高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)知識點總結(jié)概率

概率【高考考情解讀】1.古典概型和幾何概型的基本應(yīng)用是高考的重點，選擇題或填空題主要以考查幾何概型、古典概型為主，試題難度較小，易于得分.2.解答題型中的古典概型問題常常與概率的基本運算性質(zhì)，如互斥事件的概率加法公式、對立事件的減法公式等綜合考查，試題難度不大，易于得滿分.3.近幾年高考題對概率問題的命制愈加地傾向與統(tǒng)計問題綜合考查，涉及的統(tǒng)計問題有抽樣、樣本估計總體、回歸分析和獨立性檢驗，試題難度中等，考查知識點的同時也側(cè)重考查邏輯思維能力、知識的綜合應(yīng)用能力和理解、分析問題的能力．1．概率的五個基本性質(zhì)(1)隨機事件A的概率：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率為1.(3)不可能事件的概率為0.(4)如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝1，即P(A)＝1－P(B)．2．兩種常見的概型(1)古典概型①特點：有限性，等可能性．②概率公式：P(A)＝eq\f(事件A中所含的基本事件數(shù),試驗的基本事件總數(shù)).(2)幾何概型①特點：無限性，等可能性．②概率公式：P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積).考點一古典概型例1(2013·山東)某小組共有A，B，C，D，E五位同學(xué)，他們的身高(單位：米)及體重指標(biāo)(單位：千克/米2)如下表所示：ABCDE身高1.691.731.751.791.82體重指標(biāo)19.225.118.523.320.9(1)從該小組身高低于1.80的同學(xué)中任選2人，求選到的2人身高都在1.78以下的概率；(2)從該小組同學(xué)中任選2人，求選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)中的概率．解(1)從身高低于1.80的4名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(B，C)，(B，D)，(C，D)共6個．設(shè)“選到的2人身高都在1.78以下”為事件M，其包括的事件有3個，故P(M)＝eq\f(3,6)＝eq\f(1,2).(2)從小組5名同學(xué)中任選2人，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10個．設(shè)“選到的2人的身高都在1.70以上且體重指標(biāo)都在[18.5,23.9)”為事件N，且事件N包括事件有：(C，D)，(C，E)，(D，E)共3個．則P(N)＝eq\f(3,10).求古典概型概率的步驟(1)反復(fù)閱讀題目，收集題目中的各種信息，理解題意；(2)判斷試驗是否為古典概型，并用字母表示所求事件；(3)利用列舉法求出總的基本事件的個數(shù)n及事件A中包含的基本事件的個數(shù)m；(4)計算事件A的概率P(A)＝eq\f(m,n).(1)(2012·安徽)袋中共有6個除了顏色外完全相同的球，其中有1個紅球，2個白球和3個黑球．從球中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率等于 ()A.eq\f(1,5) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)答案B解析利用古典概型求解．設(shè)袋中紅球用a表示，2個白球分別用b1，b2表示，3個黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為：(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個．兩球顏色為一白一黑的基本事件有：(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個．∴其概率為eq\f(6,15)＝eq\f(2,5).故選B.(2)甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個游戲，則他們“心有靈犀”的概率為 ()A.eq\f(11,36) B.eq\f(5,18)C.eq\f(1,6) D.eq\f(4,9)答案D解析根據(jù)題目條件知所有的數(shù)組(a，b)共有62＝36組，而滿足條件|a－b|≤1的數(shù)組(a，b)有：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(5,5)，(6,6)，(1,2)，(2,1)，(2,3)，(3,2)，(3,4)，(4,3)，(4,5)，(5,4)，(5,6)，(6,5)，共有16組，根據(jù)古典概型的概率公式知所求的概率為P＝eq\f(16,36)＝eq\f(4,9).故選D.(3)盒中有6個小球，其中3個白球，記為a1，a2，a3,2個紅球，記為b1，b2,1個黑球，記為c1，除了顏色和編號外，球沒有任何區(qū)別．①求從盒中取一球是紅球的概率；②從盒中取一球，記下顏色后放回，再取一球，記下顏色，若取白球得1分，取紅球得2分，取黑球得3分，求兩次取球得分之和為5分的概率．解①所有基本事件為：a1，a2，a3，b1，b2，c1共計6種．記“從盒中取一球是紅球”為事件A，事件A包含的基本事件為：b1，b2，∴P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3).∴從盒中取一球是紅球的概率為eq\f(1,3).②記“兩次取球得分之和為5分”為事件B，總事件包含的基本事件為：(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，c1)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，c1)，(a3，a1)，(a3，a2)，(a3，a3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，c1)，(b1，a1)，(b1，a2)，(b1，a3)，(b1，b1)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b2，a1)，(b2，a2)，(b2，a3)，(b2，b1)，(b2，b2)，(b2，c1)，(c1，a1)，(c1，a2)，(c1，a3)，(c1，b1)，(c1，b2)，(c1，c1)，共計36種．而事件B包含的基本事件為：(b1，c1)，(b2，c1)，(c1，b1)，(c1，b2)，共計4種．∴P(B)＝eq\f(4,36)＝eq\f(1,9).∴“兩次取球得分之和為5分”的概率為eq\f(1,9).考點二幾何概型例2(2013·四川)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨立，且都在通電后的4秒內(nèi)任一時刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以4秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時通電后，它們第一次閃亮的時刻相差不超過2秒的概率是()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2) C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)答案C解析設(shè)在通電后的4秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時刻為x、y，x、y相互獨立，由題意可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤4,0≤y≤4,|x－y|≤2))，如圖所示．∴兩串彩燈第一次亮的時間相差不超過2秒的概率為P(|x－y|≤2)＝eq\f(S正方形－2S△ABC,S正方形)＝eq\f(4×4－2×\f(1,2)×2×2,4×4)＝eq\f(12,16)＝eq\f(3,4).當(dāng)試驗的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域為長度、面積、體積、弧長、夾角等時，應(yīng)考慮使用幾何概型求解；利用幾何概型求概率時，關(guān)鍵是試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時需要設(shè)出變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域．(1)在區(qū)間[0,2]上任取兩個實數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)＝x3＋ax－b在區(qū)間[－1,1]上有且僅有一個零點的概率是 ()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(7,8)(2)(2012·湖北)如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個半圓．在扇形OAB內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率是 ()A．1－eq\f(2,π) B.eq\f(1,2)－eq\f(1,π)C.eq\f(2,π) D.eq\f(1,π)答案(1)D(2)A解析(1)因為f′(x)＝3x2＋a，由于a≥0，故f′(x)≥0恒成立，故函數(shù)f(x)在[－1,1]上單調(diào)遞增，故函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上有且只有一個零點的充要條件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f－1≤0，,f1≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋1≥0，,a－b＋1≥0.))設(shè)點(a，b)，則基本事件所在的區(qū)域是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤a≤2，,0≤b≤2，))畫出平面區(qū)域，如圖所示，根據(jù)幾何概型的意義，所求的概率是以圖中陰影部分的面積和以2為邊長的正方形的面積的比值，這個比值是eq\f(7,8).故選D.(2)方法一解題關(guān)鍵是求出空白部分的面積，用幾何概型求解．設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，OA的中點為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OA＝OB＝2，則OD＝DA＝DC＝1.在以O(shè)A為直徑的半圓中，空白部分面積S1＝eq\f(π,4)＋eq\f(1,2)×1×1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－\f(1,2)×1×1))＝1，所以整體圖形中空白部分面積S2＝2.又因為S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以陰影部分面積為S3＝π－2.所以P＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).方法二連接AB，由S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC可求出空白部分面積．設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個半圓交于點C，令OA＝2.由題意知C∈AB且S弓形AC＝S弓形BC＝S弓形OC，所以S空白＝S△OAB＝eq\f(1,2)×2×2＝2.又因為S扇形OAB＝eq\f(1,4)×π×22＝π，所以S陰影＝π－2.所以P＝eq\f(S陰影,S扇形OAB)＝eq\f(π－2,π)＝1－eq\f(2,π).考點三互斥事件與對立事件例3某項活動的一組志愿者全部通曉中文，并且每個志愿者還都通曉英語、日語和韓語中的一種(但無人通曉兩種外語)．已知從中任抽一人，其通曉中文和英語的概率為eq\f(1,2)，通曉中文和日語的概率為eq\f(3,10).若通曉中文和韓語的人數(shù)不超過3人．(1)求這組志愿者的人數(shù)；(2)現(xiàn)在從這組志愿者中選出通曉英語的志愿者1名，通曉韓語的志愿者1名，若甲通曉英語，乙通曉韓語，求甲和乙不全被選中的概率．解(1)設(shè)通曉中文和英語的人數(shù)為x，通曉中文和日語的人數(shù)為y，通曉中文和韓語的人數(shù)為z，且x，y，z∈N*，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x,x＋y＋z)＝\f(1,2)，,\f(y,x＋y＋z)＝\f(3,10)，,0<z≤3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝3，,z＝2，))所以這組志愿者的人數(shù)為5＋3＋2＝10.(2)設(shè)通曉中文和英語的人為A1，A2，A3，A4，A5，甲為A1，通曉中文和韓語的人為B1，B2，乙為B1，則從這組志愿者中選出通曉英語和韓語的志愿者各1名的所有情況為(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(A5，B1)，(A5，B2)，共10種，同時選中甲、乙的只有(A1，B1)1種．所以甲和乙不全被選中的概率為1－eq\f(1,10)＝eq\f(9,10).求解互斥事件、對立事件的概率問題時，一要先利用條件判斷所給的事件是互斥事件，還是對立事件；二要將所求事件的概率轉(zhuǎn)化為互斥事件、對立事件的概率；三要準(zhǔn)確利用互斥事件、對立事件的概率公式去計算所求事件的概率．(2013·江西)小波以游戲方式?jīng)Q定是去打球、唱歌還是去下棋．游戲規(guī)則為：以O(shè)為起點，再從A1、A2、A3、A4、A5、A6(如圖)這6個點中任取兩點分別為終點得到兩個向量，記這兩個向量的數(shù)量積為X.若X>0就去打球，若X＝0就去唱歌，若X<0就去下棋．(1)寫出數(shù)量積X的所有可能取值；(2)分別求小波去下棋的概率和不去唱歌的概率．解(1)X的所有可能取值為－2，－1,0,1.(2)數(shù)量積為－2的有eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA,\s\up6(→))5，共1種；數(shù)量積為－1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，共6種；數(shù)量積為0的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA4,\s\up6(→))，eq\o(OA3,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種；數(shù)量積為1的有eq\o(OA1,\s\up6(→))·eq\o(OA2,\s\up6(→))，eq\o(OA2,\s\up6(→))·eq\o(OA3,\s\up6(→))，eq\o(OA4,\s\up6(→))·eq\o(OA5,\s\up6(→))，eq\o(OA5,\s\up6(→))·eq\o(OA6,\s\up6(→))，共4種．故所有可能的情況共有15種．所以小波去下棋的概率為P1＝eq\f(7,15)；因為去唱歌的概率為P2＝eq\f(4,15)，所以小波不去唱歌的概率為P＝1－P2＝1－eq\f(4,15)＝eq\f(11,15).1．互斥事件與對立事件的關(guān)系(1)對立一定互斥，互斥未必對立；(2)可將所求事件化為互斥事件A、B的和，再利用公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)來求，也可通過對立事件公式P(eq\x\to(A))＝1－P(A)來求P(A)．2．古典概型與幾何概型古典概型特點①有限性②等可能性計算公式P(A)＝eq\f(A包含的基本事件個數(shù)m,總的基本事件個數(shù)n)幾何概型特點①無限性②等可能性計算公式P(A)＝eq\f(構(gòu)成事件A的區(qū)域長度面積或體積,試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長度面積或體積)

1．電子鐘一天顯示的時間是從00：00到23：59，每一時刻都由四個數(shù)字構(gòu)成，則一天中任一時刻顯示的四個數(shù)字之和為23的概率為 ()A.eq\f(1,180) B.eq\f(1,288) C.eq\f(1,360) D.eq\f(1,480)答案C解析因為時鐘一分鐘顯示一次，故總的顯示方法數(shù)為24×60＝1440(種)，四個數(shù)字之和為23的有09：59,18：59,19：49,19：58四種情況，故所求概率為eq\f(4,1440)＝eq\f(1,360).2．袋中裝有大小相同且形狀一樣的四個球，四個球上分別標(biāo)有“2”、“3”、“4”、“6”這四個數(shù)．現(xiàn)從中隨機選取三個球，則所選的三個球上的數(shù)恰好能構(gòu)成一個等差數(shù)列的概率是________．答案eq\f(1,2)解析從四個不同的數(shù)中選三個的情況有(2,3,4)，(2,3,6)，(2,4,6)，(3,4,6)，共四種，滿足成等差數(shù)列的情況有(2,3,4)和(2,4,6)，共兩種．故所求概率為eq\f(2,4)＝eq\f(1,2).3．(2012·天津)某地區(qū)有小學(xué)21所，中學(xué)14所，大學(xué)7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學(xué)校中抽取6所學(xué)校對學(xué)生進(jìn)行視力調(diào)查．(1)求應(yīng)從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目．(2)若從抽取的6所學(xué)校中隨機抽取2所學(xué)校做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，①列出所有可能的抽取結(jié)果；②求抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)的概率．解(1)由分層抽樣定義知，從小學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(21,21＋14＋7)＝3；從中學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(14,21＋14＋7)＝2；從大學(xué)中抽取的學(xué)校數(shù)目為6×eq\f(7,21＋14＋7)＝1.故從小學(xué)、中學(xué)、大學(xué)中分別抽取的學(xué)校數(shù)目為3,2,1.(2)①在抽取到的6所學(xué)校中，3所小學(xué)分別記為A1，A2，A3,2所中學(xué)分別記為A4，A5，大學(xué)記為A6，則抽取2所學(xué)校的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，A4}，{A1，A5}，{A1，A6}，{A2，A3}，{A2，A4}，{A2，A5}，{A2，A6}，{A3，A4}，{A3，A5}，{A3，A6}，{A4，A5}，{A4，A6}，{A5，A6}，共15種．②從6所學(xué)校中抽取的2所學(xué)校均為小學(xué)(記為事件B)的所有可能結(jié)果為{A1，A2}，{A1，A3}，{A2，A3}，共3種，所以P(B)＝eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).(推薦時間：60分鐘)一、選擇題1．(2013·課標(biāo)全國Ⅰ)從1,2,3,4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是 ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,6)答案B解析基本事件的總數(shù)為6，構(gòu)成“取出的2個數(shù)之差的絕對值為2”這個事件的基本事件的個數(shù)為2.所以，所求概率P＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，故選B.2．(2013·安徽)若某公司從五位大學(xué)畢業(yè)生甲、乙、丙、丁、戊中錄用三人，這五人被錄用的機會均等，則甲或乙被錄用的概率為 ()A.eq\f(2,3) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(9,10)答案D解析由題意，從五位大學(xué)畢業(yè)生中錄用三人，所有不同的可能結(jié)果有(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，共10種，其中“甲與乙均未被錄用”的所有不同的可能結(jié)果只有(丙，丁，戊)這1種，故其對立事件“甲或乙被錄用”的可能結(jié)果有9種，所求概率P＝eq\f(9,10).3．(2012·北京)設(shè)不等式組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0≤x≤2，,0≤y≤2))表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標(biāo)原點的距離大于2的概率是 ()A.eq\f(π,4) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(π,6) D.eq\f(4－π,4)答案D解析根據(jù)題意作出滿足條件的幾何圖形求解．如圖所示，正方形OABC及其內(nèi)部為不等式組表示的區(qū)域D，且區(qū)域D的面積為4，而陰影部分表示的是區(qū)域D內(nèi)到原點距離大于2的區(qū)域，易知該陰影部分的面積為4－π，因此滿足條件的概率是eq\f(4－π,4)，故選D.4．第16屆亞運會于2010年11月12日在中國廣州舉行，運動會期間有來自A大學(xué)2名和B大學(xué)4名的大學(xué)生志愿者，從這6名志愿者中隨機抽取2人到體操比賽場館服務(wù)，則至少有一名A大學(xué)志愿者的概率是 ()A.eq\f(1,15) B.eq\f(2,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(14,15)答案C解析若這2名學(xué)生來自兩所大學(xué)，則P1＝eq\f(2×4,15)＝eq\f(8,15)；若這2名大學(xué)生來自A大學(xué)，則P2＝eq\f(1,15).故至少有一名A大學(xué)志愿者的概率是eq\f(8,15)＋eq\f(1,15)＝eq\f(3,5).5．一個袋中有3個黑球，2個白球共5個大小相同的球，每次摸出一球，放進(jìn)袋里再摸第二次，則兩次摸出的球都是白球的概率為 ()A.eq\f(2,5) B.eq\f(4,5)C.eq\f(2,25) D.eq\f(4,25)答案D解析有放回地摸球，基本事件總數(shù)為25；兩次都是白球所包含的基本事件為4.所以兩次摸出的球都是白球的概率為eq\f(4,25).6．若利用計算機在區(qū)間(0,1)上產(chǎn)生兩個不等的隨機數(shù)a和b，則方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實數(shù)根的概率為 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,5)答案B解析方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)，即x2－2eq\r(2a)x＋2b＝0，原方程有不等實數(shù)根，則需滿足Δ＝(2eq\r(2a))2－4×2b>0，即a>b.在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，(a，b)的所有可能結(jié)果是邊長為1的正方形(不包括邊界)，而事件A“方程x＝2eq\r(2a)－eq\f(2b,x)有不等實數(shù)根”的可能結(jié)果為圖中陰影部分(不包括邊界)．由幾何概型公式可得P(A)＝eq\f(\f(1,2)×1×1,1×1)＝eq\f(1,2).二、填空題7．點A為周長等于3的圓周上的一個定點．若在該圓周上隨機取一點B，則劣弧eq\x\to(AB)的長度小于1的概率為________．答案eq\f(2,3)解析如圖，設(shè)A，M，N為圓周的三等分點，當(dāng)B點取在優(yōu)弧eq\x\to(MAN)上時，對劣弧eq\x\to(AB)來說，其長度小于1，故其概率為eq\f(2,3).8．(2013·江蘇)現(xiàn)有某類病毒記作XmYn，其中正整數(shù)m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數(shù)的概率為________．答案eq\f(20,63)解析P＝eq\f(4×5,7×9)＝eq\f(20,63).9．拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻且四面上分別標(biāo)有1,2,3,4的正四面體，其底面落于桌面，記所得的數(shù)字分別為x，y，則eq\f(x,y)為整數(shù)的概率是________．答案eq\f(1,2)解析將拋擲甲、乙兩枚質(zhì)地均勻的正四面體所得的數(shù)字x，y記作有序?qū)崝?shù)對(x，y)，共包含16個基本事件，其中eq\f(x,y)為整數(shù)的有(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4)，(2,1)，(3,1)，(4,1)，(4,2)，共8個基本事件，故所求的概率為eq\f(8,16)＝eq\f(1,2).10．已知區(qū)域Ω＝{(x，y)|x＋y≤10，x≥0，y≥0}，A＝{(x，y)|x－y≥0，x≤5，y≥0}，若向區(qū)域Ω上隨機投1個點，則這個點落入?yún)^(qū)域A的概率P(A)＝________.答案eq\f(1,4)解析作出如圖所示的可行域，易得區(qū)域Ω的面積為eq\f(1,2)×10×10＝50，區(qū)域A(陰影部分)的面積為eq\f(1,2)×5×5＝eq\f(25,2).故該點落在區(qū)域A的概率P(A)＝eq\f(\f(25,2),50)＝eq\f(1,4).三、解答題11．某學(xué)校的籃球隊、羽毛球隊、乒乓球隊各有10名隊員，某些隊員不止參加了一支球隊，具體情況如圖所示，現(xiàn)從中隨機抽取一名隊員，求：(1)該隊員只屬于一支球隊的概率；(2)該隊員最多屬于兩支球隊的概率．解從圖中可以看出，3個球隊共有20名隊員．(1)記“隨機抽取一名隊員，該隊員只屬于一支球隊”為事件A.所以P(A)＝eq\f(3＋5＋4,20)＝eq\f(3,5).故隨機抽取一名隊員，只屬于一支球隊的概率為eq\f(3,5).(2)記“隨機抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊”為事件B.則P(B)＝1－P(eq\x\to(B))＝1－eq\f(2,20)＝eq\f(9,10).故隨機抽取一名隊員，該隊員最多屬于兩支球隊的概率為eq\f(9,10).12．在一次“知識競賽”活動中，有A1，A2，B，C四道題，其中A1，A2為難度相同的容易題，B為中檔題，C為較難題．現(xiàn)甲、乙兩位同學(xué)均需從四道題目中隨機抽取一題作答．(1)求甲、乙兩位同學(xué)所選的題目難度相同的概率；(2)求甲所選題目的難度大于乙所選題目的難度的概率．解由題意可知，甲、乙兩位同學(xué)分別從四道題中