高中數(shù)學(xué)平面幾何競(jìng)賽講座課件

圓冪與根軸平面幾何講座之圓冪與根軸平面幾何講座之1.概念：圓的冪是表示平面上一點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系的一個(gè)量。定義：點(diǎn)P對(duì)圓O的冪=PO2-R22.圓冪定理圓冪定理實(shí)質(zhì)上是三個(gè)定理的統(tǒng)一概括：——切線定理，割線定理，以及相交弦定理一.圓冪1.概念：一.圓冪等差冪線定理：平面上到兩點(diǎn)間距離的平方差為定值的點(diǎn)的軌跡是一條垂直于該兩點(diǎn)連線的直線。該直線稱為等差冪線。反之，等差冪線上任一點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)距離的平方差為定值。二.等差冪線定理等差冪線定理：平面上到兩點(diǎn)間距離的平方差為定值的點(diǎn)的軌跡是一注1：等差冪線定理由同一法易證，本處略。注2：一般的，在證明角度關(guān)系較為缺乏，而線段數(shù)量關(guān)系較為豐富的垂直問(wèn)題，等差冪線定理是首選。但應(yīng)選擇構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡仁疥P(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化而不應(yīng)陷于純粹的計(jì)算。注1：等差冪線定理由同一法易證，本處略。1.定義與定理：平面上到已知兩圓的冪相等點(diǎn)的軌跡是一條垂直于兩圓連心線的直線，稱之為根軸。根軸的本質(zhì)是等差冪線。*幾類特殊的根軸兩圓相交——根軸為相交弦所在直線兩圓外切——根軸為內(nèi)公切線兩圓內(nèi)切——根軸為公切線三.根軸1.定義與定理：平面上到已知兩圓的冪相等點(diǎn)的軌跡是一條垂直于蒙日定理：三圓彼此相交，則三條根軸相交于一點(diǎn)（三圓圓心不共線）或彼此平行（三圓圓心共線）。習(xí)慣上，稱三根軸的交點(diǎn)為根心四.蒙日定理與根心蒙日定理：三圓彼此相交，則三條根軸相交于一點(diǎn)（三圓圓心不共線

有相當(dāng)一部分幾何題用圓冪與根軸的性質(zhì)處理會(huì)意想不到地便捷。然而大多題目表面上不會(huì)涉及圓冪根軸。故應(yīng)發(fā)揮圓冪根軸“中轉(zhuǎn)站”的功能，將各類幾何論斷聯(lián)系起來(lái)。而不應(yīng)往相關(guān)方面生搬硬套。下面來(lái)看幾道習(xí)題。有相當(dāng)一部分幾何題用圓冪與根軸的性質(zhì)處理會(huì)意想例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B，交圓O2于C。E是線段AD上異于A,D的點(diǎn)。連結(jié)CE交圓O1于P,Q,連結(jié)BE交圓O2于MN.證明：1.P,M,Q,N共圓，記圓心O3.2.DO3⊥BC1.證明：由相交弦定理，ME×EN=AE×ED=QE×EP知P,M,Q,N共圓例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B，交圓O2于C。E是線段AD上異于A,D的點(diǎn)。連結(jié)CE交圓O1于P,Q,連結(jié)BE交圓O2于MN.證明：1.P,M,Q,N共圓，記圓心O3.2.DO3⊥BC2.設(shè)圓O3半徑為R.則B到圓O3的冪=BO32-R2=BM×BN=BD×BCC到圓O3的冪=CO32-R2=CP×CQ=CD×BC故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD)×BC=(BD-CD)(BD+CD)=BD2-CD2

所以DO3⊥BC例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B解析：延長(zhǎng)PQ至N，使PQ×QN=BQ×QC

于是，∠PNC=∠PBC=∠PDA，∴Q,N,D,C四點(diǎn)共圓，PQ×PN=PC×PD

兩式相減有PQ2=PC×PD-BQ×QC=P的冪+Q的冪。例二：設(shè)P是圓O外一點(diǎn)，PAB,PCD是兩條切線，AD,BC交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)BD,AC交于點(diǎn)R.求證：PQ2=P的冪+Q的冪PR2=P的冪+R的冪解析：延長(zhǎng)PQ至N，使PQ×QN=BQ×QC例二：設(shè)P是圓O

又在PR上取點(diǎn)M，連CM,滿足∠PAC=∠CMR=∠CDB,于是又P,A,C,M共圓，M,C,D,R共圓。故有RM×RP=RC×RA,PM×PR=PC×PD,兩式相加即有PR2=P的冪+R的冪例二：設(shè)P是圓O外一點(diǎn)，PAB,PCD是兩條切線，AD,BC交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)BD,AC交于點(diǎn)R.求證：PQ2=P的冪+Q的冪PR2=P的冪+R的冪又在PR上取點(diǎn)M，連CM,滿足∠PAC=∠CMR=∠C評(píng)注：這個(gè)結(jié)論十分重要，應(yīng)作為定理牢記。用本題結(jié)論可以很容易地證明2003國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的一道試題以及2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第一題。例三.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)H.且四邊對(duì)邊延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P,點(diǎn)O.求證：OH⊥PQ.（2003國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)）思路分析：本題角度關(guān)系相對(duì)缺乏，應(yīng)聯(lián)想運(yùn)用等差冪線定理證明。評(píng)注：這個(gè)結(jié)論十分重要，應(yīng)作為定理牢記。證明：由前面的結(jié)論P(yáng)H2=P的冪+H的冪QH2=Q的冪+H的冪則PH2-QH2=P的冪-Q的冪=（PO2-R2)-(QO2-R2)=PO2-QO2由等差冪線定理，OH⊥PQ.證畢證明：由前面的結(jié)論P(yáng)H2=P的冪+H的冪

思路分析：本題若不知前面的結(jié)論，證明會(huì)有相當(dāng)困難。但若在前兩題的基礎(chǔ)上，思考如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，不難想到用同一法和反證法處理。例四.已知銳角三角形ABC外心為O,K是邊BC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于M。求證：若OK⊥MN，則A,B,D,C四點(diǎn)共圓。（2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試）例四.已知銳角三角形ABC外心為O,K是邊BC上一點(diǎn)證明：假設(shè)A,B,C,D不共圓，并設(shè)AK交三角形ABC外接圓與D’連結(jié)CD’并延長(zhǎng)交AM延長(zhǎng)線與M’同樣得到N’連結(jié)M’N’。設(shè)AK延長(zhǎng)線交MN,M’N’與R,R’。由例二的結(jié)論，OK⊥M’N’.而已知OK⊥MN?！郙N∥M’N’.且有MR/RN=M’R’/R’N’證明：假設(shè)A,B,C,D不共圓，并設(shè)AK交三角形ABC外接圓三角形AMN中，AR,CM,BN交于一點(diǎn)。由賽瓦定理，AB/BM×MR/RN×NC/CA=1三角形AM’N’中，同理AB/BM’×M’R’/R’N’×N’C/CA=1兩式相除得到BM/BM’=CN/CN’三角形AMN中，AR,CM,BN交于一點(diǎn)。由賽瓦定理，兩式相再由比例的性質(zhì)BM/MM’=CN/NN’過(guò)B做MN平行線交AN于B’因三線平行而BM/BM’=B’N/NN’從而B’N=CN.B’,C重合即有BC∥MNOK⊥BC這將導(dǎo)致K為BC中點(diǎn)，矛盾。從而必有A,B,C,D四點(diǎn)共圓。再由比例的性質(zhì)這將導(dǎo)致K為BC中點(diǎn)，矛盾。從而必有A,B,C解析：易知NK，BC不平行。設(shè)三圓根軸(BC,NK,AM)交于點(diǎn)P，連結(jié)PO,AO,KM。設(shè)圓O半徑R。則由∠KMP=∠ANK=∠ACB得M,P,C,K四點(diǎn)共圓。下面來(lái)看幾道關(guān)于根軸根心的題目。例五.設(shè)三角形ABC的邊AB,AC上分別有N,K兩點(diǎn)，且N,K,C,B四點(diǎn)共圓。若三角形ABC,三角形ANK外接圓還交于異于A的點(diǎn)M。求證：AM⊥OM解析：易知NK，BC不平行。設(shè)三圓根軸(BC,NK,AM)交

由根軸及圓冪，有PM×PA=PC×PB=PO2-R2,AM×PA=AK×AC=AO2-R2兩式相減，并利用PA=PM+AM得PM2-AM2=PO2-AO2

即有AM⊥OM下面來(lái)看幾道關(guān)于根軸根心的題目。例五.設(shè)三角形ABC的邊AB,AC上分別有N,K兩點(diǎn)，且N,K,C,B四點(diǎn)共圓。若三角形ABC,三角形ANK外接圓還交于異于A的點(diǎn)M。求證：AM⊥OM由根軸及圓冪，有PM×PA=PC×PB=PO2-R2,下證明：如圖，設(shè)過(guò)S,T的切線與小圓根軸直線MN交于P(根心），連結(jié)PO，交ST于Q。若S,N,T共線，有PN×PM=PT2=PQ×PO,于是N,M,O,Q共圓，PO⊥ST。故OM⊥MN例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,T，求證OM⊥MN等價(jià)于S,N,T共線證明：如圖，設(shè)過(guò)S,T的切線與小圓根軸直線MN交于P(根心）

反之，若OM⊥MN,設(shè)ST與PM交于點(diǎn)N’.則由ST⊥PO知PN’×PM=PQ×PO=PT2=PN×PM故N與N’重合。證畢。例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,T，求證OM⊥MN等價(jià)于S,N,T共線例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分別為H1,H2.BE,CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)A.求證：A,H1,H2共線等價(jià)于E,B,C,D共圓。證明：設(shè)D在EO上投影為F,E在DO上投影為G，B在CO上投影為Q，C在BO上投影為P考慮以EB為直徑的圓O1(過(guò)G,Q)以CD為直徑的圓O2

（過(guò)F,P)由于H1對(duì)圓O1,O2的冪相等（DH1×H1F=EH1×H1G)，H1在兩圓根軸上。同理H2也在兩圓根軸上。。所以H1H2為兩圓根軸。例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分別為H1,H2.BE,CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)A.求證：A,H1,H2共線等價(jià)于E,B,C,D共圓。于是，H1,H2,A共線等價(jià)于A在兩圓之根軸上等價(jià)于AE×AB=AD×AC等價(jià)于E,B,C,D四點(diǎn)共圓。證畢。例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題例八.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。其邊AB，CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。AD,BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q。由點(diǎn)Q作圓的兩切線QE,QF。證明：P,E,F共線。證明：連QP并在QP上取點(diǎn)M使得B,C,M,P四點(diǎn)共圓則QE2=QC×QB=QM×QP①∵∠PMC=∠ABC=∠QDC∴Q,M,C,D四點(diǎn)共圓∴PC×PD=PM×PQ②最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題證明：連QP并在QP上取點(diǎn)M使最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題例八.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。其邊AB，CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。AD,BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q。由點(diǎn)Q作圓的兩切線QE,QF。證明：P,E,F共線。連PF交圓ABCD于E’做QG⊥PF于G則有PC×PD=PE’×PF③QC×QB=QF2④①+②并注意③④有QM×QP+PM×PQ=PQ2=QC×QB+PC×PD最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題連PF交圓ABCD于E’做Q最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題例八.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。其邊AB，CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。AD,BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q。由點(diǎn)Q作圓的兩切線QE,QF。證明：P,E,F共線。=QF2+PE’×PF∴PQ2-QF2=PE’×PF=(PG-GE’)PF⑤又PQ2-QF2=(PG2+QG2)-(QG2+GF2)=PG2-GF2=(PG-GF)(PG+GF)=(PG-GE)PF⑥比較⑤⑥得PE’=PG-GE’=PG-GE∴E=E’即有P,E,F共線。證畢最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題=QF2+PE’×PF通過(guò)以上兩例可以發(fā)現(xiàn)：很多情況根軸與根心并不是問(wèn)題證明的核心，而是起到轉(zhuǎn)化線段數(shù)量關(guān)系的作用。對(duì)于多圓相交（切）的問(wèn)題，應(yīng)嘗試用蒙日定理及切割線定理構(gòu)造，發(fā)現(xiàn)四點(diǎn)共圓。下面留兩個(gè)思考題。m為圓O外一條直線。OP⊥m，P在m上。Q為m上異于P的一點(diǎn)。QA,QB是圓的兩切線，PM,PN,分別與QA,QB垂直，M,N為垂足。直線MN與OP交于K.求證：K是不依賴于Q點(diǎn)位置的一定點(diǎn)。（提示：用Simson定理（見(jiàn)附））圓內(nèi)接四邊形ABCD內(nèi)有點(diǎn)P，且∠BPC=∠BAP+∠CDP.令E,F,G,分別為P到AB,AD,CD之垂足。求證：⊿FEG∽⊿PBC通過(guò)以上兩例可以發(fā)現(xiàn)：很多情況根軸與根心并不是問(wèn)題證明的核心附：平面幾何中的基本定理1.梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線）△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)A'、B'、C'，則A'、B'、C'共線的充要條件是

CB'/A'C·CB'/B'A·AC'/C'B=12.塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)）△ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)A'、B'、C'，則AA'、BB'、CC'三線平行或交于一點(diǎn)的充要條件是

BA'/A'C·CB'/BA'·AC'/C'B=1附：平面幾何中的基本定理1.梅涅勞斯(Menelaus)定理3.托勒密(Ptolemy)定理四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。4.西姆松(Simson)定理（西姆松線）從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。3.托勒密(Ptolemy)定理ありがとう！感謝聆聽(tīng)ありがとう！感謝聆聽(tīng)圓冪與根軸平面幾何講座之圓冪與根軸平面幾何講座之1.概念：圓的冪是表示平面上一點(diǎn)P與圓O的位置關(guān)系的一個(gè)量。定義：點(diǎn)P對(duì)圓O的冪=PO2-R22.圓冪定理圓冪定理實(shí)質(zhì)上是三個(gè)定理的統(tǒng)一概括：——切線定理，割線定理，以及相交弦定理一.圓冪1.概念：一.圓冪等差冪線定理：平面上到兩點(diǎn)間距離的平方差為定值的點(diǎn)的軌跡是一條垂直于該兩點(diǎn)連線的直線。該直線稱為等差冪線。反之，等差冪線上任一點(diǎn)到所對(duì)應(yīng)兩點(diǎn)距離的平方差為定值。二.等差冪線定理等差冪線定理：平面上到兩點(diǎn)間距離的平方差為定值的點(diǎn)的軌跡是一注1：等差冪線定理由同一法易證，本處略。注2：一般的，在證明角度關(guān)系較為缺乏，而線段數(shù)量關(guān)系較為豐富的垂直問(wèn)題，等差冪線定理是首選。但應(yīng)選擇構(gòu)造適當(dāng)?shù)牡仁疥P(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化而不應(yīng)陷于純粹的計(jì)算。注1：等差冪線定理由同一法易證，本處略。1.定義與定理：平面上到已知兩圓的冪相等點(diǎn)的軌跡是一條垂直于兩圓連心線的直線，稱之為根軸。根軸的本質(zhì)是等差冪線。*幾類特殊的根軸兩圓相交——根軸為相交弦所在直線兩圓外切——根軸為內(nèi)公切線兩圓內(nèi)切——根軸為公切線三.根軸1.定義與定理：平面上到已知兩圓的冪相等點(diǎn)的軌跡是一條垂直于蒙日定理：三圓彼此相交，則三條根軸相交于一點(diǎn)（三圓圓心不共線）或彼此平行（三圓圓心共線）。習(xí)慣上，稱三根軸的交點(diǎn)為根心四.蒙日定理與根心蒙日定理：三圓彼此相交，則三條根軸相交于一點(diǎn)（三圓圓心不共線

有相當(dāng)一部分幾何題用圓冪與根軸的性質(zhì)處理會(huì)意想不到地便捷。然而大多題目表面上不會(huì)涉及圓冪根軸。故應(yīng)發(fā)揮圓冪根軸“中轉(zhuǎn)站”的功能，將各類幾何論斷聯(lián)系起來(lái)。而不應(yīng)往相關(guān)方面生搬硬套。下面來(lái)看幾道習(xí)題。有相當(dāng)一部分幾何題用圓冪與根軸的性質(zhì)處理會(huì)意想例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B，交圓O2于C。E是線段AD上異于A,D的點(diǎn)。連結(jié)CE交圓O1于P,Q,連結(jié)BE交圓O2于MN.證明：1.P,M,Q,N共圓，記圓心O3.2.DO3⊥BC1.證明：由相交弦定理，ME×EN=AE×ED=QE×EP知P,M,Q,N共圓例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B，交圓O2于C。E是線段AD上異于A,D的點(diǎn)。連結(jié)CE交圓O1于P,Q,連結(jié)BE交圓O2于MN.證明：1.P,M,Q,N共圓，記圓心O3.2.DO3⊥BC2.設(shè)圓O3半徑為R.則B到圓O3的冪=BO32-R2=BM×BN=BD×BCC到圓O3的冪=CO32-R2=CP×CQ=CD×BC故BO32-CO32=BD×BC-CD×BC=(BD-CD)×BC=(BD-CD)(BD+CD)=BD2-CD2

所以DO3⊥BC例一.設(shè)AD是圓O1,圓O2的公共弦，過(guò)D的直線交圓O1于B解析：延長(zhǎng)PQ至N，使PQ×QN=BQ×QC

于是，∠PNC=∠PBC=∠PDA，∴Q,N,D,C四點(diǎn)共圓，PQ×PN=PC×PD

兩式相減有PQ2=PC×PD-BQ×QC=P的冪+Q的冪。例二：設(shè)P是圓O外一點(diǎn)，PAB,PCD是兩條切線，AD,BC交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)BD,AC交于點(diǎn)R.求證：PQ2=P的冪+Q的冪PR2=P的冪+R的冪解析：延長(zhǎng)PQ至N，使PQ×QN=BQ×QC例二：設(shè)P是圓O

又在PR上取點(diǎn)M，連CM,滿足∠PAC=∠CMR=∠CDB,于是又P,A,C,M共圓，M,C,D,R共圓。故有RM×RP=RC×RA,PM×PR=PC×PD,兩式相加即有PR2=P的冪+R的冪例二：設(shè)P是圓O外一點(diǎn)，PAB,PCD是兩條切線，AD,BC交于點(diǎn)Q，延長(zhǎng)BD,AC交于點(diǎn)R.求證：PQ2=P的冪+Q的冪PR2=P的冪+R的冪又在PR上取點(diǎn)M，連CM,滿足∠PAC=∠CMR=∠C評(píng)注：這個(gè)結(jié)論十分重要，應(yīng)作為定理牢記。用本題結(jié)論可以很容易地證明2003國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)的一道試題以及2010年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試第一題。例三.四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)H.且四邊對(duì)邊延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)P,點(diǎn)O.求證：OH⊥PQ.（2003國(guó)家集訓(xùn)隊(duì)）思路分析：本題角度關(guān)系相對(duì)缺乏，應(yīng)聯(lián)想運(yùn)用等差冪線定理證明。評(píng)注：這個(gè)結(jié)論十分重要，應(yīng)作為定理牢記。證明：由前面的結(jié)論P(yáng)H2=P的冪+H的冪QH2=Q的冪+H的冪則PH2-QH2=P的冪-Q的冪=（PO2-R2)-(QO2-R2)=PO2-QO2由等差冪線定理，OH⊥PQ.證畢證明：由前面的結(jié)論P(yáng)H2=P的冪+H的冪

思路分析：本題若不知前面的結(jié)論，證明會(huì)有相當(dāng)困難。但若在前兩題的基礎(chǔ)上，思考如何將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已解決的問(wèn)題，不難想到用同一法和反證法處理。例四.已知銳角三角形ABC外心為O,K是邊BC上一點(diǎn)（不是中點(diǎn)），D是線段AK延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，直線BD與AC交于點(diǎn)N，直線CD與AB交于M。求證：若OK⊥MN，則A,B,D,C四點(diǎn)共圓。（2010全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽加試）例四.已知銳角三角形ABC外心為O,K是邊BC上一點(diǎn)證明：假設(shè)A,B,C,D不共圓，并設(shè)AK交三角形ABC外接圓與D’連結(jié)CD’并延長(zhǎng)交AM延長(zhǎng)線與M’同樣得到N’連結(jié)M’N’。設(shè)AK延長(zhǎng)線交MN,M’N’與R,R’。由例二的結(jié)論，OK⊥M’N’.而已知OK⊥MN。∴MN∥M’N’.且有MR/RN=M’R’/R’N’證明：假設(shè)A,B,C,D不共圓，并設(shè)AK交三角形ABC外接圓三角形AMN中，AR,CM,BN交于一點(diǎn)。由賽瓦定理，AB/BM×MR/RN×NC/CA=1三角形AM’N’中，同理AB/BM’×M’R’/R’N’×N’C/CA=1兩式相除得到BM/BM’=CN/CN’三角形AMN中，AR,CM,BN交于一點(diǎn)。由賽瓦定理，兩式相再由比例的性質(zhì)BM/MM’=CN/NN’過(guò)B做MN平行線交AN于B’因三線平行而BM/BM’=B’N/NN’從而B’N=CN.B’,C重合即有BC∥MNOK⊥BC這將導(dǎo)致K為BC中點(diǎn)，矛盾。從而必有A,B,C,D四點(diǎn)共圓。再由比例的性質(zhì)這將導(dǎo)致K為BC中點(diǎn)，矛盾。從而必有A,B,C解析：易知NK，BC不平行。設(shè)三圓根軸(BC,NK,AM)交于點(diǎn)P，連結(jié)PO,AO,KM。設(shè)圓O半徑R。則由∠KMP=∠ANK=∠ACB得M,P,C,K四點(diǎn)共圓。下面來(lái)看幾道關(guān)于根軸根心的題目。例五.設(shè)三角形ABC的邊AB,AC上分別有N,K兩點(diǎn)，且N,K,C,B四點(diǎn)共圓。若三角形ABC,三角形ANK外接圓還交于異于A的點(diǎn)M。求證：AM⊥OM解析：易知NK，BC不平行。設(shè)三圓根軸(BC,NK,AM)交

由根軸及圓冪，有PM×PA=PC×PB=PO2-R2,AM×PA=AK×AC=AO2-R2兩式相減，并利用PA=PM+AM得PM2-AM2=PO2-AO2

即有AM⊥OM下面來(lái)看幾道關(guān)于根軸根心的題目。例五.設(shè)三角形ABC的邊AB,AC上分別有N,K兩點(diǎn)，且N,K,C,B四點(diǎn)共圓。若三角形ABC,三角形ANK外接圓還交于異于A的點(diǎn)M。求證：AM⊥OM由根軸及圓冪，有PM×PA=PC×PB=PO2-R2,下證明：如圖，設(shè)過(guò)S,T的切線與小圓根軸直線MN交于P(根心），連結(jié)PO，交ST于Q。若S,N,T共線，有PN×PM=PT2=PQ×PO,于是N,M,O,Q共圓，PO⊥ST。故OM⊥MN例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,T，求證OM⊥MN等價(jià)于S,N,T共線證明：如圖，設(shè)過(guò)S,T的切線與小圓根軸直線MN交于P(根心）

反之，若OM⊥MN,設(shè)ST與PM交于點(diǎn)N’.則由ST⊥PO知PN’×PM=PQ×PO=PT2=PN×PM故N與N’重合。證畢。例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,T，求證OM⊥MN等價(jià)于S,N,T共線例六.圓O1，圓O2相交于點(diǎn)MN,且分別于大圓O內(nèi)切于點(diǎn)S,例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分別為H1,H2.BE,CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)A.求證：A,H1,H2共線等價(jià)于E,B,C,D共圓。證明：設(shè)D在EO上投影為F,E在DO上投影為G，B在CO上投影為Q，C在BO上投影為P考慮以EB為直徑的圓O1(過(guò)G,Q)以CD為直徑的圓O2

（過(guò)F,P)由于H1對(duì)圓O1,O2的冪相等（DH1×H1F=EH1×H1G)，H1在兩圓根軸上。同理H2也在兩圓根軸上。。所以H1H2為兩圓根軸。例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形BOC垂心分別為H1,H2.BE,CD延長(zhǎng)后交于點(diǎn)A.求證：A,H1,H2共線等價(jià)于E,B,C,D共圓。于是，H1,H2,A共線等價(jià)于A在兩圓之根軸上等價(jià)于AE×AB=AD×AC等價(jià)于E,B,C,D四點(diǎn)共圓。證畢。例七.已知凸四邊形EBCD對(duì)角線交于O，三角形EOD，三角形最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題例八.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。其邊AB，CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。AD,BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q。由點(diǎn)Q作圓的兩切線QE,QF。證明：P,E,F共線。證明：連QP并在QP上取點(diǎn)M使得B,C,M,P四點(diǎn)共圓則QE2=QC×QB=QM×QP①∵∠PMC=∠ABC=∠QDC∴Q,M,C,D四點(diǎn)共圓∴PC×PD=PM×PQ②最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題證明：連QP并在QP上取點(diǎn)M使最后，再來(lái)看一道比較復(fù)雜的問(wèn)題例八.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓。其邊AB，CD延長(zhǎng)線交于點(diǎn)P。AD,BC延長(zhǎng)線交于點(diǎn)Q。由點(diǎn)Q作圓的兩切線QE,QF。證明：P,E,F共線。連PF交圓ABCD于E’做QG⊥PF于G則有PC×PD=PE’×PF③QC×QB=QF2④①+②