數(shù)學-第一部分-第四章-第2講-第2課時-等腰三角形與直角三角形配套課件

第2課時等腰三角形與直角三角形第2課時等腰三角形與直角三角形1

1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個底角相等的三角形是等腰三角形.

2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°；探索等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形. 1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的 2.2

3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；反之，到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上. 3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角 4.3

5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題. 5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)的實際4重合重合5(續(xù)表)三(續(xù)表)三6(續(xù)表)(續(xù)表)7(續(xù)表)互余一半一半(續(xù)表)互余一半一半8等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2015年江蘇宿遷)如圖4-2-23，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求證：∠C＝2∠D.圖4-2-23等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2015年江蘇宿遷)9

[思路分析]根據(jù)等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出結(jié)論.

證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D. [思路分析]根據(jù)等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)得出∵AD∥10

例2：(2014年浙江溫州)如圖4-2-24，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.(1)求∠F的度數(shù).(2)若CD＝2，求DF的長.圖4-2-24 例2：(2014年浙江溫州)如圖4-2-24，在等邊11[思路分析](1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形.∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.[思路分析](1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°12【試題精選】1.(2015年湖北黃石)如圖4-2-25，在等腰三角形ABC中，)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠ABD＝(

圖4-2-25A.36°B.54°C.18°D.64°答案：B【試題精選】)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠132.(2015年江蘇宿遷)若等腰三角形中有兩邊長分別為2和)B.12D.9或125，則這個三角形的周長為( A.9 C.7或9

答案：B2.(2015年江蘇宿遷)若等腰三角形中有兩邊長分別為2143.(2015年北京)如圖

4-2-26，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE＝∠BAD.圖4-2-26證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD.∴∠CBE＝∠BAD.3.(2015年北京)如圖4-2-26，在△ABC中，15

[名師點評]解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時，一定要分清頂角和底角、底邊和腰，適當情況下應該分類討論，找出正確答案.證明兩條線段、兩個角相等的常用方法：若它們在同一個三角形中，可利用角證邊或用邊證角；若它們在不同的三角形中，則通過證兩個三角形全等來實現(xiàn). [名師點評]解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時，一定要16角平分線與垂直平分線

例3：(2015年湖北荊州)如圖4-2-27，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于點D，交邊AC于點E.若△ABC與△EBC的周長分別是40cm,24cm，則AB＝________cm.圖4-2-27角平分線與垂直平分線 例3：(2015年湖北荊州)如圖417解析：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵△ABC的周長＝AB＋AC＋BC，△EBC的周長＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，∴△ABC的周長－△EBC的周長＝AB.∴AB＝40－24＝16(cm).答案：16[思想方法]運用轉(zhuǎn)化思想是解決本題的關(guān)鍵，即利用垂直平分線的性質(zhì)將△EBC的周長轉(zhuǎn)化為AC＋BC.解析：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.△EBC18例4：(2015年廣西)如圖

4-2-28，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，且BC＝4，DE＝2，則△BCD的面積是________.圖4-2-28例4：(2015年廣西)如圖4-2-28，在△ABC19解析：∵CD是∠ACB的角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF＝2.答案：4[易錯陷阱]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，注意必須是垂直距離，否則不成立.解析：∵CD是∠ACB的角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC20

【試題精選】

4.(2015年四川達州)如圖

4-2-29，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF.)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF的度數(shù)為(

圖4-2-29A.48°B.36°C.30°D.24°答案：A 【試題精選】)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF21

5.(2015年山東聊城)如圖

4-2-30，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線.若AB＝6，則點D到AB的距離是________.

圖4-2-30 5.(2015年山東聊城)如圖4-2-30，在△ABC22勾股定理及其應用

例5：(2014年湖南湘潭)如圖4-2-31，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道.為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設(shè)想過C點作直線AB的垂線l，過點B作一直線(在山的旁邊經(jīng)過)，與l相交于D點，經(jīng)測量∠ABD＝135°，BD＝800米，求在直圖4-2-31勾股定理及其應用 例5：(2014年湖南湘潭)如圖4-23

[思路分析]首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米進行計算即可.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°.∴∠D＝45°.∴CB＝CD.在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，答：在直線l上距離D點566米的C處開挖. [思路分析]首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾解24

[思想方法]在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用. [思想方法]在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與25【試題精選】

6.(2014年湖北黃石)小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖4-2-32，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：【試題精選】 6.(2014年湖北黃石)小明聽說“武黃城際26

(2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由.(不計候車時間)圖4-2-32 (2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的27解：(1)過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E(如圖D22).圖D22解：(1)過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E(如圖D228

∴選擇先乘坐城際列車，再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方案.

[名師點評]解決直角三角形問題的關(guān)鍵：一是能熟練運用勾股定理及其逆定理分析與解決實際問題；二是解題時能靈活運用直角三角形的一些性質(zhì)，如兩銳角之間的關(guān)系、斜邊與斜邊上中線的關(guān)系；三是當幾何問題中給出了線段長度時，往往要構(gòu)造直角三角形(如勾股數(shù)或添加輔助線將非直角三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形). ∴選擇先乘坐城際列車，再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方案.29圖4-2-33圖4-2-3330圖D23圖D23312.(2012年廣東)如圖4-2-34，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC

＝72°.(1)用直尺和圓規(guī)作∠ABC的平分線BD交AC于點D；(保留作圖痕跡，不要求寫作法)(2)在(1)中作出∠ABC的平分線BD后，求∠BDC的度數(shù).圖4-2-342.(2012年廣東)如圖4-2-34，在△ABC中，AB＝32解：(1)如圖D24，①以點B為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交AB，BC于點E，F(xiàn)；圖D24弧相交于點G，連接BG交AC于點D即可.解：(1)如圖D24，①以點B為圓心，以任意長為半徑畫33(2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∴∠A＝180°－2∠ABC＝180°－144°＝36°.∵BD是∠ABC的平分線，∵∠BDC是△ABD的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°.(2)∵在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝72°，∵∠B34

3.(2015年廣東)如圖4-2-35，在邊長為6的正方形ABCD中，E是邊CD的中點，將△ADE沿AE對折至△AFE，延長EF交邊BC于點G，連接AG.求BG的長.圖4-2-35 3.(2015年廣東)如圖4-2-35，在邊長為635數(shù)學-第一部分-第四章-第2講-第2課時-等腰三角形與直角三角形[配套課件]36∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x.∵E為CD的中點，∴CE＝EF＝DE＝3.∴EG＝3＋x.∴在Rt△CEG中，32＋(6－x)2＝(3＋x)2.解得x＝2.∴BG＝2.∴BG＝FG.設(shè)BG＝FG＝x，則GC＝6－x.∵E為37第2課時等腰三角形與直角三角形第2課時等腰三角形與直角三角形38

1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個底角相等；底邊上的高線、中線及頂角平分線重合.探索并掌握等腰三角形的判定定理：有兩個底角相等的三角形是等腰三角形.

2.探索等邊三角形的性質(zhì)定理：等邊三角形的各角都等于60°；探索等邊三角形的判定定理：三個角都相等的三角形(或有一個角是60°的等腰三角形)是等邊三角形. 1.理解等腰三角形的有關(guān)概念，探索并證明等腰三角形的 2.39

3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；反之，角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點在角的平分線上.

4.理解線段垂直平分線的概念，探索并證明線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等；反之，到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上. 3.探索并證明角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角 4.40

5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)定理：直角三角形的兩個銳角互余，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形. 6.探索勾股定理及其逆定理，并能運用它們解決一些簡單的實際問題. 5.了解直角三角形的概念，探索并掌握直角三角形的性質(zhì)的實際41重合重合42(續(xù)表)三(續(xù)表)三43(續(xù)表)(續(xù)表)44(續(xù)表)互余一半一半(續(xù)表)互余一半一半45等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2015年江蘇宿遷)如圖4-2-23，已知AB＝AC＝AD，且AD∥BC，求證：∠C＝2∠D.圖4-2-23等腰(邊)三角形的性質(zhì)與判定例1：(2015年江蘇宿遷)46

[思路分析]根據(jù)等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)得出∠ABD＝∠CBD＝∠D，∠C＝∠ABC，由此可得出結(jié)論.

證明：∵AB＝AC＝AD，∴∠C＝∠ABC，∠D＝∠ABD，

∴∠ABC＝∠CBD＋∠D.∵AD∥BC，∴∠CBD＝∠D.∴∠ABC＝∠D＋∠D＝2∠D.又∵∠C＝∠ABC，∴∠C＝2∠D. [思路分析]根據(jù)等腰三角形的定義和平行線的性質(zhì)得出∵AD∥47

例2：(2014年浙江溫州)如圖4-2-24，在等邊△ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F.(1)求∠F的度數(shù).(2)若CD＝2，求DF的長.圖4-2-24 例2：(2014年浙江溫州)如圖4-2-24，在等邊48[思路分析](1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解.(2)易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解.解：(1)∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝60°.∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.(2)∵∠ACB＝60°，∠EDC＝60°，∴△EDC是等邊三角形.∴ED＝DC＝2.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝4.[思路分析](1)根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC＝∠B＝60°49【試題精選】1.(2015年湖北黃石)如圖4-2-25，在等腰三角形ABC中，)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠ABD＝(

圖4-2-25A.36°B.54°C.18°D.64°答案：B【試題精選】)AB＝AC，BD⊥AC，∠ABC＝72°，則∠502.(2015年江蘇宿遷)若等腰三角形中有兩邊長分別為2和)B.12D.9或125，則這個三角形的周長為( A.9 C.7或9

答案：B2.(2015年江蘇宿遷)若等腰三角形中有兩邊長分別為2513.(2015年北京)如圖

4-2-26，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點E.求證：∠CBE＝∠BAD.圖4-2-26證明：∵AB＝AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC，∴∠CBE＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90°，∠CAD＝∠BAD.∴∠CBE＝∠BAD.3.(2015年北京)如圖4-2-26，在△ABC中，52

[名師點評]解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時，一定要分清頂角和底角、底邊和腰，適當情況下應該分類討論，找出正確答案.證明兩條線段、兩個角相等的常用方法：若它們在同一個三角形中，可利用角證邊或用邊證角；若它們在不同的三角形中，則通過證兩個三角形全等來實現(xiàn). [名師點評]解決與等腰三角形相關(guān)的計算問題時，一定要53角平分線與垂直平分線

例3：(2015年湖北荊州)如圖4-2-27，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線交邊AB于點D，交邊AC于點E.若△ABC與△EBC的周長分別是40cm,24cm，則AB＝________cm.圖4-2-27角平分線與垂直平分線 例3：(2015年湖北荊州)如圖454解析：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.∵△ABC的周長＝AB＋AC＋BC，△EBC的周長＝BE＋EC＋BC＝AE＋EC＋BC＝AC＋BC，∴△ABC的周長－△EBC的周長＝AB.∴AB＝40－24＝16(cm).答案：16[思想方法]運用轉(zhuǎn)化思想是解決本題的關(guān)鍵，即利用垂直平分線的性質(zhì)將△EBC的周長轉(zhuǎn)化為AC＋BC.解析：∵DE是AB的垂直平分線，∴AE＝BE.△EBC55例4：(2015年廣西)如圖

4-2-28，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于點D，DE⊥AC于點E，DF⊥BC于點F，且BC＝4，DE＝2，則△BCD的面積是________.圖4-2-28例4：(2015年廣西)如圖4-2-28，在△ABC56解析：∵CD是∠ACB的角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC，∴DE＝DF＝2.答案：4[易錯陷阱]角平分線上的點到角的兩邊的距離相等，注意必須是垂直距離，否則不成立.解析：∵CD是∠ACB的角平分線，DE⊥AC，DF⊥BC57

【試題精選】

4.(2015年四川達州)如圖

4-2-29，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂線交BC于點E，交BD于點F，連接CF.)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF的度數(shù)為(

圖4-2-29A.48°B.36°C.30°D.24°答案：A 【試題精選】)若∠A＝60°，∠ABD＝24°，則∠ACF58

5.(2015年山東聊城)如圖

4-2-30，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BD是∠ABC的平分線.若AB＝6，則點D到AB的距離是________.

圖4-2-30 5.(2015年山東聊城)如圖4-2-30，在△ABC59勾股定理及其應用

例5：(2014年湖南湘潭)如圖4-2-31，修公路遇到一座山，于是要修一條隧道.為了加快施工進度，想在小山的另一側(cè)同時施工.為了使山的另一側(cè)的開挖點C在AB的延長線上，設(shè)想過C點作直線AB的垂線l，過點B作一直線(在山的旁邊經(jīng)過)，與l相交于D點，經(jīng)測量∠ABD＝135°，BD＝800米，求在直圖4-2-31勾股定理及其應用 例5：(2014年湖南湘潭)如圖4-60

[思路分析]首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾股定理可得CD2＋BC2＝BD2，然后再代入BD＝800米進行計算即可.解：∵CD⊥AC，∴∠ACD＝90°.∵∠ABD＝135°，∴∠DBC＝45°.∴∠D＝45°.∴CB＝CD.在Rt△DCB中，CD2＋BC2＝BD2，答：在直線l上距離D點566米的C處開挖. [思路分析]首先證明△BCD是等腰直角三角形，再根據(jù)勾解61

[思想方法]在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與方程的結(jié)合是解決實際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖.領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應用. [思想方法]在應用勾股定理解決實際問題時，勾股定理與62【試題精選】

6.(2014年湖北黃石)小明聽說“武黃城際列車”已經(jīng)開通，便設(shè)計了如下問題：如圖4-2-32，以往從黃石A坐客車到武昌客運站B，現(xiàn)在可以在A坐城際列車到武漢青山站C，再從青山站C坐市內(nèi)公共汽車到武昌客運站B.設(shè)AB＝80km，BC＝20km，∠ABC＝120°.請你幫助小明解決以下問題：【試題精選】 6.(2014年湖北黃石)小明聽說“武黃城際63

(2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的平均速度為40km/h，城際列車的平均速度為180km/h，為了最短時間到達武昌客運站，小明應該選擇哪種乘車方案？請說明理由.(不計候車時間)圖4-2-32 (2)若客車的平均速度是60km/h，市內(nèi)的公共汽車的64解：(1)過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E(如圖D22).圖D22解：(1)過點C作AB的垂線，交AB的延長線于點E(如圖D265

∴選擇先乘坐城際列車，再坐市內(nèi)公共汽車的乘車方