最全最詳細抽象函數(shù)的對稱性、奇偶性和周期性常用結(jié)論

完美完美WORD格式第頁，共10頁四、用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性解題的常見類型靈活應(yīng)用函數(shù)奇偶性、周期性與對稱性，可巧妙的解答某些數(shù)學(xué)問題，它對訓(xùn)練學(xué)生分析問題與解決問題的能力有重要作用.下面通過實例說明其應(yīng)用類型。.求函數(shù)值例1.(1996年高考題)設(shè)f(x)是(—8,+到上的奇函數(shù)，f(2+x)=-f(x),當0<X<1時，f(x)=x，則f(7.5)等于(-0.5)(A)0.5;(B)-0.5;(C)1.5;(D)-1.5.例2.(1989年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競賽題)已知(x)是定義在實數(shù)集上的函數(shù)，且f(x+2)1-f(x)]=1+f(x),f(1)=2+j3,求f(1989)的值.f(1989)=忑-2。2、比較函數(shù)值大小f(x)=x1998,試比較例3.若f(x)(xeR)f(x)=x1998,試比較“98、”101、/104、f(19)、f(^y)、"不亍)的大小.解：f(x)(xeR)是以2為周期的偶函數(shù)，又.■f(x)=x太在b,1］上是增函數(shù)，且173、1915~1173、1915~1、,/6、,」4101~98、,「04、,?二f(―)<f()<f()，即f(<f()<f().171915171915求函數(shù)解析式例4.(1989年高考題)設(shè)f(x)是定義在區(qū)間(-8,+8)上且以2為周期的函數(shù)，對keZ,用I表示區(qū)間(2k-1,2k+1),已知當xeI時，f(x)=x2.求f(x)在I上的解k0k析式.解：設(shè)xe(2k-1,2k+1),，2k-1<x<2k+1n-1<x-2k<1xeI時，有f(x)=x2,.?.由一1<x-2k<1得f(x-2k)=(x-2k)20;f(x)是以2為周期的函數(shù)，，f(x-2k)=f(x),，f(x)=(x-2k)2.例5.設(shè)f(x)是定義在(-8,+8)上以2為周期的周期函數(shù)，且f(x)是偶函數(shù)，在區(qū)間匕3]上，f(x)=-2(x-3)2+4.求xe1,2]時，f(x)的解析式.解：當xeL3,-2],即-xeb,3],f(x)=f(-x)=-2(-x-3)2+4=-2(x+3)2+4又f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，于是當xe1,2],即-3<x-4<-2時，完美WORD格式第6頁，共10頁有f(x)=f(x-4)nf(x)=-2&-4)+31+4=-2(x-1)2+4(1<x<2).f(x)=-2(x-1)2+4(1<x<2).4、判斷函數(shù)奇偶性例6.已知f(x)的周期為4,且等式f(2+x)=f(2-x)對任意xeR均成立，判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.解：由f(x)的周期為4,得f(x)=f(4+x)，由f(2+x)=f(2-x)得f(-x)=f(4+x)，.?.f(-x)=f(x),故f(x)為偶函數(shù).5、確定函數(shù)圖象與x軸交點的個數(shù)例7.設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x滿足f(2+x)=f(2-x)，f(7+x)=f(7-x)且f(0)=0,判斷函數(shù)f(x)圖象在區(qū)間L30,30］上與x軸至少有多少個交點.解：由題設(shè)知函數(shù)f(x)圖象關(guān)于直線x=2和x=7對稱，又由函數(shù)的性質(zhì)得f(x)是以io為周期的函數(shù).在一個周期區(qū)間hi。)上，f(0)=0,f(4)=f(2+2)=f(2-2)=f(0)=0且(x)不能恒為零，故f(x)圖象與x軸至少有2個交點.而區(qū)間L30,30)有6個周期，故在閉區(qū)間L30,30］上f(x)圖象與x軸至少有13個交占八、、.6、在數(shù)列中的應(yīng)用例8.在數(shù)列1｝中，a=-<3,a=二a^(n>2),求數(shù)列的通項公式，并計算n1n1一an-1a+a+a+■+a.1591997分析：此題的思路與例2思路類似.1+a1+tga/兀、解：令a=tga,則a=1==tg(+a)121-a1-tga4

T，兀、i1+tg(一。)1十a(chǎn)4a=2=31-a2jg(：-a)-兀=tg(2x—+a)-兀=tg(2x—+a)/.a=tgn-1兀(n-1)x—+a

4，于是an1十a(chǎn)—=tg1-an-1T兀(n-1)——十a(chǎn),兀兀、TOC\o"1-5"\h\z不難用歸納法證明數(shù)列的通項為：a=tg（-n-+a），且以4為周期.n44于是有1,5,9…1997是以4為公差的等差數(shù)列，，a=a=a=…=a，由1997=1十(n-1)x4得總項數(shù)為500項，1591997/.a十a(chǎn)十a(chǎn)十十a(chǎn)=500xa=500V3.159199717、在二項式中的應(yīng)用例9.今天是星期三，試求今天后的第9292天是星期幾？分析：轉(zhuǎn)化為二項式的展開式后，利用一周為七天這個循環(huán)數(shù)來進行計算即可解：???9292=（91十1）92=C09192十C19191十…十C90912+C91.91十192929292???9292=（7x13+1）92=C0（7x13）92十C1（7x13）91十…十C90（7x13）2929292十C91（7x13）+192因為展開式中前92項中均有7這個因子，最后一項為1，即為余數(shù)，故9292天為星期四.8、復(fù)數(shù)中的應(yīng)用TOC\o"1-5"\h\z13..例10.（上海市1994年高考題）設(shè)Z=--+-—I（I是虛數(shù)單位），則滿足等式小且大于1的正整數(shù)n中最小的是（）（A）3；（B）4；（C）6；（D）7..分析：運用z=-5十彳i方幕的周期性求值即可.解：＜Zn=z,z(zn-1-1)=0nzn-1=1，[z3=1,「.n-1必須是3的倍數(shù)，即n-1=3k(keN),???n=3k十1(keN).「.k=1時,n最小,，(n)=4.故選擇(8)min9、解“立幾”題例n.ABCD-R是單位長方體，黑白二蟻都從點A出發(fā)，沿棱向前爬行，每走一條棱稱為“走完一段”。白蟻爬行的路線是AATADT…,黑蟻爬行的路線是111ABTBBT…?.它們都遵循如下規(guī)則：所爬行的第i+2段所在直線與第i段所在直線必1須是異面直線(其中i￡N).設(shè)黑白二蟻走完第1990段后，各停止在正方體的某個頂點處，這時黑白蟻的距離是()(A)1；(B)<2；(C)<3；(D)0.解：依條件列出白蟻的路線AATADTDCTCCTCBT111111BATAAT…,立即可以發(fā)現(xiàn)白蟻走完六段后又回到了A點.可驗證知：黑白二蟻走1完六段后必回到起點，可以判斷每六段是一個周期.1990=6x331+4，因此原問題就轉(zhuǎn)化為考慮黑白二蟻走完四段后的位置，不難計算出在走完四段后黑蟻在D1點，白蟻在C點，故所求距離是工；2.例題與應(yīng)用例1：f(x)是R上的奇函數(shù)f(x)=一f(x+4)，x￡［0，2］時f(x)=x，求f(2007)的值例2：已知￡&)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+2)［1—f(x)］=1+f(x)，f(1)=2,求f(2009)的值。故f(2009)=f(251X8+1)=f(1)=2例3：已知￡6)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x)=f(4-x)，且當xeL2,01時，f(x)=-2x+1,則當x￡「,6］時求f(x)的解析式1例4：已知￡&)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(x+999)=-7=，f(999+x)=f(999-x)，f(x)試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.例5：已知￡6)是定義在R上的偶函數(shù)，f(x);f(4-x)，且當xeL2,0］時，f(x)是減函數(shù)，求證當xef4,6］時f(x)為增函數(shù)例6：f(x)滿足f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若f(a)=-f(2000)，a￡［5,9］且f(x)在［5,9］上單調(diào).求a的值.例7：已知￡6)是定義在R上的函數(shù)，f(x)=f(4-x)，f(7+x)=f(7-x),f(0)=0，求在區(qū)間［-1000，1000］上f(x)=0至少有幾個根？解：依題意f(x)關(guān)于x=2,x=7對稱，類比命題2(2)可知f(x)的一個周期是10故f(x+10)=f(x).??f(10)=f(0)=0又f(4)=f(0)=0即在區(qū)間(0，10］上，方程f(x)=0至少兩個根又f(x)是周期為10的函數(shù)，每個周期上至少有兩個根，c2000因此方程f(x)=0在區(qū)間［—1000,1000］上至少有1+2x--—=401個根.例1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么丫=—￡?+4)與y=f(6—x)的圖象之間(D)A.關(guān)于直線x=5對稱B.關(guān)于直線x=1對稱C.關(guān)于點(5,0)對稱D.關(guān)于點(1,0)對稱解：據(jù)復(fù)合函數(shù)的對稱性知函數(shù)y=—f(x+4)與y=f(6—x)之間關(guān)于點((6—4)/2,0)即(1,0)中心對稱，故選D。(原卷錯選為C)例2、設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于x=1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。(2001年理工類第22題)例3、設(shè)f(x)是(-8,+8)上的奇函數(shù)，f(x+2)=—f(x),當0WxW1時f(x)=x，則f(7.5)等于(-0.5)(1996年理工類第15題)例4、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10+x)=f(10—x),f(20—x)=—f(20+x),則f(x)是(C)A.偶函數(shù)，又是周期函數(shù)B.偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C.奇函數(shù)，又是周期函數(shù)D.奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)六、鞏固練習(xí)1、函數(shù)y=f(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么丫=—￡&+4)與丫=f(6—x)的圖象()。A.關(guān)于直線x=5對稱B.關(guān)于直線x=1對稱C.關(guān)于點(5,0)對稱D.關(guān)于點(1,0)對稱2、設(shè)f(x)是(一8,+8)上的奇函數(shù)，f(x+2)=-f(x),當0WxW1時，f(x)=x，則f(7.5)=()。A.0.5B.—0.5C.1.5D.—1.53、設(shè)f(x)是定義在