函數(shù)的單調(diào)性 課件-高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版必修1

1.3函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的單調(diào)性

觀察下列各個(gè)函數(shù)的圖象，并說說它們分別反映了相應(yīng)函數(shù)的哪些變化規(guī)律：

1、觀察這三個(gè)圖象，你能說出圖象的特征嗎？2、隨x的增大，y的值有什么變化？觀察函數(shù)f(x)=x與圖像的升降變化，問它們各有什么特點(diǎn)？

由此你能得出什么結(jié)論？1、從左至右圖象上升還是下降

____? 2、在區(qū)間

________上，隨著x的增大，f(x)的值隨著

______．f(x)=x(-∞,+∞)增大上升f(x)=x2

函數(shù)的圖象在y軸的左側(cè)是下降的，右側(cè)是上升的,怎樣用x與f(x)數(shù)值的變化來定性分析(自然語言)?如何用函數(shù)符號(hào)來刻畫它的上升或下降規(guī)律(數(shù)學(xué)符號(hào)語言)?思考？1、在區(qū)間

____上，f(x)的值隨著x的增大而

__．2、在區(qū)間

_____上，f(x)的值隨著x的增大而

_____．

f(x)=x2(-∞,0][0,+∞)增大減小x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916…如何定義一個(gè)函數(shù)f(x)在某個(gè)區(qū)間D上為增函數(shù)？

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)．

1．增函數(shù)

根據(jù)函數(shù)在函數(shù)的圖象在y軸左側(cè)是下降的，類比增函數(shù)定義，由此你能概括出怎樣的結(jié)論？如何給出減函數(shù)的定義．

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果對(duì)于定義域I內(nèi)的某個(gè)區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2，當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)>f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)

．2．減函數(shù)

如果函數(shù)y=f(x)在某個(gè)區(qū)間上是增函數(shù)或是減函數(shù)，那么就說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間D叫做y=f(x)的單調(diào)區(qū)間.

函數(shù)的單調(diào)性定義

1、函數(shù)的單調(diào)性是在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上的性質(zhì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)；注意：2、必須是對(duì)于區(qū)間D內(nèi)的任意兩個(gè)自變量x1，x2；當(dāng)x1<x2時(shí)，總有f(x1)<f(x2)

或f(x1)>f(x2)

分別是增函數(shù)和減函數(shù).思考：1.如何由圖像看出函數(shù)單調(diào)遞增，遞減？例1、根據(jù)圖像說出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在每一單調(diào)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？

３.能否寫y=f(x)在[-5,-2)∪[1,3)是減函數(shù)？２.區(qū)間的公共端點(diǎn)如何處理？

例2、物理學(xué)中的玻意耳定律告訴我們，對(duì)于一定量的氣體，當(dāng)其體積V減小時(shí)，壓強(qiáng)p將增大。試用函數(shù)的單調(diào)性證明之。證明：根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)V1，V2是定義域(0，+∞)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù)，且V1<V2，則由V1，V2∈

(0，+∞)且V1<V2，得V1V2>0,V2-V1>0

所以，函數(shù)是減函數(shù).也就是說，當(dāng)體積V減少時(shí)，壓強(qiáng)p將增大.取值定號(hào)變形作差結(jié)論又k>0,于是總結(jié)：判斷函數(shù)單調(diào)性的方法步驟

1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式分解和配方）；4定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；5下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．

利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：練習(xí)32頁(yè)1、2、３、４。小結(jié)：１。通過增（減）函數(shù)概念的形成過程，你學(xué)到了什么？２。增（減）函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)？如何根據(jù)圖象劃分函數(shù)的單調(diào)性？３。怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？作業(yè)39頁(yè)１、２。復(fù)習(xí)回顧：1.增（減）函數(shù)定義的形成過程.3.用定義證明函數(shù)為增(減)函數(shù)的步驟利用定義證明函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性的一般步驟：1任取x1，x2∈D，且x1<x2；2作差f(x1)－f(x2)；3變形（通常是因式分解和配方）；4定號(hào)（即判斷差f(x1)－f(x2)的正負(fù)）；5下結(jié)論（即指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性）．2.函數(shù)單調(diào)性的定義.簡(jiǎn)單概括為：取值→作差→變形→定號(hào)→下結(jié)論

從左到右逐漸上升直觀認(rèn)識(shí)在區(qū)間D上單調(diào)遞增自然語言y隨x增大而增大數(shù)學(xué)符號(hào)任取x1,x2∈D當(dāng)x1<x2時(shí)，都有f(x1)<f(x2)思考？思考：畫出反比例函數(shù)y=1/x的圖象．

1.這個(gè)函數(shù)的定義域是什么？

2.它在定義域I上的單調(diào)性怎樣？證明你的結(jié)論．

探究：函數(shù)y=k/x的單調(diào)性.小結(jié)：1.函數(shù)的單調(diào)性一般是先根據(jù)圖象判斷，再利用定義證明2.通過觀察圖像，先對(duì)函數(shù)是否具有某種性質(zhì)作出猜想，然后通過邏輯推理，證明這種猜想的正確性。這是研究函數(shù)性質(zhì)的一種常用方法。1.3函數(shù)的基本性質(zhì)函數(shù)的最值畫出下列函數(shù)的草圖，并根據(jù)圖象解答下列問題：

1說出y=f(x)的單調(diào)區(qū)間，以及在各單調(diào)區(qū)間上的單調(diào)性；2指出圖象的最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，并說明它能體現(xiàn)函數(shù)的什么特征？

(1)(2)

oxyOxy

1．最大值

一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最大值

2．最小值一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿足：

（1）對(duì)于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，稱M是函數(shù)y=f(x)的最小值

2、函數(shù)最大（?。┲祽?yīng)該是所有函數(shù)值中最大（?。┑模磳?duì)于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．

注意：1、函數(shù)最大（?。┲凳紫葢?yīng)該是某一個(gè)函數(shù)值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；小結(jié)：函數(shù)的最值問題1.對(duì)于熟悉的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)等函數(shù)可以先畫出其圖象，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來求最值。2.對(duì)于不熟悉的函數(shù)或比較復(fù)雜的函數(shù)可以先畫出圖象，觀察其單調(diào)性，再用定義證明，然后利用單調(diào)性求出函數(shù)的最值．如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增，則函數(shù)y=f(x)在x=a處有最小值f(a),在x=b處有最大值f(b)；如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞減，在區(qū)間[a，b]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b)；

課堂練習(xí)1、函數(shù)f(x)=x2+4ax+2在區(qū)間(-∞，6]內(nèi)遞減，則a的取值范圍是()A、a≥3