九年級中考數(shù)學沖刺復習-23填空題提升必刷60題②

填空題提升必刷60題②一十四．平行四邊形的性質（共1小題）21．（2022?無錫模擬）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，點M、N在對角線BD上，且BM＝DN．求證：（1）△ABM≌△CDN；（2）AM∥CN．一十五．平行四邊形的判定與性質（共1小題）22．（2022?玄武區(qū)一模）在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點，連接EM，F(xiàn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為．一十六．菱形的判定（共3小題）23．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是（填寫滿足要求的所有條件的序號）．24．（2022?連云港一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當BD與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？請說明理由．25．（2022?南京一模）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．（1）證明：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）當?ABCD具備怎樣的條件時，四邊形EHFG是菱形？請直接寫出條件，無需說明理由．一十七．菱形的判定與性質（共1小題）26．（2022?常州一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，點E是AB的中點，連接EC，過點E作EF⊥AD，垂足為F，已知AD∥EC．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求線段EF的長．一十八．矩形的性質（共1小題）27．（2022?東?？h一模）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且使得，連接OE，CE．（1）求證：AD＝OE；（2）判斷四邊形ODEC的形狀，并說明理由．一十九．矩形的判定（共1小題）28．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，CF∥AB，CF與DE的延長線相交于點F，連接AF、CD．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形？為什么？二十．圓心角、弧、弦的關系（共1小題）29．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點F，D，G，且D是的中點．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當DF∥AC時，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．二十一．直線與圓的位置關系（共1小題）30．（2022?邗江區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN經(jīng)過點C，過點B作BD⊥MN于點D，∠ABC＝∠CBD．（1）試判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半徑．二十二．切線的判定與性質（共2小題）31．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，直線l過點C，AD⊥l，交⊙O于點F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當AD＝4cm，BE＝1.5cm時，⊙O的半徑為cm．32．（2022?海陵區(qū)一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的直線交AB延長線于點D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結論．你選擇的條件是，結論是（只要填寫序號）．判斷結論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長度．二十三．作圖—復雜作圖（共3小題）33．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個等腰三角形ABC（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．（1）△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；（2）△ABC的腰長為a，腰上的高為h．34．（2022?邳州市一模）如圖，在?ABCD中，AB＜BC．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BAD的平分線交BC于點E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，連接EF，證明四邊形ABEF是菱形．35．（2022?無錫一模）如圖，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出一個圓，使圓心O在AC上，且與AB、BC所在直線相切．（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注）（2）在上題中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半徑．二十四．作圖—應用與設計作圖（共1小題）36．（2022?秦淮區(qū)一模）圖①是2022年北京冬季奧運會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館，別名“雪飛天”．我們畫出一個與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長線上一點，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）二十五．旋轉的性質（共1小題）37．（2022?高郵市模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，∠APB＝90°，將Rt△APB繞點A逆時針方向旋轉90°得到△ADQ，QD、BP的延長線相交于點E．（1）判斷四邊形APEQ的形狀，并說明理由；（2）若正方形ABCD的邊長為10，DE＝2，求BE的長．二十六．作圖-旋轉變換（共1小題）38．（2022?無錫模擬）如圖，已知線段OA在平面直角坐標系中，O是原點．（1）將OA繞點O順時針旋轉60°得到OA'，過點A作A'B⊥x軸，垂足為B．請在圖中用不含刻度的直尺和圓規(guī)分別作出OA′、A′B．（2）若A（﹣2，6），則△OA'B的面積是．二十七．幾何變換綜合題（共1小題）39．（2022?邗江區(qū)一模）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接BD，CE交于點F．①的值為；②∠BFC的度數(shù)為°；【類比探究】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，連接CE交BD的延長線于點F．計算的值及∠BFC的度數(shù)；【實際應用】在（2）的條件下，將△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉，CE，BD所在直線交于點F，若AE＝1，AC＝，請直接寫出當點D與點F重合時BD的長．二十八．相似三角形的判定與性質（共2小題）40．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，在正方形ABCD中，E是BD上一點，過B、C、E三點的⊙O與CD相交于點F，連接AE、BF．（1）求證：△ADE∽△BDF；（2）當BE＝AB時，求證：直線AE是⊙O的切線．41．（2022?邗江區(qū)一模）如圖，在矩形ABCD中，點E、F是對角線AC上的兩點，AF＝CE．（1）試判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由；（2）若BE⊥AC，BF＝10，BE＝6，求線段CF的長．【參考答案】一十四．平行四邊形的性質（共1小題）21．（2022?無錫模擬）如圖，已知四邊形ABCD為平行四邊形，點M、N在對角線BD上，且BM＝DN．求證：（1）△ABM≌△CDN；（2）AM∥CN．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC，∴∠ABM＝∠CDN，在△ABM與△CDN中，，∴△ABM≌△CDN（SAS）；（2）證明：∵△ABM≌△CDN，∴∠AMB＝∠CND，∴AM∥CN．一十五．平行四邊形的判定與性質（共1小題）22．（2022?玄武區(qū)一模）在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，連接BF，DE，M，N分別是BF，DE的中點，連接EM，F(xiàn)N．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形；（2）若AB＝12，EM＝EN＝5，則四邊形ABCD的面積為96．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB＝DC，AB∥DC．∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點，∴BE＝AB，DF＝DC，∴BE＝DF，∵BE∥DF∴四邊形BFDE是平行四邊形；（2）解：連接EF，∵四邊形BFDE是平行四邊形，∴DE＝BF，∵M，N分別是BF，DE的中點，∴EN＝DN＝BM＝FM＝BF，∵EM＝EN＝5，∴EM＝BF，∴∠BEF＝90°，BF＝2EM＝10，∵AB＝12，∴BE＝6，∴EF＝＝8，∴四邊形ABCD的面積為AB?EF＝12×8＝96，故答案為：96．一十六．菱形的判定（共3小題）23．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，在四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，連接AE，AF，已知△ABE≌△ADF．（1）若AD∥BC，求證：四邊形ABCD是菱形；（2）以下條件：①∠BAD＝∠BCD；②AB＝CD；③BC＝CD．如果用其中的一個替換（1）中的“AD∥BC”，也可以證明四邊形ABCD是菱形，那么可以選擇的條件是①②（填寫滿足要求的所有條件的序號）．【解析】（1）證明：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵AD∥BC，∴∠C+∠D＝180°．∴∠C+∠B＝180°．∴AB∥CD．∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．（2）解：∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵①∠BAD＝∠BCD，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．∵△ABE≌△ADF，∴∠B＝∠D，AB＝AD．∵②AB＝CD，∴AD＝CD，∴AD＝BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形．又∵AB＝AD，∴四邊形ABCD是菱形．故答案為：①②．24．（2022?連云港一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，點E，F(xiàn)分別在BD和DB的延長線上，且DE＝BF，連接AE，CF．（1）求證：△ADE≌△CBF；（2）連接AF，CE．當BD與AC滿足什么條件時，四邊形AFCE是菱形？請說明理由．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴∠ADB＝∠CBD，∴∠ADE＝∠CBF，在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SAS）；（2）解：當AC⊥BD時，四邊形AFCE是菱形，理由如下：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB＝OD，∴AC⊥BD，∵△ADE≌△CBF，∴AE＝CF，∠AED＝∠CFB，∴AE∥CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，∵AC⊥BD，∴?AFCE是菱形．25．（2022?南京一模）如圖，在?ABCD中，E、F分別是AB、CD的中點，AF與DE相交于點G，CE與BF相交于點H．（1）證明：四邊形EHFG是平行四邊形；（2）當?ABCD具備怎樣的條件時，四邊形EHFG是菱形？請直接寫出條件，無需說明理由．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB＝CD，∵E、F分別是AB、CD的中點，∴AE＝AB，CF＝CD，∴AE＝CF，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴AF∥CE．同理：DE∥BF，∴四邊形EHFG是平行四邊形；（2）解：當?ABCD是矩形時，四邊形EHFG是菱形．理由如下：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠DCB＝90°，∵E、F分別是AB、CD的中點，∴EE＝AB，CF＝CD，∴BE＝CF，在△EBC與△FCB中，，∴△EBC≌△FCB（SAS），∴CE＝BF，∠ECB＝∠FBC，∴BH＝CH，∴CE﹣CH＝BF＝BH，即EH＝FH，∴平行四邊形EHFG是菱形．一十七．菱形的判定與性質（共1小題）26．（2022?常州一模）如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB＝90°，AB∥CD，點E是AB的中點，連接EC，過點E作EF⊥AD，垂足為F，已知AD∥EC．（1）求證：四邊形AECD是菱形；（2）若AB＝25，BC＝15，求線段EF的長．【解析】（1）證明：AB∥CD，AD∥EC，∴四邊形AECD是平行四邊形，∵∠ACB＝90°，點E是AB的中點，∴CE＝AB＝AE，∴平行四邊形AECD是菱形；（2）解：∵∠ACB＝90°，AB＝25，BC＝15，∴AC＝＝＝20，∵點E是AB的中點，∴S△ABC＝2S△ACE，由（1）得：AE＝AB＝，四邊形AECD是菱形，∴AD＝AE＝，∴S菱形AECD＝2S△ACE，∴S菱形AECD＝S△ABC，∵EF⊥AD，∴AD?EF＝BC?AC，即EF＝×15×20，解得：EF＝12，即線段EF的長為12．一十八．矩形的性質（共1小題）27．（2022?東?？h一模）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，過點D作DE∥AC，且使得，連接OE，CE．（1）求證：AD＝OE；（2）判斷四邊形ODEC的形狀，并說明理由．【解析】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD，，OA＝OB＝OC＝OD．∵DE∥AC，DE＝AC，∴DE∥AO，DE＝AO．∴四邊形ADEO是平行四邊形．∴AD＝OE；（2）解：四邊形ODEC是菱形．理由如下：∵DE∥AO，DE＝AO．∴DE∥OC，DE＝OC．∴四邊形ODEC是平行四邊形．∵OC＝OD，∴四邊形ODEC是菱形．一十九．矩形的判定（共1小題）28．（2022?秦淮區(qū)校級模擬）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，AC的中點，CF∥AB，CF與DE的延長線相交于點F，連接AF、CD．（1）求證：四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形？為什么？【解析】（1）證明：∵E是AC的中點，∴AE＝CE，∵CF∥AB，∴∠DAE＝∠FCE，∵∠AED＝∠CEF，∴△AED≌△CEF（ASA），∴AD＝CF，∵AD∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形；（2）當AC＝BC時，平行四邊形ADCF是矩形．理由：在△ABC中，D、E分別是AB，AC邊上的中點，∴AE＝EC，∵EF＝DE，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵AC＝BC，AC＝DF，∴DC⊥AB，∴平行四邊形ADCF是矩形．二十．圓心角、弧、弦的關系（共1小題）29．（2022?玄武區(qū)一模）如圖，在△ABC中，E是BC邊上的點，以AE為直徑的⊙O與AB，BC，AC分別交于點F，D，G，且D是的中點．（1）求證AB＝AC；（2）連接DF，當DF∥AC時，若AB＝10，BC＝12，求CE的長．【解析】（1）證明：連接AD，∵AE是⊙O的直徑，∴∠EDA＝90°，∵D是的中點，∴＝，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAD＝90°，∠C+∠CAD＝90°，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC；（2）解：連接DF，DG．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵AB＝10，BC＝12，∴AC＝10，CD＝6，由勾股定理得：AD＝＝8，∵DF∥AC，∴＝，∴BF＝FA，在Rt△ADB中，AB＝10，BF＝FA，∴DG＝DF＝AB＝5，∴DG＝DF＝5，∵∠C＝∠C，∠CDG＝∠CAE，∴△AEC∽△DGC，∴＝，即＝，解得：AE＝，在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AE＝，AD＝8，∴DE＝＝，∴EC＝CD﹣DE＝．二十一．直線與圓的位置關系（共1小題）30．（2022?邗江區(qū)一模）如圖，AB是⊙O的直徑，BC是⊙O的弦，直線MN經(jīng)過點C，過點B作BD⊥MN于點D，∠ABC＝∠CBD．（1）試判斷直線MN與⊙O的位置關系，并說明理由；（2）若BC＝10，CD＝2，求⊙O的半徑．【解析】解：（1）直線MN與⊙O相切，理由：連接OC，如圖所示∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠ABC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥MN，∴OC⊥MN，∵OC為半徑，∴MN是⊙O的切線；（2）連接AC，在Rt△BCD中，BC＝10，CD＝2，∴BD＝＝4，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠ABC＝∠CBD，∴△ABC∽△CBD，∴＝，即＝，∴AB＝5，∴⊙O的半徑是．二十二．切線的判定與性質（共2小題）31．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，直線l過點C，AD⊥l，交⊙O于點F，垂足為D，BE⊥l，垂足為E，且＝．（1）求證：l與⊙O相切；（2）當AD＝4cm，BE＝1.5cm時，⊙O的半徑為cm．【解析】（1）證明：連接OC．BF，∵＝，OC是⊙O的半徑，∴OC⊥BF，∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB＝90°，即AF⊥BF，∵AD⊥l，∴BF∥DE，∴OC⊥DE，∵OC是⊙O的半徑，∴DE是⊙O的切線，即直線l是⊙O的切線；（2）∵OC⊥DE，AD⊥DE，BE⊥DE，∴OC∥AD∥BE，∵OA＝OB，∴DC＝EC，∴OC是梯形ABED的中位線，∴OC＝（AD+BE）＝（4+1.5）＝，故答案為：．32．（2022?海陵區(qū)一模）已知：如圖，AB是⊙O的直徑，AC是⊙O的弦，過點C的直線交AB延長線于點D，給出下列信息：①∠A＝30°；②CD是⊙O的切線；③OB＝BD．（1）請在上述3條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結論．你選擇的條件是①②，結論是③（只要填寫序號）．判斷結論是否正確，并說明理由；（2）在（1）的條件下，若CD＝3，求的長度．【解析】解：（1）選擇的條件是①②，結論是③，理由：連接OC，∵∠A＝30°，∴∠COB＝60°，∵CD是⊙O的切線；∴∠OCD＝90°，∴∠D＝30°，∴OC＝OD，∵OB＝OC＝OD，∴OB＝BD，故答案為：①②，③；（2）在Rt△OCD中，∵CD＝3，∠COD＝60°，∴OC＝CD＝3，∴的長度為＝π．二十三．作圖—復雜作圖（共3小題）33．（2022?秦淮區(qū)一模）如圖，已知線段a，h，用直尺和圓規(guī)按下列要求分別作一個等腰三角形ABC（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）．（1）△ABC的底邊長為a，底邊上的高為h；（2）△ABC的腰長為a，腰上的高為h．【解析】解：（1）如圖1中，△ABC（AB＝AC）為所求．（2）如圖2中，△ABC（AB＝AC）為所求．34．（2022?邳州市一模）如圖，在?ABCD中，AB＜BC．（1）用尺規(guī)完成以下基本作圖：作∠BAD的平分線交BC于點E，在DA上截取DF，使DF＝CE（保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）在（1）所作的圖形中，連接EF，證明四邊形ABEF是菱形．【解析】（1）解：如圖．射線AE，線段DF即為所求；（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥CB，∴∠BEA＝∠EAD，∵AE平分∠ABD，∴∠BAE＝∠EAD，∴∠BAE＝∠BEA，∴AB＝BE，∵BC＝AD，CE＝DF，∴BE＝AF，∵BE∥AF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∵BA＝BE，∴四邊形ABEF是菱形．35．（2022?無錫一模）如圖，已知Rt△ABC（∠C＝90°）．（1）請利用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作出一個圓，使圓心O在AC上，且與AB、BC所在直線相切．（注：不寫作法，保留作圖痕跡，對圖中涉及到的點用字母進行標注）（2）在上題中，若已知AC＝5，BC＝12，求出所作⊙O的半徑．【解析】解：（1）如圖，⊙O即為所作；（2）過O點作OD⊥AB于D，如圖，設⊙O的半徑為r，∴BA為⊙O的切線，∴OC＝OD＝r，∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，∴AB＝＝13．∵∠ACB＝∠ODA＝90°，∠A＝∠A，∴△AOD∽△ABC，∴，即，解得．即⊙O的半徑為．二十四．作圖—應用與設計作圖（共1小題）36．（2022?秦淮區(qū)一模）圖①是2022年北京冬季奧運會自由式滑雪大跳臺和單板滑雪大跳臺的比賽場館，別名“雪飛天”．我們畫出一個與它類似的示意圖②，其中出發(fā)區(qū)EF、起跳區(qū)CD都與地面AB平行．助滑坡DE與著陸坡AC的長度之和為80m．已知EF到AB的距離是CD到AB的距離的3倍，∠A＝30°，M為CD延長線上一點，∠EDM＝37°．求EF到AB的距離．（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75．）【解析】解：如圖，作CP⊥AB，垂足為P，作EQ⊥AB，垂足為Q，并交CD延長線于點N．根據(jù)題意，得四邊形CPQN是矩形．∴CP＝NQ．設CP的長為xm，則NQ＝xm，EN＝3x﹣x＝2x（m），在Rt△ACP中，∠A＝30°，∵sin30°＝，∴AC＝＝＝2x，在Rt△DEN中，∠EDN＝37°，∵sin37°＝，∴DE＝＝≈x，∵AC+DE＝80，∴2x+x＝80，解得x＝15，3x＝45．所以EF到AB的距離為45m．二十五．旋轉的性質（共1小題）37．（2022?高郵市模擬）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，∠APB＝90°，將Rt△APB繞點A逆時針方向旋轉90°得到△ADQ，QD、BP的延長線相交于點E．（1）判斷四邊形APEQ的形狀，并說明理由；（2）若正方形ABCD的邊長為10，DE＝2，求BE的長．【解析】解：（1）四邊形APEQ是正方形，理由如下：∵將Rt△APB繞點A逆時針方向旋轉90°得到△ADQ，∴AP＝AQ，∠PAQ＝90°，∠Q＝∠APB＝90°，PB＝QD，∴四邊形APEQ是矩形，又∵AP＝QA，∴四邊形APEQ是正方形；（2）∵四邊形APEQ是正方形，∴QE＝AQ，∵AD2＝QD2+AQ2，∴100＝（AQ﹣2）2+AQ2，∴AQ＝8，（負值舍去），∴PE＝8，QD＝6＝BP，∴BE＝8+6＝14．二十六．作圖-旋轉變換（共1小題）38．（2022?無錫模擬）如圖，已知線段OA在平面直角坐標系中，O是原點．（1）將OA繞點O順時針旋轉60°得到OA'，過點A作A'B⊥x軸，垂足為B．請在圖中用不含刻度的直尺和圓規(guī)分別作出OA′、A′B．（2）若A（﹣2，6），則△OA'B的面積是4+3．【解析】解：（1）如圖，線段OA′，直線A′B即為所求；（2）過點A作AM⊥x軸于點M，過點O作OG⊥OA交AA′的延長線于點G．過點G作GN⊥x軸于點N．∵A（﹣2，6），∴OM＝2，AM＝6，∵∠AMO＝∠AOG＝∠ONG＝90°，∴∠AOM+∠GON＝90°，∠GON+∠OGN＝90°，∴∠AOM＝∠OGN，∴△AMO∽△ONG，∴＝＝＝，∴ON＝6，GN＝2，∴G（6，2），∵∠A′OG＝∠A′GO＝30°，∴A′O＝A′G＝A′A，∴A（3﹣1，3+），∴S△A′OB＝×（3﹣1）×（3+）＝4+3．故答案為：4+3．二十七．幾何變換綜合題（共1小題）39．（2022?邗江區(qū)一模）【操作發(fā)現(xiàn)】如圖1，△ABC和△ADE是等邊三角形，連接BD，CE交于點F．①的值為1；②∠BFC的度數(shù)為60°；【類比探究】如圖2，在△ABC和△ADE中，∠ACB＝∠AED＝90°，AC＝BC，AE＝DE，連接CE交BD的延長線于點F．計算的值及∠BFC的度數(shù)；【實際應用】在（2）的條件下，將△ADE繞點A在平面內(nèi)旋轉，CE，BD所在直線交于點F，若AE＝1，AC＝，請直接寫出當點D與點F重合時BD的長．【解析】解：【操作發(fā)現(xiàn)】∵△ABC和△ADE是等邊三角形，∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∴∠CAE＝∠BAD，∴△CAE≌△BAD（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AOE＝∠BOC，∴∠CFB＝∠BAC＝60°，∴，∠BFC＝60°，故答案為：①1；②60；【類比探究】∵△ABC和