點(diǎn)Q使得eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0，則m的取值范圍為_(kāi)_______．答案[2,3]解析由eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(AQ,\s\up6(→))＝0知A是PQ的中點(diǎn)，設(shè)P(x，y)，則Q(2m－x，－y)，由題意－2≤x≤0,2m－x＝6，解得2≤m≤3.11．如圖所示，已知力F與水平方向的夾角為30°(斜向上)，大小為50N，一個(gè)質(zhì)量為8kg的木塊受力F的作用在動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝的水平平面上運(yùn)動(dòng)了20m．問(wèn)力F和摩擦力f所做的功分別為多少(g＝10m/s2)解設(shè)木塊的位移為s，則W＝F·s＝|F|·|s|cos30°＝50×20×eq\f(\r(3),2)＝500eq\r(3)(J)．F在豎直方向上的分力的大小為|F1|＝|F|·sin30°＝50×eq\f(1,2)＝25(N)．則f＝μ(mg－|F1|)＝×(8×10－25)＝(N)．所以f·s＝|f|·|s|cos180°＝×20×(－1)＝－22(J)．即F與f所做的功分別是500eq\r(3)J與－22J.12．在△ABC中，AB＝AC，D為AB的中點(diǎn)，E為△ACD的重心，F(xiàn)為△ABC的外心，證明：EF⊥CD.證明建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系．設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)，則D(－eq\f(a,2)，eq\f(b,2))，eq\o(CD,\s\up6(→))＝(－eq\f(3,2)a，eq\f(b,2))．易知△ABC的外心F在y軸上，可設(shè)為(0，y)．由|eq\o(AF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|，得(y－b)2＝a2＋y2，所以y＝eq\f(b2－a2,2b)，即F(0，eq\f(b2－a2,2b))．由重心坐標(biāo)公式，得E(eq\f(a,6)，eq\f(b,2))，所以eq\o(EF,\s\up6(→))＝(－eq\f(a,6)，－