第25講建構函數(shù)模型的應用性問題

數(shù)學高考綜合能力題選講25建構函數(shù)模型的應用性問題100080北京中國人民大學附中梁麗平題型展望應用題是高考觀察的重點，也是考生得分的難題，近來幾年來該類試題的特點日趨鮮亮：1.應用題的信息本源真實可靠；2.應用題的個數(shù)明顯在增加；3.側重觀察學生動腦、著手能力及應用的能力(如2002年文科22題)。從高考應用題來看，涉及函數(shù)、數(shù)列、不等式等高中主要板塊的內(nèi)容，是歷年高考命題的熱點和重點．解答函數(shù)型應用題，一般先從建立函數(shù)的解析表達式下手，經(jīng)過研究函數(shù)的性質獲取解答．因此，這類問題的難點一般有兩個：一是解析式的建立，二是數(shù)學知識的靈便應用．模范選講例1．某公司為幫助還有26.8萬元無息貸款沒有償還的殘疾人商店，萬元將該商店改建成經(jīng)營狀況優(yōu)異的某栽花銷品專賣店，并約定用該店q經(jīng)營的收益漸漸償還債務(全部債務60均不計利息)．已知該栽花銷品的進價為每件40元；該店每個月銷售量q（百件）與銷售價p（元／件）之間的關系用右圖中的一條折線（實線）表示；職工每人每個月薪水為600元，該店應交付24的其余花銷為每個月13200元．1（Ⅰ）若當銷售價p為52元／件時，該店正好出入平衡，求該店的職4058工人數(shù)；（Ⅱ）若該店只安排40名職工，則該店最早可在幾年后還清全部債務，此時每件花銷品的價格定為多少元？

借出2081p講解本題題目的篇幅較長，所給條件零散紛亂，為此，不但需要劃分段落層次，弄清每一層次獨立的含義和相互間的關系，更需要抓住矛盾的主要方面．由題目的問題找到重點詞——“出入平衡”、“還清全部債務”，不難想到，均與“收益”相關．從閱讀和以上解析，可以達成我們對題目的整體理解，明確這是一道函數(shù)型應用題．為此，第一應該建立收益與職工人數(shù)、月銷售量q、單位商品的銷售價之間的關系，爾后，經(jīng)過研究解析式，來對問題作出解答．由于銷售量和各種支出均以月為單位計量，因此，先考慮月收益．（Ⅰ）設該店的月收益為S元，有職工m名．則Sqp40100600m13200．又由圖可知：q2p140,40p58p8258p．81因此，S2p140p40100600m1320040p58p82p40100600m1320058<p81由已知，當p52時，S0，即2p140p40100600m132000，解得m50．即此時該店有50名職工．（Ⅱ）若該店只安排40名職工，則月收益S2p140p401003720040p58．p82p401003720058<p81當40p58時，求得p55時，S取最大值7800元．當58p81時，求得p61時，S取最大值6900元．綜上，當p55時，S有最大值7800元．設該店最早可在n年后還清債務，依題意，有12n78002680002000000．解得n5．因此，該店最早可在5年后還清債務，此時花銷品的單價定為55元．議論求解數(shù)學應用題必定打破三關：（1）閱讀理解關：一般數(shù)學應用題的文字閱讀量都比較大，要經(jīng)過閱讀審題，找出重點詞、句，理解其意義．（2）建模關：即建立實責問題的數(shù)學模型，將其轉變成數(shù)學問題．（3）數(shù)理關：運用合適的數(shù)學方法去解決已建立的數(shù)學模型．例2．一位救生員站在邊長為100米的正方形游泳池圖），發(fā)現(xiàn)C處有一位溺水者．他跑到E處后，馬上跳水沿直線EC游到C處，已知救生員跑步的速度為米v／分，游泳的速度為v米／分．2C處，所用試問，救生員選擇在哪處入水才能最快到達的最短時間是多少？講解：理解本題其實不難：應該成馬上間t（分）關于

ABCD的A處（如AEB

DC某個變量的函數(shù)關系式，爾后，經(jīng)過求最值的方法來解決問題．難點在于變量的選擇，自然，我們可以選擇以AE的長度x（米）作為變量，x210022100x但此時t，求最值較為困難．vv注意到：AE和EC的長度，可以方便的用角表示，不用用到根號，因此我們可以試一試以CEB作為變量．設CEB，則AE100100cot,CE100，因此，sint100100cot20010012cosvvsinvsin1tan222tan213tan2100121001005011123tanv2tanv2tan2vvtan2221tan22100501001003v23vv等號當且僅當13tan，即tan3，即時建立．tan22332此時，AE1001003，t1001003．也即，救生員應該在AB邊3v上距B1003米處入水，才能最快到達C處，所用的最短時間為31001003．v議論（1）恰當選擇變量，有助于簡化數(shù)學過程；（2）本題中，若以AEx為自變量，也可經(jīng)過三角代換（或移項、平方、鑒識式等）來求得最值．例3．某廠生產(chǎn)一種儀器，由于受生產(chǎn)能力和技術水平的限制，會產(chǎn)生一些次品．依照經(jīng)驗知道，該廠生產(chǎn)這類儀器，次品率P與日產(chǎn)量x（件）之間大體1c,xN1x滿足關系：P96x其中c為小于96的正常數(shù)．2Nxc,x3注：次品率P次品數(shù)0.1表示每生產(chǎn)10件產(chǎn)品，約有1件為次品．其余為合格品．，如P生產(chǎn)量已知每生產(chǎn)一件合格的儀器可以盈利A元，但每生產(chǎn)一件次品將損失A元，2故廠方希望定出合適的日產(chǎn)量．（Ⅰ）試將生產(chǎn)這類儀器每日的盈利額T（元）表示為日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)；（Ⅱ）當日產(chǎn)量為多少時，可獲取最大收益？講解：（Ⅰ）當xc時，P2，因此，每日的盈利額T1xA2xA0．3332當1xc時，P1，因此，每日生產(chǎn)的合格儀器約有11x件，96x96x1次品約有x件．故，每日的盈利額96x1xA1A3xT1xxA96x96x2296x綜上，日盈利額T（元）與日產(chǎn)量x（件）的函數(shù)關系為：x3xA,1xc．T296x0,xc（Ⅱ）由（Ⅰ）知，當xc時，每日的盈利額為0．當1xc時，Tx3xA．296x為表達方便，令96xt，則096ct95．故T96t396t971t144A9712t144A147A0．2tA2t2t2（等號當且僅當t144，即t12即x88時建立）．因此，t（1）當c88時，Tmax147A（等號當且僅當x88時建立）．2144（2）當1c88時，由1xc得1296ct95，易證函數(shù)gttt在t(12,)上單調遞加（證明過程略）．因此，g(t)g96c．因此，1t1441144A144189c2c2A0．T97tA9796c96c1922c22144189c2c2即Tmax192A．（等號當且僅當xc時獲?。?c綜上，若88c96，則當日產(chǎn)量為88件時，可獲取最大收益；若1c88，則當日產(chǎn)量為c時，可獲取最大收益．議論基本不等式和函數(shù)的單調性是求解函數(shù)最值問題的兩大重要手段．高考真題1.（1997年全國高考）甲、乙兩地相距S千米,汽車從甲地勻速行駛到乙地,速度不得高出c千米/時.已知汽車每小時的運輸成本(以元為單位)由可變部分和固定部分組成:可變部分與速度v(千米/時)的平方成正比,比率系數(shù)為b;固定部分為a元.(Ⅰ)全程運輸成本把y(元)表示為速度v(千米/時)的函數(shù),并指出這個函數(shù)的定義域;(Ⅱ)為了使全程運輸成本最小,汽車應以多大速度行駛?(2000年全國高考)某蔬菜基地種植西紅柿，由歷年市場行情得知，從二月一日起的300天內(nèi)，西紅柿市場售價與上市時間的關系用圖一的一條折線表示；西紅柿的種植成本與上市時間的關系用圖二的拋物線段表示．（Ⅰ）寫出圖一表示的市場售價與時間的函數(shù)關系式

P=

ft

；寫出圖二表示的種植成本與時間的函數(shù)關系式

Q=gt

；（Ⅱ）認定市場售價減去種植成本為純收益，問何時上市的西紅柿收益最大？（注：市場售價和種植成本的單位：元/102kg，時間單位：天）（2003年北京春季高考）某租借公司擁有汽車100輛.當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出.當每輛車的月租金每增加50元時，未租出的車將會增加一輛.租出的車每輛每個月需要保護費150元，未租出的車每輛每個月需要保護費元.（Ⅰ）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？（Ⅱ）當每輛車的月租金定為多少元時，租借公司的月收益最大？最大月收益是多少？[答案與提示：1．（Ⅰ）ySabv,v(0,c]