人教版數(shù)學(xué)必修2知識點(diǎn)

立體幾何初步1.柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)特征（1）棱柱：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體。分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱幾何特征：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等；平行于底面的截面是和底面全等的多邊形。（2）棱錐：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐幾何特征：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面和底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距離和高的比的平方。（3）棱臺：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分分類：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺、五棱臺等表示：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺幾何特征：①上下底面是相似的平行多邊形②側(cè)面是梯形③側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn)（4）圓柱：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是全等的圓；②母線和軸平行；③軸和底面圓的半徑垂直；④側(cè)面展開圖是一個(gè)矩形。（5）圓錐：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體幾何特征：①底面是一個(gè)圓；②母線交于圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。（6）圓臺：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分幾何特征：①上下底面是兩個(gè)圓；②側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；③側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。（7）球體：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體幾何特征：①球的截面是圓；②球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。2.空間幾何體的三視圖定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右）、俯視圖（從上向下）注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度；俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度；側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。3.空間幾何體的直觀圖——斜二測畫法斜二測畫法特點(diǎn)：①原來和x軸平行的線段仍然和x平行且長度不變；②原來和y軸平行的線段仍然和y平行，長度為原來的一半。4.柱體、錐體、臺體的表面積和體積（1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。（2）特殊幾何體表面積公式（c為底面周長，h為高，為斜高，l為母線）（3）柱體、錐體、臺體的體積公式（4）球體的表面積和體積公式：；第二章直線和平面的位置關(guān)系2.1空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系1.平面含義：平面是無限延展的2.三個(gè)公理：（1）公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi).符號表示為A∈LB∈L=>LαA∈αB∈α公理1作用：判斷直線是否在平面內(nèi).（2）公理2：過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。符號表示為：A、B、C三點(diǎn)不共線=>有且只有一個(gè)平面α，使A∈α、B∈α、C∈α。公理2作用：確定一個(gè)平面的依據(jù)。（3）公理3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線。符號表示為：P∈α∩β=>α∩β，且P∈L公理3作用：判定兩個(gè)平面是否相交的依據(jù).2.1.2空間中直線和直線之間的位置關(guān)系1.空間的兩條直線有如下三種關(guān)系：相交直線：同一平面內(nèi)，有且只有一個(gè)公共點(diǎn)；平行直線：同一平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)；異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)，沒有公共點(diǎn)。2.公理4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行。符號表示為：設(shè)a、b、c是三條直線a∥bc∥b強(qiáng)調(diào)：公理4實(shí)質(zhì)上是說平行具有傳遞性，在平面、空間這個(gè)性質(zhì)都適用。公理4作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)。3.等角定理：空間中如果兩個(gè)角的兩邊分別對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ).4.注意點(diǎn)：①a'和b'所成的角的大小只由a、b的相互位置來確定，和O的選擇無關(guān)，為了簡便，點(diǎn)O一般取在兩直線中的一條上；②兩條異面直線所成的角θ∈(0，)；③當(dāng)兩條異面直線所成的角是直角時(shí)，我們就說這兩條異面直線互相垂直，記作a⊥b；④兩條直線互相垂直，有共面垂直和異面垂直兩種情形；⑤計(jì)算中，通常把兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角。2.1.3—2.1.4空間中直線和平面、平面和平面之間的位置關(guān)系1.直線和平面有三種位置關(guān)系：（1）直線在平面內(nèi)——有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)（2）直線和平面相交——有且只有一個(gè)公共點(diǎn)（3）直線在平面平行——沒有公共點(diǎn)注意：直線和平面相交或平行的情況統(tǒng)稱為直線在平面外，可用aα來表示aαa∩αa∥α2.2.直線、平面平行的判定及其性質(zhì)2.2.1直線和平面平行的判定1.直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線和此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線和此平面平行。(線線平行，則線面平行)符號表示：aαbβ=>a∥αa∥b2.2.2平面和平面平行的判定1.兩個(gè)平面平行的判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條交直線和另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行。符號表示：aβbβa∩b=Pβ∥αa∥αb∥α2.判斷兩平面平行的方法有三種：（1）用定義；（2）判定定理；（3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行。2.2.3—2.2.4直線和平面、平面和平面平行的性質(zhì)1.直線和平面平行的性質(zhì)定理：一條直線和一個(gè)平面平行，則過這條直線的任一平面和此平面的交線和該直線平行。(線面平行,則線線平行)符號表示：a∥αaβa∥bα∩β=b作用：利用該定理可解決直線間的平行問題。2.兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行的平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。符號表示：α∥βα∩γ=aa∥bβ∩γ=b作用：可以由平面和平面平行得出直線和直線平行2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線和平面垂直的判定1.定義：如果直線L和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線L和平面α互相垂直，記作L⊥α，直線L叫做平面α的垂線，平面α叫做直線L的垂面。如圖，直線和平面垂直時(shí),它們唯一公共點(diǎn)P叫做垂足。PaL2.直線和平面垂直的判定定理：一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線和此平面垂直。注意點(diǎn)：a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視；b)定理體現(xiàn)了“直線和平面垂直”和“直線和直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想。2.3.2平面和平面垂直的判定1.二面角的概念：表示從空間一直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形AlβBα2.二面角的記法：二面角αβ或αβ3.兩個(gè)平面互相垂直的判定定理：一個(gè)平面過另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面垂直。2.3.3—2.3.4直線和平面1.直線和平面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行。2.兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)定理：兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線和另一個(gè)平面垂直。第三章直線和方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向和直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當(dāng)直線和x軸平行或重合時(shí),我們規(guī)定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°（2）直線的斜率①定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示，即。斜率反映直線和軸的傾斜程度。當(dāng)直線l和x軸平行或重合時(shí),α=0°,k=0°=0;當(dāng)直線l和x軸垂直時(shí),α=90°,k不存在.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，不存在。②過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：（）注意:(1)當(dāng)時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k和P1、P2的順序無關(guān)；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。（3）直線方程①點(diǎn)斜式：直線斜率k，且過點(diǎn)注意：當(dāng)直線的斜率為0°時(shí)，0，直線的方程是1。當(dāng)直線的斜率為90°時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示．但因l上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是1。②斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b③兩點(diǎn)式：（）直線兩點(diǎn)，④截矩式：其中直線和軸交于點(diǎn),和軸交于點(diǎn),即和軸、軸的截距分別為⑤一般式：（A，B不全為0）注意：①各式的適用范圍②特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數(shù)）；平行于y軸的直線：（a為常數(shù)）；（6）兩直線平行和垂直當(dāng)，時(shí)，；注意：利用斜率判斷直線的平行和垂直時(shí)，要注意斜率的存在和否。（7）兩條直線的交點(diǎn)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組的一組解。方程組無解；方程組有無數(shù)解和重合（8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè)是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)，則（9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn)到直線的距離（10）兩平行直線距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則和的距離為第四章圓和方程1.圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。2.圓的方程：（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：，圓心，半徑為r；點(diǎn)和圓的位置關(guān)系：當(dāng)>，點(diǎn)在圓外當(dāng)=，點(diǎn)在圓上當(dāng)<，點(diǎn)在圓內(nèi)（2）一般方程：當(dāng)時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為，半徑為當(dāng)時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，方程不表示任何圖形。（3）求圓方程的方法：一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，需求出a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)；另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。3.直線和圓的位置關(guān)系：和圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況：（1）設(shè)直線，圓，圓心到l的距離為，則有；；（2）過圓外一點(diǎn)的切線方程：①k不存在，驗(yàn)證是否成立②k存在，設(shè)點(diǎn)斜式方程，用圓心到該直線距離=半徑，求解k，得到方程【一定兩解】(3)過圓上一點(diǎn)的切線方程：圓()2+()22，圓上一點(diǎn)為(x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為(x0)()+(y0)()=r24.圓和圓