經(jīng)濟數(shù)學基礎課后答案(概率統(tǒng)計第三分冊)

習題一1.寫出下列事件的樣本空間：(1)把一枚硬幣拋擲一次；(2)把一枚硬幣連續(xù)拋擲兩次；(3)擲一枚硬幣，直到首次出現(xiàn)正面為止；(4)一個庫房在某一個時刻的庫存量(假定最大容量為M).解(1)={正面，反面}{正，反}(2)={(正、正)，(正、反)，(反、正)，(反、反)}(3)={(正)，(反，正)，(反，反，正)，…}(4)={x；0≤x≤m}2.擲一顆骰子的試驗，觀察其出現(xiàn)的點數(shù)，事件A＝“偶數(shù)點”，

B＝“奇數(shù)點”，C＝“點數(shù)小于5”，D＝“小于5的偶數(shù)點”，討論上述各事件間的關系.解A與B為對立事件，即B＝；B與D互不相容；AD，CD.3.事件Ai表示某個生產(chǎn)單位第i車間完成生產(chǎn)任務，i＝1，2，3，B表示至少有兩個車間完成生產(chǎn)任務，C表示最多只有兩個車間完成生產(chǎn)任務，說明事件及B－C的含義，并且用Ai(i＝1，2，3)表示出來.解表示最多有一個車間完成生產(chǎn)任務，即至少有兩個車間沒有完成生產(chǎn)任務.B－C表示三個車間都完成生產(chǎn)任務圖1－14.如圖1－1，事件A、B、C都相容，即ABC≠Φ，把事件A＋B，A＋B＋C，AC＋B，C－AB用一些互不相容事件的和表示出來.圖1－1解5.兩個事件互不相容與兩個事件對立的區(qū)別何在，舉例說明.解兩個對立的事件一定互不相容，它們不可能同時發(fā)生，也不可能同時不發(fā)生；兩個互不相容的事件不一定是對立事件，它們只是不可能同時發(fā)生，但不一定同時不發(fā)生.在本書第6頁例2中A與D是對立事件，C與D是互不相容事件.6.三個事件A、B、C的積是不可能事件，即ABC＝Φ，問這三個事件是否一定互不相容?畫圖說明.解不一定.A、B、C三個事件互不相容是指它們中任何兩個事件均互不相容，即兩兩互不相容.如圖1－2，事件ABC＝Φ，但是A與B相容.圖1－27.事件A與B相容，記C＝AB，D＝A+B，F(xiàn)＝A－B.圖1－2解由于ABAA+B，A－BAA+B，AB與A－B互不相容，且A＝AB＋(A－B).因此有A＝C+F，C與F互不相容，DAF，AC.8.袋內(nèi)裝有5個白球，3個黑球，從中一次任取兩個，求取到的兩個球顏色不同的概率.解記事件A表示“取到的兩個球顏色不同”.則有利于事件A的樣本點數(shù)目＃A＝.而組成試驗的樣本點總數(shù)為＃Ω＝，由古典概率公式有P(A)＝(其中＃A，＃Ω分別表示有利于A的樣本點數(shù)目與樣本空間的樣本點總數(shù)，余下同)9.計算上題中取到的兩個球中有黑球的概率.解設事件B表示“取到的兩個球中有黑球”則有利于事件的樣本點數(shù)為＃.解設事件A表示“三次中既有正面又有反面出現(xiàn)”,則表示三次均為正面或三次均為反面出現(xiàn).而拋擲三次硬幣共有8種不同的等可能結(jié)果，即＃Ω＝8，因此11.10把鑰匙中有3把能打開一個門鎖，今任取兩把，求能打開門鎖的概率.解設事件A表示“門鎖能被打開”.則事件發(fā)生就是取的兩把鑰匙都不能打開門鎖.從9題－11題解中可以看到，有些時候計算所求事件的對立事件概率比較方便.12.一副撲克牌有52張，不放回抽樣，每次一張，連續(xù)抽取4張，計算下列事件的概率：(1)四張花色各異；(2)四張中只有兩種花色.解設事件A表示“四張花色各異”；B表示“四張中只有兩種花色”.13.口袋內(nèi)裝有2個伍分、3個貳分，5個壹分的硬幣共10枚，從中任取5枚，求總值超過壹角的概率.解設事件A表示“取出的5枚硬幣總值超過壹角”.14.袋中有紅、黃、黑色球各一個，每次任取一球，有放回地抽取三次，求下列事件的概率：A＝“三次都是紅球”“全紅”，B＝“全白”，C＝“全黑”，D＝“無紅”，E＝“無白”，F(xiàn)＝“無黑”，G＝“三次顏色全相同”，H＝“顏色全不相同”，I＝“顏色不全相同”.解＃Ω＝33＝27，＃A＝＃B＝＃C＝1，＃D＝＃E＝＃F＝23＝8，＃G＝＃A＋＃B＋＃C＝3，＃H＝3?。?，＃I＝＃Ω－＃G＝2415.一間宿舍內(nèi)住有6位同學，求他們中有4個人的生日在同一個月份的概率.解設事件A表示“有4個人的生日在同一個月份”.＃Ω＝126，＃A＝16.事件A與B互不相容，計算P.解由于A與B互不相容，有AB＝Φ，P(AB)＝0

17.設事件BA，求證P(B)≥P(A）.證∵BA∴P(B-A)＝P(B)-P(A)∵P(B-A)≥0∴P(B)≥P(A)18.已知P(A)＝a，P(B)＝b，ab≠0(b＞0.3P(A－B)＝0.7a，求P(B+A)，P(B-A)，P(＋)解由于A－B與AB互不相容，且A＝(A-B)＋AB，因此有P(AB)＝P(A)-P(A-B)＝0P(A＋B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0.7P(B-A)＝P(B)-P(AB)＝b-P(＋)＝1-P(AB)＝1-0.19.50個產(chǎn)品中有46個合格品與4個廢品，從中一次抽取三個，計算取到廢品的概率.解設事件A表示“取到廢品”，則表示沒有取到廢品，有利于事件的樣本點數(shù)目為＃＝，因此P(A)＝1-P()＝1-＝0.225520.解因BA，故P(B)≥P(A)，即lna≥lnb,a≥b，又因P(A)＞0，P(B)≤1，可得b＞1，a≤e，綜上分析a的取值范圍是：1＜b≤a≤e21.設事件A與B的概率都大于0，比較概率P(A)，P(AB)，P(A+B)，P(A)+P(B)的大小(用不等號把它們連接起來).解由于對任何事件A，B，均有ABAA+B且P(A+B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)，P(AB)≥0，因此有P(AB)≤P(A)≤P(A+B)≤P(A)＋P(B)22.一個教室中有100名學生，求其中至少有一人的生日是在元旦的概率(設一年以365天計算).解設事件A表示“100名學生的生日都不在元旦”，則有利于A的樣本點數(shù)目為＃A＝364100，而樣本空間中樣本點總數(shù)為＃Ω＝365100，所求概率為=0.239923.從5副不同手套中任取4只手套，求其中至少有兩只手套配成一副的概率.解設事件A表示“取出的四只手套至少有兩只配成一副”，則表示“四只手套中任何兩只均不能配成一副”.24.某單位有92％的職工訂閱報紙，93％的人訂閱雜志，在不訂閱報紙的人中仍有85％的職工訂閱雜志，從單位中任找一名職工求下列事件的概率：(1)該職工至少訂閱一種報紙或期刊；(2)該職工不訂閱雜志，但是訂閱報紙.解設事件A表示“任找的一名職工訂閱報紙”，B表示“訂閱雜志”，依題意P(A)＝0.92，P(B)＝0.93，P(B｜)＝0.85P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B｜)＝0.92＋0.08×0.85＝0.988P(A)＝P(A＋B)-P(B)＝0.988－0.93＝0.05825.解P(A｜B)＝P(B｜A)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)-P(AB)＝0.5226.設A、B是兩個隨機事件.0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P(｜)＝1.求證P(AB)＝P(A)P(B).證∵P(A｜)＋P(｜)＝1且P(A｜B)＋P(｜)＝1∴P(A｜B)＝P(A｜)P(AB)［1-P(B)］＝P(B)［P(A)-P(AB)］整理可得P(AB)＝P(A)P(B)27.設A與B獨立，P(A)＝0.4，P(A＋B)＝0.7，求概率P(B).解P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝P(A)＋P()P(B)0.7＝0.4＋0.6P(B)P(B)＝0.528.設事件A與B的概率都大于0，如果A與B獨立，問它們是否互不相容，為什么?解因P(A)，P(B)均大于0，又因A與B獨立，因此P(AB)＝P(A)P(B)＞0，故A與B不可能互不相容.29.某種電子元件的壽命在1000小時以上的概率為0.8，求3個這種元件使用1000小時后，最多只壞了一個的概率.解設事件Ai表示“使用1000小時后第i個元件沒有壞”，i＝1，2，3，顯然A1，A2，A3相互獨立，事件A表示“三個元件中最多只壞了一個”，則A＝A1A2A3＋A2A3＋A1A3＋A1A2，上面等式右邊是四個兩兩互不相容事件的和，且P(A1)＝P(A2)＝P(AP(A)＝＝0.83＋3×0.82×0.2＝0.89630.加工某種零件，需經(jīng)過三道工序，假定第一、二、三道工序的廢品率分別為0.3，0.2，0.2，并且任何一道工序是否出現(xiàn)廢品與其他各道工序無關，求零件的合格率.解設事件A表示“任取一個零件為合格品”，依題意A表示三道工序都合格.P(A)＝(1－0.3)(1－0.2)(1－0.2)＝0.44831.某單位總機的占線率為0.4，其中某車間分機的占線率為0.3，假定二者獨立，現(xiàn)在從外部打給該車間，求一次能打通的概率；第二次才能打通的概率以及第m次才能打通的概率(m為任何正整數(shù)).解設事件Ai表示“第i次能打通”，i＝1，2，…，m，則P(A1)＝(1－0.4)(1－0.3)＝0.42P(A2)＝0.58×0.42＝0.2436P(Am)＝0.58m－132.一間宿舍中有4位同學的眼鏡都放在書架上，去上課時，每人任取一副眼鏡，求每個人都沒有拿到自己眼鏡的概率.解設Ai表示“第i人拿到自己眼鏡”，i＝1,2,3,4.P(Ai)＝，設事件B表示“每個人都沒有拿到自己的眼鏡”.顯然則表示“至少有一人拿到自己的眼鏡”.且＝A1＋A2＋A3＋A4.P()＝P(A1＋A2＋A3＋A4)＝P(AiAj)P(Ai)P(Aj｜Ai)=P(AiAjAk)=P(Ai)P(Aj｜Ai)P(Ak｜AiAj)=××（1≤i＜j＜k≤4）P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2|A1)P(A3×P(A4｜A1A2=33.在1，2，…，3000這3000個數(shù)中任取一個數(shù)，設Am＝“該數(shù)可以被m整除”，m＝2，3，求概率P(A2A3)，P(A2＋A3)，P(A2－A3解依題意P(A2)＝，P(A3)＝P(A2A3)＝P(A6)＝P(A2＋A3)＝P(A2)＋P(A3)－P(A2A3＝P(A2－A3)＝P(A2)－P(A2A3)＝34.甲、乙、丙三人進行投籃練習，每人一次，如果他們的命中率分別為0.8，0.7，0.6，計算下列事件的概率：(1)只有一人投中；(2)最多有一人投中；(3)最少有一人投中.解設事件A、B、C分別表示“甲投中”、“乙投中”、“丙投中”，顯然A、B、C相互獨立.設Ai表示“三人中有i人投中”，i＝0,1,2,3,依題意，0.2×0.3×0.4×0.024P(A3)=P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.8×0.7×0.60.336P(A2)=P(AB)＋P(AC)＋P(BC)=0.8×0.7×0.4＋0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.60.452(1)P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)－P(A3)＝1－0.024－0.452－0.336＝0.188(2)P(A0＋A1)＝P(A0)＋P(A1)＝0.024＋0.188＝0.212(3)P(A＋B＋C)＝P()＝1－P(A0)＝0.97635.甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，假定他們的命中率分別為0.4及0.5，問誰先投中的概率較大，為什么?解設事件A2n-1B2n分別表示“甲在第2n－1次投中”與“乙在第2n次投中”，顯然A1，B2，A3，B4，…相互獨立.設事件A表示“甲先投中”.計算得知P(A)＞0.5，P()＜0.5，因此甲先投中的概率較大.36.已知在北京學生中，以英語為第一外語的占80％，而京外學生以英語為第一外語的占95％，今從全校新生中任選一名學生，求該生以英語為第一外語的概率.解設事件A表示“任選一名學生為北京考生”，B表示“任選一名學生，以英語為第一外語”.依題意P(A)＝0.3，P()＝0.7，P(B｜A)＝0.8，P(B｜)＝0.95.由全概率公式有P(B)＝P(A)P(B｜A)＋P()P(B｜)＝0.3×0.8＋0.7×0.95＝0.90537.A地為甲種疾病多發(fā)區(qū)，該地共有南、北、中三個行政小區(qū)，其人口比為9:7:4，據(jù)統(tǒng)計資料，甲種疾病在該地三個小區(qū)內(nèi)的發(fā)病率依次為4‰，2‰，5‰，求A地的甲種疾病的發(fā)病率.解設事件A1，A2，A3分別表示從A地任選一名居民其為南、北、中行政小區(qū)，易見A1，A2，A3兩兩互不相容，其和為Ω.設事件B表示“任選一名居民其患有甲種疾病”，依題意：P(A1)＝0.45，P(A2)＝0.35，P(A3)＝0.2，P(B｜A1)＝0.004，P(B｜A2)＝0.002，P(B｜A3)＝0.005＝＝0.45×0.004+0.35×0.002+0.2×0.005＝0.003538.一個機床有三分之一的時間加工零件A，其余時間加工零件B，加工零件A時，停機的概率為0.3，加工零件B時停機的概率為0.4，求這個機床停機的概率.解設事件A表示“機床加工零件A”，則表示“機床加工零件B”，設事件B表示“機床停工”.39.有編號為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的3個口袋，其中Ⅰ號袋內(nèi)裝有兩個1號球，1個2號球與1個3號球，Ⅱ號袋內(nèi)裝有兩個1號球和1個3號球，Ⅲ號袋內(nèi)裝有3個1號球與兩個2號球，現(xiàn)在先從Ⅰ號袋內(nèi)隨機地抽取一個球，放入與球上號數(shù)相同的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，計算第二次取到幾號球的概率最大，為什么?解設事件Ai表示“第一次取到i號球”，Bi表示第二次取到i號球，i＝1，2，3.依題意，A1，A2，A3構成一個完全事件組.應用全概率公式可以依次計算出.因此第二次取到1號球的概率最大.40.接37題，用一種檢驗方法，其效果是：對甲種疾病的漏查率為5％(即一個甲種疾病患者，經(jīng)此檢驗法未查出的概率為5％)；對無甲種疾病的人用此檢驗法誤診為甲種疾病患者的概率為1％，在一次健康普查中，某人經(jīng)此檢驗法查為患有甲種疾病，計算該人確實患有此病的概率.解41.甲、乙、丙三個機床加工一批同一種零件，其各機床加工的零件數(shù)量之比為5:3:2，各機床所加工的零件合格率，依次為94％，90％，95％，現(xiàn)在從加工好的整批零件中檢查出一個廢品，判斷它不是甲機床加工的概率.解設事件A1，A2，A3分別表示“受檢零件為甲機床加工”，“乙機床加工”，“丙機床加工”，B表示“廢品”，應用貝葉斯公式有42.某人外出可以乘坐飛機、火車、輪船、汽車4種交通工具，其概率分別為5％，15％，30％，50％，乘坐這幾種交通工具能如期到達的概率依次為100％，70％，60％與90％，已知該旅行者誤期到達，求他是乘坐火車的概率.解設事件A1，A2，A3，A4分別表示外出人“乘坐飛機”，“乘坐火車”，“乘坐輪船”，“乘坐汽車”，B表示“外出人如期到達”.=0.20943.接39題，若第二次取到的是1號球，計算它恰好取自Ⅰ號袋的概率.解39題計算知P(B1)＝，應用貝葉斯公式44.一箱產(chǎn)品100件，其次品個數(shù)從0到2是等可能的，開箱檢驗時，從中隨機地抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收，若已知該箱產(chǎn)品已通過驗收，求其中確實沒有次品的概率.解設事件Ai表示一箱中有i件次品，i＝0,1,2.B表示“抽取的10件中無次品”，先計算P(B)45.設一條昆蟲生產(chǎn)n個卵的概率為n=0,1,2,…其中λ＞0，又設一個蟲卵能孵化為昆蟲的概率等于p(0＜p＜1).如果卵的孵化是相互獨立的，問此蟲的下一代有k條蟲的概率是多少?解設事件An＝“一個蟲產(chǎn)下幾個卵”，n＝0，1，2….BR＝“該蟲下一代有k條蟲”，k＝0，1，….依題意其中q=1－p.應用全概率公式有由于，所以有習題二1.已知隨機變量X服從0－1分布，并且P{X≤0}＝0.2，求X的概率分布.解X只取0與1兩個值，P{X＝0}＝P{X≤0}－P{X＜0}＝0.2，P{X＝1}＝1－P{X＝0}＝0.8.2.一箱產(chǎn)品20件，其中有5件優(yōu)質(zhì)品，不放回地抽取，每次一件，共抽取兩次，求取到的優(yōu)質(zhì)品件數(shù)X的概率分布.解X可以取0,1,2三個值.由古典概型公式可知依次計算得X的概率分布如下表所示：X012P3.上題中若采用重復抽取，其他條件不變，設抽取的兩件產(chǎn)品中，優(yōu)質(zhì)品為X件，求隨機變量X的概率分布.解X的取值仍是0,1,2.每次抽取一件取到優(yōu)質(zhì)品的概率是1/4，取到非優(yōu)質(zhì)品的概率是3/4,且各次抽取結(jié)果互不影響，應用伯努利公式有4.第2題中若改為重復抽取，每次一件，直到取得優(yōu)質(zhì)品為止，求抽取次數(shù)X的概率分布.解X可以取1,2,…可列個值.且事件{X=n}表示抽取n次，前n－1次均未取到優(yōu)質(zhì)品且第n次取到優(yōu)質(zhì)品，其概率為.因此X的概率分布為5.盒內(nèi)有12個乒乓球，其中9個是新球，3個為舊球，采取不放回抽取，每次一個直到取得新球為止，求下列隨機變量的概率分布.(1)抽取次數(shù)X；(2)取到的舊球個數(shù)Y

.解(1)X可以取1,2,

3,4各值.(2)Y可以取0,1,2,3各值.6.上題盒中球的組成不變，若一次取出3個，求取到的新球數(shù)目X的概率分布.解X可以取0,1,2,3各值.7.已知P{X＝n}＝pn，n＝1,2,3,…,求p的值.解根據(jù),有解上面關于p的方程，得p＝0.5.8.已知P{X＝n}=pn，n＝2,4,6,…，求p的值.解解方程，得p=/29.已知P{X＝n}=cn,n=1,2,…,100,求c的值.解解得c＝1/5050.10.如果pn＝cn＿2，n=1,2,…,問它是否能成為一個離散型概率分布，為什么?解由于級數(shù)收斂,若記=a,只要取,則有=1,且pn＞0.所以它可以是一個離散型概率分布.11.隨機變量X只取1,2,3共三個值，其取各個值的概率均大于零且不相等并又組成等差數(shù)列，求X的概率分布.解設P{X＝2}＝a，P{X＝1}＝a－d,P{X=3}=a+d.由概率函數(shù)的和為1，可知a=,但是a－d與a+d均需大于零,因此｜d｜＜,X的概率分布為X123P－d+d其中d應滿足條件：0＜｜d｜＜12.已知,m=1,2,…,且λ＞0,求常數(shù)c.解由于,所以有解得13.甲、乙二人輪流投籃，甲先開始，直到有一人投中為止，假定甲、乙二人投籃的命中率分別為0.4及0.5，求：(1)二人投籃總次數(shù)Z的概率分布；(2)甲投籃次數(shù)X的概率分布；(3)乙投籃次數(shù)Y的概率分布.解(1)(0.6×0.5)·0.4=0.4(0.3)k=1,2,…0.5×0.6×(0.6×0.5)=0.3kk=1,2,…(2)(3)14.一條公共汽車路線的兩個站之間，有四個路口處設有信號燈，假定汽車經(jīng)過每個路口時遇到綠燈可順利通過，其概率為0.6，遇到紅燈或黃燈則停止前進，其概率為0.4，求汽車開出站后，在第一次停車之前已通過的路口信號燈數(shù)目X的概率分布(不計其他因素停車).解X可以取0,1,

2,3,

4

.P

{

X＝0

}

＝0.4P

{

X＝1

}＝0.6×0.4＝0.24P

{

X＝2

}

＝0.62×0.4＝0.144P

{

X＝3

}

＝0.63×0.4＝0.0864P

{

X＝4

}

＝0.64＝0.129615.問f(x)是否為一個概率密度函數(shù)，為什么?如果(1)解在［0,

］與［0,

π］上，sinx≥0,但是而在上,sinx

≤0.因此只有(1)中的a,

b可以使f(x)是一個概率密度函數(shù).16.其中c＞0，問f(x)是否為密度函數(shù)，為什么?解易見對任何x∈(－∞

,＋∞)

,f

(

x

)

≥

0，又f(x)是一個密度函數(shù)

.17.問f

(

x

)是否為密度函數(shù)，若是，確定a的值；若不是，說明理由.解如果f

(

x

)是密度函數(shù)，則f

(

x

)≥0，因此a≥0，但是，當a≥0時，由于不是1，因此f

(

x

)不是密度函數(shù).18.設隨機變量X～f

(

x

)確定常數(shù)a的值，如果P

{

a

＜

x

＜

b

}

＝0.5，求b的值.解解方程

=1得a

=0解關于b的方程：arctanb=0.5得b=1.19.某種電子元件的壽命X是隨機變量，概率密度為3個這種元件串聯(lián)在一個線路中，計算這3個元件使用了150小時后仍能使線路正常工作的概率.解串聯(lián)線路正常工作的充分必要條件是3個元件都能正常工作.而三個元件的壽命是三個相互獨立同分布的隨機變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則20.設隨機變量X～f

(

x

)，f

(

x

)＝Ae－|x|，確定系數(shù)A；計算P

{

|X

|≤1

}.解解得A＝21.設隨機變量Y服從［0,5］上的均勻分布，求關于x的二次方程4x2＋4xY+Y+2=0有實數(shù)根的概率.解4x2+4xY+Y+2=0.有實根的充分必要條件是△＝b2－4ac=16Y2－16(Y+2)=16Y2－16Y－32≥設事件P(A)為所求概率.則=0.622.設隨機變量X

～

f

(

x

)，確定常數(shù)c，計算解c=23.設隨機變量X的分布函數(shù)F

(

x

)為確定系數(shù)A，計算，求概率密度f

(

x

).解連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)，F(xiàn)

(1)＝F

(1－0)，有A＝1.24.求第20題中X的分布函數(shù)F

(

x

)

.解

當t

≤0時，當t＞0時，25.函數(shù)(1+x2)－1可否為連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)，為什么?解不能是分布函數(shù)，因F

(－∞)＝1

≠0.26.隨機變量X～f

(

x

)，并且,確定a的值；求分布函數(shù)F

(

x

)；計算.解因此a

=127.隨機變量X的分布函數(shù)F

(

x

)

為：確定常數(shù)A的值，計算.解由F

(

2＋0

)＝F

(

2

)，可得0.7528.隨機變量X～f

(

x

)，f

(

x

)＝確定A的值；求分布函數(shù)F

(

x

)

.解因此A＝，29.隨機變量X～f

(

x

)，其他其他確定a的值并求分布函數(shù)F

(

x

)

.解因此，a

=

π當0＜x＜π時，30.隨機變量X的分布函數(shù)為求X的概率密度并計算.解當x

≤0時，X的概率密度f

(

x

)

＝0；當x

＞

0時，f

(

x

)

＝F′

(

x

)31.隨機變量X服從參數(shù)為0.7的0－1分布，求X2，X2－2X的概率分布.解X2仍服從0－1分布，且P

{

X2＝0

}

＝P

{

X＝0

}

＝0.3，P{X2＝1}＝P{X＝1}＝0.7X2－2X的取值為－1與0

,P{X2－2X＝0}＝P

{

X＝0

}

＝0.3P

{

X2－2X＝－1

}

＝1－P

{

X＝0

}

＝0.732.已知P

{

X＝10n

}

＝P

{

X＝10-n

}＝Y(jié)=lgX，求Y的概率分布.解Y的取值為±1,±2

,

…P

{

Y=n

}

=P

{

lgX=n

}

=P

{

X=10n

}

=P

{

Y=－n

}

=P

{

lgX=－n

}

=P

{

x=10-n

}

＝n＝1

,2

,

…33.X服從［a,b］上的均勻分布，Y=ax+b(a≠0)，求證Y也服從均勻分布.證設Y的概率密度為fY

(

y

)

，X的概率密度為fX(

x

)，只要a

≠

0，y

=

ax

+

b都是x的單調(diào)函數(shù).當a

＞

0時，Y的取值為［a2+b,ab+b］,當時，fY(

y

)

=0.類似地，若a＜0，則Y的取值為［

ab+b

,

a2+b

］因此，無論a＞0還是a＜0，ax+b均服從均勻分布.34.隨機變量X服從［0

,

］上的均勻分布Y=cosX

,

求Y的概率密度fY(

y

).解y=cosx在［0,］上單調(diào)，在(0

,

1)上，h

(

y

)

=

x

=arccosyh′

(

y

)

=

,fx

(x)=,0≤x≤.因此35.隨機變量X服從(0,1)上的均勻分布，Y=ex,Z=｜lnX｜，分別求隨機變量Y與Z的概率密度fY(y)及fZ(z).解y=ex在(0,1)內(nèi)單調(diào),x=lny可導，且x′y=,fX(x)=10＜x＜1,因此有在(0,1)內(nèi)lnx＜0｜lnx｜=-lnx單調(diào)，且x=e，x′z＝－e，因此有36.隨機變量X～f(x)，Y=,Z=X2,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fy(y)與fZ(z).解當x＞0時，y=單調(diào)，其反函數(shù)為x=y2,x′y=2y當x＞0時z＝x2也是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)為x=,x′z=37.Z=,分別計算隨機變量Y與Z的概率密度fY(y)與fz

(z).解由于y=arctanx是單調(diào)函數(shù)，其反函數(shù)x=tany,x′y=sec2y在內(nèi)恒不為零，因此，當0＜y＜時，即Y服從區(qū)間(0,)上的均勻分布.因此當z＞0時，即Z=與X同分布.38.一個質(zhì)點在半徑為R，圓心在原點的圓的上半圓周上隨機游動.求該質(zhì)點橫坐標X的密度函數(shù)fX(x).解如圖，設質(zhì)點在圓周位置為M，弧EQ\o\ac(\s\up12(⌒),AB)EQ的長記為L，顯然L是一個連續(xù)型隨機變量，L服從［0，πR］上的均勻分布.圖2-圖2-1M點的橫坐標X也是一個隨機變量，它是弧長L的函數(shù)，且X＝Rcosθ＝Rcos函數(shù)x=Rcosl/R是l的單調(diào)函數(shù)(0＜l＜πR),其反函數(shù)為l＝Rarccos當－R＜x＜R時，L′x≠0，此時有當x≤－R或x≥R時，fX(x)＝0.39.計算第2,3,5,6,11各題中的隨機變量的期望.解根據(jù)第2題中所求出的X概率分布，有亦可從X服從超幾何分布，直接計算在第3題中亦可從X服從二項分布(2，)，直接用期望公式計算：在第5題中(1)(2)在第6題中，在第11題中，40.P{X=n}=,n=1,2,3,4,5,確定C的值并計算EX.解41.隨機變量X只?。?,0,1三個值，且相應概率的比為1:2:3，計算EX.解設P{X＝－1}＝a，則P{X＝0}＝2a,P{X＝3a(a＞0)，因a+2a+3a42.隨機變量X服從參數(shù)為0.8的0－1分布，通過計算說明EX2是否等于(EX)2?解EX＝P{X＝1}＝0.8，(EX)2＝0.64EX2＝1×0.8＝0.8＞(EX)243.解當n為奇數(shù)時，是奇函數(shù)，且積分收斂，因此當n為偶數(shù)時，44.隨機變量X～f(x)，其他其他計算EXn(n為正整數(shù)).解45.隨機變量X～f(x)，其他其他b,c均大于0，問EX可否等于1，為什么?解而由于方程組無解，因此EX不能等于1.46.計算第6，40各題中X的方差DX.解在第6題中，從第39題計算知EX＝，DX＝EX2－(EX)2≈0.46在第40題中，已計算出EX＝,=DX=EX2-(EX)2≈1.7747.計算第23，29各題中隨機變量的期望和方差.解在第23題中，由于f(x)＝（0＜x＜1）,因此DX=EX2－(EX)2=在第29題中，由于f(x)＝(0＜x＜π),因此DX＝EX2－(EX)2=48.計算第34題中隨機變量Y的期望和方差.解EY=EY2=DY=49.已知隨機變量X的分布函數(shù)F(x)為：F(x)=計算EX與DX.解依題意，X的密度函數(shù)f(x)為：解EX＝EX2=DX=50.已知隨機變量X的期望EX＝μ，方差DX＝σ2，隨機變量Y=,求EY和DY.解EY=(EX－μ)＝0DY==151.隨機變量Yn～B(n,),分別就n=1,2,4,8,列出Yn的概率分布表，并畫出概率函數(shù)圖.解Y101Y2012PPY30123PY401234PY8012345678P65617496a20412a13608a5670a1512a252a24aa其中a=1/65536.圖略.52.設每次試驗的成功率為0.8，重復試驗4次，失敗次數(shù)記為X，求X的概率分布.解X可以取值0,1,2,3,4.相應概率為P(X＝m)＝(m=0,1,2,3,4)計算結(jié)果列于下表X01234P0.40960.40960.15360.02560.001653.設每次投籃的命中率為0.7，求投籃10次恰有3次命中的概率；至少命中3次的概率.解記X為10次投籃中命中的次數(shù)，則X～B

(

10

,

0.7

)

.=1－0.310－10×0.7×0.39－45×0.72×0.38≈0.998454．擲四顆骰子，求“6點”出現(xiàn)的平均次數(shù)及“6點”出現(xiàn)的最可能（即概率最大）次數(shù)及相應概率.解擲四顆骰子，記“6點”出現(xiàn)次數(shù)為X，則X～B（4，）.EX

=

np

=由于np

+

p

=

，其X的最可能值為［

np

+p

］=0若計算，顯然概率更小.55．已知隨機變量X～B（n,

p），并且EX=3，DX=2，寫出X的全部可能取值，并計算.解根據(jù)二項分布的期望與方差公式，有解方程，得q=，p=，n=9

.X的全部可能取值為0,1,2,3,…,9.=

1－≈0.999956．隨機變量X～B（n，p），EX=0.8，EX2=1.28，問X取什么值的概率最大，其概率值為何?解由于DX

=

EX2－(EX)2=0.64,EX=0.8,即解得q

=

0.8，p

=

0.2，n

=

4

.由于np+p=1，因此X取0與取1的概率最大，其概率值為57．隨機變量X～B（n,

p），Y=eaX，計算隨機變量Y的期望EY和方差DY

.解隨機變量Y是X的函數(shù)，由于X是離散型隨機變量，因此Y也是離散型隨機變量，根據(jù)隨機變量函數(shù)的期望公式，有58.從一副撲克牌（52張）中每次抽取一張，連續(xù)抽取四次，隨機變量X，Y分別表示采用不放回抽樣及有放回抽樣取到的黑花色張數(shù)，分別求X，Y的概率分布以及期望和方差.解X服從超幾何分布，Y服從二項分布B（4，）.具體計算結(jié)果列于下面兩個表中.X01234P46/833208/833325/833208/83346/833Y01234P1/164/166/164/161/1659.隨機變量X服從參數(shù)為2的泊松分布，查表寫出概率并與上題中的概率分布進行比較.01234P0.13530.27070.27070.18040.090260．從廢品率是0.001的100000件產(chǎn)品中，一次隨機抽取500件，求廢品率不超過0.01的概率.解設500件中廢品件數(shù)為X，它是一個隨機變量且X服從N=100000，=100，n=500的超幾何分布.由于n相對于N較小，因此它可以用二項分布B（500，0.001）近似.又因在二項分布B（500，0.001）中，n=500比較大，而p=0.001非常小，因此該二項分布又可用泊松分布近似，其分布參數(shù)λ=np=0.5.61.某種產(chǎn)品每件表面上的疵點數(shù)服從泊松分布，平均每件上有0.8個疵點，若規(guī)定疵點數(shù)不超過1個為一等品，價值10元；疵點數(shù)大于1不多于4為二等品，價值8元；4個以上者為廢品，求：（1）產(chǎn)品的廢品率；（2）產(chǎn)品價值的平均值解設X為一件產(chǎn)品表面上的疵點數(shù)目，（1）（2）設一件產(chǎn)品的產(chǎn)值為Y元，它可以取值為0，8，10.62．設書籍中每頁的印刷錯誤服從泊松分布，經(jīng)統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)在某本書上，有一個印刷錯誤的頁數(shù)與有2個印刷錯誤的頁數(shù)相同，求任意檢驗4頁，每頁上都沒有印刷錯誤的概率.解設一頁書上印刷錯誤為X，4頁中沒有印刷錯誤的頁數(shù)為Y，依題意，即解得λ=2，即X服從λ=2的泊松分布.顯然Y～B63．每個糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目服從泊松分布，若已知一個糧倉內(nèi)，有一只老鼠的概率為有兩只老鼠概率的兩倍，求糧倉內(nèi)無鼠的概率.解設X為糧倉內(nèi)老鼠數(shù)目，依題意解得λ=1.64．上題中條件不變，求10個糧倉中有老鼠的糧倉不超過兩個的概率.解接上題，設10個糧倉中有老鼠的糧倉數(shù)目為Y，則Y～B（10，p），其中65．設隨機變量X服從上的均勻分布，計算E(2X)，D（2X），.解EX=2.5，DX=E(2X)=5，D(2X)=4DX=，66．隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求概率P.解67．隨機變量X服從標準正態(tài)分布，確定下列各概率等式中的a的數(shù)值：（1）；（2）（3）（4）解（1），查表得a=1.28（2），得Φ（a）=0.95，查表得a=1.64（3），查表得a=2（4），得Φ(a)=0.55，查表得a=0.1368.隨機變量X服從正態(tài)分布，求概率,,.解P=0.682669．隨機變量X服從正態(tài)分布，若,，計算μ和σ的值，求.解查表得：解以μ和σ為未知量的方程組，得μ=5.08，σ=2.=0.322870．已知隨機變量，，，確定c和d的值.解=，查表得查表得71．假定隨機變量X服從正態(tài)分布，確定下列各概

率等式中a的數(shù)值：（1）（2）（3）解=2Φ(a)-1（1）2Φ(a)-1=0.9，Φ(a)=0.95，a=1.64；（2）2Φ(a)-1=0.95，Φ(a)=0.975,a=1.96；（3）2Φ(a)-1=0.99，Φ(a)=0.995，a=2.58.72．某科統(tǒng)考的考試成績X近似服從正態(tài)分布,第100名的成績?yōu)?0分，問第20名的成績約為多少分?解設參加統(tǒng)考人數(shù)為n，則=0.8413，n=設第20名成績約為a分，則查表得a=79.6因此第20名的成績約為80分.習題三1．袋內(nèi)有四張卡片，分別寫有數(shù)字1，2，3，4，每次從中任取一張，不放回地抽取兩次，記X、Y分別表示兩次取到的卡片上數(shù)字的最小值與最大值，求（X，Y）的概率分布.解（X，Y）可以取值為（1，2），（1，3），…，(3，4).事件是兩個互不相容事件“第一次取到數(shù)字1且第二次取到數(shù)字2”與“第一次取到數(shù)字2且第二次取到數(shù)字1”的和，其概率為1/6，類似地可以計算出其他pij的值（見下表）.XYX234pi.120300p.j2．求上題中隨機變量X與Y的邊緣分布.并計算期望EX，EY與方差DX，DY.解在（X，Y）的聯(lián)合分布表中，將每一行對各列求和，得到X的邊緣分布pi.（i=1，2，3）.類似地，可以得到關于Y的邊緣分布，其具體結(jié)果見上題聯(lián)合分布表.EX=3．一個袋內(nèi)有10個球，其中有紅球4個，白球5個，黑球1個，不放回地抽取兩次，每次一個，記X表示兩次中取到的紅球數(shù)目，Y表示取到的白球數(shù)目，求隨機向量（X，Y）的概率分布及X、Y的邊緣概率分布.解顯然（X，Y）的全部取值為（0，1），（0，2），…（2，0）.類似地可以計算出其他pij的值（見下表）：XYXY01200102004．上題中試驗條件不變，若記i=1，2，求隨機向量的概率分布，計算兩次取到的球顏色相同的概率.解易見的全部可能取值為（0，0），（0，1），…（2，1）.應用乘法公式不難計算出pij的全部值（見下表）：X2X101201205．第3題中袋內(nèi)球的組成及抽取次數(shù)不變，但是改為有放回抽取，求第4題中定義的隨機向量的概率分布.解的取值為(0，0)，(0，1)，…(2，2)．且，因此，的聯(lián)合概率分布為下表所示：X2X101200.160.200.0410.200.250.0520.040.050.016．將3個球隨機地放入四個盒子，記表示第i個盒子內(nèi)球的個數(shù)，i=1，2，求隨機變量與的聯(lián)合概率分布及關于的邊緣分布.解取值為（0，0），（0，1），…（3，0）列成聯(lián)合分布表如下，表中最下一列為X2的邊緣分布p.j，j=0，1，2，3.X2X101230102003000p.j7．將3個球隨機地放入四個盒子，設X表示第一個盒子內(nèi)球的個數(shù)，Y表示有球的盒子個數(shù)，求隨機向量（X，Y）的概率分布.解（2，2）．類似地可以依次計算出pij的值（見下表）：YX1230102003008.--解Y.j（X，Y）的聯(lián)合概率分布如上表所示，表中最下一行為Y的邊緣分布，X+Y的分布見下表：X+Y012P9．袋中有10張卡片，其中有m張卡片上寫有數(shù)字m，m=1，2，3，4，從中不重復地抽取兩次，每次一張，記Xi表示第i次取到的卡片上數(shù)字，i=1，2.求的概率分布以及X1+X2，X1X2的概率分布.解可以?。?，2），（1，3），…（4，4），其相應概率見下表：X2X1123410234X1+X2可以取3，4，…，8各值，X1X2可以取2，3，4，6，8，9，12，16各值，其相應概率見以下二表：345678P2346891216P10．隨機向量（X，Y）～f（x,y），x,y＞0確定系數(shù)A的值，求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y).解11．隨機向量（X，Y）服從區(qū)域D上的均勻分布，求分布密度f（x,y）,其中D為下面給定的區(qū)域：（1）（2）（3）解（1）（2）（3）12．求上題中關于X及關于Y的邊緣密度.解（1）（2）當｜x｜＞2時，fx（x）=0，類似地（3）當｜x｜≤1時，當｜x｜＞1時，fX（x）=0，類似地，13．計算第11題（3）中的EX及EY.解14．分別判斷第3、7、8各題中的隨機變量X與Y是否獨立?解在第3題中，而,因此X與Y不獨立；同樣方法可以判斷出第7與第8題中的X與Y均不獨立.15．判斷第10，11各題中的隨機變量X與Y是否獨立?解在第10題中，由于對任何x、y均有F(x,y)=FX(x)FY(y)，因此隨機變量X與Y獨立；在第11題（1）中的f（x,y）=fX(x)fY(y)，因此X與Y是獨立的，而在第11題的（2）與（3）中，不能對于所有x,y均滿足等式f（x,y）=fX(x)fY(y),因此（2）與（3）中的X，Y是不獨立的.16．設隨機變量X1與X2獨立，其概率分布由下面兩表確定，令，求隨機向量（X1，X2）的概率分布及X、Y的概率分布.X101X2123P0.60.4P0.50.30.2解由于X1與X2獨立，因此有具體計算結(jié)果列于下表X2X112300.300.180.1210.200.120.08X的取值為1，2，3，4.=0.30類似地，可以計算出列于下表X1234P0.300.380.240.08隨機變量Y可以取0，1，2，3各值.17．有一種兩版面的報紙，每版印刷錯誤數(shù)服從參數(shù)為1的泊松分布，假定各版印刷錯誤相互獨立，求一份這種報紙上印刷錯誤總數(shù)X的概率分布.解設X1，X2分別表示第1、第2版面上的印刷錯誤，X=X1+X2，X可以取一切非負整數(shù).18．設隨機變量X1與X2獨立，且Xi～B(2,0.8),i=1,2令X=X1+X2，Y=X1·X2，求X、Y的概率分布.解X可以取0，1，2，3，4各值Y可以取0，1，2，4各值19．求上題隨機向量（X,Y）的協(xié)差矩陣V.解由上題知，X～B（4，0.8），EX=3.2，DX=0.64EY=2.56，DY=1.740820．求第6題中隨機向量（X1，X2）的協(xié)差矩陣V.解21．求第7、8各題中隨機向量（X，Y）的均值向量及協(xié)差矩陣.解在第7題中，在第8題中22.計算第11題（3）中隨機向量（X，Y）的協(xié)差矩陣V.解23．設隨機向量（X，Y）～f（x,y）其他其他求系數(shù)A，X的邊緣概率密度f1(x)，并計算（X，Y）在以（0，0），（0，2），（2，1）為頂點的三角形內(nèi)取值的概率.解當0≤x≤2時，當x＜0或x＞2時，fX(x)=0記所求概率為p，則有24．計算上題中隨機向量（X，Y）的均值向量及協(xié)差矩陣.解25．隨機變量X與Y獨立，且X服從［0，2］上的均勻分布，Y服從λ=2的指數(shù)分布，寫出隨機向量（X，Y）的概率密度，計算概率P{X≤Y}.解由于X與Y獨立，因此有26．已知隨機向量（X，Y）的協(xié)差矩陣V為計算隨機向量（X+Y，X-Y）的協(xié)差矩陣.解D(X+Y)=DX+2Cov(X，Y)+DY=25D(X-Y)=DX-2Cov(X，Y)+DY=1Cov(X+Y，X-Y)=DX-DY=-527．設隨機變量Y是X的線性函數(shù)，Y=aX+b，（a≠0），且隨機變量X存在期望EX=μ，方差DX=σ2，求隨機向量（X，Y）的協(xié)差矩陣.解28．一個靶面由五個同心圓組成，半徑分別為5，10，15，20，25（單位：厘米），假定射擊時彈著點的位置為（X，Y），且（X，Y）服從二維正態(tài)分布，其密度為現(xiàn)規(guī)定彈著點落入最小的圓域得5分，落入其他各圓環(huán)（從小到大）的得分依次為4分、3分、2分及1分，求1次射擊的平均得分.解設隨機變量W為一次射擊的得分，則W可以取0，1，2，3，4，5各值.同樣方法可以計算出29．上題中設Z為彈著點到靶心的距離，求Z的概率密度fZ（z）及期望EZ.解依題意隨機變量Z是X與Y的函數(shù)，且當z＞0時，令x=rcosθ，y=rsinθ30．隨機向量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別是求出密度函數(shù)f(x,y)的表示式解將μ1=μ2=0，，ρ=0.6代入二維正態(tài)分布的概率密度公式，得31．設隨機向量（X，Y）～f（x,y），

求（X，Y）的均值向量與協(xié)差矩陣.解易見（X，Y）服從二維正態(tài)分布μ1=0，μ2=1且σ1，σ2，ρ滿足下列等式：解上面方程組，得32．隨機向量（X，Y）～f（x,y），確定A的值，并求X與Y的相關矩陣.其中解法一：類似地計算表明X與Y的相關系數(shù)矩陣R為解法二：與31題解法相同，略.33．隨機向量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，均值向量及協(xié)差矩陣分別為求隨機向量（9X+Y，X-Y）的均值向量與協(xié)差矩陣.解E（9X+Y）=9EX+EY=9μ1+μ2E（X-Y）=EX-EY=μ1-μ2D（9X+Y）=81DX+18Cov(X，Y)+DYD（X-Y）=DX-2Cov（X，Y）+DYCov（9X+Y，X-Y）=9DX-8Cov（X，Y）-DY*34．隨機變量X～N（0，1），Xi=Xi，i=1，2，3.求三維隨機向量（X1，X2，X3）的均值向量與協(xié)差矩陣.解*35．隨機變量X1，X2，…，Xn相互獨立，期望和方差都存在，求證X1，X2，…，Xn的相關矩陣為n階單位矩陣.證由于X1，X2，…，Xn相互獨立，因此EXiXj=EXiEXj36．隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立同正態(tài)分布，當n充分大時，可否認為，近似服從正態(tài)分布，為什么?解可以，事實上，由于X1，…，Xn相互獨立，同正態(tài)分布，不論n是否充分大，都一定服從正態(tài)分布，不僅僅是近似服從正態(tài)分布.37．設隨機變量序列X1，X2，…，Xn，…相互獨立同分布，其概率密度問它們是否滿足中心極限定理，為什么?解不滿足.由于Xi的期望不存在.這是由于積分因此對于期望不存在的隨機變量序列不滿足中心極限定理.38．200個新生兒中，求男孩數(shù)在80到120之間的概率（假定生男、生女的機會相同）.解令X表示200名新生兒中男孩數(shù)目，則X～B，EX=100，DX=50由于n相當大，X近似服從正態(tài)分布N（100，50）39．從一大批廢品率為3％的產(chǎn)品中隨機地抽取1000個，求廢品數(shù)在20到40個之間的概率.解設1000個中的廢品個數(shù)為X，則X服從超幾何分布，由于整批產(chǎn)品數(shù)量很大，而抽取數(shù)目1000相對于一大批產(chǎn)品是很少的.因此X近似服從二項分布B(1000，0.03).EX=30，DX

=29.1.由n=1000，X近似服從正態(tài)分布N(30，29.1).40．隨機變量X1，X2，…，X100相互獨立同分布，EX1=μ，DX1=16，求，其中.解根據(jù)中心極限定理近似服從正態(tài)分布,近似服從分布41．袋裝食鹽，每袋凈重為隨機變量，規(guī)定每袋標準重量為500克，標準差為10克，一箱內(nèi)裝100袋，求一箱食鹽凈重超過50250克的概率.解設箱中第i袋食鹽凈重為Xi克，i=1，…，100.則X1，…，X100相互獨立同分布.EXi=500，DXi=100，設一箱食鹽凈重為X克，則，EX=50000，DX=10000，由于n=100，X近似服從中心極限定理42．計算機有120個終端，每個終端在一小時內(nèi)平均有3分鐘使用打印機，假定各終端使用打印機與否相互獨立，求至少有10個終端同時需使用打印機的概率.解依題意，在某一時刻每個終端使用打印機的概率為,且120個終端同時需使用打印機的數(shù)目X～B，EX=6，DX=5.7，X近似服從正態(tài)分布N（6，5.7）.43．一大批種子中，良種占20％，從中任選5000粒，計算其良種率與20％之差小于1％的概率.解設5000粒中良種數(shù)目為X，則X近似服從二項分布B（5000，0.2），由于n=5000，故X又近似服從正態(tài)分布N（1000，800）.

44．上題中在所取的5000粒中，若以99％的把握斷定其良種率與規(guī)定的良種率20％誤差的范圍，問此時良種數(shù)所在的范圍為何?解接上題，設a滿足概率等式：即Ｘ在927與1073之間.45．第一章表1－2中曾記錄了皮爾孫擲硬幣12000次正面出現(xiàn)6019次，若我們現(xiàn)在重復他的試驗，求正面出現(xiàn)的頻率與其概率之差的絕對值，不大于當年皮爾孫試驗所發(fā)生的偏差的概率.解設隨機變量X表示擲硬幣12000次中正面出現(xiàn)的次數(shù)，則X～B（12000，0.5），且X近似服從正態(tài)分布N（6000，3000）.46．交換臺有10條外線，若干臺分機，在一段時間內(nèi)，每臺分機使用外線的概率為10％，問最多可裝多少臺分機才能以90％的把握使外線暢通.解設最多可裝n臺分機，記X為n臺分機中同時使用外線的數(shù)目，則X～B（n，0.1），一般n不會太小，可以認為X近似服從正態(tài)分布N(0.1n，0.09n).n應滿足下面概率等式：即解以n為未知量的方程：得到n≈68.47．某車間有同型號機床200部，每部開動的概率為0.7，假定各機床開關是相互獨立的，開動時每部要消耗電能15個單位，問電廠最少要供應該車間多少單位電能，才能以95％的概率保證不致因供電不足而影響生產(chǎn)?解設隨機變量X表示200部機床中同時開動的機床數(shù)目，則X～B（200，0.7），且X近似服從正態(tài)分布N（140，42），令m滿足下列概率等式：即計算得知，電廠最少要供應該車間2265單位電能.48．計算機在進行加法時，每個加數(shù)取整數(shù)（按四舍五入取最為接近它的整數(shù)），設所有加數(shù)的取整誤差是相互獨立的，且它們都服從［-0.5，0.5］上的均勻分布.（1）若將300個數(shù)相加，求誤差總和的絕對值超過15的概率；（2）至多幾個數(shù)加在一起，其誤差總和的絕對值小于10的概率為0.9.解設Xi為第i個加數(shù)的取整誤差，i=1，2，…，300.X表示300個加數(shù)的誤差總和，則有X1，…，X300相互獨立，EXi=0，，X=，EX=0，DX=25.X近似服從分布N.（1）（2）設n為所求的加數(shù)個數(shù)，則n應滿足下面概率等式：但是近似服從分布N，因此自即49．設有30個電子器件，它們的使用壽命（單位：小時）T1，T2，…，T30，都服從λ=0.1的指數(shù)分布，其使用情況是第一個損壞，第二個立即使用，第二個損壞，第三個立即使用等等，令T為30個器件使用的總計時間，計算T超過360小時的概率.解計算30個相互獨立同指數(shù)分布隨機變量之和的分布已超出本書范圍，盡管n為30不是足夠大，但我們?nèi)杂谜龖B(tài)分布近似計算.T近似服從分布N（300，3000）.50．某產(chǎn)品次品率為10％，應取多少件，才能使合格品不少于100件的概率達到95％?解設應取n件產(chǎn)品，n件產(chǎn)品中合格品數(shù)為X，則X～B（n，0.9）.EX=0.9nDX=0.09n，依題意，n應滿足下面概率等式：即51．隨機地擲10顆骰子，用切比雪夫不等式估計點數(shù)總和在20和50之間的概率.解設第i顆骰子的點數(shù)為Xi，i=1，2，…，10，X表示10顆骰子點數(shù)總和，X1，…，X10相互獨立同分布：，n=1,2,…,6.即52．用切比雪夫不等式估計第38、39、40三題中的概率.解在第38題中，X～B（200，0.5），EX=100，DX=50在第39題中，X近似服從分布B（1000，0.03），EX=30，DX=29.1在第40題中，53．設P(A)=p，p未知，若試驗1000次，用A發(fā)生的頻率代替概率p，估計所產(chǎn)生的誤差小于10％的概率為多少?解設1000次試驗中事件A發(fā)生次數(shù)為X，X～B（1000，p），EX=1000p，DX=1000p(1-p).由于p未知，用切比雪夫不等式估計.最后一步是由于p的二次函數(shù)p(1-p)當p=0.5時取最大值0.25.習題四1．設總體X服從正態(tài)分布N是它的一組樣本，（1）寫出所服從的分布；（2）求＞11的概率.解（1）～N，即～N.（2）=1-Φ(0.8165).解法一：解法二：查表得：Φ(0.81)=0.7910，Φ(0.82)=0.7939，可以求出一條過點（0.81，0.7910）、（0.82，0.7939）的直線，其方程為：對于x∈(0.81，0.82)，我們用上述直線方程近似Φ(x)，則有Φ(0.8165)故這種方法，稱為線性插值法；利用線性插值法，可以提高查表精度.2.設X1，X2，…，Xn是總體X的樣本，，分別按總體服從下列指定分布求E()，D().（1）X服從0-1分布：；（2）X服從二項分布：1，2，…，m；（3）X服從泊松分布：=0，1，2，…；其他（4）X服從均勻分布：f(x)=其他（5）X服從指數(shù)分布：f(x)=解（1）X服從0-1分布，EX=p，DX=p(1-p),故（2）X服從二項分布，EX=mp，DX=mp(1-p)，同（1），可以求得（3）X服從泊松分布EX=λ，DX=λ，同（1），可以求得：E=λ，D=λ.（4）X服從均勻分布，同（1），可以求得.（5）X服從指數(shù)分布,同（1），可以求得.注一般地講，設X1，X2，…，Xn是總體X的樣本，，若X的樣本與方差均存在，則對于本題，也可以先證明上述一般結(jié)果，再把一般結(jié)果分別應用到各個小題.3．設總體X服從正態(tài)分布，X1，X2，…，Xn是總體X的一組樣本，是樣本均值，試問：樣本容量n至少應取多大，才能使解X～N，故根據(jù)題目的要求查表得Φ(1.96)=0.975.故，因為n只能取正整數(shù)，所以，樣本容量n至少應取35.4．設X1，X2，…，X6為正態(tài)總體N的一個樣本，求.解由Xi～N（i=1，2，…，6），知～N（0，1）（i=1，2，…，6），且它們相互獨立，故,所以=0.955．設總體X和Y相互獨立，都服從正態(tài)分布N（30，32），X1，X2，…，X20，Y1，Y2，…，Y25分別是來自X和Y的樣本.求的概率.解由Xi～N（30，32）（i=1，2，…，20），Yi～N（30，32）（i=1，2，…，25），知又X與Y相互獨立，所以與也相互獨立.從而即故.6．設和是來自正態(tài)總體N(μ

,

σ2)的容量為n的兩個樣本均值.試確定n，使得兩個樣本均值之差超過σ的概率大約為0.01.解

因為X，Y是兩個不同的樣本，故X與Y相互獨立，與也相互獨立.從而

故根據(jù)題設查表得n=13.3128.所以n可以取13或14.7.設X服從正態(tài)分布N（），是X的樣本.試求下列概論：（1）（2）解(1)從而即記(2)

根據(jù)樣本方差的性質(zhì)，記

8.用附表4求下列各式中的值：解（1）（2）由得查表得（3）直接查表，（4）由得查表得9.用附表5求下列各式中的值：（1）（2）（3）（4）（5）解（1）（2）得查表得故有查表得 查表， 由 知 查表得10.用附表6求下列各式的值：解(1)先找的表，在該表中，找對應的值，可知（2）在這里先復習一下F分布的一個性質(zhì)：若F~F利用上述性質(zhì)，可得：查表得故查表得查表得11.設總體X服從標準正態(tài)分布N（0,1）為其樣本，S2為樣本方差，為樣本均值，求D(),E(S2).解（2）解法一：故解法二：故12.

A牌燈泡的平均壽命為1400小時，標準差為200小時.B牌燈泡的平均壽命為1200小時，標準差為100小時，從兩種牌子的燈泡中各取250個進行測試.問A牌燈泡的平均壽命至少大于B燈泡壽命（1）180小時，（2）230小時的概率分別是多少？解（1）因為題中未給出兩種牌子燈泡的壽命所服從的分布，因而不能嚴格地利用其分布進行計算.題中考慮的問題主要是對250個燈泡進行測試，因試驗的數(shù)比較多，故可以使用中心極限定理.按照中心極限定理,近似地服從正態(tài)分布.根據(jù)題意,相互獨立，故 從而注在查表時，表中沒有1.4142，因而需要使用進行線性插值，可得.注2.1213未在表中，但與表中的2.12比較接近，在對精度要求不太高的情況下，可以用2.12來代替2.1213.如果對精度要求比較高，就需要使用（1）中使用的線性插值方法.13.分別從方差為20和35的正態(tài)總體中抽取容量為8和10的兩個樣本，求第一個樣本方差是第2個樣本方差兩倍以上的概率范圍.解對于第1個樣本對于第2個樣本統(tǒng)計量即故查F分布表由可得即所求的概率范圍為（0.025，0.05）.14.設是取自正態(tài)總體的一個樣本，S2為樣本方差，求滿足等式的最小n值.解由知即依題設，易知服從自由度為的分布.根據(jù)上側(cè)分位數(shù)的定義，我們得到如下等式（B）由（A）、（B）兩個式子，可以得到（C）（A）式與（C）式等價，因此滿足（C）式的最小n值即為滿足（A）式的最小n值.查表并整理得n211.53.841×3235.991×434.57.815×25243636.415×262537.537.652×27263938.885√282740.540.113√故所求的最小n值為27.15.

已知X服從n個自由度的t分布，求證X

2服從自由度為（1，n）的F分布，即證

當所以16.設是來自正態(tài)總體的簡單隨機樣本，求系數(shù)a,b,c,使服從2分布，并求其自由度.解

由于Xi獨立同分布，有從而由2分布的可加性知，所以，當17.設隨機變量X和Y相互獨立，且都服從正態(tài)分布N（0，32），X1,

X2,…,

X9和Y1,Y2,…,Y9分別來自總體X和Y的簡單隨機樣本，試證統(tǒng)計量服從自由度為9的t分布.證

首先將Xi,Yi分別除以3，使之化為標準正態(tài).

令再令因此

由服從t分布統(tǒng)計量的典型模式知，T服從自由度為9的t分布，即Tt(9).18.設總體X服從正態(tài)分布N從中抽取一個樣本X1,X2,…,Xn+1.記試證：分析：因為分子需要一個服從標準正態(tài)分布的隨機變量，故只需證明即可.證故所以又從而

19.

設X1,X2,…,Xn是來自總體的樣本，記試證：證明記則所以20.設總體X服從正態(tài)分布N(62，100)，為使樣本均值大于60的概率不小于0.95，問樣本容量n至少應取多大？解設需要樣本容量為n,則查標準正態(tài)分布表，得所以故樣本容量至少應取68.21.設X1,X2,…,X9為來自總體X～N(a,22),Y1,Y2,…,Y16為來自總體Y～N(b,22)的兩個相互獨立的簡單隨機樣本.記求滿足下列各式的常數(shù)解，故類似地所以查標準正態(tài)分布得可見即所以查表得可知

因此習題五1.分別按總體服從下列分布求其他.（1）X其他.（2）X服從泊松分布：（3）X服從二項分布：解故由方差的計算公式可以直接求出E(S2).（1）X服從均勻分布（2）X服從泊松分布（3）X服從二項分布2.

設X1,X2,…,Xn是總體X的一個樣本,試證：是總體方差的無偏估計量.證由期望公式有所以，是DX的無偏估計量

.3.

對樣本X1,X2,…,Xn作變換試證：證4.

設X1,X2,…,Xn是X的一樣本，試證估計量都是EX的無偏估計，且的方差不超過W的方差.證因為X與Xi同分布，所以EXi=EX

.故同理，所以由于根據(jù)柯西不等式得從而有5.

從某種燈泡的總體中，隨機抽取10個樣本，測得其壽命(小時)為1520148318271654163114831411166015401987試求方差的無偏估計

.解因為是方差的無偏估計量，故只要計算S2的值.=30892.49.6.

設X1,X2,…,Xn為正態(tài)總體的一個樣本，適當選擇常數(shù)C，使解設由期望的定義與性質(zhì)可得故7.

設總體X的密度函數(shù)是是一組樣本值，求參數(shù)α的最大似然估計量.解似然函數(shù)得8.

設總體X服從韋布爾分布，密度函數(shù)是其中為已知，X1,X2,…,Xn是來自X的樣本,求參數(shù)的最大似然估計.解似然函數(shù)從而得到9.設總體X服從馬克斯韋爾分布，密度函數(shù)是X1,X2,…,Xn是總體X的樣本，求的最大似然估計.解似然函數(shù)所以10.已知某電子儀器的使用壽命服從指數(shù)分布，密度函數(shù)是今隨機抽取14臺，測得壽命數(shù)據(jù)如下(單位：小時)18121890258017892703192120541354196723241884212023041480求的最大似然估計值.解由于指數(shù)分布的最大似然估計所以11.設總體X服從［a

,

b］區(qū)間上的均勻分布，是總體X的一組樣本,求a和b的最大似然估計量.解似然函數(shù)由于似然方程組無解，不存在駐點，考慮邊界上的點，因為故有越小L越大，所以當L取到最大值.即：是a

,b的最大似然估計量.12.設總體X的密度函數(shù)為問是否為的無偏估計？為什么？解因總體X是服從參數(shù)的指數(shù)分布，由指數(shù)分布的期望公式知，又所以13.求習題7,10,11中的參數(shù)的矩估計.解（7）由于故解得取所以的矩估計量（10）已知所以（11）即用得其中14．對球的直徑作了5次測量，測量的結(jié)果是(厘米)，試求樣本均值和樣本方差.解(厘米)15．在一批螺絲釘中，隨機抽取16個，測其長度(厘米)為：2.232.212.202.242.222.252.212.242.252.232.252.212.242.232.252.22設螺絲釘?shù)拈L度服從正態(tài)分布，試求總體均值μ的90％置信區(qū)間.(1)若已知＝0.01(2)若未知解(1)由于已知＝0.01，α＝0.1所以的置信區(qū)間為故得的90％置信區(qū)間為(2.226，2.234)(2)由(1)知由α＝0.10，查自由度為15的t分布，得分位數(shù)得EX的置信度為0.9的置信區(qū)間為(2.223，2.237).16．解正態(tài)總體置信區(qū)間長為由題意故.17．在測量反應時間中，一心理學家估計的標準差是0.05秒，為了以95％的置信度使他的平均反應時間的估計誤差不超過0.01秒，應取容量為多大的測量樣本？解若假定反應時間X服從正態(tài)分布，則由16題解的結(jié)果可以直接求出n.所以應取樣本容量n＝97.若沒有正態(tài)性假定，則可用切貝紹夫不等式進行估計，但比較粗，此題因n較大，故可以假定其服從正態(tài)分布.18．對某機器生產(chǎn)的滾珠軸承隨機抽取196個樣本，測得直徑的均值為0.826厘米，樣本標準差0.042厘米，求滾珠軸承均值的95％與99％置信區(qū)間.解因樣本容量n較大，故可假定滾珠軸承的直徑x服從正態(tài)分布.由已知將上述各值代入置信區(qū)間公式中，可得19．在一批銅絲中，隨機抽取9根，測得其抗拉強度為：578582574568596572570584578設抗拉強度服從正態(tài)分布，求σ2的置信度為0.95的置信區(qū)間.解由于銅絲抗拉強度服從正態(tài)分布，σ2的置信區(qū)間為經(jīng)計算置信區(qū)間為(33.76，271.56).20．求習題14的期望與方差的0.90置信區(qū)間.解由14題知的置信區(qū)間，的置信區(qū)間*21．為比較A牌與B牌燈泡的壽命，隨機抽取A牌燈泡10只，測得平均壽命小時，樣本標準差52小時；隨機抽取B牌燈泡8只，測得平均壽命1250小時，樣本標準差64小時，設總體都服從正態(tài)分布，且方差相等，求二總體均值的95％置信區(qū)間.解由題設，故兩總體均值差的置信區(qū)間為(*)將以上各數(shù)值代入(*)，得的置信區(qū)間為(92.65，207.35).22．從二正態(tài)總體X、Y中分別抽取容量為16和10的兩個樣本，求得試求方差比的95％置信區(qū)間.解已知又α＝0.05，查F分布上側(cè)分位數(shù)表，得F0.025(15,9)=3.77,F0.025(9,15)=3.12，代入方差比的置信區(qū)間得0.95置信區(qū)間為23．的居民支持糧食調(diào)價，求在該地區(qū)的所有居民中，支持糧食調(diào)價的比率的0.95與0.99的置信區(qū)間.解因為是大樣本，由比率的置信區(qū)間公式得所以置信區(qū)間為(0.7216，0.8784).同理可得置信度為0.99的置信區(qū)間為≈(0.697，0.903)*24．欲估計某縣城擁有洗衣機的家庭所占比率，隨機抽查了15戶，其中6戶有洗衣機，求該縣城購置洗衣機家庭比率的0.99置信區(qū)間.解利用二項分布和F分布的關系其中是自由度為和的F分布函數(shù)，可得p的置信區(qū)間其中而是自由度為的F分布水平β上側(cè)分位數(shù).我們利用上面公式求的0.90置信區(qū)間，其中，，，；自由度，，由附表可直接查出F0.05(f2，f1)＝F0.05(20，12)＝2.54；該表中查不到F0.05(f1+2，f2-2)＝F0.05(14,18)，故用線性內(nèi)插法求其近似值：由附表6，有F0.05(10,18)＝2.41，F(xiàn)0.05(15,18)＝2.27則F0.05(14,18)≈F0.05(15,18)+＝2.27+0.2(2.41-2.27)＝2.298.由此，得(14,18)＝1/2.298＝0.435.從而，有a＝f2F0.05(f2,f1)＝20×2.54＝50.b＝(f2-1)(f1+2，f2-1)＝18×0.435＝7.83.于是＝,＝最后，求得p的0.90置信區(qū)間為(0.191，0.641).*25.設總體X的期望為μ，方差為σ2，分別抽取容量為n1、n2的兩個獨立隨機樣本，，為兩個樣本的均值，試證：如果a，b是滿足a+b=1的常數(shù)，則Y＝a+b就是μ的無偏估計量，并確定a，b，使DY最小.證 由兩個樣本獨立知與獨立，有EY＝E(a+b)＝aE+bE＝aμ+bμ＝μ(a+b)＝μ，所以Y是μ的無偏估計量.DY＝D(+)＝+＝a2·=為使DY最小，需求的最小值.設g(a)＝+g′(a)＝令g′(a)＝0，得a＝，由于a+b=1,所以，b＝.將a=，b=代入DY中，得(DY)min＝.*26．設總體X、Y相互獨立，且X～N(μ1，σ2)，Y～N(μ2，σ2)，從中分別取容量為n1，n2的簡單隨機樣本，記，為樣本方差，試證：當常數(shù)a，b滿足a+b＝1時，Z＝a+b是σ2的無偏估計量，并確定a，b，使DZ最小.證 因為與是來自兩個總體的樣本方差，故相互獨立.由期望和方差的性質(zhì)，有EZ＝E(a+a)=aE+bE,又與都是σ2的無偏估計量，故EZ＝aσ2+bσ2=σ2(a+b)=σ2.DZ=a2D+b2D=a2·+b2=.(*)為使DZ達到最小值，仿25題g(a)=，求g′(a)=0，即可得到a=.代入DZ中，得(DZ)min=.注：在(*)式中用到D(S2)＝這一結(jié)論.因為～.已知Γ(α，β)的方差等于，而χ2(n)＝Γ，故χ2(n)的方差等于2n，于是，.習題六5.由經(jīng)驗知某味精廠袋裝味精的重量X～N(μ，σ2)，其中μ＝15，重量為(單位:克)：14.715.114.81515.314.915.214.6.已知方差不變，問機器包裝的平均重量是否仍為15？(顯著水平α＝0.05)解 待檢驗的假設是H0:μ＝15.取統(tǒng)計量U＝，在H0成立時，U～N(0，1).查表知P｛｜U｜≥1.96｝＝0.05.根據(jù)樣本值計算得＝14.95，.因｜U0｜＝0.6325＜1.96故H0相容，即不能否認機器包裝的平均重量仍為15.6.已知某煉鐵廠鐵水含碳量服從正態(tài)分布N(4.550，0.1082)，現(xiàn)觀測了九爐鐵水，其平均含碳量為4.484，如果估計方差沒有變化，可否認為現(xiàn)在生產(chǎn)的鐵水平均含碳量仍為4.550(α＝0.05)？解 待檢驗的假設是H0:μ＝4.550.因＝4.484，故｜U0｜＝.在H0成立條件下，U～N(0，1)，查表知P{｜U｜＞1.96}＝0.05.而｜U0｜＝1.833＜1.96，故H0相容，即不能否認現(xiàn)在生產(chǎn)的鐵水平均含碳量仍為4.550.7．在某磚廠生產(chǎn)的一批磚中，隨機地抽測6塊，其抗斷強度為：32.6630.0631.6430.2231.8731.05公斤/厘米2.設磚的抗斷強度X～N(μ，1.12).問能否認為這批磚的抗斷強度是32.50公斤/厘米2(α＝0.01)？解待檢驗的假設是H0:μ＝32.5在H0成立條件下統(tǒng)計量～N(0，1)，查表知P{｜U｜＞2.58}＝0.01.由樣本值算得＝31.25｜U0｜＝＞2.58.

故否定H0，即不能認為這批磚的抗斷強度為32.50公斤/厘米28．某廠生產(chǎn)的鋼筋斷裂強度X～N(μ，σ2)，σ＝35(公斤/厘米2)，今從現(xiàn)在生產(chǎn)的一批鋼筋中抽測9個樣本，得到的樣本均值較以往的均值μ大17(公斤/厘米2).設總體方差不變，問能否認為這批鋼筋的強度有明顯提高(α＝0.05，α＝0.1)？解待檢驗